《结构力学》龙驭球第2章_结构的几何构造分析

线，体系为几何不变，且无多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ之间的三个铰都在无穷远瞬点。 由于各∞点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
总结
（1）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。 （2）要注意约束的等效替换。 （3）体系的装配方式可以不同。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
Байду номын сангаас
瞬变体系（三链杆交于同一点）
规律5（如图(b) ）
点，
两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一
则组成几何不变的整体，且没有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
四种基本组成规律
三种基本装配格式
（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定 在基本刚片上，称为简单装配格式。如图：
第2章 结构的几何构造分析
§2-1 几何构造分析的几个概念 §2-2 平面几何不变体系的组成规律
§2-3 平面杆件体系的计算自由度 §2-4 在求解器中输入平面结构体系(略) §2-5 用求解器进行几何构造分析(略) §2-6 小结
§2-1 几何构造分析的几个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系
一般结构必须是 几何不变体系
连，其中 OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆
1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何
不变，且无多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
OⅡ,Ⅲ
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰两两相连， 其中OⅠ,Ⅱ和
是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应∞线上的两个不同的
点。铰OⅠ,Ⅲ对应有限点。因有限点不在∞线上，则三铰不共
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个扩
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一
大的基本刚片，直至形成整个体系。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（2）从内部刚片出发进行装配：在体系内部选取一个或几个
进行
刚片作为基本刚片，将周围的部件按基本装配格式
例 2-4 试计算图示体系的W。
方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0 W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0
方法二：
j=7，b=14 W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b)
m=1，h=0，b=4， g=3
单链杆：连接两点的链杆
约束
相当于一个
复链杆：连接n个点的链杆
个单链杆
相当于2n-3
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
自由度算法一（体系由刚片加约束组成）
m—体系中刚片的个数 刚片自由度个数总和：3m
g—单刚结个数
体系约束总数： 3g+2h+b
h—单铰结个数
体系计算自由度：
b—单链杆根数
W=3m-（3g+2h+b）
╳
3. 图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、 ╳
杆2形成的瞬铰。 ╳
4. 图示体系是几何不变体系。
1
2
A
题3图
题4图
二、选择填空
1. 体系计算自由度W≤0是保证体系几何不变的 A
条件。A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系
是D
。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体
体系。 （2）分析图(b)中的体系
折线杆AC—链杆2，折线杆BD—链杆3，T形刚片由链杆1、
2、3与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。否则，体系 为无多余约束的几何不变体系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡⅢ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系
(b)
1
2
3
图b属几何 B
体系。
1.2.10
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
1.2.11
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何 B 的
体系。
A.不变且无多余约束
B.瞬变
C.常变
D. 不变，有多余约束
8.图示体系为：—A ———
A.几何不变无多余约束 C.几何常变
系
3. 图示C结.瞬构变为体了系受力需要一D.共体设系置的了组五成个不支确座定链杆，对
于保持其几何不变来说有2 个多余约束，其中第1
个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。
1
2
3
4
5
4.多余约束”从哪个角度来看才是多余的?（ A ） A.从对体系的自由度是否有影响的角度看 B.从对体系的计算自由度是否有影响的角度看 C.从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度
思考题
1. 几何可变体系是否在任何荷载作用下都不能平衡？
提示：如图。
F
F
2. 有多余约束的体系一定是超静定结构 吗？
3. 图中的哪一个不是二元体(或二杆结点)？
(a)
(b)
(c)
(d)
4. W0 是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗？
一、判断题
1. 瞬变体系的计算自由度一定等零。
╳
2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。
内部为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有 三个自由度。
（2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部
也是瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-3 试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各 三铰拱的几何不变性。
两相
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰OⅠ,Ⅱ、OⅡ,Ⅲ、OⅠ,Ⅲ两
§2-6 小结
2 几何构造分析中采用的方法
经典方法： 主要作法应用组成规律，辅助作法求体系的计算自由度数
W。
计算机方法： 利用求解器分
析 3 关于三角形规律的运用问题
三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律 学会搭积木的方法：整个体系是搭起来的 装配方式有：从内部刚片出发或从地基出发进行装配 进行等效变换：瞬铰替代两个链杆，直线链杆替代曲线链杆等
W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10
体系几何不变，S=0
n=S-W=0-（-10）=10
具有10个多余约束的几何不变体系
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-6 试计算图示体系的W。
两个体系
j=6，b=9， W=2j-b=2×6-
9=3
图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
§2-6 小结
4 关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
对象的自由度数小于约束数 体系有多余约束 如体系为几何可变，则为超静定结构
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系； 经微小位移后又成为几何不变体系； 在任一瞬变体系中必然存在多余约束。
瞬变体系：可产生微小位移 可变体系
常变体系：可发生大位移
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰
O为两根链杆轴线的交点， 刚片I可发生以O为中心的微小转动， O点称为瞬时转动中心。
（a）内部没有多余约束的刚片 （b）内部有一个多余约束的刚片 （c）内部有两个多余约束的刚片 （d）内部有三个多余约束的刚片
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
图(a)两个刚 片ⅠⅡ
间的结合为单结合。
合相
图(b)三个刚片间的结
当于两个单结合，n个刚片间的
结合相当于（n-1）个单结合。
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
S—体系自由度的个数 n—体系多余约束的个数 W—计算自由度
体系是由部件加约束组成：
a—各部件的自由度数的总和 c—全部约束中的非多余约束数 d—全部约束的总数
S=a-c S-W=n
W=a-d
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
S≥0
n≥0
S≥W
n≥-W
W 是自由度数S 的下限，（–W）是多余约束数 n的下限
B.几何不变有多余约束 D.几何瞬变。
题7图
题8图
9.图示体系是 A 。（3分） A.无多余约束的几何不变体系 B.有无多余约束的几何不变体系
B.瞬变体系 D.常变体系
I II III
题9图
10.对图示结构作几何组成分析。
(a)
(b)
1
A
B
A2
B
I
II
C
D
CE
III
解：将刚片ABC 做等效变换，变换成三角形，并选择刚 片如图b。刚片I与基础III之间由铰A相连，刚片II与 基础III之间由铰B 相连，刚片I、刚片II之间由链杆 1、2 组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰B 的
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。
几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。
§2-1 几何构造分析的几个概念
2. 自由度
平面内一点有两种独立运动方式， 即一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立运动方式， 即一个刚片在平面内有三个自由度。
规律3
两个刚片用一
个铰和一根链杆相连，且
三个铰不在一直线上，则
组成几何不变的整体，且
没有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
4. 三个刚片之间的连接方式
规律4 线
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直
上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。如图(a)。
两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，如图(b)。
自由度算法二（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数 b—单链杆根数
结点自由度个数总和：2j
体系约束总数：
b
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的 若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则
为几何可变
若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束
两根链杆所起的约束作用相当于 在链杆交点处的一个铰所起的约束作用， 这个铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基 础相连接， 则两根链杆的交点在无穷 远处。两根链杆所起的约束作用相当于 无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
§2-2 平面几何不变体系的组成规 律
1. 三个点之间的连接方式
规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连， 则所组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没 有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规
律
2. 一个点与一个刚
3. 两个刚片之间的连
片之间的连接方式
接方式
规律2 一个刚片与 一个点用两根链杆相连，且三个 铰不在一直线上，则组成几何不 变的整体，且没有多余约束。
自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
§2-1 几何构造分析的几个概念
3. 约束
一个支杆相当于一个约束，如图(a) 一个铰相当于两个约束，如图(b) 一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)
§2-1 几何构造分析的几个概念
4. 多余约 束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由
度并不减少，此约束称为多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（2）固定一个刚片的装配格式：用不共线的铰和一根链杆，或用
称为联
不共点的三根链杆将一个刚片II固定在基本刚片I上，
合装配格式。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（3）固定两个刚片的装配格式：用不共线的三个铰将两个刚片 Ⅱ、Ⅲ固定在基本刚片I上，称为复合装配格式。如图：
看 D.从区分静定与超静定两类问题的角度看
5.下列各个简图分别有几个多余约束： 图a 个0多余约束 图b 个多余1 约束 图c 个3多余约束 图d 个多余2 约束
(a)
(b)
(c)
(d)
6.图a 属几何 A
体系。
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
(a)
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
基本
装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。将扩大的
刚片与地基装配起来形成整个体系。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-1 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系
三角形ADE—刚片I，三角形AFG—刚片Ⅱ，基础—刚片 Ⅲ，A、B、C、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变
S-3=0 n=0
图(b)是一个内部瞬变且有多余约束的体系
S-3= n＞0
§2-6 小结
1 几何构造分析的两个主要问题 对杆件体系进行几何构造分析
判断体系是否可变，确定S 判断体系中有无多余约束，确定n
对杆件结构进行几何构造分析
结构应是几何不变体系，S=0 结构分为静定（n=0）
和超静定（n＞0）