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第二章+解析函数的积分

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科西公式

科西公式

f ( z) dz
l k 1
n
lk
f ( z ) dz
2i , n 1 dz , l: za r l ( z a) n 0 , n 1
ez 2、 z 1 dz ? z
§2.3 科希公式
Cauchy Formula
一、 Cauchy公式：
§2.3 科希公式
d 设 max f ( ) M , d min z , s l长, z 2 d 则 z d , z z z z 2 f ( ) z f 1 f ( ) 1 d d 2 2 z 2 i l ( z ) 2 l z z z
a
l

l
f ( z ) f (a) l z a dz 2 f ( z ) f (a) dz 0 l za
一、 Cauchy公式：
注： 1)更一般：
f ( z) 1 f ( ) d 2i l z
§2.3 科希公式
2）意义： 解析函数在区域内的值由边界上 的积分值确定
注意：（1）上述公式成立，实际上只用到条件： 1 f ( ) 1) f ( z ) d , 2) f ( z ) 连续 l 2i ( z )
（2）对复变函数，若一阶可导，则任意阶导数存在； 对实变函数则不然。
二、科西公式的推论
注意： （3）科西导数公式可用来计算积分： f ( z) 2i ( n ) l ( z a) n1 dz n! f (a)
例2
计算：
*
e
1 z i 2 2
z
z(z 1 )
dz
答：π (sin 1 i cos1)

复变函数与积分变换第二章：解析函数

复变函数与积分变换第二章：解析函数

u v i x x
偏导数的定义
若沿平行于虚轴的方式 z z z(x 0)
f ( z z ) f ( z ) f ( z ) lim z 0 z [u( x , y y ) iv ( x , y y )] [u( x , y ) iv ( x , y )] lim y 0 i y u( x , y y ) u( x , y ) v ( x , y y ) v ( x , y ) lim i lim y 0 y 0 i y i y
f ' ( z ) ux iv x ux iuy v y iuy v y iv x
函数在区域 D 内解析的充要条件
定理二
函数 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 在其定义
域 D 内解析的充要条件是: uபைடு நூலகம் x , y )与 v ( x , y ) 在 D 内可微, 并且满足柯西－黎曼方 程.
z ( z0 z )( z0 z ) z0 z0 z0 z z0 , z z
z 关键看 , 如果z0 0则极限存在，否则不存在。 z
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的 和、差、积、商 (除去分母为零的点 )在 D 内解析.

(6)
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中w g( z )
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值 函数, 且 ( w ) 0
微分的概念:
设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,

2.3科西公式

2.3科西公式
2)解析函数有任意阶导数吗?
Wuhan University
二、科西公式的推论
1、解析函数的任意阶导数
§2.3 科希公式
设 l , σ , f ( z ) 满足科西公式存在的条件，则在 σ 内有：
f
(n)
n! f (ζ ) ( z) = ∫l (ζ − z ) n+1 dζ 2πi
当 n = 1时有：
ρ
f ( z ) − f (a ) ∫lρ z − a dz max f ( z ) − f ( a ) ≤ ⋅ 2π ρ
⋅a
lρ
∫
σ
l
lρ
f ( z ) − f (a ) dz < 2π ε = ε ′ z−a
l
∴∫
f ( z ) − f (a ) dz = 0 z−a
Wuhan University
Wuhan University
一、 Cauchy公式：
2、复通区域的科西公式
l2
§2.3 科希公式
设 L = l + ∑ lk 为 σ 的边界复围线，
l
f ( z ) ∈ H (σ ) 在 σ = σ + L 上连续，则
k =1
n
ln
l1
n ⎤ 1 ⎡ f ( z) f ( z) f ( z) = ⎢ ∫l ζ − z dζ − ∑ ∫lk ζ − z dζ ⎥ 2πi ⎣ k =1 ⎦
Δz Ms 1 M Δz < s= 3 3 2π d 2 πd
d επd 3 取 δ = min[ , ], 2 Ms
Wuhan University
则当 Δz < δ 时有：
二、科西公式的推论
证明：

《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解 吉林大学数学学院 （主编：王忠仁 张静）高等教育出版社 习题一（P12）1.1 对任何z ，22z z =是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立？解：设z x iy =+，则2222z x y xyi =-+，222z x y =+；若22z z =成立，则有22222x y xyi x y -+=+，即222220x y x yxy ⎧-=+⎨=⎩，解得0y =，即z x =。

所以，对任何z ，22z z =不成立，只对z 为实数时才成立。

1.2 求下列各式的值：（1）5(3)i -； （2）6(1)i +； （3）61- ； （4）13(1)i -。

解：（1）因为632ii eπ--=，所以5555566631(3)223232()16(3)22i i i i e e e i i πππ--⨯-⎛⎫-====--=-+ ⎪⎝⎭（2）因为412ii e π+=，所以63663442(1)2288i i i e e e i πππ⨯⎛⎫+====- ⎪⎝⎭（3）因为1cos sin i ππ-=+，所以()166221cos sin cossin66k k k w i i ππππππ++=-=+=+，其中0,1k =；即031cossin6622w i i ππ=+=+，1cos sin 22w i i ππ=+=， 25531cossin 6622w i i ππ=+=-+，37731cos sin 6622w i i ππ=+=--，433cossin 22w i i ππ=+=-，5111131cos sin 6622w i i ππ=+=-。

（4）因为12cos()sin()44i i ππ⎡⎤-=-+-⎢⎥⎣⎦，所以11362244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦，其中0,1,2k =；即1602cos()sin()1212w i ππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦，161772cos sin1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，162552cos sin 44w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦。

《复变函数与积分变换》PPT课件

《复变函数与积分变换》PPT课件

z = z1 + t(z2 z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 z1 ),
(∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 z1 = t, z2 z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
浙江大学
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
复变函数与积分变换
贾厚玉 mjhy@
浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 Laplace变换 第七章 Laplace变换
浙江大学
第一章 复数与复变函数
复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
浙江大学
例：已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。
z1 = 1, z2 = 2 + i
y
z3 z1 = (z2 z1 )e 3 1 3 = (1+ i)( + i) 2 2 1 3 1 + 3 i = + 2 2
3 3 1+ 3 z3 = i + 2 2
i
π
z3
z2
x
O
z1
3 + 3 1 3 ′ z3 = i + 2 2
Re z 2 ≤ 1
z 2 = (x + iy)2 = (x2 y2 ) + 2ixy

《高等数学》第四册(数学物理方法)课后答案

《高等数学》第四册(数学物理方法)课后答案

z1
x
z2
z3
.
17.证明：三角形内角和等于
证明：有复数的性质得：
π。
Q α ∈ (0, π ); β ∈ (0, π ); γ ∈ (0, π ); ∴α + β + β ∈ (0,3π );
7.试解方程
w.
i
θ + 2 kπ i ⎛z⎞ z iπ = cos π + sin π = i e = e 4 (k = 0,1, 2,3) ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ;所以 a ;
(5). a + bi = (a + bi ) 2 = [ a 2 + b 2 (
1
= [ a 2 + b 2 (cos θ + i sin θ )]2 = (a 2 + b 2 ) 4 (cos z1 =
3.设
解：
1 π π π π 1 5π 5π z1 z2 = [cos( + ) + i sin( + )] = (cos + i sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z1 π π π π π π = 2[cos( − ) + i sin( − )] = 2(cos + i sin ); z2 4 6 4 6 12 12
4
4
π
i
3π 4
; z3 = ae
; z4 = ae
i
7π 4
.
解：
z −1 < z + 1 ； ( x − 1)2 + y 2 < ( x + 1) 2 + y 2 ; −2 x < 2 x; x > 0; 此图形为 x>0 的区域。

复变函数与积分变换

f (z) A
那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限，记作
lim f (z) A
zz0
z平面
w f (z)
w平面
几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。
注意：z趋于z0的方式是任意的
关于极限的计算，有下面的定理。
4 )
n
wn1

r
1 n
(cos

2(n 1)
n
i sin
2(n 1) )
n
例： 3 8
8 23 (cos i sin )
3 8 2(cos 2k i sin 2k )
3
3 k 0,1,2
即
1 i 3 k 0
简单曲线： t1 t2 , z(t1 ) z(t2 ) （方向）
简单闭曲线： 没有交叉点。
光滑曲线： x(t), y(t)存在、连续且不全为零
（12）单连通区域 设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 仍属于D，则称D为单连通区域，否则称多连通区域。
平面图形的复数表示
复数的三角形式与指数形式
利用极坐标来表示复数z， 则复数 z 可表示为：
三角式： z rcos i sin
x r cos

y

r
sin


r

x2 y2



A
rctan
y

x
指数式： z rei
复数的四则运算
规定： z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )

复变函数与积分变换第二章_解析函数


z0 可微等价.
与一元实函数类似, 记
df ( z0 ) f ( z0 ) z f ( z0 ) dz ,
称之为 f ( z ) 在 z0 处的微分. 如果函数 f ( z ) 在区域D内处处可微, 则称
f ( z ) 在区域D内可微, 并记为
df ( z ) f ( z ) dz .
也称 z0 是 f ( z ) 的解析点. (2) 若 f ( z ) 在区域D内每一点都解析，则称
f ( z ) 在区域D内解析, 或者称 f ( z ) 是区域D内的
解析函数.
(3) 设G是一个区域，若闭区域 D G , 且 f ( z ) 在G内解析，则称 f ( z ) 在闭区域 D 上 解析. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0 处可导意义 不同，前者指的是在 z0 的某一邻域内可导, 但后者只要求在 z0 处可导. 函数 f ( z ) 在 z0 处解析和在 z0的某一个邻 域内解析意义相同.
连续，但处处不可导.
定理1.1
例2.2 证明 f ( z ) x 2 yi 在复面内处处
设 f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ), 则 f (x)
(3) 求导法则
复变函数中导数的定义与一元实函数
导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函
数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而
当 z0 0 时, 由 z zz , z0 z0 z0 得
2
2
f ( z ) f ( z0 ) z 2 z z0 2 z0
( z 2 z z0 2 z ) ( z0 2 z z0 2 z0 ).
f ( z ) f ( z0 ) 2 z z0 ( z z0 ) z z 0 . 故 z z0 z z0

数学物理方法知识点归纳

第一章 复述和复变函数 1.5连续若函数)(x f 在0z 的领域内（包括0z 本身）已经单值确定，并且)()(0lim 0zf z f z z =→，则称f(z)在0z 点连续。

1.6导数若函数在一点的导数存在，则称函数在该点可导。

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件 (i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂在点不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

C-R 条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y y x u xy x v y y x v x y x u ),(),(),(),( 1.7解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。

解析的必要条件：函数f(z)=u+iv 在点z 的领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv ∂∂存在。

(ii)C-R 条件在该点成立。

解析的充分条件：函数f(z)=u+iv 在领域内(i)x u ∂∂、y u ∂∂、x v ∂∂、yv∂∂不仅存在而且连续。

(ii)C-R 条件在该点成立。

1.8解析函数和调和函数的关系 拉普拉斯方程的解都是调和函数：22x u ∂∂+22y u∂∂=0 ①由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。

但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数，因为它们不一定满足C —R 条件。

②当知道f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的u(x,y)时，如何求v(x,y)?通过C —R 条件列微分方程 第二章 复变函数的积分 2.2解析函数的积分柯西定理：若函数f(z)在单连区域D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点A 与B 的那些曲线来讲，积分⎰BAdz z f )(的值均相等。

柯西定理推论：若函数f(z)在单连区域D 内解析，则它沿D 内任一围线的积分都等于零。

⎰=Cdz z f 0)(二连区域的柯西定理：若f(z)在二连区域D 解析，边界连续，则f(z)沿外境界线(逆时针方向)的积分等于f(z)沿内境界线(逆时针方向)的积分。

复变函数与积分变换答案-第2章解析函数

11 27、第二章 解析函数习题详解1、(1) f 1(z )= z 4在定义域(-,+) 内连续；2) f 2(z ) =4z +5在定义域(-,+)内连续； 1在定义域-, 3,3, +内连续。

- 4, v = 16u + 64, 为一抛物线。

4、(1)w = z 3，则w = (2i )3= -8i , w =( 2+2i )3=2 2+12i -12 2-8i =-10 2+4i ；5、 f (z )=Re z =x ，当 y →0时， f (z )→1；当x →0时， f (z )→0，因为极限不等， z x + iy 所以当z →0时， f (z )极限不存在。

1在原点处不连续，故 w =i arg z +1 在负实轴上与原点 zz3) f 3 (z )= 22、w = z2u =x 2-y 2v = 2 xy u =x 2 -4，把直线C :y =2映射成:u =x -4v = 4 xvx = ，代入第一个式子，4u =3、1zw = = = z zzx - iy22,x + yv =x 22 x + y-y 22 x + y把直线C :x =1映射成，:vu =v =1 1+y 2-y 1+y 21-u u 2u= (1- u ) u v 2 + u 22)w = z 3，像域为0arg w 26、i arg z 在负实轴上与原点处不连续， 处不连续。

f (z +z )- f (z )z →0z= limz →0(z +z )2zy 2 = 1 -1 = u为一个圆周。

uz 2-(z +z )2z 2(z +z )2z 2 -z 2 -2z z -z 22= lim = lim = - 。

z →0 z z →0z 2(z +z )2zz 38、(1) f (z ) =5-3z +5z 2，在(-,+)内解析，且导数为 f (z ) = -3+10z ；12、(1) z =e 1-2i =ecos -i sin=-ei ；1222) f (z )=1 1 1z 4 -1 (z 2 -1)(z 2 +1) (z -1)(z +1)(z +i )(z -i )在(-,+)内除z =1,5z +431 1 5 3) f (z )= z +4,在(-,+)内除z = - 3外解析， f (z )=1+ 2 =1+ 52z + 32 2 2z +32 2(2z +3)且导数为： f(z )= 1(2z +3)-2(-2)=-5 (2z +3)29、(1) f (z )=Im z = y 在z 平面上的点点不可导，不解析(因柯西-黎曼条件不满足)；2) f (z )= z 4 ，在平面上的点解析。

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其中c是从点 是从点1+i 到原点的直线段 例2.1 计算 ∫ zdz , 其中 是从点
c
解一：在此直线段上 可令x=t, y=t , t∈[0, 1], 从而 解一：在此直线段上, 可令 ∈
∫ z dz = ∫
c
0
1
(t +it)(1+i)dt = ∫
0
1
t (1+i) tdt = 2i = −i 21
第二章 解析函数的积分 §2.1 复积分的概念与性质 一. 曲线 一条曲线如果其切线连续变动, 一条曲线如果其切线连续变动 则称其为 光滑曲线； 光滑曲线； 由几段互相衔接的光滑曲线组成的曲线称为 逐段光滑曲线； 逐段光滑曲线； 有向曲线. 规定了起点和终点的曲线称为有向曲线 规定了起点和终点的曲线称为有向曲线 c ~ c¯ 互为反向曲线 互为反向曲线 反向曲线.
n
证明: 以点α为中心作一半径为 的圆c'包含于 为中心作一半径为R的圆 包含于c 证明 以点 为中心作一半径为 的圆 包含于 的内部, 由定理 的内部 由定理2.2, 即复连通区域的柯西积分定 理, 知
I = ∫ (z −α)n dz = ∫ (z −α)n dz
c c'
将圆周 c' 的方程 z =α + Reiϕ (0 ≤ ϕ ≤ 2π) 代入积分中： 代入积分中：
自身不相交的连续曲线称为简单曲线； 自身不相交的连续曲线称为简单曲线； 简单曲线 简单曲线也称为若尔当 若尔当(Jordan)曲线 曲线. 曲线 简单曲线也称为若尔当 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线 闭合的光滑或逐段光滑的曲线称为围线. 围线 前进时, 当观察者沿 c 前进时 围线内部始终在 人的左侧, 则此时的方向为围线的正方 人的左侧 则此时的方向为围线的正方 也就是逆时针方向. 逆时针方向 向, 也就是逆时针方向 复连通区域的边界称为复围 该围线的正向为： 线, 该围线的正向为：
=∫ =∫
z+∆z z0 z+∆z
f (ζ )dζ − ∫ f (ζ )dζ
z0
z
z
f (ζ )dζ
的线段. 其中积分路径为 z 到 z +∆z的线段 所以 的线段
∆F 1 z+∆z − f (z) = ∫ [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z z
f (z)在D内连续 在 内连续 有 | f (ζ ) − f (z)| < ε
k=1
∫
c
δ →0
k=1
k
k
k−1
为围线, 若c为围线 则记为 为围线 三. 复积分的性质
∫
c
f (z)dz .
如果不加说明, 总是沿着围线c的正方向积分 的正方向积分. 如果不加说明 总是沿着围线 的正方向积分 1.若 f (z) = u +iv在c上连续 则 ∫ f (z)dz存在 并且 若 上连续, 存在, 上连续
− − Γ = c1 + c2 +Lcn
二. 复积分的定义
定义2.1 设函数 f (z) 定义在由 定义在由a 定义 的有向曲线c上 将 任意分 到b的有向曲线 上.将c任意分 的有向曲线 小段, 成n小段 分点为 a = z0, z1,L, zn = b. 小段 并作和式： 在弧段 zk−1zk 上任取一点 ζ , k =1,2,L, n , 并作和式：
c c
ds =| dz |= (dx)2 + (dy)2 是曲线 上弧长的微分 是曲线c上弧长的微分 上弧长的微分. 其中
7. 如果 f (z) =f [ z(t) ], 其中 是参数 α≤ t ≤β, 其中t是参数 是参数, 变到β时 沿光滑曲线c从起点到 当 t 从α变到 时, 点 z(t) 沿光滑曲线 从起点到 变到 达终点, 达终点 则 β ∫ f (z) dz = ∫ f [ z(t) ] z '(t)dt
z0 z
为 的一个不定积分 数, F(z)为 f (z)的一个不定积分 或一个原函数 的一个不定积分(或一个原函数). 的原函数不唯一 只相差一个常数. ※ f (z)的原函数不唯一 但它们只相差一个常数 的原函数不唯一, 但它们只相差一个常数
定理2.3 解析函数 f (z)的不定积分 的不定积分F(z)在D内解析 内解析, 定理 的不定积分 在 内解析 F'(z) = f (z) 且 *证明： ∆F = F(z +∆z) − F(z) 证明： 证明
c
∫ f (z)dz = ∫ (u +iv)(dx +idy) = ∫ (udx −vdy) +i∫ (vdx +udy)
c c c c
即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分. 即复变函数的积分可归结为两个实函数的线积分 2. 3. 4. 为复常数) 为复常数 ∫ a f (z)dz = a ∫ f (z)dz (a为复常数
c1 ab c2 ba
ab与ba是反向曲线 因此 与 是反向曲线 是反向曲线,
∫
c1
f (z)dz ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∫ f (z)dz = 0
c2
一般的, 若围线c 互不相交, 互不包含, 一般的 若围线 2, c3, …, cn 互不相交 互不包含 且 都在围线c 的内部.若 在由c 在由 都在围线 1的内部 若 f (z)在由 1, c2, c3, …, cn所 上解析, 围闭复连通区域 D上解析 则
I = ∫ R e d(Re ) = ∫ R e (iRe )dϕ
n inϕ iϕ n inϕ 2π iϕ c 0 2π
= R i∫ e
0
n+1
i(n+1)ϕ
dϕ
当n＝－ 时, ＝－1时 ＝－ 当n≠－1时, － 时 证毕. 证毕
I = i∫ dϕ = 2πi
0
2π
I =i R
n+1
1 i(n+1)ϕ 2π e =0 ϕ=0 i(n +1)
c
(1) 从z = 0到 z =1+i 的直线段 到 (2) 从 z = 0 经 z = 1 到 z = 1+i 折线段 还是解析函数？ 如果 f (z) 还是解析函数？ C-R条件： ∂u = ∂v , 条件： 条件 ∂x ∂y
∂v ∂u =− ∂x ∂y
§2.2 柯西积分定理
定理2.1 柯西积分定理 柯西积分定理) 是单连通区域D内 定理 (柯西积分定理 设 f (z) 是单连通区域 内 解析函数, 为 内任一围线 内任一围线, 的解析函数 c为D内任一围线 则：
2
2 0
解二： 解二：
∫ z dz = ∫ (x +iy)(dx +idy) = ∫ (xdx − ydy) +i∫ (xdy + ydx)
c c c c
c: y = x
∫
x=0
x=1
(xdx − xdx) +i∫
x=0
x=1
(xdx + xdx) = 2i∫
x=0
x=1
xdx =−i
习题2.2 积分路径c分别是 分别是: 习题 第1题 计算 ∫ Re z dz , 积分路径 分别是 题
∀ε > 0, ∃δ > 0, 当 | ζ − z | < δ 时,
故当 | ∆z | < δ 时, 有
∆F 1 z+∆z − f (z) = ∫z [ f (ζ ) − f (z)] dζ ∆z ∆z
1 1 < ε ∆z = ε | ∆z | = ε ∆z | ∆z | ∆F 因此, 的导数为： 因此 F(z)的导数为： F '(z) = lim 的导数为 = f (z) ∆z→0 ∆ z
∫
c
f (z)dz = 0
证明：严格的证明比较困难 在假设 证明：严格的证明比较困难.在假设 f '(z) 连续 后, 可利用复变函数积分的计算公式和二元实 函数积分的格林公式进行. 函数积分的格林公式进行
格林公式： 设闭区域D由分段光滑的曲线 由分段光滑的曲线L围 格林公式： 设闭区域 由分段光滑的曲线 围 成, 函数 f (x, y) 及 g (x, y) 在D上具有一阶连续 上具有一阶连续 偏导数, 则有： 偏导数 则有：
∫
c1
f (z)dz = ∫ f (z)dz
c2
证明：作割线 连接 连接c 证明：作割线a b连接 1和c2, 则 变为单连通区域. D变为单连通区域
− 由定理2.1, 在围线 c = c1 + ab + c2 + ba上 由定理
∫
c
f (z)dz = ∫ +∫ + ∫ − +∫ f (z)dz = 0
§2.3 柯西积分公式
在曲线c所围 定理2.5 (柯西积分公式 设 f (z) 在曲线 所围 柯西积分公式) 定理 柯西积分公式 内解析, 是 的任一内点 的任一内点, 的闭区域 D 内解析 α是D的任一内点 则 1 f (z) f (α) = ∫c z −α dz 2πi 证明：由例2.2 证明：由例2.2
∂g ∂f f dx + g dy = ∫∫ ( − )dxdy = ∫∫ ∂x ∂y D D f
∂ ∂x ∂ ∂y
∫
l
g
dxdy
证明：假设 f '(z) 连续 证明： 连续,
∫
c
f (z)dz = ∫ (udx −vdy) +i ∫ (vdx +udy)
c c
=−∫∫ (vx +uy )dxdy +i∫∫ (ux −vy )dxdy
k
sn = ∑ f (ζk )(zk − zk−1)
n
记 ∆zk = zk − zk−1 , 弧段 zk−1zk 的长度为 δk , 若当 n →∞,δ = maxδk →0 时, 和式 n有唯一的极限 则称 和式s 有唯一的极限, 1≤k≤n 极限为函数 f (z)沿曲线 c 的积分 记作 ∫c f (z)dz , 沿曲线 的积分.记作 n 即： f (z) dz = lim∑ f (ζ )(z − z )