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第四章平面杆件体系的几何组成分析4.1 几何组成分析的基本概念结构是由若干根杆件通过结点间的连接及与支座连接组成的。
结构是用来承受荷载的，因此必须保证结构的几何构造是不可变的。
例如：4.1.1 几何不变体系和几何可变体系1. 几何不变体系(geometrically unchangeable system)：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状不能改变。
2. 几何可变体系(geometrically changeable system)：不考虑材料的变形，在微小荷载作用下，不能保持原有几何形状和位置的体系。
图4-1 几何可变体系和不变体系显然只有几何不变体系可作为结构，而几何可变体系是不可以作为结构的。
因此在选择或组成一个结构时必须掌握几何不变体系的组成规律。
4.1.2 自由度和约束1.自由度(degree of freedom) ：自由度是指体系运动时，可以独立改变的几何参数的数目；即确定体系位置所需（平移和转动）独立坐标的数目。
（1）平面内一质点有2个自由度；x方向和y方向的运动（2）平面内一刚片有3个自由度；任意点的（x，y）坐标一个绕该点的转动角度。
（3）地基是自由度为零的刚片。
图4-2 点和刚体的平面自由度2. 约束：(restraint) ：限制物体自由度的外部条件。
或体系内部加入的减少自由度的装置。
当对刚体施加约束时，其自由度将减少。
能减少一个自由度的约束称为一个联系，能减少n个自由度的约束称为增加了n个联系。
（1）链杆（chainbar）：仅在两处与其它物体用铰相连，不论其形状和铰的位置如何。
一根链杆可以减少体系一个自由度，相当于一个约束。
一根链杆相当于一个约束。
链杆连接的两个刚片（减少一个）有五个自由度。
固定一地基上连杆，被连接的刚片（减少一个）还剩2个自由度。
（2）单铰：连结两个刚片的铰。
加单铰前构成体系的两个刚片共有六个自由度。
加单铰后体系有四个自由度。
一个刚片可以自由运动，但是，另一个刚片只能绕结点转动。
第四节图乘法求位移略第五节超静定结构一、平面体系的几何组成分析（一）几何不变体系、几何可变体系1．几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，任意荷载作用后体系的位置和形状均能保持不变[图5-56 (a)、(b)、(c)]。
这样的体系称为几何不变体系。
2．几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，即使在微小的荷载作用下，也会产生机械运动而不能保持其原有形状和位置的体系[图5-56 (d)、(e)、(f)]称为几何可变体系（也称为常变体系）。
（二）自由度和约束的概念1．自由度图5-56在介绍自由度之前，先了解一下有关刚片的概念。
在几何组成分析中，把体系中的任何杆件都看成是不变形的平面刚体，简称刚片。
显然，每一杆件或每根梁、柱都可以看作是一个刚片，建筑物的基础或地球也可看作是一个大刚片，某一几何不变部分也可视为一个刚片。
这样，平面杆系的几何组成分析就在于分析体系各个刚片之间的连接方式能否保证体系的几何不变性。
图5-57自由度是指确定体系位置所需要的独立坐标（参数）的数目。
例如，一个点在平面内运动时，其位置可用两个坐标来确定，因此平面内的一个点有两个自由度[图5-57（a）]。
又如，一个刚片在平面内运动时，其位置要用x、y、φ三个独立参数来确定，因此平面内的一个刚片有三个自由度[图5-57 (b)]。
由此看出，体系几何不变的必要条件是自由度等于或小于零。
那么，如何适当、合理地给体系增加约束，使其成为几何不变体系是以下要解决的问题。
2．约束和多余约束减少体系自由度的装置称为约束。
减少一个自由度的装置即为一个约束，并以此类推。
约束主要有链杆（一根两端铰接于两个刚片的杆杆称为链杆，如直杆、曲杆、折杆）、单铰（即连接两个刚片的铰）和刚结点三种形式。
假设有两个刚片，其中一个不动设为基础，此时体系的自由度为3。
若用一链杆将它们连接起来，如图5-58（a）所示，则除了确定链杆连接处A的位置需一转角坐标外，确定刚片绕A转动时的位置还需一转角坐标，此时只需两个独立坐标就能确定该体系的运动位置，则体系的自由度为2，它比没有链杆时减少了一个自由度，所以一根链杆相当于一个约束；若用一个单铰把刚片同基础连接起来，如图5-58 (b)所示，则只需转角坐标够就能确定体系的运动位置，这时体系比原体系减少了两个自由度，所以一个单铰相当于两个约束；若将刚片同基础刚性连接起来，如图5-58 (c)，则它们成为一个整体，都不能动，体系的自由度为0，因此刚结点相当于三个约束。
第二章结构的几何组成分析李亚智航空学院·航空结构工程系2.1 概述结构要能承受各种可能的载荷，其几何组成要稳固。
即受力结构各元件之间不发生相对刚体移动，以维持原来的几何形状。
在任意载荷作用下，若不考虑元件变形，结构保持其原有几何形状不变的特性称为几何不变性。
在载荷作用下的系统可分为三类。
2.1.1 几何可变系统特点：不能承载，只能称作“机构”。
213 4P2’3’2.1.2 几何不变系统特点：能承载，元件变形引起几何形状的微小变化，可以称为结构。
2.1.3 瞬时几何可变系统特点：先发生明显的几何变形，而后几何不变。
P2 1 342’3’2’ 3’P213 45∞→=2321N N 123P内力巨大，不能作为结构。
N 21N 23P2由以上分析可见，只有几何不变的系统才能承力和传力，作为“结构”。
系统几何组成分析的目的：（1）判断系统是否几何不变，以决定是否能作为结构使用；（2）掌握几何不变结构的组成规律，便于设计出合理的结构；（3）区分静定结构和静不定结构，以确定不同的计算方法。
2.2 几何不变性的判断2.2.1 运动学方法将结构中的某些元件看成自由体，拥有一定数量的自由度；将结构中的另一些元件看成约束。
如果没有足够多的约束去消除自由度，系统就无法保持原有形状。
所谓运动学方法，就是指这种引用“约束”和“自由度”的概念来判断系统几何不变性的方法。
1、自由度与约束 （1）自由度的定义决定一物体在某一坐标系中的位置所需要的独立变量的数目称为自由度，用n 表示。
平面一个点有2个独立坐标，故 n =2 空间一个点有3个独立坐标，故n =3xyy∆x∆AA 'xyAy Ax AzAz A 'O空间一根杆有5个自由度， 一个平面刚体（刚片、刚盘）或一根杆有3个自由度，n =3xyAy Ax AzAz A 'OBB 'αθxyy∆x∆AA 'OAx Ay θ∆一个空间刚体有6个自由度，n =6θα,,,,A A A z y x ( )， n =5（2）约束的定义约束定义为减少自由度的装置，用c 来表示。
