结构力学2平面体系的几何组成分析

• 自由度分析：几何不变的必要条件。 自由度分析：几何不变的必要条件。 • 几何组成分析：充分条件。 几何组成分析：充分条件。
五、刚片： 刚片：
• 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变，将 作体系几何组成分析时，不考虑材料应变， 构件视为刚体－－刚片。 －－刚片 构件视为刚体－－刚片。 • 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。 平面内的一根梁、链杆、任何几何不变的部分。
m: 刚片数 h: 单铰数 r: 支座链杆数
• 链杆体系 w = 2 j－ ( b + r )
j: 铰接点数 b: 杆件数 r: 支座链杆数
2. 体系的几何组成分析
规则一（二元体规则） 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 规则一（二元体规则）: 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 并不改变体系的几何不变性或可变性。 并不改变体系的几何不变性或可变性。 规则二（两刚片规则）: 两刚片用三根即不相交于一点又不完 规则二（两刚片规则） 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系， 全平行的链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 规则三（三刚片规则） 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 规则三（三刚片规则）: 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。 该体系为几何不变体系，且没有多余约束。
2. 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 计算平面体系的自由度并分析其几何组成。 • 刚片体系 w ＝ 3m－（2h ＋ r ） ＝3×3－（2 ×3＋6） ＝－1 有一个多余联系 II III I 有一个多余联系的几何不变体系。 有一个多余联系的几何不变体系。 两刚片规则 二元体规则
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平面体系的几何组成分析习题课
1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：几何可变体系；无需再进行几何组 ） ：几何可变体系； 成分析。 成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，尚 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 需进行几何组成分析。 需进行几何组成分析。 • 刚片体系 w = 3m－ ( 2h + r )
几何可变体系 无多余联系的几何不变体系 体系 几何不变体系 瞬变体系 有多余联系的几何不变体系
• •
三、 平面体系的几何组成分析
分析步骤： 分析步骤： 1. 计算体系的自由度w （1）w ＞ 0：体系缺少足够的约束，是几何可变 ） ：体系缺少足够的约束， 体系；无需再进行几何组成分析。 体系；无需再进行几何组成分析。 （2）w ≤ 0：体系满足几何不变的必要条件，但 ） ：体系满足几何不变的必要条件， 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 是否几何不变，尚需进行几何组成分析。 2. 体系的几何组成分析 （1）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 ）由规则一可将二元体逐一撤除使分析简化。 （2）将基础、体系中的一根链杆、一根梁或某些 ）将基础、体系中的一根链杆、 几何不变的部分视为刚片。 几何不变的部分视为刚片。 （3）应用规则二、三进行判断。 ）应用规则二、三进行判断。
瞬间几何可变－－瞬变体系 瞬间几何可变－－瞬变体系 －－
二、瞬变体系
B A C
FAB
A P
FAC
B
α
A
α
C
P
FAC ＝ FAB ＝ P/(2sin α) 瞬变体系不可做为结构使用。 瞬变体系不可做为结构使用。
关于几何不变体系的说明： 关于几何不变体系的说明：
• 几何不变体系的组成规则指明了最低限度的联 系数目， 系数目，按照规则组成的体系称为无多余联系 的几何不变体系。 的几何不变体系。 体系中联系数目少于规定的数目时， 体系中联系数目少于规定的数目时，体系成为 几何可变体系。 几何可变体系。 体系中的联系数目多于规定的数目， 体系中的联系数目多于规定的数目，称为有多 余联系的几何不变体系。 余联系的几何不变体系。
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一、几何不变体系的组成规则
2. 规则二（两刚片规则） 规则二（两刚片规则） • 两刚片用一单铰和一根链杆相联，三铰不在一 两刚片用一单铰和一根链杆相联， 条直线上，该体系为几何不变体系， 条直线上，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。 • 两刚片用三根即不相交于一点又不完全平行的 链杆相联，该体系为几何不变体系， 链杆相联，该体系为几何不变体系，且没有多 余约束。 余约束。
常见约束： 常见约束：
y
B A
（4）固定铰： ）固定铰：
w=1
ϕ1
• 固定铰为两个联系。 固定铰为两个联系。
x
（5）固定端和刚结点： ）固定端和刚结点： • 为三个联系。 为三个联系。
4. 平面体系自由度的计算： 平面体系自由度的计算： 体系：若干刚片加入某些联系组成。 体系：若干刚片加入某些联系组成。 自由度的计算： （1）刚片体系自由度的计算： ）刚片体系自由度的计算
常见约束： 常见约束： （3）复铰： ）复铰：
y B D
ϕ3 ϕ2
x A y
ϕ1
w=9-4=5 w=9-2(n-1)=5 x
• 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 联接三个刚片的一个复铰减少了四个自由度， 相当于两个单铰，为四个联系。 相当于两个单铰，为四个联系。 • 联接 n 个刚片的一个复铰减少了 2(n-1) 个自由 个单铰作用。 度，相当于 (n-1) 个单铰作用。
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§ 2－3 平面体系的几何组成分析 －
一、几何不变体系的组成规则
1. 规则一（二元体规则） 规则一（二元体规则） • 一个刚片与一个点用两链杆相联，三铰不在一 一个刚片与一个点用两链杆相联， 直线上，该体系为几何不变体系， 直线上，该体系为几何不变体系，且没有多余 约束。 约束。 • 在一个刚片上加上或减去一个二元体，并不改 在一个刚片上加上或减去一个二元体， 变体系的几何不变性或可变性。 变体系的几何不变性或可变性。 二元体： 二元体：两根不在一直线 上的链杆与一个结点 相联。 相联。
x A y
ϕ1
ϕ2
ϕ3
D
x
w=6-1=5
常见约束： 常见约束： （2）单铰： ）单铰：
y B
ϕ2
x
ϕ1
y
C
w=6-2=4
A
x
• 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 一个单铰减少了两个自由度，相当于两根链杆， 为两个联系。 为两个联系。 • 两根链杆相当于一个单铰。 两根链杆相当于一个单铰。
虚铰
单铰相当于两个约束
一、几何不变体系的组成规则
3. 规则三（三刚片规则） 规则三（三刚片规则） • 三刚片用不在同一直线上的单铰相联，该体系 三刚片用不在同一直线上的单铰相联， 为几何不变体系，且没有多余约束。 为几何不变体系，且没有多余约束。
二、瞬变体系
• 定义：原来为几何可变体系，发生微小位移后 定义：原来为几何可变体系， 成为几何不变体系。 成为几何不变体系。
ϕ
3. 联系（约束）： 联系（约束）： • 能减少自由度的装置 • 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。 多余约束：加入某种装置，自由度不减少。
常见约束： 常见约束： （1）链杆： ）链杆：
I w=3-1=2
• 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。 一根链杆减少了一个自由度，为一个联系。
y B C
§ 2－2 平面体系的自由度 －
1. 自由度的定义：：体系运动时，用来完全确定 自由度的定义：：体系运动时， ：：体系运动时 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 其位置的独立几何参数（坐标）的数目。 y B 2. 自由度的确定： 自由度的确定：
A点：两个自由度。 点 两个自由度。 刚片AB：三个自由度。 刚片 ：三个自由度。 x A y x
P
P
二、几何可变体系
• 在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形 在不考虑材料应变的条件下， 状是可以改变的。（几何不稳定） 。（几何不稳定 状是可以改变的。（几何不稳定）
机 械 工 程 和 勘 探 工 程
P
P
• 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。 结构是用来承受载荷的，必须是几何不变体系。
例1： ：
G
例2： ：
E
D
E
F
II
B K A
F
III
II
A B C
D
C
I 瞬变体系
I 无多余联系的几何不变体系
例3： ：
1 2 3
w=2j-(b+r)=2×8-(13+3)=0 4
5 6 1 2 7 3 8 4
5
I
6 7 8
II
几 何 可 变 体 系
例4： ： A I B
两刚片规则 C II D
§ 2－4 几何组成与静定性的关系 －
• • • • 几何可变体系：体系的自由度大于零， 几何可变体系：体系的自由度大于零，在任意 载荷作用下，体系将产生运动， 载荷作用下，体系将产生运动，平衡条件不成 立。 无多余联系的几何不变体系： 无多余联系的几何不变体系：体系的自由度与 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立， 约束数相同，在任意条件下平衡条件成立，仅 凭平衡条件即可求解。 凭平衡条件即可求解。 有多余联系的几何不变体系： 有多余联系的几何不变体系：体系的自由度小 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－ －－超静 于约束数目，仅凭平衡条件无法求解－－超静 定结构。 定结构。 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 瞬变体系：有无多余联系不仅取决于约束数目， 且与约束布置有关。 且与约束布置有关。
铰接点数
j＝ 4
支座链杆数
b＝ 5 r＝ 4
w = 2 j－ ( b + r )
杆件数
w = －1
例：计算链杆体系自由度： 计算链杆体系自由度： 链杆体系自由度 w ＝ 2 j－ ( b + r ) ＝ 2×8－（13＋3） ＝0