北京理工大学2010-2011学年第二学期2010级数学分析A(中)期终考试(A卷)

课程编号：07000237 北京理工大学2011-2012学年第二学期2009级应用回归分析期末试题A 卷1.(35)Consider the following model:0112233i i i i i y x x x ββββε=++++,where y=labor force paticipation (%)by family heads of poor families, x 1=mean family income ($), x 2=mean family size,x 3=unemployment rate (% of civilian labor force unemployed).Two versions of the model were estimated as follows (the standard errors are in the brackets).(A)123ˆ33.460.01915.520.813i i i i yx x x =-+++ (48.78) (0.019) (9.46) (1.911)()Re 15,5130.13,3716.98T s n SS SS A ===(B) 12ˆ26.510.01815.30i i i yx x =-++ (44.37) (0.018) (9.12)()Re 3778.11s SS B =(1)Interpret the coefficient of mean family income in model (B);(2)Carry out a t-test to test whether in model (A) mean family size has a significant effect upon labor force paticipation;()0.05α=(3) Carry out a partial F-test to test whether in unemployment rate has a significant effect upon labor force paticipation;()0.05α=(4)What is the adjusted coefficient of determination 2R in model (A); (5)Test the significance of model(B);()0.05α=(6)Find a 95% confidence interval for the coefficient 1β of 1x in model (B); (7)Interpret the confidence coefficient 95% in (6).x 1=national income (100 million yuan) x 2=volume of consumption (100 million yuan) x 3=volume of passengers on railway (ten thousands persons) x 4=length of airline of civil aviation (ten thousands persons) x 5=number of inbound tourist arrivals (ten thousands persons) y=volume of passengers of civil aviation (ten thousands persons)(1)What problem do the VIFs imply? (2)Which regression coefficients may have the wrong sign? (3)Discuss the reasons for the problem in (2).3.(12)Consider the following model (n=8):2012y x x βββε=+++where y=body temperature of a pig (centi) x=time length after the pig is infected (hours)(1)Test the significance of 2x ;()0.05α= (2)Predict body temperature at x=80; (3)If the observations of x lie in (8,64),what ’s your suggestion about the prediction in (2); 4.(18)()()()2,:,,0,,0y X X n p rk X p E Var V V βεεεσ=+⨯===>, (1)Find GLSE for β;(2)Find an unbiased estimator for 2σ.5.(20)Full model ()()112220,,1,2,,,cov ,0,i i i i i i j y x x E i j n i ji j ββεεσεε⎧⎪=++⎪⎪==⎨⎪⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎩subset model ()()1120,,1,2,,,cov ,0,i i i i i j y x E i j n i ji j βεεσεε⎧⎪=+⎪⎪==⎨⎪⎧=⎪=⎨⎪≠⎩⎩(1)Under subset model caculate OLSE 1ˆβfor 1β; (2)Assume full model is true,caculate ()()11ˆˆ,E Var ββ. Attached list:()()()()()0.0250.0250.0250.050.0511 2.201,12 2.1788,5 2.5706,1,11 4.8443,2,12 3.8853t t t F F =====课程编号：MTH17095 北京理工大学2012-2013学年第二学期2010级应用回归分析期末试题A 卷Attached list:()()()0.050.050.041,22 4.30,1,23 4.28,3,22 3.418,F F F ===()()0.0250.02522 2.074,23 2.0687t t ==1.(28)Consider the following model:01122ˆyx x βββ=++,n=25,where y=deliver time (minutes), x 1=number of cases of product, x 2=distance walked by the route driver (feet).Two versions of the model were estimated as follows (the standard errors are in the brackets).(A)12ˆ 2.341 1.6160.014yx x =++ (1.097) (0.171) (0.004)()Re 5784.543,233.732T s SS SS A ==(B) 1ˆ 3.321 2.176yx =+ (1.371) (0.124)()Re 402.134s SS B =(1)Interpret the coefficient of number of cases of product in model (A);(2)Carry out a t-test to test whether for model (A) number of cases of product has a significant effect upon deliver time;()0.05α=(3)Carry out a partial F-test to test whether distance has a significant effect upon deliver time;()0.05α=(4)Test the significance of model(B);()0.05α=(5)Find a 95% confidence interval for the parameter 1β from model (B);(6)Find a 90% Bonferroni confidence interval for the parameter 0β and 1β from model (B); (7)Explain the result in (6).2.(18) Consider the following model:01122ˆyx x βββ=++,n=25,where y=deliver time (minutes), x 1=number of cases of product, x 2=distance walked by the route driver (feet).(1)What are the horizontal scale and vertical scale in the following partial regression plot?What does the plot indicate?(2)It is reported that studentized residual at point 9 9993.2138,0.4983r h ==,where ii h is the ith diagonal element of hat matrix H,and COOK ’s distance 9 3.418D =.Interpret the results. (3)The correlation coefficients 12r between x 1 and x 2 is 120.824r =.What does the result imply? What are sources of the problem?3.(15)To study the relationship between the annual per capita expenditure on education and the annual per capita consumption expenditure,two models are used to fit the data,where y:The annual per capita expenditure on education, x:The annual per capita consumption expenditure.4.(21) Consider the simple linear regression model:011y x ββε=++,with ()()20,E Var εεσ==,and ε uncorrelated.(1)Show ()221R xx E MS S σβ=+; (2) Show ()2Re s E MS σ=.5.(18)A linear regression model is written as follows: 11223344y x x x x ββββε=++++,()()20,E Var εεσ==.The data is shown in the following table:(2)Caculate OLSE 1ˆβ for 1β; (3)Caculate ()1ˆVar β.课程编号：MTH17095 北京理工大学2013—2014学年第二学期2011级应用回归分析期末试题*卷（年份推断为2011，试卷类型未知）附表：()()0.050.0255,10 3.33,10 2.2281F t ==1.(28分)中国民航客运量回归方程为：（括号里是标准误差）12345ˆ450.90.3540.5610.007321.5780.435yx x x x x =+--++, （178.08）（0.085） （0.125） （0.002） （4.030） （0.052）16,13843371.750,13818876.769n SST SSR ===其中：y —民航客运量（万人） x 1—国民收入（亿元） x 2—消费额（亿元）x 3—铁路客运量（万人） x 4—民航航线里程（万公里） x 5—来华旅游入境人数（万人） (1)解释回归方程中民航航线里程的回归系数； (2)检验回归方程的显著性；()0.05α= (3)计算回归方程的决定系数，并作出解释； (4)计算回归的标准误差，解释这一结果； (5)对模型中来华旅游入境人数对民航客运量是否有显著影响进行t-检验； (6)建立x 4的回归系数4β的置信水平为95%的置信区间。

2010-2011工科数学分析第二学期期中试题解答一. 1.32 2. 36arcsin 3. }2,4,2{2e e ，（与此方向相同的都对） 4. )()2(2122ρo y xy y +-+5. ⎰⎰⎰-xzdy z y x f dx dz 01010),,(二. 设点 )1,0,1(-B ，)2,1,1(=s，||||s s BA d→⨯= …………………………(3分) |||}2,1,1{}3,2,2{|s⨯-=……………………….(5分) |||}0,7,7{|s -=………………………..(7分) 37211)7(722222=++-+= ……………………………(9分)三. 000lim )0,0()0,(lim)0,0(00=-=-='→→xx f x f f x x x …………………………(3分) 000lim )0,0(),0(lim)0,0(00=-=-='→→yy f y f f y y y …………………………(6分) 沿x y =， 0lim ),(lim 243000=+=→→→x x x y x f x y x …………………………….(7分) 沿2x y =， )0,0(21lim ),(lim 444000f x x x y x f x y x ≠=+=→→→ ……………………….(8分) 即),(lim 0y x f y x →→不存在，),(y x f 在点)0,0(处不连续 ………………………..(9分)四. }1,1{=→AB ，}2,0{-=→AC ，}21,21{=→AB ，}1,0{0-=→AC ……………(2分)222121=∂∂+∂∂=∂∂→y zx z ABz ……………………………(4分)3-=∂∂-=∂∂→yzACz …………….……………..(5分) 解得：1=∂∂x z ， 3=∂∂yz ……………………………….(7分) }2,1{--=→AO ， }52,51{0--=→AO ………………………………. .(8分)575251-=∂∂-∂∂-=∂∂→y z x z AOz ………………………….(9分) 五.g x f yf x z '+'+'=∂∂2121 ……………………………(3分) g x g f y f y f y f xz ''+'+''+''+''+''=∂∂2222112112242)1(11 g x g f yf y f ''+'+''+''+''=222212114212 ………………………………… (6分) g xy yx f y f y y x f y x z ''+-⋅''+'--⋅''=∂∂∂411222222122 g xy f y f y x f y x ''+'-''-''-=41223122 ………………………….(9分)六. 由228y x z --=和x z 2=消去z 得D 的边界9)1(22=++y x …………… (2分) ⎰⎰---=Ddxdy x y x V )28(22 ………………………… (4分)令 θρc o s 1+-=x ， θρs i n =y ………………………... (5分) ⎰⎰-=3220)9(ρρρθπd d V …………………….... (7分)ππ2814812=⋅= …………………….... (9分)七. ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz………………………………(3分) 将点)2,1,1(-代入得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+--=062122dx dzdx dy y dx dy dx dz 解得： 1413=dx dy ， 71=dx dz ……………………… (6分) 切向量 }71,1413,1{=s ………………………… (7分)切线 22131141-=+=-z y x …………………….. (9分) 八.设),,(z y x 是曲面上的任一点，此点处法向量为},,{313131---=z y x n.......................................... (2分)切平面0)(1)(1)(1333=-+-+-z Z zy Y yx X x.............................. (4分)即4111323232333=++=++z y x Z zY yX x………………… (6分)三截距为 34x a =，34y b =，34z c = ............................ (8分) 6444)(423232322222=⨯=++=++z y x c b a ……………… (9分)九. 将D 分成两块：π≤+y x D :1，π≥+y x D :2 ⎰⎰+=Ddxdy yx I 2cos 22........................................... (1分) ⎰⎰⎰⎰+-+=212cos 22cos2D D dxdy yx dxdy y x ........................ (3分) ⎰⎰⎰⎰--+-+=x x yydy y x dx dx y x dy πππππ2cos 22cos 222....................... (7分)⎰⎰---=πππ220)1(sin 22)sin 1(22dx x dy y ....................... (8分))2(22-=π ....................... (9分)十. V 由曲面221y x z --=和)(322y x z +=围成 ....................... (2分) ⎰⎰⎰+=106260201s i n dr r r d d I ϕϕθππ....................... (6分) ⎰⎰+=1062601s i n 2dr r r d πϕϕπ ....................... (7分))231(62-=π ....................... (9分)十一. 设),(y x C ，ABC ∆的面积为S ，则 |24|21--=y x S ....................... (2分) 令 2)24(),(--=y x y x f约束条件 122=-y x ....................... (4分) 设 )1()24(),(222--+--=y x y x y x F λ ....................... (5分) 令 02)24(8),(=+--='x y x y x F x λ02)24(2),(=----='y y x y x F y λ ....................... (7分) 解得 151±=y ，154±=x （负值舍去） ...................... (8分)由实际问题，最小值存在，故当154=x ，151=y 时，ABC ∆的面积最小，点)151,154(C 即为所求。

1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷)一. 填空题（每小题2分, 共10分）1. 设⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________.2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________.3. 已知),(cos 4422x o bx ax ex x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________.二. (9分) 求极限 210)sin (cos lim xx x x x +→.三. (9分) 求不定积分⎰+dx e xx x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值.五. (8分) 判断212arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dxy d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(122⎰--∞+x x dx (2) .1)2(10⎰--x x dx八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形)九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解.十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f xa +=+⎰)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线)(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,67π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(121=⎰xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使.1)(='ξf。

北京理⼯⼤学数学专业数理统计期末试题（07000233）课程编号：07000233 北京理⼯⼤学2011-2012学年第⼆学期2010级数理统计期末试题A 卷⼀、设总体()20,X N σ，12,,,m n X X X +是抽⾃总体X 的简单随机样本，求常数c 使得随机变量2221222212mm m m n X X X Y c X X X ++++++=?+++服从F 分布，指出分布的⾃由度并证明。

⼆、设总体()2,X N µσ，其中220σσ=为已知常数，R µ∈为未知参数。

12,,,nX X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，12,,,n x x x 为相应的样本观测值。

1.求参数µ的矩估计；2.求参数µ和2EX 的极⼤似然估计；3.证明1n i i i X X α='=∑，其中11ni i α==∑和11ni i X X n ==∑都是µ的⽆偏估计；4.⽐较两个⽆偏估计X '和X 的有效性并解释结果。

三、设总体X 服从泊松分布()P λ，123,,X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本，设假设检验问题011:3;:3H H λλ==的否定域为(){}123,,0.5D X X XX =≤。

1.求该检验问题犯第⼀类错误的概率；2.求该检验问题犯第⼆类错误的概率和在1H 下的功效函数。

四、设总体X 的概率密度函数为()32,0,20,0xx e x f x x θθθ-?>?=??≤?，其中0θ>为未知参数，12,,,n X X X 是抽⾃总体X 的简单随机样本。

1.验证样本分布族是指数族，并写出其⾃然形式（标准形式）；2.证明()1nii T X X==∑是充分完全（完备）统计量，并求()ET X ；3.利⽤充分完全统计量法和Cramer-Rao 不等式⽅法证明113n i i X n =∑是1θ的⼀致最⼩⽅差⽆偏估计。

北京理工大学珠海学院2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ⨯b =分析：a ⨯b = 2234ij k-- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 223x xy y ++.则 2u x y ∂∂∂ =分析：u x∂∂ = 22x y +, 则2u x y ∂∂∂ = 2'(2)x y += 2y3.椭球面 2222315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为分析：由方程可得，222(,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则(2)Dy d σ+=⎰⎰___________分析：画出平面区域D （图自画），观图可得，2(2)(2)8xxDy d dx y dy σ-+=+=⎰⎰⎰⎰5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则2Lx ds =⎰_________分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有112Lx ds xx ===⎰⎰⎰ 6.D 提示：级数1nn u∞=∑发散，则称级数1nn u∞=∑条件收敛二.解答下列各题（每小题6分，共36分）1.设2ln()tan 2z x y x y =+++，求dz 分析：由z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂可知，需求z x ∂∂及z y∂∂ 12z xy x x y ∂=+∂+ ， 21z x y x y∂=+∂+ ， 则有 211(2)()z z dz dx dy xy dx x dy x y x y x y∂∂=+=+++∂∂++ 2.设(4,23),u f xy x y =-其中f 一阶偏导连续，求uy∂∂ 分析：设v = 4xy , t = 2x – 3y ,则'''4(3)(43)u f v f t f x f x f y v y t y∂∂∂∂∂=+=+-=-∂∂∂∂∂ 3.设(,)z z x y =由222100x y z xyz ++-=确定.求z y∂∂ 分析：由222100x y z xyz ++-=得，222(,,)100F x y z x y z xyz =++-- 则有由2()x Fx x yz xyz =-+，2()y Fy y xz xyz =-+，2Fz z xy =-则2()()222y y y xz xyz xz xyz y z Fyy Fz z xy z xy-++-∂=-=-=∂-- 4.求函数3322(,)339f x y x y x y x =-++-的极值 提示：详细答案参考高数2课本第111页例4 5.求二重积分22,x y Ded σ+⎰⎰其中D ：2219x y ≤+≤分析：依题意，得 21902ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩，即1302ρθπ≤≤≤≤⎧⎨⎩则有，22223901()x y Ded de d e e πρσσρρπ+==-⎰⎰⎰⎰6.求三重积分2xyz dV Ω⎰⎰⎰，Ω：平面x = 0, x = 3, y = 0, y = 2, z = 0, z = 1所围区域分析：依题意，得0201y z ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩ 则有 3212203xyz dV dx dy xyz dz Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰三.解答下列各题（每题6分，共24分） 1.求Lydx xdy -⎰，L ：圆周229x y +=，逆时针分析：令P=y , Q= - x , 则1Qx∂=-∂，1P y ∂=∂ 由格林公式得()(2)LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy x y ∂∂-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 作逆时针方向的曲线L ：{cos sin x r y r θθ== ，02θπ≤≤则20()(2)24LDDQ Pydx xdy dxdy dxdy d x y πθπ∂∂-=-=-=-=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰2.设:∑平面31x y z ++=位于第一卦限部分.试求曲面积分xdS ∑⎰⎰分析：由:∑平面31x y z ++=可得13z x y =--则 13yx y z zz x ∂∂==-=-∂∂，z = 则有DxyDxyxdS xdxdy ∑==⎰⎰⎰⎰由于xy D 是∑在xOy 面的第一卦限的投影区域，即由0,031x y x y ==+=及所围成的闭区域.因此1130xDxyxdS xdxdy dx xdy -∑===⎰⎰⎰3. 设∑是22z x y =+位于平面4,9z z ==之间部分且取下侧，求zdxdy ∑⎰⎰分析：依题意，可得0249z θπ≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩，由于∑是取下侧，则有92463054zdxdy zdz d d ππθρρ∑=-=-⎰⎰⎰⎰4.设∑是锥面z =与平面z = 1 所围立体区域整个边界曲面的外侧。

北京理工大学2009-2010学年第二学期高等数学期中试题解答及评分标准(A 卷)一、填空题（每小题4分，共28分）1.；或37,35-=k 2.;32fdyf dx dz '-'-=3.5=d 4.⎰⎰----=221111),(x xdyy x f dx I 5.;7210181},7,10,8{-=+=-=z y x τ6..4,34-==n a 7..3310},2,1,2{-=∂∂--=n u n二、,21'+'+=∂∂xyf xf f xz ……………………….3分,2221'+'-=∂∂f x xyf yz ……………………….6分.)2(222222122211212"+"-+"-'+'-=∂∂∂yf x f xy x xyf xf yf yx z ….10分三、⎰⎰-=Ddxdyy x V ||……………………….3分dxdyx y dxdy y x D D ⎰⎰⎰⎰-+-=21)()(………………………6分⎰⎰⎰⎰---+-=x xy ydyx y dx dx y x dy 21021)()(……………….8分34=…………………….10分四、0)sin )(1(=-+=∂∂x e xfy 0cos =--=∂∂y y y ye e x e yf……………………….2分解得驻点：)0,2(),2,(π-π……………………….4分.)2(cos ,sin ),cos )(1(22222yy ye y x yf x e yx fx e xf --=∂∂-=∂∂∂-+=∂∂.6分在点)2,(-π22,0,1---==+=e C B e A ，0)1(222>+=-=∆--e e AC B ，所以点)2,(-π不是极值点；……………………….8分在点)0,2(π,1,0,02-==<-=C B A 022<-=-=∆AC B ，所以点)0,2(π是极大值点，且极大值为.3)0,2(=πf ………….10分五、dxdydzz y x I V⎰⎰⎰++=)(dxdydzz dxdydz y dxdydz x VVV⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=…………….2分=⎰⎰⎰ρπρρθ++122020200zdzd d ……………….7分.32π=……………………….10分六、},,{p n m s L =的方向向量为设直线，平面π的法向量为：}1,3,2{-=n……………………….2分由题意，π//L ，所以有032=+-p n m ……………………4分又已知直线的方向向量为}1,1,2{1--=s，)2,0,1(),2,1,1(N M -}0,1,0{=MN ，由题意有：共面，1,,s MN s有201112=+=--p m pn m ……………………….8分有pn p m -=-=,2……………………….10分所以121121:-=-+=--z y x L ………………12分七、1:22≤+Ωy x D xoy 面上的投影区域为在，……………….1分⎰⎰⎰Ω+=dv y x I )(22⎰⎰⎰ϕππϕϕθ=cos 20344020sin dr r d d ………….5分ϕϕϕπ=⎰πd 4053cos sin 564……………………….8分.3011π=……………………….10分八、目标函数为：000z y x V =……………………….2分约束条件为：1432000=++z y x ……………………….4分构造拉氏函数：)1432(),,(000000000-++λ+=z y x z y x z y x F ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=λ+='=λ+='=λ+='143240302000000000000z y x y x F z x F z y F z y x 解得唯一驻点为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x …….8分由问题的实际意义知，当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===34132000z y x 时，此长方体的体积最大，.98=最大V ……………………….10分。