河北省衡水中学2016届高三小学期二调考试数学(理)试题(图片版)

2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A∩（∁U B）等于（）A． B．C． D．3．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数5．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．36．（5分）在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．47．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）8．（5分）某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．69．（5分）来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或11．（5分）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C． D．12．（5分）已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在的展开式中，含x3项的系数为．14．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=．15．（5分）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=AB•AC，则A 的大小为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n 对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？18．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）三调数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴z=，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为（﹣1，﹣2），在第三象限．故选：C．2．（5分）已知集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}，，全集U=R，则A∩（∁U B）等于（）A． B．C． D．【解答】解：∵集合A={x|log3（2x﹣1）≤0}={x|}，={x|x≤0或x}，全集U=R，∴C U B={x|0＜x＜}，A∩（∁U B）={x|}=（）．故选：B．3．（5分）若α∈（，π），且3cos2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵3cos2α=sin（﹣α），∴3（cos2α﹣sin2α）=（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα=，∴两边平方，可得：1+2sinαcosα=，∴sin2α=2sinαcosα=﹣．故选：D．4．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．5．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0．b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）A．2 B．C．D．3【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），C（c，﹣），D（c，），由双曲线E的离心率是2，可得e==2，即c=2a，b==a，直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．即有|k|=．故选：B．6．（5分）在△ABC中，=，P是直线BN上的一点，若=m+，则实数m的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4【解答】解：由题意，设=n，则=+=+n=+n（﹣）=+n（﹣）=+n（﹣）=（1﹣n）+，又∵=m+，∴m=1﹣n，且=解得；n=2，m=﹣1，故选：B．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0）的图象与直线y=a（0＜a＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则f（x）的单调递减区间是（）A．[6kπ，6kπ+3]（k∈Z）B．[6kπ﹣3，6kπ]（k∈Z） C．[6k，6k+3]（k∈Z）D．[6k﹣3，6k]（k∈Z）【解答】解：与直线y=b（0＜b＜A）的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8知函数的周期为T==2（﹣），得ω=，再由五点法作图可得•+φ=，求得φ=﹣，∴函数f（x）=Asin（x﹣）．令2kπ+≤x﹣≤2kπ+，k∈z，解得：6k+3≤x≤6k+6，k∈z，∴即x∈[6k﹣3，6k]（k∈Z），故选：D．8．（5分）某旅游景点统计了今年5月1号至10号每天的门票收入（单位：万元），分别记为a1，a2，…，a10（如：a3表示5月3号的门票收入），表是5月1号到5月10号每天的门票收入，根据表中数据，下面程序框图输出的结果为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出门票大于115的天数．由统计表可知：参与统计的十天中，第2、7、8这3天门票大于115．故最终输出的值为：3故选：A．9．（5分）来自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，刚好碰在一起，他们除懂本国语言外，每人还会说其他三国语言的一种，有一种语言是三人都会说的，但没有一种语言人人都懂，现知道：①甲是日本人，丁不会说日语，但他俩都能自由交谈；②四人中没有一个人既能用日语交谈，又能用法语交谈；③甲、乙、丙、丁交谈时，找不到共同语言沟通；④乙不会说英语，当甲与丙交谈时，他都能做翻译．针对他们懂的语言正确的推理是（）A．甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B．甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C．甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D．甲日法、乙英德、丙法德、丁法英【解答】解：此题可直接用观察选项法得出正确答案，根据第二条规则，日语和法语不能同时由一个人说，所以B、C、D都错误，只有A正确，再将A代入题干验证，可知符合条件．故选A10．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A'B'C'D'的外接球的体积为，将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或【解答】解：设正方体的棱长为a，则=，解得a=1．该几何体为正方体截去一角，如图则剩余几何体的表面积为S=3×12++=．故选：A．11．（5分）如图，已知抛物线的方程为x2=2py（p＞0），过点A（0，﹣1）作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为（0，1），连接BP，BQ，设QB，BP与x轴分别相交于M，N两点．如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为﹣3，则∠MBN的大小等于（）A．B．C． D．【解答】解：设直线PQ的方程为：y=kx﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由得x2﹣2pkx+2p=0，△＞0，则x1+x2=2pk，x1x2=2p，，，====0，即k BP+k BQ=0①又k BP•k BQ=﹣3②，联立①②解得，，所以，，故∠MBN=π﹣∠BNM﹣∠BMN=，故选D．12．（5分）已知a，b∈R，且e x≥a（x﹣1）+b对x∈R恒成立，则ab的最大值是（）A．B．C．D．e3【解答】解：令f（x）=e x﹣a（x﹣1）﹣b，则f′（x）=e x﹣a，若a=0，则f（x）=e x﹣b≥﹣b≥0，得b≤0，此时ab=0；若a＜0，则f′（x）＞0，函数单调增，x→﹣∞，此时f（x）→﹣∞，不可能恒有f（x）≥0．若a＞0，由f′（x）=e x﹣a=0，得极小值点x=lna，由f（lna）=a﹣alna+a﹣b≥0，得b≤a（2﹣lna），ab≤a2（2﹣lna）．令g（a）=a2（2﹣lna）．则g′（a）=2a（2﹣lna）﹣a=a（3﹣2lna）=0，得极大值点a=．而g（）=．∴ab的最大值是．故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在的展开式中，含x3项的系数为﹣84．【解答】解：展开式中，=•（1﹣x）9﹣k•，通项公式为T k+1令k=0，得•（1﹣x）9=（1﹣x）9，又（1﹣x）9=1﹣9x+x2﹣x3+…，所以其展开式中含x3项的系数为﹣=﹣84．故答案为：﹣84．14．（5分）在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V）与它的直径（D）的立方成正比”，此即V=kD3，欧几里得未给出k的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD3中的常数k称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD3求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a）、等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）的“玉积率”分别为k1，k2，k3，那么k1：k2：k3=：：1．【解答】解：∵V1=πR3=π（）3=a3，∴k1=，∵V2=aπR2=aπ（）2=a3，∴k2=，∵V3=a3，∴k3=1，∴k1：k2：k3=：：1，故答案为：15．（5分）由约束条件，确定的可行域D能被半径为的圆面完全覆盖，则实数k的取值范围是．【解答】解：∵可行域能被圆覆盖，∴可行域是封闭的，作出约束条件的可行域：可得B（0，1），C（1，0），|BC|=，结合图，要使可行域能被为半径的圆覆盖，只需直线y=kx+1与直线y=﹣3x+3的交点坐标在圆的内部，两条直线垂直时，交点恰好在圆上，此时k=，则实数k的取值范围是：．故答案为：．16．（5分）如图，已知O为△ABC的重心，∠BOC=90°，若4BC2=A B•AC，则A的大小为．【解答】解：cosA=，连接AO并且延长与BC相交于点D．设AD=m，∠ADB=α．则AB2=﹣2××mcosα，AC2=m2+﹣2m××cos（π﹣α），相加可得：AB2+AC2=2m2+．m2=（3OD）2==．∴AB2+AC2=5BC2．又4BC2=AB•AC，∴cosA=，A∈（0，π）∴A=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1≠0，常数λ＞0，且λa1a n=S1+S n 对一切正整数n都成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a1＞0，λ=100，当n为何值时，数列的前n项和最大？【解答】解：（1）令n=1，得，因为a1≠0，所以，当n≥2时，，，两式相减得2a n﹣2a n﹣=a n（n≥2），1所以a n=2a n﹣1（n≥2），从而数列{a n}为等比数列，所以．（2）当a1＞0，λ=100时，由（1）知，a n=，b n=lg==2﹣nlg2．所以数列{b n}是单调递减的等差数列，公差为﹣lg2，所以，当n≥7时，，所以数列的前6项和最大．18．（12分）某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：（1）该同学为了求出y关于x的线性回归方程=+，根据表中数据已经正确计算出=0.6，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（1）==3，（4+4+5+6+6）=5，因线性回归方程=x+过点（，），∴=﹣=5﹣0.6×3=3.2，∴6月份的生产甲胶囊的产量数：=0.6×6+3.2=6.8．（2）ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，其分布列为所以Eξ==．19．（12分）已知多面体ABCDEF如图所示，其中ABCD为矩形，△DAE为等腰等腰三角形，DA⊥AE，四边形AEFB为梯形，且AE∥BF，∠ABF=90°，AB=BF=2AE=2．（1）若G为线段DF的中点，求证：EG∥平面ABCD；（2）线段DF上是否存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于？若存在，请指出点N的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）证明：因为DA⊥AE，DA⊥AB，AB∩AE=A，故DA⊥平面ABFE，故CB⊥平面ABFE，以B为原点，BA，BF，BC分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，2，0），D（2，0，1），，E（2，1，0），C（0，0，1），所以，易知平面ABCD的一个法向量，所以，所以，又EG⊄平面ABCD，所以EG∥平面ABCD．（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值等于．理由如下：直线BN与平面FCD所成角的余弦值为，即直线BN与平面FCD所成角的正弦值为，因为，设平面FCD的法向量为，由，得，取y1=1得平面FCD的一个法向量假设线段FD上存在一点N，使得直线BN与平面FCD所成角的正弦值等于，设，则，，所以，所以9λ2﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）因此，线段DF上存在一点N，当N点与D点重合时，直线BN与平面FCD所成角的余弦值为．20．（12分）如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）左、右顶点为A，B，左、右焦点为F1，F2，|AB|=4，|F1F2|=2．直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），且|CM|=|DN|．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为2a=4，2c=2，所以a=2，c=，所以b=1，所以椭圆E的方程为；（Ⅱ）直线y=kx+m（k＞0）与椭圆联立，可得（4k2+1）x2+x8mk+4m2﹣4=0．设D（x1，y1），C（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，又M（﹣，0），N（0，m），由|CM|=|DN|得x1+x2=x M+x N，所以﹣=﹣，所以k=（k＞0）．所以x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2．因为直线y=kx+m（k＞0）交椭圆E于C，D两点，与线段F1F2、椭圆短轴分别交于M，N两点（M，N不重合），所以﹣≤﹣2m≤且m≠0，所以（）2=[]2====，所以==﹣1﹣∈[﹣2﹣3，2﹣3]．21．（12分）设函数f（x）=﹣ax，e为自然对数的底数（Ⅰ）若函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）当b=1时，若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的最小值．【解答】解：（I）﹣a（x＞0，且x≠1），∵函数f（x）的图象在点（e2，f（e2））处的切线方程为3x+4y﹣e2=0，∴f′（e2）=﹣a=，f（e2）==﹣，联立解得a=b=1．（II）当b=1时，f（x）=，f′（x）=，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，．∴f′（x）+a==﹣+，∴[f′（x）+a]max=，x∈[e，e2]．存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立⇔x∈[e，e2]，f（x）min≤f （x）max+a=，①当a时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上为减函数，则f（x）=，解得a≥．min②当a时，由f′（x）=﹣a在[e，e2]上的值域为．（i）当﹣a≥0即a≤0时，f′（x）≥0在x∈[e，e2]上恒成立，因此f（x）在x ∈[e，e2]上为增函数，∴f（x）min=f（e）=，不合题意，舍去．（ii）当﹣a＜0时，即时，由f′（x）的单调性和值域可知：存在唯一x0∈（e，e2），使得f′（x0）=0，且满足当x∈[e，x0），f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．∴f（x）min=f（x0）=﹣ax0，x0∈（e，e2）．∴a≥，与矛盾．（或构造函数即可）．综上可得：a的最小值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程以及直线l的参数方程；（2）两曲线相交于M，N两点，若P（﹣2，﹣4），求|PM|+|PN|的值．【解答】解：（1）由斜率为1的直线l过定点（﹣2，﹣4），可得参数方程为：，（t为参数）．由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣4cosθ=0，即ρ2sin2θ﹣4ρcosθ=0，可得直角坐标方程：C：y2=4x．（2）把直线l的方程代入抛物线方程可得：t2﹣12t+48=0．∴t1+t2=12，t1t2=48．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=12．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|+|3x﹣2|，且不等式f（x）≤5的解集为，a，b∈R．（1）求a，b的值；（2）对任意实数x，都有|x﹣a|+|x+b|≥m2﹣3m+5成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）若，原不等式可化为﹣2x﹣1﹣3x+2≤5，解得，即；若，原不等式可化为2x+1﹣3x+2≤5，解得x≥﹣2，即；若，原不等式可化为2x+1+3x﹣2≤5，解得，即；综上所述，不等式|2x+1|+|3x﹣2|≤5的解集为，所以a=1，b=2．（2）由（1）知a=1，b=2，所以|x﹣a|+|x+b|=|x﹣1|+|x+2|≥|x﹣1﹣x﹣2|=3，故m2﹣3m+5≤3，m2﹣3m+2≤0，所以1≤m≤2，即实数m的最大值为2．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数131ii-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 2.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，AB A =，则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3 3.已知函数()sin()cos()()66f x x x x R ππ=--∈，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5[0,]12π上是增函数 4.若3*1()()ny x n N xy+∈的展开式中存在常数项，则常数项为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．1205.已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在x R ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,2]-C ．(,2]-∞D ．(0,2] 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（ ） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-37.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．4008.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45616a a a ++=，则9S =（ ） A ．48 B ．128 C ．144 D ．1469.点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6π的直线与直线2x a=交于点P ，若APF ∆为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A ．28B ．2462+C ．20213+D ．1662213++11.设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1912.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得点P ，则点P 的坐标为 .14.抛物线2y x =与直线0x =、1x =及该抛物线在(01)x t t =<<处的切线所围成的图形面积的最小值为 .15.已知菱形ABCD 的边长为3，且60BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使,A C 两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .16.如图，在正方形ABCD 中作如下操作，先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ，记11CDE α∠=， 第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于2E ，记22ADE α∠=， 第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于3E ，记33CDE α∠=， 第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于4E ，记44ADE α∠=， 以此类推，得数列123,,,,,n αααα，若112πα=，那么数列{}n α的通项公式为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知233b c =，3A C π+=.（1）求cos C 的值； （2）求sin B 的值；（3）若33b =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面EFBD ⊥平面ABCD . （1）证明：//DE 平面ACF ；（2）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线12l l ⊥于P ，连接PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ，设点H 的轨迹为曲线r . （1）求曲线r 的方程；（2）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为,C D . （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线L 交曲线r 于点,A B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究||||||||PQ PQ PA PB +是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.21. （本小题满分12分） 已知函数2()21xf x e ax ax =+--. （1）当12a =时，讨论()f x 的单调性； （2）设函数'()()g x f x =，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于,C D 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点. （1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n 都是实数，0m ≠，()|1||2|f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由xxex f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x2))((='设c x x f e x+=2)(，由1)0(=f 得1=c ，所以x e x x f 1)(2+=，则xex x f 2)1()(--=' 所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈ 二、填空题： 13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα三、解答题：17.【解析】（1）因为A B C π++=，3A C π+=， 所以2B C =. 由正弦定理得：sin sin b cB C=， 所以sin sin b Bc C=，即232sin cos 3sin C C C =. 又sin 0C ≠. 故化简得3cos 3C =. （2）因为(0,)C π∈，所以216sin 1cos 133C C =-=-=， 所以6322sin sin 22sin cos 2333B C C C ===⨯⨯=. （3）因为2B C =，所以211cos cos 22cos 12133B C C ==-=⨯-=-， 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+223166()33339=⨯+-⨯=. 因为233b c =，33b =. 所以92c =. 所以ABC ∆的面积119692sin 3322294S bc A ==⨯⨯⨯=. 18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯=(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯=(3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为X 01 2 3P2125191255612548125中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AMAO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP .由1222PF OB ==，得22102BF OF OP PF ==+=因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以2105OB OP OM BF ⋅==，故223105AM OA OM =+= …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD，交线为BD，故OP⊥平面ABCD，如图，以O为坐标原点，分别以OA，OB，OP的方向为x 轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz-.因为1()2EFBDS EF BD OP=⨯+⨯梯形1(222)32OP=⨯+⨯=所以2=OP, )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，FCBA-因此2(2,20),(0,2)2AB BF=-=-，，设平面ABF的法向量为(,,)n x y z=由n ABn BF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2202202x yy z⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z=，则(2,2,1)n=因为AO BD⊥，所以AO⊥平面EFBD，故平面BFD的法向量为(2,0,0)OA=于是22222cos,32212OA nOA nOA n⋅<>===⋅++⋅由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D--的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H到点F（0，1）的距离与到直线l1：y=﹣1的距离相等，∴点H的轨迹是以点F（0，1）为焦点，直线l1：y=﹣1为准线的抛物线∴点H的轨迹方程为x2=4y．………2分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由214y x =，得'12y x =．∴直线PC ：111()2C y x x x +=-， 又PC 过点C ，214C C y x =，∴2111111()242c c c c y x x x x x x +=-=-，∴11122c c c y y x x +=-，即11102c c x x y -+=．同理11102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为11102xx y -+=∴直线CD 过定点（0，1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1，﹣1）在直线CD 的方程为11102xx y -+=，得x1=1，直线CD 的方程为1102x y -+=．设l ：y+1=k （x ﹣1）， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ． 联立y+1=k （x ﹣1）与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4A B x x k +=．44A B x x k =+ ∵1,1,1Q A B x x x ---同号，∴||||11||()||||||||PQ PQ PQ PA PB PA PB +=+ 221111|1|()|1||1|1Q A B k x x x k =+-•+--+11|1|()|1||1|Q A B x x x =-+--242(1)21(1)(1)A B A B x x kk x x +-+=-•--- 5422215k k -=•=- ∴||||||||PQ PQ PA PB +为定值，定值为2. ……… 12分 21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1xf x e x '+-易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=， 因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22xg x e ax a =+-，()2xg x e a '=+ （i ）当0a =时，()0x g x e =>，()g x 无零点 （ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<，即12a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=，即12a =时，(0)0g =，()g x 有一个零点0 ③若120a ->，即102a <<时，21221()102a aa g ea --=-<，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分 （iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<，即202e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点②若ln(2)20a --=，即22e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->，即22e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分 设2()(1)xh x e x x =-≥，则()2xh x e x '=-，设()2xu x e x =-，则()2xu x e '=-，当1x ≥时，()220xu x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1x >时，2x e x >，故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10x k x x x-'=-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减， ()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x <因为22e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点综上，当22e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当102a <<时，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点；当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点. ………………12分 （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲 证明:(Ⅰ)AB 为圆O 的一条直径； ,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆…………………4分解：(Ⅱ) AH 与圆B 相切于点F ， 由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅，解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFB ADH ∆∆，则DH ADBF AF=，得2DH =， 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．……………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6. ……10分 （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f 由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ，解得21<x 或25>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （Ⅱ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得)(x f mnm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m mnm n m ∴2)(≤x f .∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[， ∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。

2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．47．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．9910．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．212．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为．15．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．2015-2016学年河北省衡水二中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1．（5分）复数z=在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵复数==﹣a﹣3i，在复平面内对应的点在第三象限，∴﹣a＜0，解得a＞0．∴复数在复平面内对应的点在第三象限是a≥0的充分不必要条件．故选：A．2．（5分）设集合A={x|x2﹣（a+3）x+3a=0}，B={x|x2﹣5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和为8，则实数a的取值集合为（）A．{0}B．{0，3}C．{1，3，4}D．{0，1，3，4}【解答】解：解方程x2﹣5x+4=0得：x=4或1，∴B={1，4}，解方程x2﹣（a+3）x+3a=0得：x=3或a，∴A={3}或{3，a}，∵1+4+3=8，∴A={3}或{3，0}或{3，1}或{3，4}．∴a=0或1或3或4．故选：D．3．（5分）已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∨q C．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）【解答】解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B．4．（5分）某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．4πB．πC．πD．20π【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，r==，球的表面积4πr2=4π×=π．故选：B．5．（5分）已知两条不重合的直线m、n和两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；②若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；③若m、n是两条异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β；④若α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α．其中正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：①若m⊥n，m⊥α，则n可能在平面α内，故①错误②∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α，又∵n⊥β，∴α∥β，故②正确③过直线m作平面γ交平面β与直线c，∵m、n是两条异面直线，∴设n∩c=O，∵m∥β，m⊂γ，γ∩β=c∴m∥c，∵m⊂α，c⊄α，∴c∥α，∵n⊂β，c⊂β，n∩c=O，c∥α，n∥α∴α∥β；故③正确④由面面垂直的性质定理：∵α⊥β，α∩β=m，n⊂β，n⊥m，∴n⊥α．故④正确故正确命题有三个，故选：C．6．（5分）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设t=a﹣a x，则y=为增函数，则函数y=（a＞0，a≠1）为单调函数，当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．7．（5分）下列三个数：a=ln﹣，b=lnπ﹣π，c=ln3﹣3，大小顺序正确的是（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．a＜c＜b D．b＞a＞c【解答】解：设f（x）=lnx﹣x，（x＞0），则f′（x）=﹣1=；故f（x）在（1，+∞）上是减函数，且＜3＜π，故ln﹣＞ln3﹣3＞lnπ﹣π，即a＞c＞b；故选：A．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到g（x）=﹣Acosωx 的图象，可以将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：由图象看出振幅A=1，又，所以T=π，所以ω=2，再由+Φ=π，得Φ=，所以f（x）=sin（2x+），要得到g（x）=﹣Acosωx=﹣cos2x的图象，把f（x）=sin（2x+）中的x变为x﹣，即f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）=﹣cos2x．所以只要将f（x）=sin（2x+）向右平移个单位长度就能得到g（x）的图象．故选：B．9．（5分）在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），且a7=2，a9=3，a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=（）A．132 B．299 C．68 D．99【解答】解：∵在数列{a n}中，若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值（n∈N*），∴a n+3=a n．即数列各项以3为周期呈周期变化∵98=3×32+2，∴a98=a2=4，a7=a1=2，a9=a3=3，a1+a2+a3=2+3+4=9，∴S100=33×（a1+a2+a3）+a100=33×（a1+a2+a3）+a1=33×9+2=299．故选：B．10．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC=AC，AC1⊥A1B，M，N 分别是A1B1，AB的中点，给出下列结论：①C1M⊥平面A1ABB1，②A1B⊥NB1，③平面AMC1∥平面CNB1，其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：在①中：∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，∴C1M⊥AA1，∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1，AA1∩A1B1=A1，∴C1M⊥平面A1ABB1，故①正确；在②中：∵C1M⊥平面A1ABB1，∴CN⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴A1B⊥CN，A1B⊥C1M，∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，∴A1B⊥平面AC1M，AM⊂面AC1M，∴A1B⊥AM，∵AN B 1M，∴AM∥B1N，∴A1B⊥NB1，故②正确；在③中：∵AM∥B1N，C1M∥CN，AM∩C1M=M，B1N∩CN=N，∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．故选：D．11．（5分）设，为单位向量，若向量满足|﹣（+）|=|﹣|，则||的最大值是（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵向量满足|﹣（+）|=|﹣|，∴|﹣（+）|=|﹣|≥，∴≤==2．当且仅当||=|﹣|即时，=2．∴．故选：D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，其导函数为f′（x），若f′（x）＜f（x），且f（x+1）=f（3﹣x），f（2015）=2，则不等式f（x）＜2e x﹣1的解集为（）A．（﹣∞，） B．（e，+∞）C．（﹣∞，0）D．（1，+∞）【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x+1）=f（3﹣x）=f（x﹣3），∴f（x+4）=f（x），即函数是周期为4的周期函数，∵f（2015）=f（2015﹣4×504）=f（﹣1）=f（1）=2，∴f（1）=2，设g（x）=，则函数的导数g′（x）==，故函数g（x）是R上的减函数，则不等式f（x）＜2e x﹣1等价为，即g（x）＜g（1），解得x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βs in=．故答案为：．14．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：715．（5分）在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a ﹣2csinA=0．若c=2，则a+b的最大值为4．【解答】解：由a﹣2csinA=0及正弦定理，得﹣2sinCsinA=0（sinA≠0），∴，∵△ABC是锐角三角形，∴C=．∵c=2，C=，由余弦定理，，即a2+b2﹣ab=4，∴（a+b）2=4+3ab，化为（a+b）2≤16，∴a+b≤4，当且仅当a=b=2取“=”，故a+b的最大值是4．故答案为：4．16．（5分）已知曲线f（x）=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为（3，）．【解答】解：f（x）=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′（x）=2x2﹣2x+a，由题意可得2x2﹣2x+a=3，即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不相等的正根，则△=4﹣8（a﹣3）＞0，a﹣3＞0，解得3＜a＜．故答案为：（3，）．三、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17．（10分）（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．若不等式f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．（2）如图，圆O的直径为AB且BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B 的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC；（Ⅱ）若HE=4，求ED．【解答】解：（1）由不等式的性质得：函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|≥|a﹣1|，要使不等式f（x）≥a恒成立，则只要|a﹣1|≥a，解得：，所以实数a的取值范围为．（2）（Ⅰ）证明：∵BE为圆0的切线，BD为圆0的弦，∴根据弦切角定理知∠DBE=∠DAB．由AD为∠BAC 的平分线知∠DAB=∠DAC，又∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DAB，∴∠DBE=∠DBC．（Ⅱ）解：∵⊙O的直径AB，∴∠ADB=90°=∠BDE，又由（1）得∠DBE=∠DBH，再根据BD=BD，可得△BDH≌△BDE，∴DE=DH．∵HE=4，∴ED=2．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，sinAsinB=cos2，（1）求角B的大小；（2）若等差数列{a n}的公差不为零，且a1cos2B=1，且a2、a4、a8成等比数列，求{}的前n项和S n．【解答】解：（1）由a2﹣（b﹣c）2=（2﹣）bc，可得：a，所以cosA==，又0＜A＜π，∴A=，由sinAsinB=cos2，可得sinB=，sinB=1+cosC，∴cosC＜0，则C为钝角．B+C=，则sin（﹣C）=1+cosC，∴cos（C+）=﹣1，解得C=，∴B=．…（6分）（2）设{a n}的公差为d，由已知得a1=，且a24=a2a8．∴（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d）．又d≠0，∴d=2．∴a n=2n．…（9分）∴==．∴S n=（1﹣）+（）+…+（）=1﹣=．…（12分）19．（12分）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m （Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1恒成立，求m的最大值．【解答】解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a 3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．20．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3．（1）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+3=sin2x﹣3•﹣+3=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵x∈，∴2x+∈（，），∴sin（2x+）∈（﹣，1]，∴f（x）=2sin（2x+）+1∈（0，3]．（2）∵=2+2cos（A+C），∴sin（2A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C），∴﹣sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA，即sinC=2sinA，由正弦定理可得c=2a，又由=可得b=a，由余弦定理可得cosA===，∴A=30°，由正弦定理可得sinC=2sinA=1，C=90°，由三角形的内角和可得B=60°，∴f（B）=f（60°）=2．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）lnx++2ax（a≤0）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1，x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），当a=0时，f（x）=2lnx+，f′（x）=﹣=，令f′（x）=0，解得x=，当0＜x＜时，f′（x）＜0；当x≥时，f′（x）＞0又∵f（）=2ln=2﹣2ln2∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．（Ⅱ）f′（x）=﹣+2a=，当a＜﹣2时，﹣＜，令f′（x）＜0 得0＜x＜﹣或x＞，令f′（x）＞0 得﹣＜x＜；当﹣2＜a＜0时，得﹣＞，令f′（x）＜0 得0＜x＜或x＞﹣，令f′（x）＞0 得＜x＜﹣；当a=﹣2时，f′（x）=﹣≤0，综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣）和（，+∞），递增区间为（﹣，）；当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0，）和（﹣，+∞），递增区间为（，﹣）．（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，当x=1时，f（x）取最大值；当x=3时，f（x）取最小值；|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3++6a]=﹣4a+（a﹣2）ln3，∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，∴（m+ln3）a﹣2ln3＞﹣4a+（a﹣2）ln3整理得ma＞﹣4a，∵a＜0，∴m＜﹣4恒成立，∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣＜﹣4＜﹣，∴m≤﹣．22．（12分）已知函数．（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（Ⅱ）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（Ⅲ）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））＞e2n﹣3．【解答】（Ⅰ）解：由题，…（2分）故f（x）在区间（0，+∞）上是减函数；…（3分）（Ⅱ）解：当x＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立，取，则，…（5分）再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），则，故g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，…（7分）故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，故x∈（0，a）时，g（x）＜0；x∈（a，+∞）时，g（x）＞0，故，故k max=3…（8分）（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知：，∴令，…（10分）又ln [（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n （n +1））]=ln （1+1×2）+ln （1+2×3）+…+ln（1+n ×（n +1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n （n +1）]＞e 2n ﹣3…（14分）赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 图象定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< 变化对图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数。

2021—2021学年度上学期高三年级二调考试数学〔理科〕第一卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，，那么〔〕A. B. C. D.2. 为虚数单位，为复数的共轭复数，假设，那么〔〕A. B. C. D.3. 设正项等比数列的前项和为，且，假设，，那么〔〕A. 63或120B. 256C. 120D. 634. 的展开式中的系数是〔〕A. 1B. 2C. 3D. 125. 中，，那么为〔〕A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形6. 等差数列的公差，且，，成等比数列，假设，为数列的前项和，那么的最小值为〔〕A. B. C. D.7. 如，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视，那么该三棱锥的体积为〔〕学|科|网...学|科|网...A. B. C. D.8. 函数〔为常数，〕的像关于直线对称，那么函数的像〔〕A. 关于直线对称B. 关于点对称C. 关于点对称D. 关于直线对称9. 设，假设关于，的不等式组表示的可行域与圆存在公共点，那么的最大值的取值范围为〔〕A. B. C. D.10. 函数〔，〕，其像与直线相邻两个交点的间隔为，假设对于任意的恒成立，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.11. 定义在上的奇函数的导函数为，当时，满足，那么在上的零点个数为〔〕A. 5B. 3C. 1或3D. 112. 函数的像上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的像上，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.第二卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. ，那么__________．14. 锐角的外接圆的半径为1，，那么的取值范围为__________．15. 数列满足，那么数列的前100项和为__________．16. 函数象上不同两点，处切线的斜率分别是，，规定〔为线段的长度〕叫做曲线在点与之间的“弯曲度〞，给出以下命题：①函数象上两点与的横坐标分别为1和2，那么；②存在这样的函数，象上任意两点之间的“弯曲度〞为常数；③设点，是抛物线上不同的两点，那么；④设曲线〔是自然对数的底数〕上不同两点，，且，假设恒成立，那么实数的取值范围是．其中真命题的序号为__________．〔将所有真命题的序号都填上〕三、解答题〔本大题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17. 如，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．〔1〕求的长；〔2〕假设，求的值．18. 如下，，分别是单位圆与轴、轴正半轴的交点，点在单位圆上，〔〕，点坐标为，平行四边形的面积为．〔1〕求的最大值；〔2〕假设，求的值．19. 数列满足对任意的都有，且．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，务实数的取值范围．20. 函数，．〔1〕求函数的单调区间；〔2〕假设关于的不等式恒成立，求整数的最小值．21. 函数〔其中，为自然对数的底数，…〕．〔1〕假设函数仅有一个极值点，求的取值范围；〔2〕证明：当时，函数有两个零点，，且．请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程将圆〔为参数〕上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到曲线．〔1〕求曲线的普通方程；〔2〕设，是曲线上的任意两点，且，求的值．23. 选修4-5：不等式选讲函数，．〔1〕当时，解不等式；〔2〕假设存在满足，求的取值范围．。

第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设,a b R ∈，则“2()0a b a -<”是“a b <”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．非不充分不必要条件 2、若,x y ，满足010x y x x y +≥⎧⎪≥⎨⎪-≥⎩，则下列不等式恒成立的是A ．1y ≥-B ．2x ≥C ．220x y ++≥D ．210x y -+≥3、一个由实数组成的等比数列，它的前6项和是前3项和的9倍，则此数列的公比为A ．2B ．3C ．12D ．134、已知a b >，二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，则22a b a b+-的最小值为 A ．1 B 2 C ．2 D ．225、在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2320x x -+=的两根，则6a 的值是 A ．2±．2-2 D ．2±6、已知点(,)a b 在圆221x y +=上，则函数()2cos sin cos 12a f x a xb x x =+--的最小正周期和最小值分别为A ．32,2π-B ．3,2π-C ．5,2π- D ．52,2π- 7、在数列{}n a 中，121,2a a ==，若2122n n n a a a ++=-+，则n a 等于A ．3126555n n -+ B ．32594n n n -+- C ．222n n -+ D ．2254n n -+ 8、如图所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成，它们的圆心分别是O ,12,O O动点P 重A 点出发沿着圆弧按A O B C A D B →→→→→→的路线运动（其中12,,,,A O O O B 五点共线），记点P 运动路程为x ，设21,y O P y =于x 的函数关系为()y f x =，则()y f x =的大致图象是9、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213211234(),27n n S a a a a a a -=+++=L ，则6a =A ．27B ．81C ．243D ．72910、已知函数()sin (1)cos t x f x t t x +=>+的最大值和最小值分别是,M m ，则,M m 为 A ．1 B ．2 C ．-1 D ．-2 11、已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,x x x x ， 且1234x x x x <<<，则3122341()x x x x x ++的取值范围是 A ．(1,)-+∞ B ．(1,1)- C ．(,1)-∞ D ．[1,1)-12、已知正实数,,a b c ，若22241a b c ++=，则232ab ac bc ++的最大值为A ．1B ．22C 2D ．22 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

第1页/共15页 2015-2016学年度下学期高三年级一调考试 数学试卷（理科） 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.已知复数,zxyixyR，且有11xyii，则z（ ） A．5 B．5 C．3 D．3 2.已知全集UR，集合21|60,|04xAxxxBxx，那么集合UACB

（ ） A．|24xx B．|34xxx或 C．|21xx D．|13xx 3.在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为20xy，则它的离心率为（ ）

A．5 B．52 C．3 D．2 4.执行所示框图，若输入6,4nm，则输出的p等于（ ） A．120 B．240 C．360 D．720 第2页/共15页

5.某校高三理科实验班有5名同学报名参加甲，乙，丙三所高校的自主招生考试，没人限报一所高校，若这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考，那么这5名同学不同的报考方法种数共有（ ） A．144种 B．150种 C．196种 D．256种 6.在ABCV中，三边之比::2:3:4abc，则sin2sinsin2ABC（ ） A．1 B． 2 C．-3 D．12

8.将函数sin2fxx的图像向右平移02个单位后得到函数gx的图像，若对满足122fxfx的12,xx，有12min3xx，则（ ） A．512 B．3 C．4 D．6 9.某几何体的三视图如右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（ ） 第3页/共15页

A．4 B．283 C．443 D．20 10.已知nS和nT分别为数列na与数列nb的前n项和，且4513,,nbnnnaeSeSeaenN