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第二章解析函数•复变函数的导数•解析函数的概念•初等解析函数复函数的求导法则由于复变函数中导数的定义与一元实变函数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广到复变函数中来, 且证明方法也是相同的.例2证明()2f z x yi =+在复面内处处连续，但处处不可导.证明对复平面内任意点z , 有()()f z z f z +Δ−2.x yi =Δ+Δ()2()2x x y y i x yi =+Δ++Δ−−故0lim[()()]0.z f z z f z Δ→+Δ−=这说明()2f z x yi =+在复面内处处连续.000()()() (), f z z f z f z z z z ρ′+Δ−=Δ+ΔΔ,)()(lim 000z f z z f z =Δ+→Δ所以lim ()0,z z ρΔ→Δ=再由即()f z 在0z 处连续.反之, 由例2知, 处处不可导，()2f z x yi =+但处处连续。
例5问题：对函数f (z ) = u (x ,y ) + iv (x ,y )，如何判别其解析（可导）性？换句话说：()(),f z u v 的解析可导与的偏导数之间有什么关系？解析函数的性质：(1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数；(2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数；(3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；所有解析点的集合必为开集。
证明必要性. 若存在，设0()f z ′0()f z a ib ′=+(a , b 是实常数). 因此000()()()f z z f z f z z z α′+Δ−=Δ+Δ12()()()()a ib x i y i x i y αα=+Δ+Δ++Δ+Δ12()a xb y x y αα=Δ−Δ+Δ−Δ21(,i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ其中12Re , Im .αααα==且当时，0z Δ→120, 0.αα→→0000(,)(,),u u x x y y u x y Δ=+Δ+Δ−0000(,)(,),v v x x y y v x y Δ=+Δ+Δ−则于是有00()().f z z f z u i v +Δ−=Δ+Δ12()u i v a x b y x y ααΔ+Δ=Δ−Δ+Δ−Δ21().i b x a y x y αα+Δ+Δ+Δ+Δ由两个复数相等的条件可得设21.v b x a y x y ααΔ=Δ+Δ+Δ+Δ12,u a x b y x y ααΔ=Δ−Δ+Δ−Δ于是，1(,),(,)..a u x y v x y C R =−−当时，满足条件，().f z z 从而在平面上处处可微，处处解析1(,),(,)0..a u x y v x y y C R ≠−=−当时，仅在直线上满足条件，().f z z 故在平面上处处不解析()00.f z y y =≠从而仅在上可微，在上不可微作业3第89页，第二章习题（一）：2；4（1）（3）；5（2）（4）；7；8（2）（4）；9; 11（1）（3）。
第2章、解析函数第⼆章解析函数本章介绍复变函数中⼀个重要的概念：解析函数，并给出⼀个重要的判定⽅法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍⼀些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分⽀解析。
第⼀节解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数⼀般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、此定义也⽤εδ-语⾔给出。
注2、可导必连续注3、解析必可导性，在⼀个点的可导不⼀定解析，可导性是⼀个局部概念，⽽解析性是⼀个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下⾯的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平⾯上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平⾯上的区域1D 内解析，⽽且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例⼦：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平⾯解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平⾯上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
第二章 解析函数§1 复变函数一 、复变函数的概念1． 定义：设D 为复平面上的点集，对∀点D z ∈，按某种法则，总有另一复数W 与之对应，则称W 是Z 的复变函数,记为)(z f w =。
其中，称W 为像；Z 为原像。
若W Z 与是一一对应，则称)(z f w =为单值函数，若W Z 与 是相互一一对应，则称)(z f w =为单叶函数；Z 对应多个W ， 则称)(z f w =为多值函数。
2、复变函数与实变函数的关系设iy x z +=，iv u y x iv y x u z f W +=+==),(),()(，即有⎩⎨⎧⋅=⋅=)()(y x v v y x u u 这说明了一个复变函数可以用两个二元实变函数 ),(),,(y x v y x u 来表示。
例：xy i y x Z W 2)(222+-==⎩⎨⎧=-=⇒xyv y x u 222。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=⇒+-+=+-===22222222221y x y v y x x u y x y i y x x y x iy x z z z z w 3．关于映射的慨念复变函数在几何上又称为映射（或变换）。
这种函数关系要用两个平面来表示。
函数)(z f w =在几何上可以看成是把z 平面上的一个点集G 映射到w 平面上的一个点集*G 。
例 z w =，显然，它将z 平面上的点i z 321+=映射成w 平面上的 点i w 321-=，将点i z 212-=映射成w 平面上的点i w 212+=， 将三角形ABC 映射成w 平面上的三角形'''C B A .见下图：例2 问：函数2z w =将z 平面上的曲线C x =映射成w 平面上的何种曲线？解 ⎩⎨⎧=-=⇒+-=+==xyv yx u xy i y x iy x z w 22)(222222xy v 2=可得22242C v C u c x x v y -=⇒== 是w 平面上 关于以u 轴为对称的抛物线。
例 .1642;41122v u x v u x -=⇒=-=⇒=例3 变换 zw 1=将z 平面上的直线1=x 映射成w 平面上的何种曲线？ 解 22222211y x y i y x x y x iy x iy x z w +-+=+-=+==，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=22222222v u vy v u u x y x y v y x x u 1=x 代入方程，可得22222)21()21(1=+-⇒=+v u v u u ，显然为w 平面上圆。
由以上例子，可以总结出一般的将z 平面上的曲线映射成w 平面上的何种曲线时，考虑问题的方法是：先求出函数),(),()(y x iv y x u z f w +==中的)1(),(),(⎩⎨⎧==y x v v y x u u ，再反解出 )2(),(),(⎩⎨⎧==v u y v u x ψϕ，由给出的条件代入（1）， 可得 在w 平面上的相应的含有v u 和.的曲线方程。
二、复变函数的极限和连续 (内容省略) （一）、复变函数的极限1 .定义 设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域有定义，A 复常数。
若对任意给定的0>ε，相应地必有一正数)(εδ，使得 当ρ<-<00z z 时，有,)(ε<-A z f 则称A 为)(z f 当z 趋向于0z 时的极限，记为A z f z z =→0)(lim 。
必须注意，定义中的z 趋向于0z 的方式必须是任意的。
定理1 设 ),(),()(y x iv y x u z f +=，00000,iy x z iv u A +=+=， 则A z f z z =→)(lim 0的充要条件是00),(lim ,),(lim 0v y x v u y x u y y x x y y x x ==→→→→。
这个定理说明求复变函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=的极限问题 可以转化为求两个二元实函数),(y x u 和),(y x v 的极限问题。
2．极限的运算法则——完全类似于实函数的极限运算法则 如果A z f z z =→)(lim 0，B z f z z =→)(lim 0，那末1）B A z g z f z z ±=±→)]()([lim 0； 2）AB z g z f z z =→)()(lim 0；3）0,)()(lim≠=→B BAz g z f z z 。
（二）、函数的连续性1定义 如果)()(lim 00z f z f z z =→，则称函数)(z f 在点0z 处连续。
如果)(z f 在区域D 内处处连续，我们说)(z f 在D 连续。
定理2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在000y x z +=处连续的充要条件是：),(y x u 和),(y x v 在点),(00y x 处连续。
2 .连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数， 连续函数的复合函数仍为连续函数。
§2解析函数一、解析函数的慨念1． 复变函数的导数1）定义 设函数)(z f w =是定义于区域D 。
0z 与z z ∆+0均为D 内的点。
若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则称)(z f 在0z 处可导（可微），这个极限值称为)(z f 在0z 处的导数， 记为 )(0'z f 或z z dzdw==zz f z z f z z ∆-∆+→)()(lim000。
也就是说，对任意给定的0>ε，相应地有一个0)(>εδ，使得当δ<∆<z 0时，总有ε<-∆-∆+)()()(0'00z f zz f z z f 。
应当注意，定义中0→∆z 的方式是任意的。
如果)(z f 在D 处处可导， 则称)(z f 在D 可导。
例1 求2)(z z f =的导数。
解 因为zz z z z z f z z f z x ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆200)(lim )()(limz z z z 2)2(lim 0=∆+=→∆所以 z z f 2)('=，即函数2)(z z f =在全平面均可导。
例2 问y i x z f 2)(+=是否可导？解 这里 =∆-∆+→∆zz f z z f z )()(lim 0yix yix z yi x i y y x x z z ∆+∆∆+∆=∆--∆++∆+→∆→∆2lim2)(2)(lim00 ① 设z ∆沿着平行于x 轴的方向趋于0，因为x z y ∆=∆=∆,0。
这时极限 1lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆xxyi x yi x x z② 设z ∆沿着平行于y 轴的方向0，因为0=∆x 。
这时y i z ∆=∆，极限.22lim 2lim00=∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yyiyi x yi x y z所以函数y i x z f 2)(+=不可导。
2）可导与连续 从例2可以看出，函数yi x z f 2)(+=处处连续却处处不可导。
然而，反过来我们容易证明可导必定连续。
3） 求导法则 类似于实变函数。
2． 解析函数的慨念定义 如果函数)(z f 在0z 及0z 的邻域内处处可导，那末称)(z f 在0z 点解析。
如果)(z f 在区域D 内每一点解析， 则称)(z f 是D 内的一个解析函数。
若函数)(z f 在0z 点不解析， 称0z 为函数)(z f 的奇点。
例3 讨论2)(z z f =的解析性。
解 由于 zz z z z z f z z f z z ∆-∆+=∆-∆+→∆→∆20200000lim )()(lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+∆+=∆-∆+∆+=→∆→∆z z z z z z z z z z z z z z 00000000lim ))((lim， 当00=z 时，这个极限是零；当00≠z 时，令z z ∆+0沿直线)(00x x k y y -=-趋于0z ，由于k 的任意性，kiki i zy ix y yi x yi x z z +-=∆∆+∆∆-=∆+∆∆-∆=∆∆1111 不趋于一个确定的值， 所以极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在。
因此，0)(2==z z z f 在处可导，而在其他点都不可导， 根据解析性定义，它在复平面上处处不解析。
定理 两个解析函数的和、差、积、商都是解析函数 （除去分母为零的点）；解析函数的复合函数仍为解析函数。
§3 函数解析的充要条件在上一节中，我们已经看到并不是每一个复函数都是解析函数； 判别一个函数是否解析，如果只根据解析函数的定义进行判断, 往往是困难的，需要寻找判别函数可导与否的简便而实用的方法。
下面先讨论)(z f 可导的必要条件。
定理1 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，iy x z +=是D 内任意一点。
若z z f 在点)(处可导，则),(),(y x v y x u 与满足柯西-黎曼（Cauchy-Riemann ）条件：,,xvy u yv x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 则)(z f 的导数为 yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(。
证 因为z z f 在点)(处可导，所以由导数定义，有zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆)()(lim)(0=z w z ∆∆→∆0lim ,其中，v i u w ∆+∆=∆， y i x z ∆+∆=∆，则原式[]{-∆+∆++∆+∆+=→∆→∆),(),(lim 00y y x x iv y y x x u y x []})/(),(),(y i x y x iv y x u ∆+∆+其中z ∆以任意方式趋于零，因此可以选取两条特殊路线使0→∆z 。
[]})/(),(),(y i x y x v y y x x v i ∆+∆-∆+∆+[]{+-∆+∆+=→∆→∆),(),(lim 00y x u y y x x u y x ,lim0yx vi u y x ∆+∆∆+∆=→∆→∆①当z ∆沿平行于实轴的直线趋于零，即0,≡∆∆=∆y x z 时，有x v i x u x v i x ux v i u z f x x ∂∂+∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+∆∆=∆∆+∆='→∆→∆00lim lim)(。
②当z ∆沿平行于虚轴的直线趋于零，即0,≡∆∆=∆x y i z 时，有y u i y v y u i yv y i vi u z f y y ∂∂-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆-∆∆=∆∆+∆='→∆→∆00lim lim)(， 于是yui y v x v i x u ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂， 比较上式两端，即得上述条件称为柯西-黎曼条件，或称柯西-黎曼方程，简记为C-R 条件。
