信号与系统课件第三章

1通信科学与工程系四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统1. 线性常系数微分方程()()()t bx t ay dt t dy =+给出了系统的隐含特性，要得到明确表达式，需求解方程，并且还需一个或多个附加条件。

对于因果线性时不变系统，附加条件的形式特殊简单。

2通信科学与工程系一般的N 阶线性常系数微分方程：()()∑∑===M k kk kNk k k k dt t x d b dt t y d a 00()()∑==M k kkk dtt x d b a t y 001当N=0时，输出是输入及其导数的明确函数：当N>0时，输出是输入的隐含形式，需要求解。

四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统3通信科学与工程系求解该微分方程，通常是求出通解和一个特解，则。

()p y t ()h y t ()()()p h y t y t y t =+四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()p y t ()x t 特解是与输入同类型的函数.()h y t 0()0k Nk k k d y t a dt==∑通解是齐次方程的解，即的解。

0Nkk k a λ==∑欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：求出其特征根。

4通信科学与工程系若t ≤ t 0时x (t )=0，则t ≤ t 0 时y (t )=0，初始松弛条件1(),k Nth k k y t C e λ==∑其中是待定的常数。

k C 当特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统()()()010100====--N N dt t y d dt t dy t y 可采用如下初始条件：5通信科学与工程系()()()t x t y dtt dy =+2()()t u Ke t x t 3=例2.14：考虑输入为时，系统的解。

()()()t y t y t y h p +=5KY =()3,05t p Ky t e t =>方程的解由特解和齐次解组成：()tp Ye t y 3=求解特解：令t > 0时，根据方程可得33332t t t Ye Ye Ke +=受迫响应自然响应四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统6通信科学与工程系()()02=+t y dtt dy 求解齐次解：根据方程，得特征方程为()23,05t t Ky t Ce e t -=+>0/5C K =+5KC =-()[]()t u e e K t y t t 235--=20λ+=2λ=-()2th y t Ce -=齐次解四用微分和差分方程描述的因果LTI 系统根据初始条件确定C ：考虑因果LTI 系统，如果t<0 时x (t )=0，则t<0 时y (t )=0. 将t = 0, y (0) = 0代入有7通信科学与工程系2. 线性常系数差分方程一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特解和齐次解来进行，其过程与解微分方程类似。

k0 k 1
yt1 8 cos2t
3
Problem Solution
H j
2
1
3 0 3
图2
Chapter 3
Problem Solຫໍສະໝຸດ tion例 已知图1所示连续时间系统中输入信号 xt ，t2k k 两个子系统的频率响应 H1 和j H分2 别j如 图2和图3
所示。试求该系统的输出信号 y 。t
ak 0 k18
Chapter 3
Problem Solution
3.34 Consider a continuous-time LTI system hte4t Find the Fourier series representation of the output yt
for each of the following inputs :
sin 0t
c o s0 t L H j0 c o s 0 t H j0 s i n 0 t L H j0 s i n 0 t H j0
Chapter 3
Problem Solution
Consider an LTI system S with impulse response ht sint
(a)xttn n
(bx)t1ntn n
(c) xt is the periodic wave depicted in Figure P3.34
1/ 2 1 xt
-2 -1
0
1
2
t
Chapter 3
Problem Solution
例 研究图1所示的连续时间系统，其中 h1 t sin3tt， H1 j 和 H2 j的波形如图2所示。

第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
信号与系统_第 三章连续信号 的正交分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
学习内容及要求
内容：
信号的分量与分解、正交函数集的概念，信号 的傅立叶级数分解
周期信号的频谱分析 非周期信号的频谱分析，常用典型信号的傅立 叶变换，掌握傅立叶变换的技巧 傅立叶变换的性质，帕塞瓦尔定理与能量频谱
示任何的复杂信号;
找到---信号如何分解，如何将信号分解或表示为该函数集中单 元函数的组合(付里叶级数（三角付里叶级数，指数付里叶级 数）) –从信号分量组成情况讨论信号特性
周期信号频谱； 非周期信号频谱；
–信号时域特性与频域特性的关系
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解
§3.1 引言
t 2
2 (t) min 1 2 1 t 1 2 2 f ( t ) dt 1 t1 t t 2 1
1 2
12

t2 t1
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
t2 t1 2 2 1 2
[ f (t)dt ] f (t)dt
2 1
A n C 1V 1 C 2V 2 C rV r C nV n 并且： V V K V 2 m m m m V ,l m m 0 l V
为使近似误差矢量的模 或是模的平方最小，
Cr AV r V r V r AV r V r

t2
t1
f1(t) f2(t)dt
t2 t1

f2 (t)dt
2
§3.2 正交函数集与信号分解
第 三 章 连 续 信 号 的 正 交 分 解

式中 ai i 1,2,, n、bj j 1,2,, m 都是常数。
它的解： y(k ) y h k y p k
齐次解 特解
齐次解：齐次差分方程
y(k) an1 y(k 1) a0 y(k n) 0
的解，称为齐次解。
例y(k ) ay(k 1)
0
yk yk 1
当a是特征单根
a p k ak p 1k 1ak p1kak p0ak 当 是 重特征根。
cosk P cosk Q sink
当所有的特征根均不等于 e j
sin k Acosk , Ae j P jQ
全解：n阶线性差分方程的全解是齐次解与特解之和。 如果方程的特征根均为单根，则差分方程的全解为：
F k, yk,yk,,n yk 0
n 阶差分方程。
由于各阶差分均可写成 yk及其各移位序列的线
性组合，故通常所说的差分方程是指如下的形式：
Gk, yk, yk 1,, yk n 0
n 阶差分方程。
例如 yk 3yk 1 2 yk 2 f k
5、线性常系数差分方程
如果 yk及其各移位序列 yk 1,, yk n 均为
·主要内容 一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应
一、差分与差分方程(书上这部分符号有错误，请改正） 1、一阶差分的定义及序列求和运算（85页）
设有序列 f k，则称 f k 1, f k 1, f k 2
等为 f k的移位序列。
仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。
a1f1k a2f2k 因此差分具有线性性质。
3、二阶及更高阶差分定义
2 f k f k f k f k 1
f k f k 1