1自然数的序数理论与基数理论详细版.ppt

专 题
(由所有不属于C但属于A的元素作成的集合）
研 究
则称集合 CA 的基数是 A 与 B 的差，记为
CA A B
︵。︵
5
定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a,b,c N 有
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
（2） a+b = b+a （证明略）
2、自然数的乘除法
初 等
称集合A与B对等，记作A∽B
初
集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足
等 数
学
（1）反身性：A∽A；
专 题
（2）对称性：A∽B，则B∽A；
研 究
（3）传递性：若A∽B，B∽C，那么A∽C
定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样
的集合叫无限集；否则叫做︵。有︵限集
2
2、集合的基数
定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具
其中的 a、 b 叫做加数，
a b 叫做它们的和。
初
等
这个定义实质上给出了加法的具体步骤。
数 学
例1：求3+7
专 题
解：按定义11 3 1 3 4
研 究
3 2 3 1 (3 1) 4 5
3 3 3 2 (3 2) 5 6
如此一步一步做下去，直到 3︵。︵7 3 6 (3 6) 9 10 9
0 1 2 3 ︵。︵
4
二、自然数的四则运算
1、自然数的加减法
定义6：设A、B是两个有限集，并且 A B 则称集合 A B 的基数是集合A与B的基数的和，记为
A B A B
定义7：设A、B是两个有限集，并且 A B , A B
初
等
集合C是集合A中与B对等的子集，
数 学
用符号 CA 表示集合C在集合A中的余集
第一讲 自然数的基数理论与序数理论 1.1、自然数的基数理论 1.2、自然数的序数理论
初 等 数 学 专 题 研 究
︵。︵
1
第一讲 自然数的基数理论与序数理论
1.1、自然数的基数理论
一、自然数的概念
1、集合的对等
自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论
中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就
(2) ab ba
交换律
(3) a(b c) ab ac 乘法对加法的分配率
证明略
初
定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使
等
bc a, a,b,c N
数 学
专
则称c是a除以b的商，记为 c a b, a,b,c N
题 研
究
︵。︵
7
1.2、自然数的序数理论 一、自然数的皮亚诺公理
等 数
学
3、减法
专 题
定理7：对于任意两个自然数 a, b
研 究
当 a b 时，必存在自然数c，使 a b c
定义12 对于任意两个自然数 a, b 并且 a b
使a
记为
b
c成立的自然︵数。︵c叫做a减b的差
cab
12
4、乘法
有相同的基数，集合A的基数记为 A
若 A B 则规定集合A的基数不小于集合B的基数
即
A B
初
定义3：有限集的基数叫做自然数
等 数
学
3、冯·诺伊曼的自然数体系
专 题
研
定义4：设φ表示空集，规定集合φ的基数为0，即
究
0
其余的自然数按下列规则构造：
︵。︵
3
{} 1
{,{}} 2
{,{},{,{}}} 3
定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本
关系叫“后继”（ 用符号“ˊ”表示），并且这个集合以及
这个关系满足下面五条公理:
（1） 1 N
（2）对任意 a N , a 1
初
（3）对任意 a N 有且仅有唯一的后继元 即 a b a b 等
（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，
数 学
即
a b a b
专 题
（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足
研 究
10 20
1 M
a
M
a
M
就可以推出M N
那么这个集合的元素叫做自︵然。︵数。
8
二、序数理论下的自然数四则运算
1、加法
定义11：设 a N 定义 a 1 a
对于 a、b N, 定义 a b (a b)
题 研
究
在这个定义下，任何两个自然数都可以比较大小（顺序）。
也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：
︵。︵
10
定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且
只成立一个： a b, a b, a b
证明从略
除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；
若 ab 则 ba
若 a b, b c（或 a b, b c ），则 a c （或 a c ）。 初
定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意 a,b,c N 有
（1） (a+b)+c = a+(b+c)
（2） a+b = b+a （证明略）
2、自然数的大小
初
等
定义12：对于 a,b N 如果存在 c N 使 a c b
数 学
专
则称a小于b，记为 a b 也称b大于a，记为 b a
（或 a b, c d ），那么 a c b d（或 a c b d ）。
自然数的加法还满足加法消去律：
定理6：设 a, b, c 是三个自然数，
（1）若 a c b c 那么 a b
（2）若 a c b c 那么 a b
初
（3）若 a c b c 那么 a b
数
定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的
学 专
笛卡尔直积 A B {(a,b) | a A,b B} 的基数 A B
题 研
究
叫做 A 与 B 的乘积，记为 A B A B
︵。︵
6
定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意 a,b,c N 有
(1) (ab)c a(bc)
结合律
…………………………
依照上述规则，全体自然数就构造出来：
0，1，2，……，n，……
初
全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示
等 数
即
N {0,1, 2, , n }
学 专
4、自然数的大小
题 研
定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，
究
如果B∽C，则称 A B
按照这个定义，自然数有下列大小关系
等
在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：a, b, c 是三个自然数，
题 研
（1）若 a b 那么 a c b c
究
（2）若 a b 那么 a c b c
（3）若 a b 那么 a c b c
︵。︵
11
推论：设 a, b, c, d 是四个自然数，并且 a b, c d