江苏省扬州中学高三3月双周练习一数学试题

试卷第1页，共5页 江苏省扬州中学2023届高三下学期高考前保温练数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题 1．已知集合2|13902xxAxBxx,则ABI（ ） A．(1,2) B．(0,1) C．(0,2) D．[2,2) 2．已知复数2234224i(R)mmmmm是纯虚数，则m=（ ） A．1 B．1或-4 C．4 D．4或6 3．在平面直角坐标系xOy中，如图所示，将一个半径为1的圆盘固定在平面上，圆盘

的圆心与原点重合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头M（开始时与圆盘上点()1,0A重合）系着一支铅笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为B，细绳的粗细忽略不计，当2rad时，点M与点O之间的距离为（ ）

A．1cos1 B．2sin1 C．2 D．5 4．在ABCV中，M，N分别是AB，AC的中点，若(,)ABCMBNRuuuruuuuruuur，则



（ ） A．2 B．1 C．1 D．2 5．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，

经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若120PFB，90FBC?，则该双曲线的离心率等于（ ）

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A．2 B．5 C．31 D．512 6．“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443等.那么在

四位数中，回文数共有（ ） A．81个 B．90个 C．100个 D．900个 7．设nS为正项等差数列na的前n项和．若20232023S，则42014aa的最小值为（ ） A．52 B．5 C．9 D．92 8．已知正方形ABCD的中心在坐标原点，四个顶点都在函数3fxxbx的图象上．若

江苏省扬州市第一中学高三数学文月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.3B.—6C.10D.参考答案：C第一次循环为：，第二次循环为：，第三次循环为：，第四次循环为：，第五次循环条件不成立，输出,答案选C.2. 的内角对边分别为且则=（）A. B. C. D.参考答案：D3. 在极坐标系中，圆心在(),且过极点的圆的方程为()．A．B．C．D．参考答案：A略4. 已知函数，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D考点：古典概型及其概率计算公式．专题：计算题；概率与统计．分析：由极值的知识结合二次函数可得a＞b，由分步计数原理可得总的方法种数，列举可得满足题意的事件个数，由概率公式可得．解答：解：求导数可得f′（x）=x2+2ax+b2，要满足题意需x2+2ax+b2=0有两不等实根，即△=4（a2﹣b2）＞0，即a＞b，又a，b的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=故选D点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及函数的极值问题，属基础题．5. 函数y=的定义域为（）A．（﹣1，0）∪（0，1] B．（﹣1，1] C．（﹣4，﹣1] D．（﹣4，0）∪（0，1]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【分析】要使函数表达式有意义只需分母不为零、被开方数为非负数、对数的真数大于零即可，计算即得结论．【解答】解：由题意可知，∴，即﹣1＜x＜0或0＜x≤1，故选：A．【点评】本题考查求函数的定义域，注意解题方法的积累，属于基础题．6. 设a为大于1的常数，函数若关于x的方程恰有三个不同的实数解，则实数b的取值范围是A．0＜b≤1 B．0＜b＜1 C．0≤b≤1 D．b＞1．参考答案：A7. （5分）定义运算a?b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则的值为（）A． 4 B． 3 C． 2 D．﹣1参考答案：A【考点】：程序框图．【专题】：三角函数的求值．【分析】：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值，由已知计算出a，b的值，代入可得答案．解：由已知的程序框图可知：本程序的功能是：计算并输出分段函数S=的值∵a==1，b==2∴S=2×（1+1）=4故选A【点评】：本题考查的知识点是程序框图，特殊角的三角函数，其中根据已知的程序框图，分析出程序的功能是解答的关键．8. 设各项均不为0的数列满足，若，则( )A. B.2 C. D.4参考答案：【知识点】等比数列. D3【答案解析】D 解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以4，故选D.【思路点拨】由已知条件确定数列是等比数列，再根据求得，进而求.9. 等比数列的各项均为正数,且,则A.10B.12 C.8 D.参考答案：A知识点：等比数列解析：等比数列的各项均为正数,所以由得：所以故答案为：A10. 港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A. 300，0.25B. 300，0.35C. 60，0.25D. 60，0.35参考答案：B 【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．【详解】由频率分布直方图得： 在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，行驶速度超过的频率为：．故选：B ．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则参考答案：略12.已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是______参考答案：13. 调查某高中1000名学生的视力情况，得下表：ks5u150已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到女生近视度数小于300度的概率为0.2。

江苏省扬州市第一中学2019-2020学年高三（上）第一次月考数学试卷（理）（本卷满分200分，考试时间150分钟）一、填空题（本大题共有14小题，每题5分，共70分）1、命题“01,≥+-∈∀x e R x x”的否定是 .2、函数()1log 2-=x x f 的定义域为 .3、函数x y ln =的图象在点()()1,1f 处的切线方程为 .4、=︒︒+︒+︒41tan 19tan 341tan 19tan .5、已知()2tan =-x π，则=-+x x x x 22cos 3cos sin 2sin .6、已知316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 3sin 65sin 2ππ . 7、若正实数c b a ,,满足023=+-c b a ，则b ac 的最大值为 . 8、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+2031854y x y x ，则y x z 23+=的最小值为 .9、已知关于x 的不等式02>--c bx ax 的解集是（-2，1），则不等式02>--a bx cx 的解集是 .10、△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若A a B c C c sin cos cos =+，且()22241b a c S -+=，则C = . 11、定义在R 上的函数()x f 满足()()x f x f -=，且当0>x 时，()()()02,0'=>-f x f x xf ，则不等式()0<x xf 的解集是 .12、△ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若b a c B C A -=-3cos cos 3cos ，则=AC sin sin . 13、已知y x ,为正实数，则x y x y x x +++22的最小值为 . 14、设函数()mxx f πsin 2=，若存在()x f 的极值点0x 满足()[]2220m x f x <+，则m 的取值范围是 .二、解答题（本大题共有6小题，共90分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15、（14分）已知函数()x x x x f cos sin 3cos 2+=.（1）求函数()x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）求()x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,6ππ上的最大值和最小值.16、（14分）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知B A C B A sin sin cos sin cos 222++=.（1）求角C 的大小；（2）若3=c ，求△ABC 周长的取值范围.17、（15分）（1）解关于x 的不等式042≥+-ax x ；（2）对于任意]2,0[∈x ，不等式0122≤--ax x 恒成立，求a 的取值范围.18、（15分）某矩形花园ABCD ，3,2==AD AB ，H 是AB 的中点，在该花园中有一花圃，其形状是以H 为直角顶点的内接Rt △HEF ，其中E 、F 分别落在线段BC 和线段AD 上，如图. 分别记∠BHE 为θ，Rt △HEF 的周长为l ，Rt △HEF 的面积为S.（1）试求S 的取值范围；（2）θ为何值时l 的值最小? 并求l 的最小值.A B CDEF Hθ19、（16分）已知函数()()()πϕϕ<<+=02sin x x f ，其图象的一个对称中心是⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,12π，将()x f 的图象向左平移3π个单位长度后得到函数()x g 的图象. （1）求函数()x g 的解析式；（2）若对任意[]t x x ,0,21∈，当21x x <时，都有()()()()2121x g x g x f x f -<-，求实数t 的最大值；（3）若对任意实数a ，()()0>=ωωx g y 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+4,πa a 上与直线21-=y 的交点个数不少于6个且不多于10个，求正实数ω的取值范围.20、（16分）已知函数()⎩⎨⎧><++=0,ln 0,22x x x a x x x f ，其中a 是实数，设()()()()2211,,,x f x B x f x A 为该函数图象上的两点，且21x x <.（1）指出函数()x f 的单调区间；（2）若函数()x f 的图象在点A ，B 处的切线互相垂直，且02<x ，求证:112≥-x x ；（3）若函数()x f 的图象在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值范围.三、附加题（本大题共有4小题，共40分.）21、已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2c b 1M 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32e . （1）求矩阵M ； （2）求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下得到的新曲线的方程.22、在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()πθθθρ20sin 2cos 2≤≤+=，点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,1πM ，以极点O 为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知直线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==t y t x l 21123:（t 为参数）与曲线C 交于A ，B 两点.（1）若()θρ,P 为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求出此时点P 的极坐标；（2）求MBMA 11+的值.23、已知甲箱中装有3个红球，3个黑球，乙箱中装有2个红球，2个黑球，这些球除颜色外完全相同. 某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下: 每次分别从以上两个箱中各随机摸出2个球，共4个球，若摸出的4个球都是红色，则获得一等奖；摸出的球中有3个红球，则获得二等奖；摸出的球中有2个红球，则获得三等奖，其他情况不获奖. 每次摸球结束后将球放回原箱中.（1）求在1次摸奖中，获得二等奖的概率；E.（2）若连续摸奖2次，求获奖次数X的分布列及数学期望()X24、已知函数()()*,1N n x x f n∈+=. （1）当8=n 时，求展开式中系数最大的项；（2）化简13221102...222----++++C C C C nn n n n n n n ；（3）定义:n n i i a a a a +++=∑=...211，化简:()C i n n i i ∑=+11.。

江苏省扬州中学2019届高三开学数学I 试题注意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名学校、考试号写在答卷纸的规定区域内； 3．答题时必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B 铅笔．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合A ＝{1，3，4}，B ＝{3，5}，则(A B)U I ð＝ ．2.己知复数iz -=12，则z 的虚部为 ． 3．如图是样本容量为200的频率分布直方图，根据此样本的频率分布 直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ．4．现有三张识字卡片，分别写有“中”“国”“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________．5． 函数22log (32)y x x =--的定义域为 ．6.己知 53)sin(=+απ，且 α2sin 2<0，则 )4tan(πα+的值为 ． 7.若正整数N 除以正整数m 后的余数为r,则记为 N=r (mod m),例如10 = 2 (mod 4)。

下列程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的 “中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的i 等于 ．8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 .9.已知双曲线C: 0)>b 0,>(12222a by a x =-，点A ，B 在双曲线C 的左支上，0为坐标点，直线B0与双曲线C的右支交于点M。

若直线AB的斜率为3,直线AM的斜率为1，则双曲线C的离心率为．10.已知{}n a是首项为1，公比为2的等比数列，数列{}n b满足11b a=，且12nb a a=++L 1121n n na a a a a--++++++L（2,n n*∈N≥），若(27)2019m ma b+-=，则m的值为．11.在△ABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，AD→＝13AB→.若DB→·DC→＝3，则AC的长是________．12.在平面直角坐标系xOy中，已知AB是圆O：221x y+=直径，若直线l：310kx y k--+=上存在点P，连接AP与圆O交于点Q，满足BP∥OQ，则实数k的取值范围是．13．已知一个等腰三角形的底边长为4，则它的一条底角的角平分线长的取值范围是．14.设函数g(x)＝e x＋3x－a(a∈R，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝x2，且当x＜0时，f′(x)＜x，若∃x0∈{x|f(x)＋2≥f(2－x)＋2x}，使得g(g(x0))＝x0，则实数a的取值范围为．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在四棱柱1111DCBAA B C D-中，已知平面⊥CCAA11平面,A B C D且3===CABCAB,1==CDAD.(1)求证：;1AABD⊥(2)若E为棱BC的中点，求证：//AE平面11DD C C.1AECDBA1D1B1C第15题DBF16.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(﹣1，0)，OC＝1，且∠AOC ＝x，其中O为坐标原点．（1）若34xπ=，设点D为线段OA 上的动点，求OC OD+的最小值；（2）若x∈[0，2π]，向量BCm=，n=(1cos x-，sin2cosx x-)，求m n⋅的最小值及对应的x值．17. 如图，一楼房高AB为193米，某广告公司在楼顶安装一块宽BC为4米的广告牌，CD为拉杆，广告牌BC边与水平方向的夹角为60︒，安装过程中，3米的监理人员EF 站在楼前观察该广告牌的安装效果；为保证安全，该监理人员不得站在广告牌的正下方；设AE x=米，该监理人员观察广告牌的视角BFCθ∠=；（1）试将tanθ表示为x的函数；（2）求点E的位置，使θ取得最大值．18. 已知椭圆C的两焦点分别为F1(32-,0)，F2(32，0)，点E在椭圆C上，且∠F1EF2=60°，124EF EF⋅=u u u v uu u v.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过x轴正半轴上一点M作直线l，交椭圆C于A B两点。

2024学年江苏省天一中学高三3月大联考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A ．163B ．6C ．203D ．2232．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( )A ．3B ．2C ．4D ．54．已知复数z 满足()14i z i -=，则z =（ ）A ．22B ．2C ．4D ．35．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且43a =-，1224S =，若0+=i j a a （*,i j ∈N ，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}6,7,8C ．{}1,2,3,4,5D ．{}6,7,8,9,106．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 7．如图，点E 是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，点F ，M 分别在线段AC ，BD 1（不包含端点）上运动，则（ ）A ．在点F 的运动过程中，存在EF //BC 1B ．在点M 的运动过程中，不存在B 1M ⊥AEC ．四面体EMAC 的体积为定值D ．四面体FA 1C 1B 的体积不为定值8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．23B ．43C ．2D ．839．已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 3直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．3y x =10．设命题p:n ∃>1,n 2>2n ,则⌝p 为（ ）A ．21,2n n n ∀>>B ．21,2n n n ∃≤≤C ．21,2n n n ∀>≤D ．21,2n n n ∃>≤11．盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”，其中只有2张“刮刮卡”有奖，现甲从盒中随机取出2张，则至少A ．12B ．35C ．710D ．4512．下图所示函数图象经过何种变换可以得到sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁七市2023届高三第三次调研测试数 学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种B. 240种C. 360种D. 480种4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接.的收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02B. －83.98C. －93.01D. －96.025. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A29B.C.23D.6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A.B.C.D.8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝110. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D. .11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A =D. ()712P AB AB +=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.214. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____． 15. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____． 16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sinA ＋c sin C ＝4a sin C sinB ，则FH ＝_____________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．（1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值；（2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ．21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =． （1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>； （2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 取值范围． 参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知U ＝R ，A ＝{x |x 2－4x ＋3≤0}，B ＝{x ||x －3|＞1}，则A ∪U B ð＝（ ）A. {x |1≤x ≤4}B. {x |2≤x ≤3}C. {x |1≤x ＜2}D. {x |2＜x ≤3}【答案】A 【解析】【分析】先化简集合A ，B ，再利用集合的补集和并集运算求解. 【详解】解：因为{}13A x x =≤≤，{4B x x =或}2x <， 所以{}24U B x x =≤≤ð，(){}14U A B x x ⋃=≤≤ð，的故选：A ．2. 设向量,a b 均为单位向量，则“a b ⊥”是“22a b a b -=+ ”的（ ）A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】将22a b a b -=+ 两边平方转化为0a b ⋅=，从而得到与a b ⊥ 之间的关系.【详解】若a b ⊥ ，则0a b ⋅=，所以2222445a b a a b b -=-⋅+= ， 2222445a b a a b b +=+⋅+= ，所以22a b a b -=+ ，满足充分性； 若22a b a b -=+ ，两边平方得0a b ⋅= ，所以a b ⊥ ，满足必要性．故选：B ．3. 某人将斐波那契数列的前6项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 480种【答案】A 【解析】【分析】将两个1捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有55A 种，计算即可.【详解】将两个1捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有55A 120=种.故选：A4. 星载激光束与潜艇通信传输中会发生信号能量衰减．已知一星载激光通信系统在近海水下某深度的能量估算公式为7310r P E E S-=⨯，其中E P 是激光器输出的单脉冲能量，E r 是水下潜艇接收到的光脉冲能量，S 为光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积（单位：km 2，光斑面积与卫星高度有关）．若水下潜艇光学天线接收到信号能量衰减T 满足10lgrPE E Γ=（单位：dB ）．当卫星达到一定高度时，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2，则此时Γ大小约为（ ）（参考数据：1g2≈0.301） A. －76.02 B. －83.98C. －93.01D. －96.02【答案】B 【解析】 【分析】由7310r P E E S-=⨯，可得9410r P E E -=⨯，代入10lg r P E E Γ=，由对数的性质求解即可.【详解】因为7310r P E E S-=⨯，该激光器光脉冲在潜艇接收平面的光斑面积为75km 2， 所以77933101041075r P E E S ---=⨯=⨯=⨯， 则910lg 41010lg 490100.6029083.98-Γ=⨯=-=⨯-=-， 故选：B ．5. 已知底面半径为r 的圆锥SO ，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为3r，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（ ） A.29B.C.23D.【答案】D 【解析】【分析】由SOM SOB ~可得123OO SO ==，分别表示出圆柱的侧面积和圆锥侧面积，即可得出答案.【详解】圆锥，如图，由SOM SOB ~ 可得：1113O M SO OB SO ==，∴113SO SO =，∴123OO SO ==,圆柱侧面积2112π3S r r =⋅=， 圆锥侧面积2212π22π2S r r r =⋅⋅=，1212S S ==. 故选：D ．的6. 已知F 为椭圆C ：2214x y +=的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆M ：()2231x y +-=上一点，则PQ＋PF 的最大值为（ ） A. 3 B. 6C. 4+D. 5+【答案】D 【解析】【分析】由椭圆的定义结合题意可得11145PQ PF PM PF PM r PF MF +≤++=++-≤+，即可求出PQ ＋PF 的最大值.【详解】圆M ：()2231x y +-=的圆心为()0,3,1M r =，设椭圆的左焦点为1F ，如下图，由椭圆的定义知，124PF PF a +==， 所以14PF PF =-，所以1111455PQ PF PM PF PM r PF PM PF MF +≤++=++-=+-≤+，当且仅当1,,M P F 三点在一条直线上时取等，()0,3M ，()1F ，1MF =()max 5PQ PF +=+.故选：D ．7. 已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（ ）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，为所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin 80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos cos80cos sin80sin 0θθθ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80sin80tan 0θ︒+︒+︒=， 所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos80sin 80︒︒+︒︒+︒=-==︒故选：A ．8. 已知23log log a b =，23log log b c =（b ＞1），则（ ） A. 1222a b c +>+B. 1222b a c +>+C. 5542log log log b a c <+D. 545log log log b a c >+【答案】C 【解析】【分析】分别取3b =，4b =，4a =，利用对数运算求解判断. 【详解】若3b =，则21log a =，∴2a =，()2ln 3ln ln 2c =，122a b +=，故A 错．若4b =，则23log 4log c =，∴9c =，122c b +>，故B 错．若4a =，则9b =，22ln 3ln 3.5ln 2c =≈， 3.5e c =．对于C ， 3.53.5 3.55455555log 4log elog 93.4log e log 4e log 4e>2log 5>+=+=，故C 对，对于D ， 3.53.5555log 91log e log 5e >+=，而3e 20≈，故D 错，故选：C ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设z 为复数（i 为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若z ∈R ，则z ＝z B. 若z 2∈R ，则z ∈RC. 若z 2＋1＝0，则z ＝iD. 若（1＋i ）z ＝1－i ，则|z |＝1【答案】AD 【解析】【分析】设i z a b =+.A 选项，0b =，后由共轭复数定义可得答案；B 选项，注意到2i 1=-；C 选项，注意到()21-i=-；D 选项，利用复数除法可得z ，后由复数模公式可判断选项正误.【详解】设i z a b =+.A 选项，因z ∈R ，则0b =，则i i z a b a b z =+=-=，故A 正确；B 选项，注意到21i R =-∈，但i R ∉，故B 错误；C 选项，注意到()21-i=-，则z 有可能为i -，故C 错误；D 选项，()()()21i 1i2i i 1i 1i 1i 2z ---====-++-，则1z =，故D 正确 故选：AD10. 已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，E 为AB 的中点，则（ ） A. BC 1∥平面A 1ECB. 二面角A 1－EC －AC. 点A 到平面A 1BC 1D.【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，通过证明1EF BC ∥即可判断选项正误；B 选项，通过证明CE ⊥平面11ABB A ，可得二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠；C 选项，利用等体积法结合11B AA C V -可得答案；D 选项，利用正弦定理，可得ABC 外接圆半径，后可得球的半径. 【详解】A 选项，连接11,A C AC ，使相交于F ，连接EF ，因F ，E 分别为1,AC AB 中点， 则1EF BC ∥，因EF ⊂平面1A CE ，1BC ⊄平面1A CE ，则BC 1 平面A 1EC ，故A 正确； B 选项，由题可得1A A ⊥平面ABC ，又CE ⊂平面ABC ，则1CE A A ⊥.又CEAB ⊥，1∩AA AB A =，1AA ⊂平面11AA B B ，AB ⊂平面11AA B B ，则CE ⊥平面11AA B B .又1A E ⊂平面11AA B B ，则1CE A E ⊥，结合CEAB ⊥，可知二面角A 1－EC －A 的平面角为1A EA α=∠，则11si n AA αA E===，故B 错误；C 选项，设点A 到平面A 1BC 1的距离为d ，取AC 中点为G ，连接BG ..则111111111133B AA C AA C A BC A A BC V S BG S d V --=⋅== ，又111111122AA C S AA A C =⋅=，BG =，11111BA BC A C ===，由余弦定理可得11221344cos A BC +-∠==，则11si n A BC ∠==，得11111112si n A BC SBA BC A BC =⋅⋅∠=则1111AA C A BC S BG d S ⋅=== C 正确. D 选项，设ABC 外接圆半径为r，由正弦定理，2r r =⇒=又设三棱锥外接球半径为R ，则三棱锥外接球与以111,A A C C B B外接圆为底面的圆柱外接球相同，则R ===.故D 正确 故选：ACD11. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（ ）A. ()32f =-B. ()()πe f f >C. 3322f f ⎛⎫⎛⎫''=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D. 702f ⎛⎫'>⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因()()2f x f x +=-，则()f x 关于1x =对称，又因()()4f x f x -=-，则()f x 关于()2,0对称，所以()f x 的周期为4，A ：因()()4f x f x -=-，所以()()130f f +=，当01x <≤时，()33f x x x =-，所以()1132f =-=-，∴()32f =，故A 错．B ：当01x <≤时()2330f x x '=-<，∴()f x 在(]0,1上单调递减， ()()π4πf f =--，()()()()e 4e 22e e 2f f f f =--=-+-=--，因0e 24π1<-<-<，所以()()e -24πf f >-，即()()e -24πf f -<--， 所以()()πe f f >，故B 正确.C ：()f x 关于1x =对称且关于()2,0对称，所以()f x 关于()0,0对称，即()f x 为奇函数，()f x '∴为偶函数，故C 正确.D ：因()f x 在(]0,1上单调递减，()f x 关于()0,0对称，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，因()f x 的周期为4，所以()f x 在[)3,4上单调递减，所以702f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，D 错误. 故选：BC.12. 设A ，B 是一个随机试验中的两个事件，且()13P A =，()34P B =，()12P A B +=，则（ ） A. ()16P AB =B. ()34P B A =C. ()()P B P B A = D. ()712P AB AB +=【答案】BCD 【解析】【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】对于A ：()()()()P A B P A P B P AB +=+-，()111234P AB =+-， 所以()112P AB =，故A 错误； 对于B ：()()()P AB P AB P A += ，()11123P AB ∴+=，∴()14P AB =，()()()134143P AB P B A P A ===，故B 正确；对于C ：1()112()1()43P AB P B A P A ===，()14P B =，∴()()P B A P B =，故C 正确. 对于D ：()()()()112P AB AB P AB P AB P AB +=+=+， ()()()P B P AB P AB =+ ，∴()3144P AB =+，∴()12P AB =， ∴()11712212P AB AB +=+=，所以D 正确. 故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 某工厂月产品的总成本y （单位：万元）与月长量x （单位：万件）有如下一组数据，从散点图分析可知y 与x 线性相关．如果回归方程是 3.5y x =+，那么表格中数据a 的值为______．x /万件1 2 3 4 y /万件3.85.6a8.2【答案】6.4##325【解析】【分析】分别求出工厂总成本和月长量的平均值，代入回归方程，即可求出表格中数据a 的值. 【详解】由题意及表知，1234542x +++==，()117.63.8 5.68.244a y a +=+++=，∵回归方程是 3.5y x =+， ∴17.6 2.5 3.54a+=+， ∴ 6.4a =． 故答案为：6.4.14. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1≠0，a 1＋a 5＝3a 2，则1020S a =_____．【答案】114##2.75 【解析】【分析】由1523a a a +=，得到1a 与d 的关系，再利用等差数列的前n 项和公式和通项公式求解. 【详解】解：1523a a a += ， ∴112433a d a d +=+， ∴1a d =，1012011045551119204S a d d a a d d +===+． 故答案为：11415. 已知F 1，F 2，分别为双曲线C ：22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过F 2作C 的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M ，N 两点．若15cos 13MF N ∠=，则C 的离心率为____．【解析】【分析】根据二倍角公式求出2ba=，再求出离心率即可. 【详解】易知MN 关于x 轴对称，令12MF F α∠=，5cos213α=， ∴2159cos121313α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，24sin 13α=，∴24tan 9α=，∴2tan 3α=．()22b c y x x a bc b y y x c a a ⎧⎧==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪==--⎪⎪⎩⎩，,22c bc M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22tan 332bc a c α==， ∴2ba=，∴c e a ===． 故答案为:16. 如图，在△ABC 所在平面内，分别以AB ，BC 为边向外作正方形ABEF 和正方形BCHG ．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ．已知34S =，且a sin A ＋c sin C ＝4a sin C sin B ，则FH ＝_____________．【答案】【解析】【分析】通过正弦定理化简已知条件，再结合面积公式和余弦定理即可求出FH 的长度. 【详解】由题意， 在ABC 中，34S =，sin sin 4sin sin a A c C a C B +=， 由正弦定理，sin sin sin a b cA B C==， ∵13sin 24S ac B ==， ∴224sin 6a c ac B +==， 连接,,BF BH FH 如下图所示，BFH △中，由余弦定理， 2222cos FH FB HB FB HB FBH =+-⋅⋅∠， 又3π2FBH B ∠=-，在∴()222223π2cos 24sin 182FH FB HB FB HB B c a ac B ⎛⎫=+-⋅⋅-=++= ⎪⎝⎭，∴FH =故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 将函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象． （1）若2ω=，求函数()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值； （2）若函数()y g x =在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点，求ω的取值范围．【答案】（1（2）150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．【解析】【分析】（1）由函数图象变换知识可得()πsin 24g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，后由()y g x =单调性可得最值情况；（2）由（1）结合题意可知()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.后由54122≤k k ++可进一步确认k 大致范围，后可得答案.【小问1详解】函数()sin f x x =的图象先向右平移π4个单位长度，则解析式变为： πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再将所得函图象上所有点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），则解析式变为4πsi n ωx ⎛⎫-⎪⎝⎭.则()πsin 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当ππ44x -≤≤时，3πππ2444≤≤x --，因函数sin y x =在342ππ,⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在ππ,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，12πsi n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，3444πππm ax si n ,si n si n ⎧⎫⎛⎫-==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∴π1sin 24≤≤x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴()y g x =在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【小问2详解】()πsin 4g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ω，当ππ42x <<时，πππππ44424x -<-<-ωωω，要使()g x 在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则()πππ44ππ1π24k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，Z k ∈.54122k k ω⇒++≤≤，k ∈Z ，0ω>，5341224k k k ++⇒≤≤，当0k =时，512ω≤≤；当1k =-时，113022ωω-⇒<≤≤≤， 当2k ≤-时，0ω<舍去．综上：ω的取值范围为150,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦．18. 已知数列{}n a 满足11a =，25a =，2156n n n a a a ++=-． （1）证明：{}12n n a a +-是等比数列；（2）证明：存在两个等比数列{}n b ，{}n c ，使得n n n a b c =+成立． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】分析】（1）由2156n n n a a a ++=-构造出()21122n n n n a a q a a +++-=-，用等比数列定义证明即可； （2）通过两次构造等比数列，求出{}n a 的通项公式，根据通项公式得出结论即可. 【小问1详解】由已知，2156n n n a a a ++=-，∴21112562n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211123632n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然120n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴120n n a a +-≠，【∴211232n n n na a a a +++-=-，∴数列{}12n n a a +-是首项为212523a a -=-=，公比为3的等比数列. 【小问2详解】∵2156n n n a a a ++=-，∴21113563n n n n n a a a a a ++++-=--， ∴()211132623n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，显然130n n a a +-=与11a =，25a =矛盾，∴130n n a a +-≠， ∴∴211323n n n na a a a +++-=-，∴数列{}13n n a a +-是首项为213532a a -=-=，公比为2的等比数列， ∴132nn n a a +-=，①，又∵由第（1）问，123nn n a a +-=，②， ∴②-①得，32nnn a =-，∴存在3nn b =，2n n c =-，两个等比数列{}n b ，{}n c ， 使得n n n a b c =+成立．19. 综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．（1）若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（2）从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率． 【答案】（1）分布列见解析，2320（2）18113【解析】【分析】（1）求出ξ的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，由条件概率公式代入求解即可. 【小问1详解】ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()1444045525P ξ==⨯⨯=，()1234411414145545525P C ξ==⨯⨯+⨯⋅⨯=，()12314111124554554P C ξ==⨯⋅⨯+⨯⨯=，()31133455100P ξ==⨯⨯=， ∴ξ的分布列如下：ξ0 1 2 3P425 1425 14 3100()14191152325210010020E ξ=++==． 【小问2详解】记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，()()()10.151851111130.60.150.05456P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯+⨯．20. 如图，三棱锥P －ABC 的底面为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，AB ＝2．D ，E 分别为AC ，BC 的中点，PD ⊥平面ABC ，点M 在线段PE 上．（1）再从条件①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面MBD ⊥平面PBC ，并给予证明； （2）在（1）的条件下，求直线BP 与平面MBD 所成的角的正弦值．条件①：PD =条件②：∠PED ＝60°； 条件③：PM ＝3ME ： 条件④：PE ＝3ME ． 【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，设()0,0,P t ，PM λPE =，由平面MBD ⊥平面PBC ，可得两平面法向量互相垂直，即可得221t λt =+，据此可知可选择①④或②③；（2）由（1）所建立空间直角坐标系及平面MBD 法向量，利用向量方法可得答案. 【小问1详解】因PD ⊥平面ABC ，DB ⊂平面ABC ，DC ⊂平面ABC ，则,PD DB PD DC ⊥⊥， 又由题可知DB DC ⊥，则如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，则)B，()0,0,0D，()C，E ⎫⎪⎪⎭，设()0,0,P t ()0t >，()01PM λPE λ=<<.则)DB =，)0,PB t =-，()0,PC t =-，,,PE t ⎫=-⎪⎪⎭，()00,,DP t =.故()1,,DM DP PM DP λPE λλλt ⎫=+=+=-⎪⎪⎭. 设平面MBD 法向量为()1111,,n x y z =，则()111111010DB n DM n x y tz λ⎧⋅==⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令11y =，可得101,,n ⎛= ⎝ ； 设平面PBC 法向量为()2222,,n x y z =，则2222220PB n tz PC n tz ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可令221x y ==，可得211,,n ⎛= ⎝ . 要使平面MBD ⊥平面PBC ，需满足()12221021λn n λt ⋅=+=⇒-221t λt =+.注意到条件①t ⇔=，PD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，PD DE ⊥，又由题可知1DE =，则条件②t ⇔=条件③34λ⇔=，条件④23λ⇔=. 则当条件①④成立或条件②③成立时，都有221t λt =+，即可以使平面MBD ⊥平面PBC ；【小问2详解】由（1），当选择①④时，t =，(P ，23λ=.则(BP =，平面MBD法向量为()101011,,,,n ⎛==- ⎝，设BP 与平面MBD 所成角为θ，则111sin 2BP n BP n ⋅===⋅θ；当选择②③时，t =，(P ，34λ=.则(0,BP =，平面MBD法向量10101,,,,n ⎛⎛==- ⎝⎝， 设BP 与平面MBD 所成角为θ，则113sin 5BP n BP n ⋅===⋅θ；.21. 已知抛物线21:2(0)C y px p =>与22:2(0)C x qy q =>都经过点(4,8)A ． （1）若直线l 与12,C C 都相切，求l 的方程；（2）点,M N 分别在12,C C 上，且94MA NA OA +=，求AMN 的面积．【答案】（1）220x y ++=（2）27 【解析】【分析】（1）根据题意求得21:16C y x =，22:2C x y =，利用导数的几何意义，求得切线l 的方程202x y x x =-，根据l 为曲线12,C C 的公切线，联立方程组，结合Δ0=，进而求得l 的方程； （2）设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，根据94MA NA OA += ，列出方程得到关系式()()()12121220t t t t t t +---=，分类讨论，即可求解．【小问1详解】因为曲线12,C C 都过点()4,8A ，所以8641616p q=⎧⎨=⎩，解得8,1p q ==，即21:16C y x =，22:2C x y =设直线l 与曲线2C 相切于点200,2x Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令()22x f x =，可得()f x x '=，则切线的斜率()00k f x x '==，所以切线方程为()20002x y x x x =-+，即2002x y x x =-，由2002216x y x x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得22001680x y y x --=， 因为l 为曲线12,C C 的公切线，所以30Δ256320x =+=，解得02x =-，所以直线l 的方程为22y x =--，即220x y ++=． 【小问2详解】设()211,4M t t ，()2222,2N t t ，又()4,8A ，()()()221212982,16424,89,184MA NA t t t t +=----=⨯= ，所以212212829164218t t t t ⎧--=⎨--=⎩，可得212221210210t t t t ⎧++=⎨++=⎩，两式相减得到()()()12121220t t t t t t +---=，当121t t ==-时，()1,4M -，()2,2N -，此时()3,12MA = ，()6,6NA =，则MA =，NA = 90MA NA ⋅=，可得,co s MA NA MA NA MA NA ⋅===，所以,sin MA NA =所以1,1sin 2272AMNS MA NA MA NA ⋅=== ； 当12t t ≠时，122t t +=，此时211250t t -+=方程无解，（舍去），综上，可得AMN 的面积为27．22. 已知函数()cos f x x x =，()sin g x a x =．（1）若1a =，证明：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()()x g x f x >>；（2）当ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，()()sin f x x g x x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）证明见解析（2）()[),01,-∞⋃+∞． 【解析】【分析】（1）令()sin h x x x =-，对()h x 求导，得到()h x 的单调性可证得sin x x >，令()sin cos k x x x x =-，对()k x 求导，可得()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即可证得sin cos x x x >，即可证得()()x g x f x ><； （2）由题意分析可得要使()()sin f x x g x x <恒成立即π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 0sin x x x F x x a x =->恒成立，通过放缩变形证明()0F x >恒成立，即可求出a 的取值范围. 【小问1详解】当1a =时，()sin g x x =，所以即证：sin cos x x x x >>，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 先证左边：sin x x >，令()sin h x x x =-，()1cos 0h x x '=->，()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴()()00h x h >=，即sin x x >．再证右边：sin cos x x x >，令()sin cos k x x x x =-，()cos cos sin sin 0k x x x x x x x =-+=>'，∴()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，∴()()00k x k >=，即sin cos x x x >， ∴π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()x g x f x >>． 【小问2详解】()()sin sin cos sin f x x x x xx g x x a x-=-， 令()sin cos sin x x x F x x a x =-，ππ,00,22x ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()()F x F x -=，所以题设等价于()0F x >在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，由（1）知，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos x x x >>，于是：①当0a <时，()0F x >恒成立；②当0a >时，()0F x >等价于22sin cos 0a x x x ->， （i ）当01a <<时，22sin cos a x x x -()222cos cos ax x x x a x <-=-，令()cos p x a x =-，因为()cos p x a x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上递增， 且()π010,02p a p a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以存在π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()0p β=， 所以当0x β<<，()0p x <，即()2cos 0x a x -<，不合题意；(ii)当1a ≥时，2222sin cos sin cos a x x x x x x -≥- 令()22sin cos r x x x x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 则()222sin cos 2cos sin 2sin cos 2sin sin r x x x x x x x x x x x x =-+>-'+，()2222221cos sin 4sin sin 4sinsin 0222x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=--=-=->⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以()r x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以()()00r x r >=，所以22sin cos 0a x x x ->，所以()0F x >. 综上：a 的取值范围为()[),01,-∞⋃+∞．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >转化为证明()()0f x g x ->，进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

绝密★启用前【百强校】2015届江苏省扬州中学高三3月期初考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：218分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）第II卷（非选择题）一、填空题（题型注释）1、已知三个正数满足，，则的最小值是．2、在直角中，，斜边上有异于端点两点的两点，且，则的取值范围是．3、已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．若关于的方程恰有10个不同实数解，则的取值范围为．4、设等差数列的前项和为，且满足（）则=______．5、在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）在点处的切线与直线垂直，则的值为．6、已知，则的最小值为．7、已知体积相等的正方体和球的表面积分别为，，则的值是．8、已知函数的最小正周期为π，则f （x ）在上的单调递增区间为，，则实数．9、已知样本的平均数是5,则此样本的方差为 ．10、从1,3,5,7这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的和小于9的概率是 ．11、下图是一个算法的流程图，则最后输出的．12、复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 ．13、已知集合，，则．14、抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的面积等 于 ．二、解答题（题型注释）15、（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值．16、（本小题满分10分）如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝1，AD＝，E为线段PD上一点，记．当时，二面角的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求直线BP与直线CE所成角的余弦值．17、（本小题满分10分，不等式选讲）已知实数满足，求的最小值．18、（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy中，已知直线的参数方程为：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．直线与圆相交于A，B两点，求线段AB的长．19、（本小题满分10分，矩阵与变换）设矩阵，，若，求矩阵M 的特征值．20、（本小题满分10分，几何证明选讲）如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E ．证明：AD·DE ＝2PB 2．21、（本小题满分16分）已知函数，．（1）记,求在的最大值；（2）记，令，，当时，若函数的3个极值点为， （ⅰ）求证：；（ⅱ）讨论函数的单调区间（用表示单调区间）．22、（本小题满分16分）已知数列、满足，，其中，则称为的“生成数列”． （1）若数列的“生成数列”是，求；（2）若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；（3）若为奇数，且的“生成数列”是，的“生成数列”是，，依次将数列，，，的第项取出，构成数列．探究：数列是否为等比数列，并说明理由．23、（本小题满分16分）在距A 城市45千米的B 地发现金属矿，过A 有一直线铁路AD ．欲运物资于A ，B 之间，拟在铁路线AD 间的某一点C 处筑一公路到B ．现测得千米，（如图）．已知公路运费是铁路运费的2倍，设铁路运费为每千米1个单位，总运费为．为了求总运费的最小值，现提供两种方案：方案一：设千米；方案二设．（1）试将分别表示为、的函数关系式、；（2）请选择一种方案，求出总运费的最小值，并指出C 点的位置．24、（本小题满分14分）如图，椭圆和圆，已知椭圆过点，焦距为2．（1）求椭圆的方程； （2）椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点，直线与椭圆的另一个交点分别是点．设的斜率为，直线斜率为，求的值．25、（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，为棱的中点，，．求证：（1）平面； （2）∥平面．26、（本小题满分14分）设平面向量＝，，，．（1）若，求的值；（2）若，求函数的最大值，并求出相应的值．参考答案1、2、3、4、35、6、7、8、9、210、11、912、413、14、15、（1）6143；（2）16、17、18、19、或520、见解析21、（1）（2）见解析22、（1）；（2）见解析；（3）见解析23、（1）见解析；（2）C距A地千米24、（1）；（2）25、（1）（2）见解析26、（1）；（2）【解析】1、试题分析：由已知，，令，则，，由线性规划易知在A处取得最小值，由得，所以的最小值为考点：线性规划2、试题分析：建立如图所示的坐标系，易得，设，,则,,所以考点：向量的数量积3、试题分析：函数的图象如图所示，要使方程恰有10个不同实数解，则方程有两个根，且一个根，另一个根，故考点：函数与方程4、试题分析：由题意设等差数列的通项为，，故，所以，考点：等差数列通项与求和公式5、试题分析：，由题意得，所以考点：导数的几何意义6、试题分析：，当且仅当即时取得等号考点：基本不等式求最值7、试题分析：设正方体的棱长为a，球的半径为b，由已知，，，故考点：球体体积公式8、试题分析：由周期为π可得，所以，因，则，由，所以，考点：三角函数的性质9、试题分析：由已知，故方差为考点：样本数字特征10、试题分析：由题意，基本事件的总数为，事件“所取2个数的和小于9”所包含的基本事件个数为4，故所取2个数的和小于9的概率是考点：古典概型11、试题分析：第一次：；第二次：；第三次：，结束循环，输出9考点：程序框图12、试题分析：，因复数（是虚数单位）是纯虚数，故考点：复数的分类13、试题分析：由集合并集的定义知考点：集合的运算14、试题分析：抛物线的准线方程为，双曲线的渐近线方程为，所以所要求的三角形的面积为；考点：1．抛物线的几何性质；2．双曲线的几何性质；15、试题分析：（1）由二项式定理易知比较可知而此时所以设，利用倒序相加法可得所以（2）当时，，结合（2）中结论可知②=，因为②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解，综上可知：．试题解析：（1）比较可知； 2分而时, 3分所以，设，也可以写成，相加得即，所以．5分（2）当时，，结合（2）中结论可知②=，即③， 8分因为②为关于的递增的式子，所以关于的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解，综上可知：． 10分考点：二项式定理的应用16、试题分析：（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，则D（0，2，0），E，．设B（m，0，0）（m>0），则C（m，2，0），＝（m，2，0）．设n1＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则即可取n1＝．又n2＝（1，0，0）为平面DAE的法向量，由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即，解得m＝1．即AB=1．（2）易得，试题解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz，则D（0，2，0），E，．设B（m，0，0）（m>0），则C（m，2，0），＝（m，2，0）．设n1＝（x，y，z）为平面ACE的法向量，则即可取n1＝．3分又n2＝（1，0，0）为平面DAE的法向量，4分由题设易知|cos〈n1，n2〉|＝，即，解得m＝1．即AB=1．6分（2）易得，所以直线BP与直线CE所成角的余弦值为．10分考点：立体几何的简单应用17、试题分析：直接利用柯西不等式即可解决试题解析：由柯西不等式，，4分所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为．10分考点：柯西不等式18、试题分析：将直线参数方程化为普通方程为，圆的普通方程为，所以圆心C到直线的距离为：，AB=试题解析：直线的普通方程为：； 2分圆C的普通方程为：；4分圆心C到直线的距离为：； 7分所以AB=． 10分考点：参数方程19、试题分析：由矩阵乘法的定义可得到，然后再按照矩阵特征值的求法即可获解试题解析：由矩阵的乘法知，故，所以或考点：矩阵的乘法与特征值20、试题分析：试题解析：证明：由切割线定理得PA2＝PB·PC．因为PC＝2PA，D为PC的中点，所以DC＝2PB，BD＝PB．5分由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，所以AD·DE＝2PB2． 10分考点：割线定理与相交定理21、试题分析：（1）（），，通过找根列表可得出，而，，所以当时，，当时，；（2）（ⅰ），令，，又在上单调减，在上单调增，所以因为函数有3个极值点，所以所以所以当时，，从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1，又，所以，，即，，故；（ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是试题解析：（1）（）2分令，得，3分列表如下：易知而所以当时，当时， 5分（2）（ⅰ），令，又在上单调减，在上单调增，所以因为函数有3个极值点，所以所以 7分所以当时，，从而函数的3个极值点中，有一个为，有一个小于，有一个大于1 9分又，所以，，即，，故 11分（ⅱ）当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调减；当时，，，则，故函数单调增；综上，函数的单调递增区间是，单调递减区间是。

江苏省扬州市第一中学2020-2021学年第一学期第一次月考高三数学（本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、已知集合{}{}30,2,1,0,1<<=-=x x B A ，则=B A （ ）A 、{}1,0,1-B 、{}1,0C 、{}2,1,1-D 、{}2,1 2、已知函数()m x x x f +-=22. 若()x f p :有零点；10:≤<m q ，则p 是q 的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 3、已知角α是第三象限角，则2α终边落在（ ） A 、第一象限或第二象限 B 、第二象限或第三象限 C 、第二象限或第四象限 D 、第一象限或第三象限 4、设m ba==52，且111=+ba ，则=m （ ） A 、10 B 、10 C 、20 D 、1005、设8.0log ,31,37.08.07.0=⎪⎭⎫⎝⎛==-c b a ，则c b a ,,的大小关系为（ ）A 、c b a <<B 、c a b <<C 、a c b <<D 、b a c << 6、已知集合(){}1ln -==x y y A ，集合{}32<-=x x B ，则=B A （ ） A 、{}1<x x B 、{}3>x x C 、{}51<<-x x D 、{}51<<x x7、魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”. 割圆术可以视为将一个圆内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到︒3sin 的近似值为（ ）（π取近似值3.14）A 、30πB 、60πC 、90πD 、120π8、函数()()2,log 22+-==x x g x x f ，则函数()()x g x f ⋅的图象大致是（ ）A 、B 、C 、D 、二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、设c b a ,,为实数，且0>>b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A 、()222log log b ab > B 、22bc ac > C 、b a a b <<1 D 、ba ⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛212110、若0,0>>b a ，且4=+b a ，则下列不等式恒成立的是（ ） A 、4110≤<ab B 、2<ab C 、111≥+b a D 、81122≤+b a 11、已知()x f 是定义域为()+∞∞-,的奇函数，满足()()x f x f -=2. 若()11=f ，则下列结论正确的是（ ） A 、()13=f B 、4是()x f 的一个周期 C 、()()()1202020192018-=++f f f D 、()x f 必存在极大值 12、已知函数()mx x x f -=ln 有两个零点21,x x ，且21x x <，则（ ） A 、101<<x B 、e x >2 C 、em 10<< D 、12x x -的值随m 的增大而减小 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、命题0,:2≥-∈∀x x R x p 的否定是 . 14、已知()x f 为偶函数，当0<x 时，()()xx x f -=ln ，则曲线()x f y =在点（1，0）处的切线方程是 .15、若35cos ,2,0=⎪⎭⎫⎝⎛∈απα，则=αsin ，=α2tan . 16、若()a xx x ≥++∞∈-14,,0恒成立，则实数a 的取值范围为 .四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17、（本题满分10分）（1）计算:⎪⎭⎫ ⎝⎛-++πππ43tan 310cos65sin ； （2）计算:3log 10225lg 37.92lg 21++++.18、（本题满分12分）已知α为第三象限角，且()()()()()()απαππααπαπα-+---=2tan sin tan cos 2sin f .（1）若5323cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求()αf 的值； （2）若πα35=，求()αf 的值.19、（本题满分12分）已知函数()212x x f -=.（1）求曲线()x f y =的斜率等于-2的切线方程；（2）设曲线()x f y =在点()()t f t ,处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()t S ，求()t S 的最小值.20、（本题满分12分）已知函数()()()1,1ln -=+-=xe x g x x xf .（1）求()x f 的单调区间； （2）当[)+∞∈,2x 时，证明:()()21>-x x x g .21、（本题满分12分）某专业机械生产厂为甲乙两地（两地仅气候条件差异较大，其他条件相同）的两个不同机器生产厂配套生产同一种零件，在甲乙两地分别任意选取100个零件进行抗疲劳破坏性试验，统计每个零件的抗疲劳次数（抗疲劳次数是指从开始试验到零件磨损至无法正常使用时的循环加载次数），将甲乙两地的试验的结果，即每个零件的抗疲劳次数（单位:万次）分别按(](](](](]12,11,11,10,10,9,9,8,8,7分组进行统计，甲地的实验结果整理为如图的频率分布直方图（其中c b a ,,成等差数列，且b c 32=），乙地的统计结果整理为如下的频数分布表.（1）求c b a ,,的值并计算甲地实验结果的平均数x ；（2）如果零件抗疲劳次数超过9万次，则认为零件质量优秀，完成下列的2×2列联表:试根据上面完成的2×2列联表，通过计算分析判断，能否有97.5%的把握认为零件质量优秀与否与气候条件有关? 附: 临界值表其中()()()()()d b c a d c b a bc ad n ++++-=K 2222、（本题满分12分）已知函数()R a x x ax x f ∈--=,ln 2.（1）当83=a 时，求函数()x f 的最小值； （2）若函数()x f 有两个零点，求实数a 的取值范围.。