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第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章 解析函数§1. 解析函数的概念一. 复变函数的导数定义：设复变函数()z f w =在点0z 的某一实心邻域内有定义，当z 从0z 变到zz ∆+0时，相应地有()()00z f z z f w -∆+=∆，若极限：()()zz f z z f zw z z ∆-∆+=∆∆→∆→∆000limlim存在，则称函数()z f 在点0z 可导，且称此极限值为函数()z f 在点0z 的导数,记作()0z f '或z z dzdw =.定义：（复变函数的微分）设复变函数()z f w=在点0z 的某一实心邻域内有定义，当z 从0z 变到z z ∆+0时，若相应地有()()00z f z z f w -∆+=∆=A ()zo z ∆+∆其中A 与z ∆无关，()zo ∆是比z∆更高级的无穷小，则称()z f 在点0z 可微，称A z ∆为()z f 在点0z 的微分，记作dw 或()z df .结论：可导一定可微，反之亦然；可导一定连续，反之不然. 例1. 试证：()2zz f =在z =0处可导.并求其导数值.例 2. 试证：()nz z f =在全平面处处可导，且有：()1-='n nz z f .例3. 试证：()()z z f Re =在全平面处处不可导.二. 解析函数的概念及求导法则1. 解析函数的概念定义：若复变函数()z f w =在点0z 的某一实心邻域内处处可导，则称()z f 在点0z 解析；若复变函数()z f w =在区域D 内的任意一个点上均解析，则称()z f 在区域D 内解析，称()z f 为区域D 内的解析函数.区域D 内的解析函数又称为区域D 内的全纯函数或区域D 内的正则函数。
解析函数是复变函数论研究的主要对象，它是一类具有某种特性的可微函数。
.)( , )(00的奇点为那末称不解析在如果函数z f z z z f问题：函数()z f 在点0z 可导与()z f 在点0z 解析是否是同一概念？函数()z f 在区域D 内可导与()z f 在区域D 内解析是否是同一概念？2. 求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.(1) 四则运算的求导法则()()[]()()()()[]()()()()()()()()()()()()()0.;;2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=''±'='±z g z g z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f(2) 复合函数的求导法则若函数()z f =ξ在区域D 内解析，函数()ξg w =在区域G 内解析，且()G D f ⊂，则复合函数()[]()z h z f g w ==在区域D 内解析，且有()()[]()[]()z f z f g z f g z h w ''='='='(3) 反函数的求导法则若函数()z f W =在区域D 内解析且()0≠'z f ，又反函数()()w w f z ϕ==-1存在且连续，则()()z f w '='1ϕ例4．求函数()143225++-=z z z z f 的解析性区域及在该区域上的导函数.三. 函数解析的充分必要条件定理1（函数解析的必要条件）若函数()iv u z f +=在点0z 可导，则有yu x v yv xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,.且()0z f '=0||z z xv ixu ∂∂+∂∂.定理2（函数可导的充要条件）函数()iv u z f +=在点0z 可导的充要条件是：二元实函数()()y x v y x u ,,,在点0z 可微，且满足C —R 方程：yu xv yv xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,.推论（函数可导的充分条件）函数()iv u z f +=在点0z 可导的充分条件是：二元实函数()()y x v y x u ,,,在点0z 具有连续的偏导数,,,,y x y x v v u u 且满足C —R 方程：yu xv yv xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,.例5. 试证：()()z z z f Re =仅在z =0处可导.并求其导数值.例 6. 设()()2323lxy x i y nx my z f +++=为全平面上的解析函数，试确定l , m , n 的值.例7. 讨论下列函数的可导性及解析性： （1）()()z z f Im = （2）()2zz f =（3）()）（y sin i y cos e e z f xz+==例8 证明函数()xyz f =在点0=z 满足C —R方程，但不可导.例9. 若()z f 在区域D 内解析，而且()0='z f 则()z f 在区域D 内恒为常数.参照以上例题可进一步证明:(9) au+bv =常数.§2. 解析函数和调和函数的关系一. 调和函数的概念如果二元实函数()y x ,ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯方程2222=∂∂+∂∂yxϕϕ则称()y x ,ϕ为区域D 内的调和函数，或说函数()y x ,ϕ在区域D 内调和.定理3 若函数()iv u z f +=在区域D 内解析，则其实部()y x u ,及虚部()y x v ,均为区域D 内的调和函数.二. 共轭调和函数定义： 若二元实函数()y x ,ϕ及()y x ,ψ均为区域.)( arg )8(常数=z f ;)7(2u v = . , )( 则以下条件彼此等价内解析在区域如果D z f ;)( )1(恒取定值=z f ;0)()2(='z f;)( )3(常数=z f;)( )4(解析z f;)](Re[ )5(常数=z f;)](Im[ )6(常数=z fD 内的调和函数，且有yxyx∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ϕψψϕ,则称()y x ,ψ为()y x ,ϕ在区域D 内的共轭调和函数.问题: 若()y x ,ψ为()y x ,ϕ在区域D 内的共轭调和函数,那么()y x ,ϕ是否为()y x ,ψ在区域D 内的共轭调和函数，为什么？三. 解析函数与调和函数的关系定理4 函数()iv u z f +=在区域D 内解析的充要条件是在区域D 内其虚部()y x v ,为实部()y x u ,的共轭调和函数.例10. 验证()233xy x y ,x u -=是调和函数,并求以u (x,y )为实部的解析函数f (z ),使之适合f (0)=i .例11. 已知一调和函数(),y x y sin x y cos y e v x+++= 求一解析函数f (z )=u +iv 使得f (0)=0.例12. 求一解析函数f (z )=u +iv ,已知,xy y x u +-=22().i i f +-=1§3. 初等函数 一. 指数函数1. 指数函数的定义定义： 设iy x z +=为任意复数，我们用关系式()y sin i y coseee xiyx z+==+来定义（复）指数函数. 2. 指数函数的性质(1) 定义域：z 平面，值域：w 平面{}0-； (2) yArgw e exz==,；(3) 21212121,z z z z z z z z ee ee e e ==-+;(4) zik z i k eee==+ππ22,1;即：指数函数ze是周期为i k π2的周期函数.(5)zz e∞→lim 不存在；(6) 指数函数ze 在z 平面处处解析，且()zzee ='.).( 1)( , )(, . , 1322z f i f iv u z f v ky x u k 的并求为解析函数使再求为调和函数使值求例-=+=+=例14 计算ie 43π+-的值.例15. 利用复数的指数表示计算31212⎪⎭⎫⎝⎛++-i i .二. 对数函数1. 对数函数的定义定义： 满足对应法则we z =的函数()zf w =称为对数函数.记作Lnz w =.显然，对数函数是指数函数的反函数。
1第二章 解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数1）定义 2.1.1：设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域)(0z N 内有定义，)(00z N z z z ∈∆+=，若极限zz f z z f z z z f z f z z z z ∆-∆+=--→→)()(lim)()(lim000000存在，且极限值为有限复数，则称函数)(z f w =在点0z 可导或可微，极限值称为)(z f 在点0z 的导数或微商，记为)(0z f '或0z z dz df =，或0z z dz dw=，即zz f z z f z z z f z f z f z z z z ∆-∆+=--='→→)()(lim)()(lim)(0000000。
若)(z f 在区域D 内每点z 均可导，则称)(z f 在区域D 内可导。
这时对于区域D 中的任一z ，都对应着)(z f 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数)(z f '，称之为原来函数)(z f 的导函数，有时也称为导数。
若导数)(z f '又可导，定义)()(z f dz d z f '=''，称为二阶导数，一般地，称)()()1()(z f dzd z f n n -=为)(z f 的n 阶导数。
复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。
2）可导和连续的关系：我们知道，若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立。
那么可导与连续有何关系？设函数)(z f w =在点0z 处可导，则由定义，对于任给的0>ε，对应存在0>δ，使得当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f成立。
令)()()(000z f zz f z z f '-∆-∆+=α那么0lim 0=→∆αz由此得到z z z f z f z z f ∆+∆'=-∆+α)()()(000即0])([lim )]()([lim 00000=∆+∆'=-∆+→∆→∆z z z f z f z z f z z α故有)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆2【注】：与极限情况类似，尽管复函数导数的定义形式与一元实函数导数定义完全相同，但实际上复函数在一点可导的定义比实函数的要荷刻得多。
第二章 解 析 函 数解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．§1．解析函数的概念1．导数与微分 导数定义：设)(z f w=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导，记为)(0z f '，00 ,z z z z dz dfdz dw ==．若)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．例1．求32)(2+=z z f 的导数．解：z z z zz z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，)(C z ∈．（处处可导）．例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？解：z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．yix yix z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim0 0 0． 设z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x xyi x yi x x z ；设z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yiyi yi x yi x y z ． 所以yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，ερ<'-∆-∆+=∆)()()(000z f zz f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000z f z z f z =∆+→∆，)(z f 在0z 连续． “连续≠⇒可导”． 见例2．求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；(3))()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；(5) ) 0)g( ( ,)()()()()()()(2≠'-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6))()(})]([{z g w f z g f ''='，其中)(z g w =；(7) )(1)(z f w '='ϕ， 其中)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．微分：若)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；(c ) 若)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．解：)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；)(2z f 处处不可导，无处解析． y例2．讨论函数 )1(1+=z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：22)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是w 的两个奇点． 称函数)(z f w = 为亚纯函数．定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．§2．函数解析的充要条件判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．定理．函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可微，并且满足Riemann Cauchy－ 方程： xvy u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．此时，有导数公式x y y x v i v iu u z f )(+=-='． （证略）注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；(2) 将点改成区域D ，便得)(z f 在D 内解析的充要条件．例1．判断下列函数是否解析． (1)z z f =)(；(2))sin (cos )(y i y e z f x +=．解：(1)iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．y x v u ≠，不满足R C －方程， 故z z f =)( 无处可导， 无处解析．(2)y e u x cos =，y e v x sin =． 由于⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x yy xx v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数． 例2．证明：若在区域D 内0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='，故0====y x y x v v u u21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ=+≡⇒21)( ．例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？解：y v x u-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21． 故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ． 但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．§3．初 等 函 数1．指数函数： 复变数指数函数：)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z2)(+=． 故0≠z e ．z e z f =)( 具有性质：(1))()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；(2) 若0)Im(==z y ，x e z f =)(； 若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；(3)ze服从加法定理：2121z z z z ee e+=⋅，2121z z z z e e e -=；(4) ze以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e ez i k z ik z ∈=⋅=+ππ．例1．计算 22πi e+． 大写整数集Z解：22222sin 2cos ie i e ei =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πππ．2．对数函数 定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．记作) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==， 而 θi re z =．则θi iv u re e =+， 故θ===r, v u e r u ln ,．这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆z z Ln iArgz z w （多值函数）．若Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=， 称为 z Ln 的主值．其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π． 称为z Ln 的单值分支．特别，当x z x z ln ln , 0=>=时 （实对数函数）．运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，2121Lnz z Ln z z Ln -=．例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．解：i k Ln 23ln 3π+=，)(Z k ∈；主值为3ln ；i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈； 主值为i )1ln(π=-；i k iArgi i i Ln )212( ln π+=+=，)(Z k ∈；主值为i i 2ln π=． 对数函数的连续性与解析性： 对于z i z zarg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴外，z ln 处处连续．w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：ze dw de dz dw z w w11)(ln 1==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=='-．因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 zLnz 1)(='． 3．幂函数定义：)(ln z iArg z Lnz z Ln ee ez w +====αααα， （α0,≠z 为复常数）．由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈． 可见，αz 也是多值函数（当α不是整数），幂函数的解析性：由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，αz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．例1．求21和i i )1( - 的值．解：ik iArg Ln e ee 22)1 1(ln 21221π===+，)(Z k ∈．)2ln sin 2ln (cos )1(2 4) 2ln 2 4()4i 22ln ( )1( i eeeei k i k i k i i Ln i i +====--+--+-ππππππ，)(Z k ∈．4．三角函数与双曲函数由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ， 称为Euler 公式．定义：)(21sin ),(21cos z i z i z i z i e e iz e e z ---=+=． zz z cos sin tan =；zzctg sin cos =；z z cos 1sec =； zz s i n 1c s c =．z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析． 大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．双曲余弦：)(21cosh zz e e chz z -+==；双曲正弦：)(21sinh z ze e shz z --==； 双曲正切：zz zz e e e e chz shz thz z --+-===tanh ．以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数 三角函数的反函数称为反三角函数．w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．由)(21sin iw iw e e iw z --==， 得 iwe 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ， 根为：21z iz e w i -+=， （21z - 为双值函数）． 所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==．反余弦函数：)1( cos 2-+-=z z Ln i z Arc ； 反正切函数：izizLn i Arctgz -+-=112．双曲函数的反函数称为反双曲函数． 它们是： 反双曲正弦：)1( 2++=z z Ln Arshz ； 反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；反双曲正切：z1z 1 21-+=Ln Arthz ． 它们都是多值函数．在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数． 如：ze z tgz w +=2，z e w z ln sin +=，等等．。
第二章解析函数（Analytic function）第一讲授课题目：§2.1解析函数的概念§2.2解析函数与调和函数的关系教学内容：复变函数的导数、解析函数的概念与求导法则、函数解析的充分必要条件、调和函数的概念、共轭调和函数、解析函数与调和函数的关系.学时安排：2学时教学目标：1、切实理解掌握解析函数的概念2、掌握函数解析的充分必要条件，判断函数的解析性3、了解复变函数导数的定义教学重点：函数解析的充分必要条件教学难点：解析函数与调和函数的关系教学方式：多媒体与板书相结合P思考题：1、2、习题二：1-12作业布置：51板书设计：一、解析函数的概念二、函数解析的充分必要条件三、解析函数与调和函数的关系参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版.3、《复变函数论》，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、《复变函数与积分变换》苏变萍陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、解析函数的概念基本掌握2、函数解析的充分必要条件掌握不太好3、已知调和函数，求作解析函数的方法不灵活4、加强课后辅导教学过程：§2.1 解析函数的概念(The conception of analytic function )一、复变函数的导数（Derivative of complex function ） 定义（Definition ）2.1 设)(z f w =是在0z 的某邻域内有定义，对于邻域内任一点z z ∆+0.如果zz f z z f o z ∆-∆+→∆)()(lim 00 存在有限的极限值复数A ，则称)(z f 在0z 处可导，极限A 称为)(z f 在0z 处的导数，记作)('0z f ，或0z z dz dw=. 即z z f z z f z f z ∆∆∆)()(lim )('0000-+=→0)z ( |)(|)('0→+=∆∆∆∆z o z z f w 由此可得()()()dzz f z df z z f z z f z z f 00000 )()(''=记作处可微。
在处的微分，也称函数在为函数称∆说明：（1）0→∆z 是按任意方式趋于零；（2）()();00可微等价在可导与在z z f z z f()()().z z f zw z )(;z z f z z f )(不可导在的极限不存在，称时，当处连续在处可导，则在若000043∆∆→∆ 若)(z f w =是在点0z 连续，但)(z f w =在点0z 不一定可导.并且在复变函数中处处连续但又处处不可微的函数很多.例1 设z z f Re )(=. 证明：)(z f 在z 平面上处处连续，但处处不可导.yi x x y i x x x x z z z z z f z ∆+∆∆=∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆)Re()Re(,对于复平面上任意一点证明 .lim ;0,0;1,00不存在时取纯虚数趋于当时取实数趋于当z f z f z z f z z ∆∆∆∆∆∆∆∆∆→⇒⎭⎬⎫→→ ()().可导在复平面上任何点都不的任意性，不可导，由于在即z f z z z f 学生课堂练习：z z f =)(在z 平面上处处连续，但处处不可导.二、 解析函数的概念与求导法则（Resolution and report the concept of function to laws ）1、解析函数的概念（Analytic function concept ）定义（Definition ）2.2 如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析.如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数..)(,)(上解析在闭区域称那么上每一点都属内解析，而闭区域在区域如果D z f G D G z f注1 解析函数这一重要概念，是与区域密切相关的.注2 )(z f 在区域D 内解析，指)(z f 在区域D 内处处可导.注3 若函数在一点可导，则函数必然在这点连续.注 4 函数在一点的可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；注 5 函数在一点解析，是指在这个点的某个邻域内解析，因此在此点可导；反之，在一点的可导性不能得到在这个点解析.2、导数的四则运算法则（A derivative of the algorithms ）： 设)(z f 和)(z g 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：)(')()()(')]'()([)(')('))'()((z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f +=±=± []2)]([)(')()()(')()(z g z g z f z g z f z g z f -='.3、复合函数求导法则（Composite function to laws on ）：设)(z f =ξ在z 平面上的区域D 内解析，)(ξg w =在ξ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ξ，则复合函数()z h z f g w ==)]([在D 内解析，并且有)('))(('))]'(([)('z f z f g z f g z h ==4、反函数的求导法则(Inverse function derivative rule)： 设)(z f w =是在区域D 内解析，且0)(≠'z f ，反函数()w w f z ϕ==-)(1存在且连续，则 ()()()()w f z f w w z ϕϕϕ'='='=11)(.5、举例(For example)：（1）如果a z f ≡)(（复常数），那么0d )(d =zz f ； （2）1d d =z z ，1d d -=n n nz z z ； （3）z 的任何多项式n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同.三、函数解析的一个充分必要条件（Analytic functions for a full ）可微复变函数的实部与虚部满足下面的定理：定理（Theorem ）2.1（可微的充要条件）设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充要条件是：（1）()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微；(2)()()y x v y x u ,,与在()y x ,处满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ） 条件（简称C-R 方程）xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== . 证明（必要性）设)(z f 在D iy x z ∈+=有导数ib a +=α，根据导数的定义，当D z z ∈∆+时（0≠∆z ）|)(|)()(z o z z f z z f ∆+∆=-∆+α|)(|))((z o y i x ib a ∆+∆+∆+=其中，y i x z ∆+∆=∆.比较上式的实部与虚部，得|)(|),(),(z o y b x a y x u y y x x u ∆+∆-∆=-∆+∆+|)(|),(),(z o y a x b y x v y y x x v ∆+∆+∆=-∆+∆+因此，由实变二元函数的可微性定义知，()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微，并且有a b b a y v x v y u x u ,, ,==-==∂∂∂∂∂∂∂∂即 xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== （充分性）设()()y x v y x u ,,与在()y x ,处可微，，并且有柯西-黎曼方程成立：xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 设, ,b a x v x u ==∂∂∂∂则由可微性的定义，有：|)(|),(),(z o y b x a y x u y y x x u ∆+∆-∆=-∆+∆+|)(|),(),(z o y a x b y x v y y x x v ∆+∆+∆=-∆+∆+令y i x z ∆+∆=∆，当D z z ∈∆+（0≠∆z ）时，令ib a +=α，有 |)(|)()(z o z v i u z f z z f ∆+∆=∆+∆=-∆+α|)(|))((z o y i x ib a ∆+∆+∆+=则有 αα=∆∆+=∆-∆+→∆→∆)|)(|(lim )()(lim 00zz o z z f z z f z z所以，)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的.且说明：（1）解析函数的导数形式：（2）C-R 条件是复变函数可导的必要条件而非充分条件.例2 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+==+000),(),(222222y x y x y x v y x u y x xy 取方程：满足在点，则令R C y x v y x u y x iv y x u z f -+=)0,0(),(),,(),(),()( 0 0=-===∂∂∂∂∂∂∂∂x v y u y v x u.z )z (f ,z )z (f ),()y ,x (v )y ,x (u 不可导在从而连续不在不连续，所以复变函数在点、但0000== 定理（Theorem ）2.2设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在D 内解析的充要条件是：（1）()()y x v y x u ,,与在D 内可微；(2) ()()y x v y x u ,,与在D 内满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）条件（简称C-R 方程）xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 推论 设函数()()y x iv y x u z f ,,)(+=在区域D 内有定义，则)(z f 在区域D 内解析的充分条件是：(1)()()y x v y x u ,,与的偏导数在D 内连续；(2)()()y x v y x u ,,与在D 内满足柯西-黎曼条件,简称C-R 方程xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 例3 讨论函数()z z f Re =的可导性与解析性.，且，）因为解（01==v x u ，，，0 0 0 1====∂∂∂∂∂∂∂∂yv x v y u x u, .,z Re w R C 从而不解析不可导在整个复平面内处处立，因此方程在整个复平面不成所以=- 学生课堂讨论：讨论函数()2z z f =的可导性与解析性. 解 ()222y x z z f +==，所以 0),(,),(22=+=y x v y x y x u0,2,2====y x y x v v y u x u显然上述四个偏导在整个复平面上连续由R C -条件⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==000202y x y x ()2z z f =故只在0=z 处可导，从而在复平面上处处不解析. 例4 讨论函数()y ie y e z f x x sin cos +=的可导性与解析性解 因为y e v y e v y e u y e u yie y x v y e y x u x y x x x y x x x x cos ,sin ,sin ,cos sin ),(,cos ),(==-====上述的四个偏导数在整个复平面上连续，并且满足C-R 方程：xv y u y v x u ∂∂∂∂∂∂∂∂-== 所以函数()y ie y e z f x x sin cos +=在整个复平面处处可导，故也处处解析，并且有()()z f y ie y e xv i x u z f x x =+=∂∂+∂∂='sin cos 即 ()z z e e =' 例5 设)(z f 在区域D 内解析，证明：若)(z f 满足下列条件之一，则)(z f 在D 内为常数：（1）对每一个D z ∈，有)(z f '=0（2）)(Re z f 或)(Im z f 在D 内为常数（3）)z (f 在D 内为常数（4）)(z f 在D 内解析（5）)(z f 恒在D 内为实数（6）)(arg z f 在D 内为常数证明 注意：在区域D 内，若0====y x y x v v u u ,则在D 内v u ,为常数(1)由0====y x y x v v u u则在D 内v u ,为常数，从而)(z f 在D 内为常数.(2) 由)(Re z f 在D 内为常数，故0==∂∂∂∂yu x u，已知)(z f 在区域D 内解析，由R C -方程可知0==∂∂∂∂y v x v，则在D 内v u ,为常数，从而)(z f 在D 内为常数.同理，由)(Im z f 在D 内为常数，可证)(z f 在D 内为常数. (4) 设iv u z f +=)(,因为()z f 在D 内为解析，所以xv y u y v xu∂∂∂∂∂∂∂∂-== (1)因()iv u z f -=在D 内为解析，所以x v yu yv xu∂-∂∂∂∂-∂∂∂-==)()( （2）由（1）和（2）式得 ：0=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂yv x v y u x u 故)(z f 在D 内为常数. 本节重点掌握：（1） 复变函数解析与可导的关系；（2）解析函数的实部和虚部不是完全独立的，它们是C-R 方程的一组解.（3）函数在哪一点不满足C-R 方程，函数在那一点不可微.函数在哪个区域不满足C-R 方程，函数在那个区域不解析.§2.2 解析函数与调和函数的关系（The relation of analytic function and harmonic function ）一、调和函数的概念(The concept of harmonic functions) 定义（Definition ）2.3 如果二元实函数()y x ,ϕ在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程()0,=∆y x ϕ,则称()y x ,ϕ为区域D 内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中. 定理（Theorem ）2.3 若()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析,则在区域D 内()y x u ,与()y x v ,都是区域D 内的调和函数.证明：因()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析，所以()y x u ,与()y x v ,在区域D 内满足R C -方程x v y u y v x u∂∂∂∂∂∂∂∂-==在上述二式子分别对y 与x 求偏导数：222222x v xy u y v yx u∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-==因为xy u yx u ∂∂∂∂∂∂=22，于是有0222222=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂xy u yx u y v x v即()y x v ,是区域D 内的调和函数，同理()y x u ,也是区域D 内的调和函数.注意：此定理的逆不一定成立.共轭调和函数(Conjugate harmonic function)定义（Definition ）2.4 在区域D 内满足R C -方程x v y u y v x u∂∂∂∂∂∂∂∂-==的两个调和函数()y x u ,,()y x v ,中, ()y x v ,称为()y x u ,在区域D 内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理（Theorem ）2.4若()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内解析的充分必要条件是在区域D 内,则在区域D 内()()()y x iv y x u z f ,,+=的虚部()y x v ,必为实部()y x u ,的共轭调和函数.注1：由此定理，利用一个调和函数和它的共轭调和函数作一个解析函数.二、解析函数与调和函数的关系（Analytic functions and functions of the relationship between ）.)y ,x (u u )y ,x (v D D )y ,x (iv )y ,x (u )z (f 的共轭调和函数必为内在内解析在=⇔+=.u v ,v ,u v u ,v u :R C D x y y x 的共轭调和函数必为的两个调和函数方程内满足在-==-现在研究反过来的问题：.D iv u ,D v ,u 内就不一定解析在则内的两个调和函数是任意选取的在区域若+例如.的共轭调和函数不是y x u y x v +=+=()()。
