第2章结构的几何构造分析
本章内容：§2-1 几何构造分析的几个概念
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
§2-4 在求解器中输入平面结构体系(略)
§2-5 用求解器进行几何构造分析(略)
§2-6 小结
主要内容：
第三讲
§2-1 几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系
一般结构必须是几何不变体系
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。
几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。
2. 自由度
平面内一点有两种独立运动方式，即一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立运动方式，即一个刚片在平面内有三个自由度。
自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
3. 约束
一个支杆相当于一个约束，如图(a)；一个铰相当于两个约束，如图(b)；一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)
4. 多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不减少，此约束称为多余约束。
有一根链杆是多余约束
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；经微小位移后又成为几何不变体系；在任一瞬变体系中必然存在多余约束。
可变体系
瞬变体系：可产生微小位移
常变体系：可发生大位移
6. 瞬铰
O为两根链杆轴线的交点，刚片I可发生以O为中心的微小转动，O点称为瞬时转动中心。
两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为瞬铰。
7. 无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基础相连接，则两根链杆的交点在无穷远处。
两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义
（1）每一个方向有一个∞点；
（2）不同方向有不同的∞点；
（3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；
（4）各有限点都不在线∞上。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
1. 三个点之间的连接方式
规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连，则所组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。
2. 一个点与一个刚片之间的连接方式
规律2 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
3. 两个刚片之间的连接方式
规律3 两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
4. 三个刚片之间的连接方式
规律4 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
如图(a)。
两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，如图(b)。
瞬变体系（三链杆交于同一点）
规律5（如图(b) ）
两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
四种基本组成规律三种基本装配格式
（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定在基本刚片上，称为简单装配格式。
如图：
（2）固定一个刚片的装配格式：用不共线的铰和一根链杆，或用不共点的三根链杆将一个刚片II固定在基本刚片I上，称为联合装配格式。
如图：
（3）固定两个刚片的装配格式：用不共线的三个铰将两个刚片Ⅱ、Ⅲ固定在基本刚片I上，称为复合装配格式。
如图：
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩大的基本刚片，直至形成整个体系。
如图：
（2）从内部刚片出发进行装配：在体系内部选取一个或几个刚片作为基本刚片，将周围的部件按基本装配格式进行装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。
将扩大的基本刚片与地基装配起来形成整个体系。
如图：
例2-1 试分析图示体系的几何构造。
解（1）分析图(a)中的体系
三角形ADE—刚片I，三角形AFG—刚片Ⅱ，基础—刚片Ⅲ，A、B、C、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。
（2）分析图(b)中的体系
折线杆AC—链杆2，折线杆BD—链杆3，T形刚片由链杆1、2、3与基础相连。
如三链杆共点，则体系是瞬变的。
否则，体系为无多余约束的几何不变体系。
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解（1）分析图(a)中的体系
以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部为几何不变，且无多余约束。
作为一个整体，体系对地面有三个自由度。
（2）分析图(b)中的体系
同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是瞬变的。
例2-3 试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何不变性。
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰OⅠ,Ⅱ、OⅡ,Ⅲ、OⅠ,Ⅲ两两相连，其中OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。
如果另外两铰的连线与链杆1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。
否则，体系为几何不变，且无多余约束。
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰两两相连，其中OⅠ,Ⅱ和OⅡ,Ⅲ是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应∞线上的两个不同的点。
铰OⅠ,Ⅲ对应有限点。
因有限点不在∞线上，则三铰不共线，体系为几何不变，且无多余约束。
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ之间的三个铰都在无穷远瞬点。
由于各∞点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。
总结
（1）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。
（2）要注意约束的等效替换。
（3）体系的装配方式可以不同。
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
S—体系自由度的个数
n—体系多余约束的个数
W—计算自由度
体系是由部件加约束组成：
a—各部件的自由度数的总和
c—全部约束中的非多余约束数
d—全部约束的总数
S=a-c W=a-d S-W=n
S≥0 n≥0
S≥W n≥-W
W 是自由度数S 的下限，（–W）是多余约束数n的下限
（a）内部没有多余约束的刚片
（b）内部有一个多余约束的刚片
（c）内部有两个多余约束的刚片
（d）内部有三个多余约束的刚片
图(a)两个刚片ⅠⅡ间的结合为单结合。
图(b)三个刚片间的结合相当于两个单结合，n个刚片间的结合相当于（n-1）个单结合。
单链杆：连接两点的链杆相当于一个约束
复链杆：连接n个点的链杆相当于2n-3个单链杆
自由度算法一（体系由刚片加约束组成）
m—体系中刚片的个数
g—单刚结个数
h—单铰结个数
b—单链杆根数
刚片自由度个数总和：3m
体系约束总数：3g+2h+b
体系计算自由度：
W=3m-（3g+2h+b）
自由度算法二（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数
b—单链杆根数
结点自由度个数总和：2j
体系约束总数： b
体系计算自由度：W=2j-b
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的
若W=0，则S=n，如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则
为几何可变
若W＜0，则n＞0，体系有多余约束
例2-4 试计算图示体系的W。
方法一：
m=7，h=9，b=3，g=0
W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0
方法二：
j=7，b=14
W=2j-b=2×7-14=0
例2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4，g=3
W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10
体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10 具有10个多余约束的几何不变体系
例2-6 试计算图示体系的W。
两个体系j=6，b=9，W=2j-b=2×6-9=3 图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
S-3=0 n=0
图(b)是一个内部瞬变且有多余约束的体系
S-3= n＞0
§2-6 小结
1 几何构造分析的两个主要问题
对杆件体系进行几何构造分析
判断体系是否可变，确定S
判断体系中有无多余约束，确定n
对杆件结构进行几何构造分析
结构应是几何不变体系，S=0
结构分为静定（n=0）和超静定（n＞0）。
