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九年级数学下册教学课件第三章 圆3 垂径定理1 第2课时

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垂径定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

垂径定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

●O
侧的两个半圆重合，点A与点B
AM
B C 重合，AM与BM重合，
D
线段：AM=BM
·O
⌒ AC和B⌒C重合, ⌒AD和B⌒D重合.
M A
B 等弧： A⌒C=B⌒C, A⌒D =B⌒D.
D
证明：
C
连接OA、 则OA=OB. ∵CODB⊥, AB ∴∠OMA=∠OMB
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
即CD所在直线是AA'的垂直平分线 ∴对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直 A 线CD的对称点A'，即:
'
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直 线都是圆的对称轴.
AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
C
你能发现图中有那些相等的线 段和弧？为什么？理由.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两
｝ ｛ 题设
（1）直径 （2）垂直于弦
直径
结论
（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
垂径定理:
定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
C
题设
A
●O
M
由 ① CD是直径 B ② CD⊥AB
可推得
D
结论
①AM=BM,
②A⌒C=B⌒C, ③A⌒D=B⌒D.
定理辨析
CD ⊥AB，垂足为M，OM=3，
则CD= 8 .
A
●O
CM
D
B
3、在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为 直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半
径是 13 .
注意：解决有关弦的问题时,半径是常用的一种 辅助线的添法．往往结合勾股定理计算。

2.3垂径定理(第2课时)课件(共12张ppt)

2.3垂径定理(第2课时)课件(共12张ppt)

D D
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
可推得
②CD⊥AB, ④A⌒C=B⌒C,
·Ｏ
A (E)
B 推论1：
⑤A⌒D=B⌒D.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， C 并且平分弦所对的两条弧．
探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB
于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？
为什么？
C
ED F B
设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4 在Rt△OAD中，由勾股定理，
r
O
得: r≈3.9（m）
在Rt△ONH中，由勾股定理，得：
OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6
∴ DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1>2 ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
∠ CEB=30°=∠ FEO OF=1.5
A F
O· E C
B
AF=√OA2-OF2=√62-1.52=
3√15 2
AB=2AF= 3√15
9.如图,圆O与矩形ABCD交
AH
于E、F、G、H,EF=10， HG=6，AH=4，求BE的长.
BE
BE=2
MG D
·ON F C
10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦
M
B
图中相等的线段有 :AE=EB CF=FD . 图中相等的劣弧有: A⌒MC⌒=NB⌒=MN⌒D. .A⌒C=B⌒D. .
A
E
O·F
D
CN
3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

九年级数学北师大版初三下册--第三单元3.3《垂径定理》课件

⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （√ ）
挑战自我找一找
2.已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD, 直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 :
. 图中相等的劣弧有:
.
挑战自我算一算
3、已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，C 为
⌒ AB
的中点，OC交AB
于D
例题解析
例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8
㎝，圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的
半径。
A
E
B
O
练习1:在半径为50㎜的圆O中，有长50㎜的弦AB， 计算：⑴点O与AB的距离；
⑵∠AOB的度数。
E
例2：如图，圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
O
D
A
B
练习2:在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10 ㎝ ， 求圆O的半径。
挑战自我画一画
如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB, 使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
挑战自我填一填
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条
弧.
（ ）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另
一条弧.
（√ ）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（ ）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （ ）
C
A M└ B 你可以写出相应的命题吗?
●O
相信自己是最棒的!
D
C
A M└
B
垂径定理及逆定理
●O
条件 ①② ①③ ①④ ①⑤

圆的垂径定理课件

圆的垂径定理课件

由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
⌒ ⌒ ④AC=BC,
⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
圆的垂径定理
做一做P90
5
垂径定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
圆的垂径定理
想一想P91
8
垂径定理的逆定理
驶向胜利 的彼岸
• 如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
C
A
B
M└
●O
你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!
D
圆的垂径定理
• 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B ,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
经过圆心弦叫做直径(如直径AC).
B
m • 直半径圆将(如圆弧分A成BC两⌒).部分,每一部分都叫做
A
●O
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B (用
C 两个字母).
试一试P93 15
挑战自我画一画
• 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A
H
G
D
驶向胜利 的彼岸
BE
·
F
C
0
圆的垂径定理
独立作业P91 16
挑战自我
• P94:习题3.2

3,3垂径定理-九年级数学下册课件(北师大版)

3,3垂径定理-九年级数学下册课件(北师大版)
答：修理人员应准备内径为100 cm的管道．
总结
本题运用转化思想将实际问题转化为数学问题，先正确画 出图形，找出图中的已知量，然后构造直角三角形，最后利用 勾股定理求解．
1 1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)是圆弧形，它的 跨度(即弧所 对的弦长)为37.4 m，拱高(即弧的中点到弦的距 离)为7.2 m，求桥拱所在圆的半径(结果精确到0.1).
弦所对的弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径 CD AB
CD平分AB
AD
BD
AB不是直径
AC
BC
即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
CD AB
CD平分AB
AD
BD
AC BC
(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另
一条弧，即：如图，在⊙O 中，
CD是直径
1 如图，⊙O 的直径CD＝10 cm，AB 是⊙O 的弦，AM＝BM， OM∶OC＝3∶5，则AB 的长为( A )
A．8 cm B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
2 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O上，∠AOB＝60°，AB＝AC ＝2，则弦BC 的长为( C )
A. 3 B．3 C．2 3 D．4
CD AE
AB BE
AD BD
AC
BC
例3 下列说法正确的是( C ) A．经过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线一定经过圆心 C．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦且经过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧
例4 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即图中 CD ，点O 是 CD 所在圆的圆心），其中CD= 600m， E 为CD 上一点，且OE 丄CD，垂足为F，EF =90m.求这段弯路的半径.

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)

3-3 垂径定理 -2022-2023学年九年级数学下册同步精品课件(北师大版)
∴AC=AE﹣CE=8﹣2 7．
随堂测试
7.已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则
AC的长为（
A．2 5cm
）
B．4 5 cm
C．2 5cm或4 5cm
D．2 3cm或4 3cm
【解析】
连接AC，AO，
1
1
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=2AB=2×8=4cm,OD=OC=5cm,
O
⌒
⌒
BC =BD.
E
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言：
C
∵ CD是直径， CD⊥AB
·
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
∴ AE=BE，AC=BC，AD=BD.
O
E
B
A
D
概念理解
平分弦的直径垂直于这条弦吗？
情况一：弦是直径
不一定
情况二：弦不是直径
C
A
C
·
O
D
O
B
E
A
B
课堂基础练
⌒
ＡＣ＝ AD
⌒
⌒
， BC＝ ＢＤ
A
已知：线段CD是⊙O的一条弦，直径AB⊥CD，
垂足为E。
⌒ ⌒ ⌒ ⌒
求证：CE=DE, AC = AD, BC =BD.
C
证明：连接OC、OD,在△OCD中，
∵OC=OD，且OE⊥CD,
∴CE=DE，∠COB=∠BOD,
⌒ =AD,
⌒
∴ ∠AOC=∠AOD, ∴AC
则OE=
3
，AB=
8
?
.

北师大版九年级下册第三章垂径定理课件


O.
求证：EC＝DF
A EC
DF
例：如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AE⊥CD于E， BF⊥CD于F，且圆O的半径为
10㎝，CD=16 ㎝，求AE-BF的长。
C
E
A
G B
O
F
D
船能过拱桥吗
2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗？
挑战自我 做一做
4.如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD 于E， ∠ CEB=45°，DE=6㎝，CE=2 ㎝，求弦AB的长。
A
F
D
OEC
B
5、已知⊙O的半径为5，弦AB=8，
点P为弦AB上的一动点， 则OP的
取值范围是
。
6、已知⊙O的半径为6，OP=4，过
点P作⊙O的弦中，最长为
，
最短为
。
7、已知⊙O的半径为5，弦 AB∥CD， AB=6，CD=8，则 AB和CD之间的距离为 。
劣弧中点的距离为
。
3.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、HG=6
A
H
G
D
EF=10,
N
AH=4， B E M ·
F
C
0
求BE的长.
解：过O作OM⊥BC于M，交AD于N， ∵矩形ABCD ， ∴AD∥BC， ∴ OM⊥ AD ∴ EM=1/2EF=5，HN=1/2HG=3 ∴AN=AH+HN=4+3=7， ∴ BM=7 ∴BE= BM- EM =7-5=2
。
B
3.在⊙O中，CD ⊥AB于M，AB为直径， 若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是 13 .

3.3+垂径定理++课件++2023—2024学年北师大版数学九年级下册

弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
C
AE=BE， AC=BC，AD=BD
A
O E
B
D
探索新知——垂径定理及其逆定理
活动：
在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出
猜想.
C
猜想：垂直于弦的直径
平分这条弦，并且平分弦所
O
对的弧.
E
A
B
D
你能写出已知求 证，并证明吗？
探索新知——垂径定理及其逆定理
别相等.
A M
B
O
B′ M′ A′
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径 折叠可以是哪些位置关系呢？ 斜交，垂直
垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
C
A
B
O
D
AO=BO，CO=DO，AC=BC，AD=BD
探索新知——垂径定理及其逆定理
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的
直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
C
求证：AE=BE， AC=BC， AD=BD.
若只证明AE=BE，还有什么方
A
法？
O E
B D
探索新知——垂径定理及其逆定理
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫 做____定___理____.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分弦所对的弧.
垂径定理的推理格式
弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂 线,垂线被弦和弧所截的线段的长,
称为弓形的高.如EF .
C E
FD
O
应用实际
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点.

垂径定理课件北师大版九年级下册数学


预习导学
2.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所
对的另一条弧.
3.圆的两条平行弦所夹的弧相等.
预习导学
1.如图，AB是☉O的弦，OC⊥AB于C.若AB＝8，OC＝3，则
半径OB的长为( C )
A.3
B.4
C.5
D.10
预习导学
2.如图，☉O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，则
第三章 圆
3 *垂径定理
素养目标
1.会运用圆的对称性探究垂径定理，并会运用垂径定理解决
相应问题.
2.知道垂径定理的逆定理并会运用它解决问题.
◎重点:知道垂径定理和逆定理及其应用.
预习导学
你知道赵州桥吗？它修建于隋朝，距今已有1360多年的历
史.这座石拱桥是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥是圆
合作探究
解:OC＝OD.理由如下:如图，过点O作OE⊥AB于E，则AE
＝BE，
又∵AC＝BD，∴CE＝DE.∴OE是CD的中垂线，∴OC＝
OD.
合作探究
某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为
更换管道，需确定管道的半径，如图，这是水平放置的破裂管
道有水部分的截面.维修人员测得这个输水管道有水部分的水面
(1)条件中的“弦”可以是直径.(2)结论中的“平分弧”指
平分弦所对的劣弧、优弧.
预习导学
垂径定理的逆定理
阅读教材本课时“想一想”及其后面的内容，并回答问题.
平分弦(不是直径)的直径 垂直于弦 ，并且
平分 弦
所及垂径定理还有如下结
论:
1.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.
求的点.
合作探究

3.3 垂径定理 课件 2023-2024学年 北师大版数学九年级下册


*3.3 垂径定理
续表
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直线（线段），其 本质是“过圆心”； 特别提醒 （2）“平分弦所对的两条弧”是指既平分弦所对的优弧（如图中的
），又平分弦所对的劣弧（如图中的 ）
-2-
*3.3 垂径定理
2. 垂径定理的推论
文字描述 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 如图，直径 CD 与非直径的弦 AB
的是 （ ）
A. CM=DM B.
C. ∠ACD=∠ADC D. OM=MB
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图所示，⊙O 的半径为 13，弦 AB 的长度是 24，ON⊥AB，垂足为 N，
则 ON= （ ）
A． 5
B． 7
C． 9
D． 11
-1-
*3.3 垂径定理
3.（教材 P76，习题 T2 变式）如图，AE 是⊙O 的直径，半径 OD 垂直于 弦 AB，垂足为 C，AB=8 cm，CD=2 cm，求 BE 的长．
∴AN= AB=12， 在 Rt△AON 中， ∵AO=13，∴ON=
=5．
3. 解：∵ 半径 OD 垂直于弦 AB，垂足为 C， AB=8 cm，∴AC= AB=4 cm，
设 CO=x cm，则 AO=DO=（x+2）cm，在 Rt△AOC 中，AO2=CO2+AC2， ∴（x+2）2=x2+42，解得 x=3，即 CO=3 cm. ∵AO=EO，AC=CB，OC 为△ABE 的中位线，∴BE=2CO=6 cm． 4. D 提示：一条直线经过圆心，平分弦所对的劣弧，根据垂径定理及其推论可 知，它垂直平分这条弦，并且平分弦所对的优弧． 5. 120 提示：∵ 弦 AC 与半径 OB 互相平分，∴OA=AB，∵OA=OB，∴△OAB 是 等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AOC=2∠AOB=120°.
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B
D
②过圆心； 推论6
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧；
C
垂径定理推论7
平分弦且平分弦所对优弧的直
·O
线，过圆心、垂直弦且平分弦所对 A E
B
的另一条劣弧。
D
③平பைடு நூலகம்弦； 推论7
④平分弦所对的优弧；
①垂直于弦； ②过圆心； ⑤平分弦所对的劣弧。
C
垂径定理推论8
平分弦且平分弦所对劣弧的直
·O
线，过圆心、垂直弦且平分弦所对 A 的另一条优弧。
E B
D
③平分弦；
推论8
⑤平分弦所对的劣弧。
①垂直于弦； ②过圆心； ④平分弦所对的优弧；
C
垂径定理推论9
平分弦所对的两条弧的直线，
·O
经过圆心，并且垂直平分弦。
E
A
B
D
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。 推论9
①垂直于弦； ②过圆心； ③平分弦；
定理 推论1 推论2 推论3 推论4 推论5 推论6 推论7
推论8 推论9
垂径定理的再发现
C
·O
E
A
B
D
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦，并且
①
②③
平分弦对的两条弧．
④⑤
C
·O
E
A
B
D
①垂直于弦； ②过圆心； 垂径定理
③平分弦； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。
C
垂径定理推论1
弦的垂直平分线经过圆心，并
①
④
⑤
·O
②过圆心； ③平分弦； 推论
E
A
B
D
①垂直于弦；
④平分弦所对的优弧 ；
⑤平分弦所对的劣弧。
讨论：①垂直于弦； ②过圆心； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧；
C
A
B
E└
●O
（1） （3）
（2） （4）
⑤平分弦所对的劣弧。
（2） （4） （5）
（1） （4）
（2） （3） （5）
（1） （3）（2） （5）（5）
①垂直于弦； ④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧。
C
垂径定理推论5
平分弦所对优弧的直径，垂直
·O
平分弦，并且平分弦所对的劣弧。 A E
B
D
②过圆心； ④平分弦所对的优弧；
推论5
①垂直于弦； ③平分弦； ⑤平分弦所对的劣弧。
C
垂径定理推论6
平分弦所对劣弧的直径，垂直
·O
平分弦，并且平分弦所对的优弧。 A E
（1） （3）
（3） （4）
（4）
（1） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1） （3）
（2）（5） （5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
D （1） （4） （5）
（1） （2） （3）
每条推论如何用语言表示？
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧; （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧; （4） … （5）… （6）… （7）… （8）… （9）…
※3 垂径定理
第2课时 垂径定理(2)
九年级下册
垂径定理
回顾旧知
垂直于弦的直径平分弦，并且 C
①
②③
平分弦对的两条弧．
④
⑤
·O
①垂直于弦； ②过圆心； 垂径定理
E
A
B
③平分弦； D
④平分弦所对的优弧；
⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理的推论
注意
探索新知
C
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平③ 分弦所对的两条弧．②
9、平分弦所对的两条弧的直线，经过圆心，并且垂直平分弦。
课后作业
完成本课时的习题。
对我来说，不学习，毋宁死。 ——罗蒙诺索夫
·O
且平分弦所对的两条弧。
E
A
B
D
①垂直于弦； ③平分弦； 推论1
②过圆心； ④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理推论2
垂直弦并且平分弦所对优弧的 的直线，过圆心、平分弦且平分弦 所对的劣弧。
C
·O
E
A
B
D
①垂直于弦； 推论2
④平分弦所对的优弧；
②过圆心； ③平分弦； ⑤平分弦所对的劣弧。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧．
1、弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂直弦并且平分弦所对优弧的的直线，过圆心、平分弦且平 分弦所对的劣弧。
3、垂直弦并且平分弦所对劣弧的的直线，过圆心、平分弦且平 分弦所对的优弧。 4、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧． 5、平分弦所对优弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的劣弧。 6、平分弦所对劣弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧。 7、平分弦且平分弦所对优弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦 所对的另一条劣弧。 8、平分弦且平分弦所对劣弧的直线，过圆心、垂直弦且平分弦 所对的另一条优弧。
结论 总结归纳
根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直径来说。如果具备
（1）过圆心 （2）垂直于弦
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论。
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧; （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧; （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所 对的另一条弧; （4） … （5）… （6）… （7）… （8）… （9）…
C
垂径定理推论3
垂直弦并且平分弦所对劣弧的 的直线，过圆心、平分弦且平分弦 所对的优弧。
·O
E
A
B
D
①垂直于弦； 推论3
⑤平分弦所对的劣弧。
②过圆心； ③平分弦； ④平分弦所对的优弧；
垂径定理推论4 注意
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，
并且平③ 分弦所对的两条弧．②
①
A
④
⑤
C
·O
E B
D
②过圆心； ③平分弦； 推论4