1序数和基数1. 序数定义1.1 对于任何集合，若其任何元素都是其子集，则称该集合是传递的（transitive ）。
定义1.2 若某集合是传递的且∈在该集合上是良序，则称该集合为序数（ordinal number ，简称ordinal ）。
根据定义，所有自然数都是序数，称为有限序数。
所有自然数组成的集合是一个序数，它是最小的无穷序数，记为ω或者N 。
后继序数：若α是序数，则α的后继{}αα也是序数，称为后继序数。
极限序数：若α>0且不是后继序数，则称为极限序数。
极限序数一定是一个无穷递增的后继序数序列的并集。
例如，{|}n n ωω=<定义1.3偏序集的同构：isomorphic定理1.4 每个良序集与一个唯一的序数同构。
定理1.5 （超穷归纳）令C 是序数构成的类，并且满足如下3个条件：（i ）0C ∈（ii ）1C C αα∈⇒+∈（iii ）若α是非零极限序数且任何小于它的序数都在C 中，则α也在C 中。
则任何序数都在C 中。
定义1.6（1）有穷序列：（2）无穷序列：（3）超穷序列：定义1.7（序数序列的极限） 设β是一个大于0的极限序数，x α是以β为定义域的单调非减序列，则该序列的极限定义为lim sup{|}x x x x βααβ→=< 定义1.8 序数算术：（1） 加法（addition ）：（2） 乘法（multiplication ）：2（3） 指数（exponentiation ）：2. 基数集合论的出现源于康托当时所思考的一个问题，即比较实数集与自然数集的大小。
实数是无穷多的，自然数也是无穷多的。
这两个无穷是一样的吗？康托选择了一个合适的比较方法，即在两个集合之间建立映射。
若存在从一个集合到另一个集合的单射，则前者不比后者大。
采用这个比较方法，不难证明，整数集和自然数集是一样大的，有理数集与整数集是一样大的。
康托发明了一种新颖的反证法：对角化方法，用此法证明了实数集比自然数集大。
