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矢量的加法与减法矢量是描述物体运动或力的重要工具。
在物理学和工程学中，我们经常需要进行矢量的运算，其中包括矢量的加法和减法。
矢量的加法和减法的概念和规则在解决各种问题时都至关重要。
本文将介绍矢量的加法和减法的基本原理和应用。
一、矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新矢量的操作。
在几何上，矢量的加法也可以理解为将两个矢量的有向线段首尾相连形成一个三角形，并求出这个三角形的对角线所代表的矢量。
矢量的加法满足交换律和结合律，即不管矢量的顺序如何，它们相加的结果是相同的。
在平面直角坐标系中，可以通过坐标表示矢量，并利用坐标的加法规则进行计算。
假设有两个矢量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的和矢量C的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx = Ax + Bx，Cy =Ay + By。
这就是平面直角坐标系下矢量的加法规则。
除了直角坐标系的矢量加法外，还有极坐标系下的矢量加法。
在极坐标系中，矢量的加法可以通过在极坐标系下的矢量长度和方向的运算得到。
二、矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去得到一个新矢量的操作。
在几何上，矢量的减法可以理解为将两个矢量的有向线段的起点相连，并求出这个线段的另一端点所代表的矢量。
矢量的减法可以看作是矢量加法的逆运算。
与矢量加法类似，矢量的减法也可以利用坐标的减法规则进行计算。
假设有两个矢量A和B，其坐标分别为(Ax, Ay)和(Bx, By)，则它们的差矢量C的坐标为(Cx, Cy)，其中Cx = Ax - Bx，Cy = Ay - By。
注意，在矢量减法中，减去的矢量的坐标需要取相反数后再相加。
三、矢量的加法与减法的应用矢量的加法与减法在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 力的合成与分解：在力学中，我们常常需要将多个力的作用效果合成为一个总力或将一个力分解为多个分力。
通过矢量的加法和减法可以方便地进行力的合成与分解。
矢量的运算法则和公式在我们的物理世界中，矢量可是个相当重要的角色！就像我们在生活中要遵循各种规则一样，矢量也有它自己的运算法则和公式。
先来说说矢量的加法。
想象一下，你在操场上跑步，先向东跑了 5 米，然后又向北跑了 3 米。
那你最终的位置怎么算呢？这时候就用到矢量加法啦！把这两个位移矢量首尾相连，从起点到终点的矢量就是合矢量。
这就好比你从家出发，先去超市买了零食，又去书店买了书，最后你走的总路程可不是简单地把距离相加，而是要考虑方向的。
再说说矢量的减法。
比如说，有一个力矢量 F1 作用在物体上，然后又有一个力矢量 F2 作用在同一物体上，要想知道 F1 减去 F2 的结果，其实就是 F1 加上（-F2）。
这就像你原本有 10 块钱零花钱，花了 5 块，其实就相当于你的钱数加上了 -5 块。
说到矢量的乘法，就不得不提到点乘和叉乘。
点乘的结果是一个标量，比如一个力矢量 F 和一个位移矢量 s 的点乘，就等于力在位移方向上做的功。
就像你推一个箱子，用的力和箱子移动的距离相乘，就能知道你做了多少功。
叉乘的结果可是个矢量哦！比如磁场中的洛伦兹力 F = qv×B，这个叉乘就决定了力的方向。
记得有一次我在实验室里观察带电粒子在磁场中的运动，那轨迹真是神奇极了！正是因为矢量的叉乘法则，我们才能准确地预测粒子的运动方向。
还有矢量的数乘，这个比较简单，就是给矢量乘以一个常数，矢量的方向不变，大小改变。
就好像你跑步的速度乘以时间，就能得到你跑的路程。
在解决实际问题的时候，这些矢量的运算法则和公式可太有用啦！有一次学校组织户外探险，我们要通过地图和指南针找到目的地。
地图上给出的方向和距离就是矢量，运用矢量的加法，我们就能准确算出从当前位置到目的地的路线。
总之，矢量的运算法则和公式就像是我们探索物理世界的秘密武器，让我们能够更清晰地理解和描述各种物理现象。
不管是小小的位移，还是强大的力场，都能在矢量的世界里被准确地计算和表达。
矢量的加减运算法则
摘要：
一、矢量加减法简介
1.矢量加减法的基本概念
2.矢量加减法在物理中的应用
二、矢量加法法则
1.平行四边形法则
2.三角形法则
3.叉乘法
三、矢量减法法则
1.矢量减法的定义
2.矢量减法的几何意义
四、矢量加减法的应用实例
1.力的合成与分解
2.运动轨迹的计算
3.速度与加速度的计算
正文：
矢量加减法是物理学中矢量运算的基本方法，它涉及到矢量加法和矢量减法两个方面。
矢量加减法广泛应用于物理学的各个领域，如力学、电磁学等。
矢量加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的过程。
矢量加法有三种基本法则：平行四边形法则、三角形法则和叉乘法。
其中，平行四边形法则是
矢量加法的基本法则，它是指将两个矢量的起点连接起来，形成一个平行四边形，新矢量的长度和方向分别等于平行四边形的对角线长度和方向。
三角形法则是将两个矢量的起点连接起来，形成一个三角形，新矢量的大小和方向分别等于三角形的第三边长度和方向。
叉乘法是将两个矢量进行向量积运算，得到一个垂直于原来两个矢量所在平面的新的矢量。
矢量减法是指将一个矢量从另一个矢量中减去得到一个新的矢量的过程。
矢量减法的定义是：将减法中的被减矢量取相反数，然后与减矢量相加。
矢量减法的几何意义是将减矢量沿着被减矢量的方向平移，使得两者相接。
矢量加减法在物理学的应用非常广泛。
例如，力的合成与分解中，我们可以通过矢量加法将多个力的矢量相加得到总力，也可以将总力分解为多个分力的矢量之和。
在运动轨迹的计算中，我们可以通过矢量加法计算物体在某一时间段内的位移和速度。
所有矢量计算公式解析矢量计算公式解析。
矢量是物理学和工程学中经常出现的概念，它们可以用来描述物体的运动、力和速度等。
在矢量计算中，有一些常见的公式和运算规则，下面我们来逐个解析这些公式。
1. 矢量的加法和减法。
矢量的加法和减法是矢量计算中最基本的运算之一。
假设有两个矢量A和B，它们的加法和减法运算分别如下：A +B = (Ax + Bx, Ay + By)。
A B = (Ax Bx, Ay By)。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量，Bx和By表示矢量B 在x和y方向上的分量。
通过这些公式，我们可以很容易地计算出两个矢量的和或差。
2. 矢量的数量积。
矢量的数量积又称为点积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的数量积运算如下：A·B = |A| |B| cosθ。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的数量积，从而得到它们之间的关系。
3. 矢量的叉积。
矢量的叉积又称为向量积，它是矢量计算中另一个重要的运算。
假设有两个矢量A和B，它们的叉积运算如下：A×B = |A| |B| sinθ n。
其中，|A|和|B|分别表示矢量A和B的模长，θ表示两个矢量之间的夹角，n表示一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
通过这个公式，我们可以计算出两个矢量的叉积，从而得到它们之间的关系。
4. 矢量的分解。
在实际问题中，我们经常需要将一个矢量分解成两个分量矢量，以便进行更方便的计算。
假设有一个矢量A，它可以被分解成在x和y方向上的两个分量矢量Ax和Ay，分解公式如下：A = Ax + Ay。
其中，Ax和Ay分别表示矢量A在x和y方向上的分量。
通过这个公式，我们可以将一个矢量分解成两个分量矢量，从而方便进行计算。
5. 矢量的单位化。
在矢量计算中，有时我们需要将一个矢量转化为单位矢量，以便进行更方便的计算。
矢量运算公式范文矢量运算是对矢量进行运算的数学方法，包括矢量的加法、减法、数与矢量的乘法（数量积）、矢量与矢量的乘法（矢量积）等。
在物理学、工程学、计算机图形学等领域中，矢量运算被广泛应用。
下面将介绍一些常见的矢量运算公式：一、矢量的加法和减法：矢量的加法：对于两个矢量A和B，它们的加法可以表示为：C=A+B加法满足交换律：A+B=B+A加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)矢量的减法：对于两个矢量A和B，它们的减法可以表示为：C=A-B减法可以看作加法的反向操作：A-B=A+(-B)其中，-B表示B的反向矢量，即将B的大小保持不变，方向取反。
二、数与矢量的乘法（数量积）：数与矢量的乘法是将一个数与一个矢量各分量相乘。
假设有一个矢量A和一个数k，则数与矢量的乘法可以表示为：B=kA乘法满足交换律：kA=Ak乘法满足结合律：(kl)A = k(lA)三、矢量与矢量的乘法（矢量积）：矢量与矢量的乘法有两种形式，一种是叉乘（也称为矢量积或外积），另一种是点乘（也称为数量积或内积）。
1.叉乘：对于两个矢量A和B，它们的叉乘可以表示为：C=A×B矢量的叉乘满足右手法则：-若A和B的夹角θ小于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由A转向B；-若A和B的夹角θ大于180度，则C的方向垂直于A和B的平面，且由右手握住旋转方向由B转向A；-若A和B的夹角θ等于180度，则C等于0。
2.点乘：对于两个矢量A和B，它们的点乘可以表示为：C=A•B点乘的结果是一个标量。
点乘的计算方法有两种：-一种是将两个矢量的各分量分别相乘，然后相加：C=A₁*B₁+A₂*B₂+...+An*Bn- 另一种是使用矢量的模和夹角公式：C = ，A， * ，B，* cos(θ)其中，A，表示矢量A的模，B，表示矢量B的模，θ表示A和B的夹角。
以上是矢量运算的一些基本公式，它们在物理学、工程学和计算机图形学中都有广泛的应用。
计算几何常用算法介绍计算几何常用算法介绍1. 矢量减法设二维矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量减法定义为：P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )显然有性质P - Q = - ( Q - P )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，两点的减法就是矢量相减；2.矢量叉积设矢量P = （x1,y1），Q = (x2,y2)则矢量叉积定义为：P × Q = x1*y2 - x2*y1 得到的是一个标量显然有性质P × Q = - ( Q × P ) P × ( - Q ) = - ( P × Q )如不加说明，下面所有的点都看作矢量，点的乘法看作矢量叉积；叉乘的重要性质：> 若P × Q > 0 , 则P 在Q的顺时针方向> 若P × Q < 0 , 则P 在Q的逆时针方向> 若P × Q = 0 , 则P 与Q共线，但可能同向也可能反向3.判断点在线段上设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且Q 在以P1，P2为对角顶点的矩形内4.判断两线段是否相交我们分两步确定两条线段是否相交：(1)．快速排斥试验设以线段P1P2 为对角线的矩形为R，设以线段Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交；(2)．跨立试验如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方，如图1所示。
在图1中，P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0当( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明( P1 - Q1 ) 和( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以P1 一定在线段Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×( P2 - Q1 ) = 0 说明P2 一定在线段Q1Q2上。
三个矢量和计算公式在物理学和工程学中，矢量是一种具有大小和方向的物理量。
矢量可以用来表示力、速度、位移和其他物理量，因此在许多领域都有重要的应用。
在本文中，我们将讨论三个常见的矢量和计算公式，它们分别是位移矢量、速度矢量和加速度矢量。
位移矢量是描述物体从一个位置移动到另一个位置的矢量。
它的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。
位移矢量通常用符号Δr表示，它的计算公式为：Δr = r2 r1。
其中，Δr表示位移矢量，r2表示物体的最终位置，r1表示物体的初始位置。
这个公式告诉我们，位移矢量的大小等于物体从初始位置到最终位置的距离，方向则是从初始位置指向最终位置的方向。
速度矢量是描述物体在单位时间内移动的距离和方向的矢量。
它的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。
速度矢量通常用符号v表示，它的计算公式为：v = Δr / Δt。
其中，v表示速度矢量，Δr表示位移矢量，Δt表示时间间隔。
这个公式告诉我们，速度矢量的大小等于物体在单位时间内移动的距离，方向则是物体在单位时间内移动的方向。
加速度矢量是描述物体在单位时间内速度改变的矢量。
它的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。
加速度矢量通常用符号a表示，它的计算公式为：a = Δv / Δt。
其中，a表示加速度矢量，Δv表示速度改变的矢量，Δt表示时间间隔。
这个公式告诉我们，加速度矢量的大小等于物体在单位时间内速度改变的大小，方向则是速度改变的方向。
这三个矢量和计算公式在物理学和工程学中有着广泛的应用。
它们可以用来描述物体的运动状态，帮助我们理解物体的运动规律。
通过计算位移矢量、速度矢量和加速度矢量，我们可以预测物体的运动轨迹，分析物体的运动规律，从而为工程设计和科学研究提供重要的参考依据。
除此之外，这三个矢量和计算公式还可以应用于许多实际场景中。
比如，在汽车行驶过程中，我们可以利用位移矢量和速度矢量来描述汽车的运动状态，通过计算加速度矢量来评估汽车的加速性能。
常用矢量公式
在物理学中，矢量是指具有大小和方向的物理量。
矢量遵循特殊的运算法则，如矢量加法和矢量减法。
以下是一些高一物理中常用的矢量公式：
1.矢量加法公式：
设矢量A和矢量B分别用A=A_xi+A_yj+A_zk和
B=B_xi+B_yj+B_zk表示，其中i、j、k分别为基矢量，A_x、A_y、A_z和B_x、B_y、B_z分别为矢量A和矢量B在x、y、z方向上的分量。
则矢量加法公式为：
A+B=(A_x+B_x)i+(A_y+B_y)j+(A_z+B_z)k
2.矢量减法公式：
矢量减法是将一个矢量从另一个矢量中减去。
同样，设矢量A 和矢量B分别用A=A_xi+A_yj+A_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk表示。
则矢量减法公式为：
A-B=(A_x-B_x)i+(A_y-B_y)j+(A_z-B_z)k
3.点积公式：
点积（也称为内积、数量积）是两个矢量的数量度量。
设矢量A和矢量B分别用A=A_xi+A_yj+A_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk表示。
则点积公式为：
A·B=A_x*B_x+A_y*B_y+A_z*B_z
4.叉积公式：
叉积（也称为外积、向量积）是两个矢量的向量度量。
设矢量
A和矢量B分别用A=A_xi+A_yj+A_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk表示。
则叉积公式为：
A×B=(A_y*B_z-A_z*B_y)i+(A_z*B_x-A_x*B_z)j+(A_x*B_y-A_y*B_x)k
这些矢量公式在高中物理的学习中非常有用，可以帮助您理解和解决许多实际问题。
矢量的运算法则矢量是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
矢量的运算法则是研究矢量之间的运算规律的一种数学方法，它包括矢量的加法、减法、数量积和向量积等运算。
首先，我们来看一下矢量的加法。
矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的加法运算可以表示为A + B = C，其中C是A和B的和矢量。
在几何上，矢量的加法可以用平行四边形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从起点到终点的线段就是它们的和矢量。
接下来是矢量的减法。
矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的减法运算可以表示为A B = D，其中D是A减去B得到的差矢量。
在几何上，矢量的减法可以用三角形法则来表示，即将两个矢量的起点相连，然后从第二个矢量的终点到第一个矢量的终点的线段就是它们的差矢量。
除了加法和减法，矢量还有数量积和向量积两种运算。
数量积又称点积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的余弦值得到一个标量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的数量积可以表示为A·B= |A| |B| cosθ，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角。
数量积的几何意义是A在B方向上的投影乘以B的模长。
最后是向量积，它是指将两个矢量的模长相乘再乘以它们夹角的正弦值得到一个新的矢量的运算。
如果有两个矢量A和B，它们的向量积可以表示为A×B = |A| |B| sinθ n，其中|A|和|B|分别是A和B的模长，θ是A和B的夹角，n是一个垂直于A和B所在平面的单位矢量。
向量积的几何意义是A和B所在平面上的一个新的垂直矢量。
矢量的运算法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
比如在力学中，矢量的加法和减法可以用来求解物体的位移和速度；在电磁学中，矢量的数量积和向量积可以用来求解电场和磁场的分布。
第八章 矢量算法与场论初步·张量算法与黎曼几何初步本章包括两个部分.第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式)；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n 维空间中去.第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n 维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.§1 矢量算法一、 矢量代数［矢量概念］ 只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB 来表示矢量.用长度AB 表示大小，用端点的顺序A →B 表示方向.A 称为始点，B 称为终点，这个矢量记作AB →，或用黑正体字母a 表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值，用记号AB →或|a |表示.矢量按其效能可分成三种基本类型：具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶. 沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力. 作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量. 模等于1的矢量称为单位矢量.模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量. 模与矢量a 的模相等而方向相反的矢量称为a 的负矢量，记作-a .始点与原点O 重合而终点位于一点M 的矢 量OM →(图8.1)称为点M 的矢径(或向径)，记作 r ，原点称为极点.如果M 的直角坐标为x ，y ，z , 则有r ＝→OM ＝(x ，y ，z )＝x i ＋y j ＋z k 式中i ，j ，k 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向单位 矢量，称为坐标单位矢量(或基本矢量).［矢量的基本公式］［加法］ 若a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，则a ＋b =( a x ＋b x ,a y ＋b y ,a z ＋b z )把矢量的始点移到原点O ，以a ，b 为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a ＋b (称为平行四边形法则，见图8.2);或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a +b (称为三角形法则，见图８.3).加法运算适合如下规律：=a++(交换律)bab++))+((结合律)(=bca+acba＋０＝０＋a＝a，a＋(－a)＝０［减法］若a＝(a x,a y,a z)，b＝(b x,b y,b z)，则a－b＝(a x－b x，a y－b y，a z－b z)把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b(图8.4).对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：|a＋b|≤|a|＋|b|［数乘］以实数λ乘矢量a称为数乘，记作λa.当λ>０时，a的模伸缩λ倍，方向保持不变；当λ<０时，a的模伸缩|λ|倍，而方向与a相反(图8.5)，如果a=(a x,a y,a z)则λa＝(λa x, λa y, λa z)设λ，μ为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合下列规律：λ(μa)＝(λμ)a (结合律)(λ＋μ)a＝λa＋μa (分配律)λ(a＋b)＝λa＋λb (分配律)［矢量的分解］1 设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的直线，各交a，b(或延长线)于Ｍ，Ｎ(图８.6)，则c＝OM→+ON→= λa＋μb这称为矢量c对a，b的分解.2 设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别平行于(b，c)平面，(c，a)平面和(a，b)平面，且与a，b，c(或延长线)分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ(图8.7)，则υd＝OL→+OM→+ON→＝λa＋μb＋c称为矢量d对a，b，c的分解.3 如果两个非零矢量a与b有线性关系λa＋μb＝０式中λ, μ不全为0，则称这两个矢量共线(即a//b)；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.4 设a,b为两个非零矢量，若λa＋μb＝０，则有λ＝０，μ＝０，这时称a，b为线性无关.5 若三个非零矢量a ，b ，c 有线性关系λa ＋μb ＋c υ＝０，式中λ，μ，υ不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a ，b ，c 为线性相关.如果a ，b ，c 为三个非零矢量，而λa ＋μb ＋c υ＝０，则有λ＝μ＝υ＝０，这时,称a ，b ，c 为线性无关.6 四个(或四个以上)矢量a ，b ，c ，d 必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数λ，μ，υ，ξ，成立λa ＋μb ＋c υ＋ξd ＝０.［标量积(数量积、点积、内积)］ 设a ＝(a x , a y , a z )，b ＝(ｂx ,ｂy ,ｂz )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则称数值ab cos θ为矢量a ，b 的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作a ·b ＝ab ＝ab cos θ(０≤θ≤π)可以看作矢量a 的长度乘以矢量b 在a 上的投影的长度(图8.8). 标量积运算适合以下的规律：a ·b ＝b ·a (交换律) a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)(λa )·(μb )＝λμa ·b (数乘的结合律)a ·a ＝a ２＝|a |２＝a ２若a ，b 为非零矢量，a ·b ＝０，则a ⊥b ；反之也真.i ·i ＝j ·j ＝k ·k ＝1，i ·j ＝j ·k ＝k ·i ＝０ a ·b ＝a x b x ＋a y b y ＋a z b z (即对应坐标相乘之和)［矢量积(叉积、外积)］ 设a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，|a |＝a ，|b |＝b ，a ，b 两矢量的夹角为θ，则定义a ×b 为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以a ，b 为边的平行四边形的面积(图8.9阴影部分) |a ×b |＝ab sin θ (０≤θ≤π)它的方向垂直于两矢量a 和b ,并且a ，b ，a ×b 构成 右手系(图8.9).矢量积运算适合下列规律：a ×b ＝－b ×a (反交换律)(a +b )×c ＝a ×c ＋b ×c (分配律，次序不能交换)(λa )×(μb )＝λμ(a ×b )[(λ＋μ)a ]×b ＝(λ＋μ)(a ×b )＝λ(a ×b )＋μ(a ×b )a ×a ＝０若a ，b 为非零矢量，则a ，b 共线(即a //b )的充分必要条件是：a ×b ＝０i ×i ＝j ×j ＝k ×k ＝０，i ×j ＝k ，j ×k ＝i ，k ×i ＝ja ×b ＝zyxz y xb b b a a a kj i＝(a y b z - a z b y )i +( a z b x －a x b z )j +( a x b y －a y b x )k [两矢量的夹角]cos(a ，b )＝ba ba ⋅ sin(a ，b )＝ba b a ⨯[拉格朗日恒等式](a ×b )·(c ×d )＝(a ·c )(b ·d )－(a ·d )(b ·c )特别 (a ×b )2=a 2b 2－(ab )2即 (a y b x - a z b y )2+( a z b x －a x b z )2+( a x b y －a y b x )2 ＝(a x 2+a y 2+a z 2)(ｂx 2+b y 2+b z 2)－(a x b x +a y b y +a z b z )2[三个矢量的混合积] 设a ＝(a x ,a y ,a z )，b ＝(b x ,b y ,b z )，c ＝(c x ,c y ,c z )为三个矢量,则它们的混合积定义为(abc )＝a ·(b ×c )＝a a a b b b c c c xy zxy z xyz＝a x (b y c z －b z c y )＋a y (b z c x －b x c z )＋a z (b x c y －b y c x ) 混合积具有性质:1 a ·(b ×c )＝(a ×b )·c 注意,一般情况下等式(a ·b )·c =a ·(b ·c ) (a ×b )×c =a ×(b ×c )不成立.2 (abc )＝(bca )＝(cab )=－(acb )=－(bac )=－(cba ) 即有轮换性：a ·(b ×c )＝b ·(c ×a )＝c ·(a ×b )＝－a (c ×b )＝－b (a ×c )＝－c (b ×a )3 混合积(abc )是一个数，它的绝对值等于以a ，b ，c 为边的平行六面体的体积.4 三个矢量共面的充分必要条件是：(abc )＝0. [三重矢积]a ×(b ×c )＝(a ·c )b －(a ·b )c (a ×b )×c ＝(a ·c )b －(b ·c )a采用a ，b ，c 轮换法还可推出其余两个同类公式. [多重积的几个公式]a ×(b ×c )＋b ×(c ×a )＋c ×(a ×b )＝０(a ×b )·(c ×d )＝db c b d a c a ⋅⋅⋅⋅＝(a ·c )(b ·d )－(a ·d )(b ·c )(a ×b )×(c ×d )＝(abd )c －(abc )d ＝(cda )b －(cdb )a a ×[b ×(c ×d )]＝(b ·d )(a ×c )－(b ·c )(a ×d )(a ×b b ×c c ×a )＝(abc )２(a １a ２a ３)(b １b ２b ３)＝332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a (a ×b c ×d e ×f )＝(abd )(cef )－(abc )(def )二、 矢量分析1．矢量微分[矢函数] 对于自变量t (标量)的每一个数值都有变动矢量a 的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应，则变(矢)量a 称为变量t 的矢函数，记作a ＝f (t )矢函数也可表为a =a x i ＋a ｙj ＋a z k式中a x ＝f x (t )，a y ＝f ｙ(t )，a z ＝f z (t )为三个标函数.若把变动矢量表成点M 的矢径形式r ＝r (t )则当t 变动时，点M 在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：r =x i ＋y j ＋z kx ＝x (t )，y ＝y (t )，z ＝z (t ) [矢函数的极限与连续性] 若对任意给定的ε>0 , 都存在数δ>0，使得当t －t ０<δ时r (t )－r ０<ε成立，则称r ０为矢函数r (t )当t →t ０时的极限，记作()t t t r 0lim →= r 0若()t t t r 0lim →存在，则()t t t r 0lim →＝()lim t t x t →0i +()lim t t y t →0j +()lim t t z t →0k若 ()t t t r 0lim →= r (t 0),则称矢函数r (t )在t ＝t ０处连续.[矢函数的导数与微分] 如果极限()()tt t t t ∆-∆+→∆f f 0lim存在，就称它为矢函数a ＝f (t)的导数，记作td d a .矢函数a ＝f (t )的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作22d d t a ，等等.d a ＝td d a d t称为矢函数a ＝f (t )的微分. [矢函数求导公式]td d c ＝0 (c 为常矢量) td d(k a )＝k t d d a (k 为常数)td d(a ＋b ＋c )＝t t t d d d d d d c b a ++t d d (ϕa )＝t d d ϕa ＋ϕt d d a(ϕ是t 的标函数) t d d (a ·b )＝t d d a ·b ＋a ·td d b (顺序可以交换) t d d (a ×b )＝t d d a ×b ＋a ×t d d b (顺序不可以交换) t d d (abc )=( t d d a bc )+(a t d d b c )+(ab td d c ) (顺序不可以交换)t d d a [ϕ(t )]=ϕd d a td d ϕ (ϕ是t 的标函数，这是复合函数的求导公式)[矢径形式的矢函数求导公式] 设r ＝r (t )＝x (t )i ＋y (t )j ＋z (t )k表示矢函数的矢端曲线，则1 r＝td d r= x i ＋ y j ＋ z k表示矢端曲线的切线矢量(图8.10)，指向t 增加的方向，式中 x ＝t x d d , y =t y d d , z =tzd d2sd d r= t 式中s 为矢端曲线的弧长，t 为切线的单位矢量.3 22d d t r r = ＝x i ＋ y j ＋ z k 式中 x ＝22d d t x , y =22d d t y , z =22d d tz[矢函数的泰勒公式]r (t ＋∆t )＝r (t )＋r(t )∆t ＋r !21(t )(∆t )２＋···＋1n !r (n )(t )(∆t )n ＋()11n +!R n (∆t )n +1式中R n ＝x (n +1)(t 1)i ＋y (n +1)(t 2)j ＋z (n +1)(t 3)k (t < t 1 , t 2 , t 3 < t ＋∆t )r (n )(t )= x (n )(t )i ＋y (n )(t )j ＋z (n )(t )kx (n )=n n t x d d , y (n )=n n t y d d , z (n )=n n tz d d[矢量函数的几个常用性质]1 定长矢量r (t )⊥r(t )，反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直. 2 定向矢量r (t )//r(t )，反之也真. 3 一个变动矢量r (t )平行于一个定平面的充分必要条件是：混合积(rr r )＝0 2．矢量积分[不定积分] 设a (t )，b (t )为矢函数，则矢量微分方程()tt d d b ＝a (t ) 的解⎰a (t )d t ＝b (t )＋c (式中c 为任意常矢量)称为矢函数a (t )的不定积分.[定积分] 设a (t )和b (t )为矢函数，则⎰21t t a (t )d t ＝b (t 2)－b (t 1)称为矢函数a (t )的定积分，t １，t ２分别称为下、上限. [平面面积矢量] 设r ＝ r (t )＝x (t )i ＋y (t )j ＋z (t )k d r ＝i d x ＋j d y ＋k d z则S ＝⎰L21r ×d r式中L 为r (t )矢端所画的闭曲线，S 为L 所包围的面积矢量，原点在闭曲线Ｌ内.。
