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集合间的基本运算集合间的基本运算一、知识概述1.交集的定义：由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，记作AB（读作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝。
2.并集的定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，记作AB（读作‘A并B’），即AB ={x|xA，或xB}。
3.补集的定义：设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作A'。
4.运算性质：1）交换律；2）结合律；3）分配律；4）幂等律；5）吸收律；6）补运算律。
二、例题讲解例1、设集合A={－4，2m－1，m}，B={9，m－5，1－m}，又A∩B={9}，求实数m的值。
解：由AB={9}，得2m－1=9或m=9，解得m=5或m=3或m=－3.若m=5，则A={－4，9，25}，B={9，－4}与AB={9}矛盾；若m=3，则B中元素m－5=1－m=－2，与B 中元素互异矛盾；若m=－3，则A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}满足AB={9}。
∴m=－3.例2、设A={x|x＋ax＋b=0}，B={x|x＋cx＋15=0}，又A∩B={3}，A∪B={3，5}，求实数a，b，c的值。
解：由A∩B={3}，得3∈B，即3＋3c＋15=0，解得c=－8，由方程x－8x＋15=0解得x=3或x=5.∴B={3，5}。
由A （AB）={3，5}知，3∈A，5∉A（否则5∈A∩B，与A∩B={3}矛盾）。
故必有A={3}，即方程x＋ax＋b=0有两相同的根3.由韦达定理得3＋3=－a，33=b，即a=－6，b=9，c=－8.例3、已知A={x|x＋3x＋2x＞0}，B={x|x＋ax＋b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B＝｛x｜x＞－2｝，求a、b的值。
解：A={x|－2＜x＜－1或x＞0}，设B=[x，x]，由A∩B=（，2］知x＝2，且－1≤x≤1.由A∪B=（－2，＋∞）知－2≤x≤－1.由以上两式知x＝－1，x＝2，∴a＝－（x＋x）＝－1，b＝xx＝－2.4、因为图形中的阴影部分表示的是集合B，所以M-(M-N)表示的也是集合B。
集合间的基本运算集合间的基本运算Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-3集合的基本运算一、学习目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.3.能够利用交集、并集的性质解决有关问题．4.了解全集的意义和它的记法．理解补集的概念，能正确运用补集的符号和表示形式，会用图形表示一个集合及其子集的补集.5.会求一个给定集合在全集中的补集，并能解答简单的应用题．二、知识梳理1．并集和交集的概念及其表示2.3．全集(1)定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.4．补集5.U U＝，U＝U，U(U A)＝A.三、典型例题知识点一集合并集的简单运算例1 (1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于( )A．{3,4,5,6,7,8} B．{5,8}C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于( )A．{x|－1≤x＜3} B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4} D．{x|x≥－1}答案(1)A (2)C解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图．规律方法解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．跟踪演练1 (1)已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}；B＝{x|(x＋2)(x －3)＝0}，则集合A∪B是( )A．{－1,2,3} B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3} D．{1，－2，－3}(2)若集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|x＜－5，或x＞5}，则M∪N ＝________.答案(1)C (2){x|x＜－5，或x＞－3}解析(1)∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．(2)将－3＜x≤5，x＜－5或x＞5在数轴上表示出来．则M ∪N ＝{x |x ＜－5，或x ＞－3}．知识点二集合交集的简单运算例2 (1)已知集合A ＝{0,2,4,6}，B ＝{2,4,8,16}，则A ∩B 等于( ) A ．{2} B ．{4}C ．{0,2,4,6,8,16}D ．{2,4}(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B 等于( )A ．{x |0≤x ≤2}B ．{x |1≤x ≤2}C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4} 答案 (1)D (2)A解析 (1)观察集合A ，B ，可得集合A ，B 的全部公共元素是2,4，所以A ∩B ＝{2,4}． (2)在数轴上表示出集合A 与B ，如下图．则由交集的定义可得A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．规律方法求交集就是求两集合的所有公共元素组成的集合，和求并集的解决方法类似．跟踪演练2 已知集合A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥5 2}，求A ∩B ，A ∪B .解∵A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |x ≤0，或x ≥52}，把集合A 与B 表示在数轴上，如图．∴A ∩B ＝{x |－1＜x ≤3}∩{x |x ≤0，或x ≥52}＝{x |－1＜x ≤0，或52≤x ≤3}；A ∪B ＝{x |－1＜x ≤3}∪{x |x ≤0或x ≥52}＝R . 知识点三已知集合交集、并集求参数例3 已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞5}，若A ∩B ＝，求实数a 的取值范围．解由A ∩B ＝，(1)若A ＝，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠，如下图：∴2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2，或a ＞3}．规律方法1.与不等式有关的集合的运算，利用数轴分析法直观清晰，易于理解．若出现参数应注意分类讨论，最后要归纳总结．2．建立不等式时，要特别注意端点值是否能取到，分类的标准取决于已知集合，最好是把端点值代入题目验证．跟踪演练3 设集合A ＝{x |－1＜x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜3}且A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}，求a 的取值范围．解如下图所示，由A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}知，1＜a ≤3. 知识点四简单的补集运算例4 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A 等于( )A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则U A ＝________. 答案(1)B (2){x |x ＜1}解析(1)∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴U A ＝{3,4,5}．(2)由补集的定义，结合数轴可得U A ＝{x |x ＜1}．规律方法1.根据补集定义，当集合中元素离散时，可借助Venn 图；当集合中元素连续时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．2．解题时要注意使用补集的几个性质：U U ＝，U ＝U ，A ∪(U A )＝U .跟踪演练1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则U A ＝________. 答案 {x |x ＝－3，或x ＞4}解析借助数轴得U A ＝{x |x ＝－3，或x ＞4}．知识点五交集、并集、补集的综合运算例5 (1)已知集合A 、B 均为全集U ＝{1,2,3,4}的子集，且U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1,2}，则A ∩U B 等于( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．(2)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(R S)∪T等于( )A．{x|－2＜x≤1} B．{x|x≤－4}C．{x|x≤1} D．{x|x≥1}答案(1)A (2)C解析(1)∵U＝{1,2,3,4}，U(A∪B)＝{4}，∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}A{1,2,3}．又U B＝{3,4}，∴A∩U B＝{3}．(2)因为S＝{x|x＞－2}，所以R S＝{x|x≤－2}．而T＝{x|－4≤x≤1}，S)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}R＝{x|x≤1}．规律方法1.集合的交、并、补运算是同级运算，因此在进行集合的混合运算时，有括号的先算括号内的，然后按照从左到右的顺序进行计算．2．当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合，则可借助数轴求解．跟踪演练2 设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求R(A∪B)及(R A)∩B.解把全集R和集合A、B在数轴上表示如下：由图知，A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴(A∪B)＝{x|x≤2，或x≥10}．RA＝{x|x＜3，或x≥7}，∵RA)∩B＝{x|2＜x＜3，或7≤x＜10}．∴(R要点六补集的综合应用例6 已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－1}，B＝{x|2a＜x＜a＋3}，且B R A，求a的取值范围．A＝{x|x≥－1}．解由题意得R(1)若B＝，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B R A.(2)若B≠，则由B R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，2≤a＜3.综上可得a≥－1 2 .规律方法1.与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况；2．不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集．跟踪演练3 已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x＜－1，或x＞0}，若A∩(R B)＝，求实数a的取值范围．解∵B＝{x|x＜－1，或x＞0}，∴RB＝{x|－1≤x≤0}，因而要使A∩(R B)＝，结合数轴分析(如图)，可得a≤－1.四、课堂练习1．若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于( )A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{1,2} D．{0}答案A解析集合A有4个元素，集合B有3个元素，它们都含有元素1和2，因此，A∪B共含有5个元素．故选A.2．设A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为( )A．{2} B．{3} C．{－3,2} D．{－2,3}答案A解析注意到集合A中的元素为自然数，因此易知A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2}．3．集合P＝{x∈Z|0≤x＜3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于( ) A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}答案B解析由已知得P ＝{0,1,2}，M ＝{x |－3≤x ≤3}，故P ∩M ＝{0,1,2}． 4．已知集合A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝ B ．A ∪B ＝R C ．BA D ．AB 答案 B 解析∵A ＝{x |x ＞2，或x ＜0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，∴A ∩B ＝{x |－5＜x ＜0，或2＜x ＜5}，A ∪B ＝R .故选B.5．设集合M ＝{x |－3≤x ＜7}，N ＝{x |2x ＋k ≤0}，若M ∩N ≠，则实数k 的取值范围为________．答案k ≤6解析因为N ＝{x |2x ＋k ≤0}＝{x |x ≤－k2}，且M ∩N ≠，所以－k2≥－3k ≤6.6．若全集M ＝{1,2,3,4,5}，N ＝{2,4}，则M N 等于( ) A ． B ．{1,3,5}C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5} 答案 B解析 M N ＝{1,3,5}，所以选B.7．已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩U A 等于( ) A ．{2} B ．{3,4}C ．{1,4,5}D ．{2,3,4,5} 答案 B解析∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，∴U A ＝{3,4,5}，∴B ∩U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}．8．已知M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个答案 B解析∵P ＝{1,3}，∴子集有22＝4个．9.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}答案A解析图中阴影部分表示的集合为(U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(U A)∩B＝{－1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，则U A＝________.答案{x|0＜x＜1}解析∵A＝{x|x≥1}∪{x|x≤0}，∴U A＝{x|0＜x＜1}．五、巩固训练1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于( )A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}C．{x|0＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}答案A解析结合数轴得A∪B＝{x|x≥－1}．2．已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N等于( ) A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}答案A解析集合M＝{x|－1＜x＜3，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝{0,1,2}，故选A. 3．设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N等于( ) A．{0} B．{0,2}C．{－2.0} D．{－2,0,2}答案D解析集合M＝{0，－2}，N＝{0,2}，故M∪N＝{－2,0,2}，选D.4．设集合M＝{x|－3＜x＜2}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N等于( ) A．{x|1≤x＜2} B．{x|1≤x≤2}C．{x|2＜x≤3} D．{x|2≤x≤3}答案A解析∵M＝{x|－3＜x＜2}且N＝{x|1≤x≤3}，∴M∩N＝{x|1≤x＜2}．5．设A＝{x|－3≤x≤3}，B＝{y|y＝－x2＋t}．若A∩B＝，则实数t的取值范围是( ) A．t＜－3 B．t≤－3C．t＞3 D．t≥3答案A解析B＝{y|y≤t}，结合数轴可知t＜－3.6．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a ＝________.答案2解析∵A∩B＝{x|a≤x≤2}＝{2}，∴a＝2.7．已知集合A＝{x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．(1)求A∩B；(2)若集合C＝{x|2x＋a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．解(1)∵B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}．(2)∵C＝{x|x＞－a2}，B∪C＝CBC，∴－a2<2，∴a＞－4.8．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A．0 B．1 C．2 D．4答案D解析∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4.9已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠，若A∪B＝A，则( ) A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4C．2＜m＜4 D．2＜m≤4答案D解析∵A∪B＝A，∴BA.又B≠，∴m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，即2＜m ≤4.10．设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤4}，C ＝{x |－3＜x ＜2}且集合A ∩(B ∪C )＝{x |a ≤x ≤b }，则a ＝________，b ＝________. 答案－1 2解析∵B ∪C ＝{x |－3＜x ≤4}，∴A (B ∪C )．∴A ∩(B ∪C )＝A ，由题意{x |a ≤x ≤b }＝{x |－1≤x ≤2}．∴a ＝－1，b ＝2.11．已知A ＝{x |－2≤x ≤4}，B ＝{x |x ＞a }． (1)若A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，求实数a 的取值范围．解 (1)如图可得，在数轴上实数a 在－2的右边，可得a ≥－2；(2)由于A ∩B ≠，且A ∩B ≠A ，所以在数轴上，实数a 在－2的右边且在4的左边，可得－2≤a ＜4.12．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解∵A ∪B ＝A ，∴BA .若B ＝时，2a ＞a ＋3，即a ＞3；若B ≠时，2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2，综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2，或a ＞3}．13．已知集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |x ＜－1，或x ＞16}，分别根据下列条件求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝；(2)A (A ∩B )．解 (1)若A ＝，则A ∩B ＝成立．此时2a ＋1＞3a －5，即a ＜6.若A ≠，如图所示，则2a ＋1≤3a －5，2a ＋1≥－1，3a －5≤16，解得6≤a ≤7.综上，满足条件A ∩B ＝的实数a 的取值范围是{a |a ≤7}． (2)因为A (A ∩B )，且(A ∩B )A ，所以A ∩B ＝A ，即AB .显然A ＝满足条件，此时a ＜6. 若A ≠，如图所示，则??2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1或??2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16.由??2a ＋1≤3a －5，3a －5＜－1解得a ∈；由??2a ＋1≤3a －5，2a ＋1＞16解得a ＞152. 综上，满足条件A (A ∩B )的实数a 的取值范围是{a |a ＜6，或a ＞152}．13．已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则U (A∪B )等于( ) A ．{1,3,4} B ．{3,4} C ．{3} D ．{4} 答案 D 解析∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，∴U (A ∪B )＝{4}．14．已知A ＝{x |x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(R A )∩B 等于( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1} 答案 A 解析因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以R A ＝{x |x ≤－1}，则(R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}．15．设U ＝R ，A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∩(U B )等于( ) A ．{x |0≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |x ＜0} D ．{x |x ＞1} 答案 B解析 U B ＝{x |x ≤1}，∴A ∩(U B )＝{x |0＜x ≤1}．16．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}．如图所示，则阴影部分所表示的集合为( ) A ．{x |－2≤x ＜1} B ．{x |－2≤x ≤3} C ．{x |x ≤2，或x ＞3} D ．{x |－2≤x ≤2} 答案A解析阴影部分所表示的集合为U (M ∪N )＝(U M )∩(U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}．故选A.5．已知集合A ＝{x |0≤x ≤5}，B ＝{x |2≤x ＜5}，则A B ＝________. 答案{x |0≤x ＜2，或x ＝5} 解析如图：由数轴可知：A B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＝5}．17．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥0}，B ＝{y |y ≥1}，则U A 与U B 的包含关系是________．答案 U AUB解析∵U A ＝{x |x ＜0}，U B ＝{y |y ＜1}＝{x |x ＜1}．∴U AUB .18．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ≤2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝x |x ≤0，或x ≥52，(1)求A ∩B ；(2)求(U B )∪P ； (3)求(A ∩B )∩(U P )．解(1)A ∩B ＝{x |－1＜x ≤2}．(2)∵U B ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}，∴(U B )∪P ＝x |x ≤0，或x ≥52.(3)∵U P ＝?x |0＜x ＜52，∴(A ∩B )∩(U P )＝{x |－1＜x ≤2}∩?x |0＜x ＜52＝{x |0＜x ≤2}．19．已知集合A ＝{x |x ＜a }，B ＝{x |1＜x ＜2}，且A ∪(R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤1B ．a ＜1C ．a ≥2D ．a ＞2 答案 C解析如图所示，若能保证并集为R ，则只需实数a 在数2的右边(含端点2)，所以a ≥2. 20．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是( ) A ．(M ∩P )∩S B ．(M ∩P )∪S C ．(M ∩P )∩(I S ) D ．(M ∩P )∪(I S ) 答案 C解析依题意，由题干图知，阴影部分对应的元素a 具有性质a ∈M ，a ∈P ，a ∈I S, 所以阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩(I S )，故选C.21．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案 12解析设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程 15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30x ＝3，所以，喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)． 22．已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ； (2)若B R A ，求实数m 的取值范围．解(1)m ＝1，B ＝{x |1≤x ＜4}，A ∪B ＝{x |－1＜x ＜4}． (2)R A ＝{x |x ≤－1，或x ＞3}．当B ＝时，即m ≥1＋3m 得m ≤－12，满足B R A ，当B ≠时，使B R A 成立，则??m ＜1＋3m ，1＋3m ≤－1或??m ＜1＋3m ，m ＞3，解得m ＞3.综上可知，实数m 的取值范围是m |m ＞3，或m ≤－12.23．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若全集U ＝R ，且A (U B )，求a 的取值范围．解∵A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }， (1)由AB ，结合数轴(如图所示) 可知a 的范围为a ≤－4.(2)∵U ＝R ，∴U B ＝{x |x ＜a }，要使A U B ，须a ＞－2.24．若集合A ＝{x |ax 2＋3x ＋2＝0}中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．解假设集合A 中含有2个元素，即ax 2＋3x ＋2＝0有两个不相等的实数根，则??a ≠0，Δ＝9－8a ＞0，解得a ＜98且a ≠0，则a 的取值范围是{a |a ＜98，且a ≠0}．在全集U ＝R 中，集合{a |a ＜98，且a ≠0}的补集是{a |a ≥9 8，或a ＝0}，所以满足题意的a 的取值范围是{a |a ≥98，或a ＝0}．。
1.2集合间的基本关系及运算【知识要点】1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A.2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。
3、真子集：如果A ⊆B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A⊂≠B .4、设A ⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作S C A5、元素与集合、集合与集合之间的关系6、有限集合的子集个数（1）n个元素的集合有n2个子集（2）n个元素的集合有n2-1个真子集（3）n个元素的集合有n2-1个非空子集（4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A⋂B。
8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A⋃B。
9、集合的运算性质及运用【知识应用】1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。
【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系（1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数}【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A，求实数m取值范围。
【C】例3. 已知集合A⊆{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。
2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。
（2）利用集合相等的定义证明A⊆B,且B⊆A，则A=B.【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（）（1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z}（2）P={x|x=2n-1,n∈N+}, Q={x|x=2n+1,n∈N+}(3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1)2n+-,n∈Z}【L】例2.已知集合A={x|x=12kπ+4π，k∈Z}，B={x|x=14kπ+2π,k∈Z},判断集合A与集合B是否相等。
集合中的运算和关系集合是数学中的一个基本概念，它是由一些确定的、互不相同的对象构成的整体。
集合中的运算和关系是研究集合性质和结构的重要内容。
一、集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集和补集等。
1.并集：设A、B是两个集合，它们的并集记为A∪B，表示A和B中所有元素的集合。
2.交集：设A、B是两个集合，它们的交集记为A∩B，表示同时属于A和B的元素的集合。
3.差集：设A、B是两个集合，它们的差集记为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
4.补集：设U是一个全集，A是U的一个子集，A的补集记为A’，表示U中不属于A的元素的集合。
二、集合的关系集合之间的关系主要包括包含关系、相等关系和不相交关系等。
1.包含关系：设A、B是两个集合，如果A中的所有元素都属于B，则称A包含于B，记为A⊆B。
如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
2.相等关系：设A、B是两个集合，如果A包含于B且B包含于A，则称A等于B，记为A=B。
3.不相交关系：设A、B是两个集合，如果A和B没有共同的元素，则称A和B不相交，记为A∩B=∅。
三、集合的性质1.确定性：集合中的元素是确定的，不含有不确定性。
2.互异性：集合中的元素是互不相同的。
3.无序性：集合中的元素没有顺序。
四、集合运算的性质1.结合律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足结合律。
2.交换律：对于集合的并集、交集和差集运算，都满足交换律。
3.分配律：对于集合的并集和交集运算，满足分配律。
五、集合的关系的性质1.自反性：对于任意集合A，A包含于A。
2.对称性：对于任意集合A、B，如果A包含于B，则B包含于A。
3.传递性：对于任意集合A、B、C，如果A包含于B且B包含于C，则A包含于C。
以上是集合中的运算和关系的基本知识点，希望对你有所帮助。
习题及方法：1.习题：设集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，求A∪B、A∩B、A-B、A’。
集合的五种基本运算集合的五种基本运算包括并集、交集、差集、补集和笛卡尔积。
下面将对这五种运算进行详细介绍。
1. 并集：并集是指将两个或多个集合中的所有元素组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A∪B"，表示集合A和集合B的并集。
并集操作将去除重复元素，只保留一个。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集是指取两个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A∩B"，表示集合A和集合B的交集。
交集操作将保留两个集合中共有的元素，去除不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集：差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同的元素形成一个新的集合。
符号表示为"A-B"，表示集合A和集合B的差集。
差集操作将保留集合A中与集合B不同的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集：补集是指一个集合中不属于另一个集合的元素形成的集合。
符号表示为"A'"或"A^c"，表示集合A的补集。
补集操作将保留集合A中不在另一个集合中的元素。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则A'={1,2}。
5. 笛卡尔积：笛卡尔积是指将两个集合中的所有元素按照一定规律组合起来形成一个新的集合。
符号表示为"A×B"，表示集合A和集合B的笛卡尔积。
笛卡尔积操作将取两个集合中的元素进行组合，形成一个新的集合。
例如，如果集合A={1,2}，集合B={a,b}，则A×B={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}。
这五种基本的集合运算在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
它们可以用来解决集合之间的关系、求解问题和进行数据分析。
集合的运算法则
集合的运算法则是指用于描述集合之间运算关系的规则。
常见的集合运算包括并集、交集、补集和差集。
1. 并集（Union）：表示将两个或多个集合中的所有元素合并在一起，形成一个新的集合。
并集的符号为"∪"。
例如，集合A和集合B的并集表示为A∪B，包含了A和B中的所有元素。
2. 交集（Intersection）：表示两个或多个集合中共有的元素，形成一个新的集合。
交集的符号为"∩"。
例如，集合A和集合B的交集表示为A∩B，包含了A和B中共有的元素。
3. 补集（Complement）：表示一个集合中不属于另一个集合的元素，形成一个新的集合。
补集的符号通常为"'"或"ᶜ"。
例如，集合A的补集表示为A'或Aᶜ，包含了不属于A的元素。
4. 差集（Difference）：表示一个集合中去除另一个集合中的元素，形成一个新的集合。
差集的符号通常为"-"。
例如，集合A和集合B的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
这些运算法则可以帮助我们对集合进行操作和分析，进而解决各种集合相关的问题。
