电磁场与电磁波(第四版之第一章矢量分析)

《电磁场与电磁波》知识点及参考答案第1章 矢量分析1、如果矢量场F 的散度处处为0，即0F∇⋅≡，则矢量场是无散场，由旋涡源所产生，通过任何闭合曲面S 的通量等于0。

2、如果矢量场F 的旋度处处为0，即0F ∇⨯≡，则矢量场是无旋场，由散度源所产生，沿任何闭合路径C 的环流等于0。

3、矢量分析中的两个重要定理分别是散度定理（高斯定理）和斯托克斯定理, 它们的表达式分别是：散度（高斯）定理：SVFdV F dS ∇⋅=⋅⎰⎰和斯托克斯定理：sCF dS F dl∇⨯⋅=⋅⎰⎰。

4、在有限空间V 中，矢量场的性质由其散度、旋度和V 边界上所满足的条件唯一的确定。

（ √ ）5、描绘物理状态空间分布的标量函数和矢量函数，在时间为一定值的情况下，它们是唯一的。

（ √ ）6、标量场的梯度运算和矢量场的旋度运算都是矢量。

（ √ ）7、梯度的方向是等值面的切线方向。

（× ）8、标量场梯度的旋度恒等于0。

（ √ ） 9、习题, 。

第2章 电磁场的基本规律（电场部分）1、静止电荷所产生的电场，称之为静电场；电场强度的方向与正电荷在电场中受力的方向相同。

2、在国际单位制中，电场强度的单位是V/m(伏特/米)。

3、静电系统在真空中的基本方程的积分形式是：V V sD dS dV Q ρ⋅==⎰⎰和0lE dl ⋅=⎰。

4、静电系统在真空中的基本方程的微分形式是：V D ρ∇⋅=和0E∇⨯=。

5、电荷之间的相互作用力是通过电场发生的，电流与电流之间的相互作用力是通过磁场发生的。

6、在两种媒质分界面的两侧，电场→E 的切向分量E 1t －E 2t ＝0；而磁场→B 的法向分量B 1n －B 2n ＝0。

7、在介电常数为的均匀各向同性介质中，电位函数为 2211522x y z ϕ=+-,则电场强度E=5x y zxe ye e --+。

8、静电平衡状态下，导体内部电场强度、磁场强度等于零，导体表面为等位面；在导体表面只有电场的法向分量。

A B ex ( Ay Bz Az By ) ey ( Az Bx Ax Bz ) ez ( Ax By Ay Bx )
A B B A
5．矢量的混合积矢量(标量)
A ( B C ) B (C A) C ( A B)
正交性
坐标变量是r,φ, z
z
ez
Q
er e ez e ez er ez er e
er
r
e
P( r ， ， z ) e
er
z
r
O x
注意 e r ，e为变矢量

y
矢量式：
A er Ar e A ez Az
y r sin
zz zz
x r cos
线元：
dr er dr e rd ez dz
面积元：
dSr er rd dz dS e drdz dS z ez rdrd
z
d
r
dS z
rd
dS

d
dz dr
dS r
O x y
体积元：
dV rdrd dz
例1.1 已知一个矢量在直角坐标系中为 A ex 7 ey 41 ez 5 求它在圆柱坐标中的表达式。
Ar cos A sin A z 0
直A sin A 0 z
sin cos 0
0 Ax 0 Ay 1 A z
圆柱坐标中矢量转换到直角坐标系的转换关系式

值作以比较，得出相应结论。 解 (1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为

P
[(ex e y ez )( x 2 y 2 z )]P x y z (ex 2 x e y 2 y ez ) (1,1,1) ex 2 e y 2 ez
概念： u el u | ，其中 el l max
u 取得最大值的方向 l
意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向
梯度的表达式：
直角坐标系 圆柱坐标系
u u u u ex ey ez x y z
u 1 u u u e e ez z
？
线元矢量
dr d e d ez z e d e d ez dz
dS e dl dl z e ddz dS e dl dl z e ddz dS z ez dl dl ez dd
矢量A 与B 的叉积
A
（5）矢量的混合运算
—— 分配律 ( A B) C A C B C ( A B) C A C B C —— 分配律 A ( B C ) B (C A) C ( A B) —— 标量三重积 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C —— 矢量三重积
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。 u • 0 —— u(M)沿l 方向增加； Δl l M0 u M • 0 —— u(M)沿l 方向减小； l
l
方向导数的概念
方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？

又可证明
( ) 0
上式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定
等于零。因此，任一无旋场一定可以表示为一个
标量场的梯度，或者说，任何梯度场一定是无旋 场。
5. 格林定理
S
设任意两个标量场 及，
,
V
en
若在区域 V 中具有连续的二阶偏
导数，可以证明该两个标量场 及 满足下列等式
界上场量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的
矢量场被惟一地确定。
S
F(r)
F 和 F
及
V
Ft 或 Fn
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见惟一性 定理表明，矢量场被其源及边界条件共同决定。
7. 亥姆霍兹定理 若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其 导数连续有界，源分布在有限区域V 中，则当矢量场 的散度及旋度给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
A dS
S
通量可为正、负或零。 当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭 合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。
S
A dS
S
闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外 法线方向。 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量 一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该 闭合面的通量一定为负。 前述的源称为正源，而洞称为负源。
y
er
r = r0
O
x
0
球坐标系( r, , )
z
=0 0
S
此式称为矢量第二格林定理。
格林定理建立了区域 V 中的场与边界 S 上的场
之间的关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的