01高等数学绪论

2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零. ( 型 ) 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
极限是否存在？
x0 x 0 在x 0 处
x0 的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x ) 的
思考题解答
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
x x0
x 0
lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5,
x x0
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
x 1
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
故 D f : [ 3,1]
思考题
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0) 的解析表达式.
思考题解答
1 设 u x
1 1 1 1 u2 则 f u 1 2 , u u u
1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2

类似可以定义函数f (x)在X上有下界
o
x
注 (1) 有界性的概念须明确数集 X D
(2) 若函数f (x)在X上有上(下)界，则上(下)界不唯一 例：f ( x )
1 在 (0, 1)内有下界，但没有上界 x 在 (1, 2)内既有下界，也有上界
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
微分学
导数
分析 引论
微分
极限
函数
空间解析几何
常微分 方程
多元函数
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
（二）教学内容 （三）研究方法
（四）教学目的
一、高等数学课程介绍 （一）研究对象
解析法 表格法 图象法 (1) 表示法：
(2) 解析式的理解：一系列的运算程序
注
只有当两个函数的定义域和对应法则都相同时， 这两个函数才是相同的，否则就是不同的.
例4 下列函数是否相同，为什么？
(1) (2)
函数的几种特性
1．函数的有界性
设函数f (x) 的定义域为D，数集 X D
如果存在数 K 1 , 使得 f ( x ) K1 对任一 x X 都成立 y 那么称函数f (x)在X上有上界
多元函数 微分学 应用 偏导数 全微分 重积分 线面积分 曲面面积 体积、质心… 多元函数 积分学
切线、法平面 、梯度…
应用
切线、图形 、速度… 中值定理
面积、体积 、作功… 元素法 不定 积分 连续 定 积分 积分学 无穷 级数

22 22 2222 a b 2 a b c d c d
2 2 22 22 (| x | | y |) | x y | 2 a b c d 2 ac 2 b
为证三角不等式只须证明
2 22 2 ac bd a b c d
为证上式，又只须证明


点a叫做这邻域的中心 , 叫做这邻域的半径 .
U ( a ) { x a x a } .

a
a
0
a
x
U a ). 点 a 的去心的 邻域 , 记作 (
U ( a ) { x 0 x a } .

a a ; ab a b ; 运算性质: b b a x a ; x a ( a 0 ) x a 或 x a ; x a ( a 0 )
a , b R , 且 a b .
{ x a x b } 称为开区间,
o a b { x a x b } 称为闭区间, o
记作 ( a ,b )
x 记作 [ a ,b ] x
a
b
{ x a x b } 称为半开区间, { x a x b } 称为半开区间,
(3) 狄利克雷函数
1 当 x 是有理数时 yD (x ) 0 当 x 是无理数时
y
1
• o 无理数点 有理数点
x
(4) 取最值函数 y max{ f ( x ), g ( x )} y min{ f ( x ), g ( x )}
y
f (x)
y
f (x)
g(x)
o
x
g(x)
x y x y . 绝对值不等式: 绝对值不等式的两个变形公式：

3.确定复合函数
例
已知f
(x)

11
( (
x), x),
x x

x1 x1
g(x)

43
(x) (x)
, ,
x x

x2 x2
求f [g(x)], g[ f (x)].
解： f
[
g
(x)]

12[[gg((xx))]]
, ,
g(x) g(x)

x1 x1
1）当 x x2且3(x) x1时，f [g(x)] 1[3(x)]
x1 x1

f f
(x2 ) (x2 )
f f
( x1 ) ( x1 )
f (x)单调递减 f (x)严格单调递减
第一节 函数
奇偶函数的性质 F(x) f (x) f (x)是偶函数 F(x) f (x) f (x)是奇函数
F (x) f (x) f (x) f (x) f (x)
引言
•什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 以变化观点研究问题.
•高数主要内容：
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续 2. 微积分学: 一元微积分 (上册)
多元微积分 (下册) 3. 向量代数与空间解析几何 4. 无穷级数 5. 常微分方程
第一章 函数、极限与连续
函数— 研究对象 分析基础 极限— 研究方法
连续— 研究桥梁
第一章 函数、极限与连续
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
函数 数列的极限 函数的极限 无穷小与无穷大 极限运算法则 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较 函数的连续与间断 连续函数的运算与性质

，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
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感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。

例.
01
解:
02
原式
03
例. 求
04
例
解
解法讨论
典型例题
例：
例：
函数连续的等价形式
有
函数间断点
第一类间断点
跳跃间断点
第二类间断点
可去间断点
无穷间断点
振荡间断点
三、连续与间断
小结：
1.函数在一点连续必须满足的三个条件;
3.间断点的分类与判别;
2.区间上的连续函数;
第一类间断点:（左右极限都存在的间断点）.
例. 证明
例：
01
求极限
02
解：
03
原式
04
求极限
05
提示：
06
原式
07
左边
08
= 右边
09
故极限存在，
设
, 且
求
则由递推公式有
解：
设
∴数列单调递减有下界，
故
利用极限存在准则
例：
思考与练习
, 求 时, 设 不对! 此处
1.如何判断极限不存在?
方法1. 找一个趋于∞的子数列;
2.已知
方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 下述作法是否正确? 说明理由. 由递推式两边取极限得
右极限存在,
不存在.
补充结论：
D
C
A
B
思考题解答
小结:
例
商的法则不能用
解
由无穷小与无穷大的关系,得
解
例
(消去零因子法)
例
解
(无穷小因子分出法)
结论:
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.

习惯上常用 x 表示自变量， y 表示因变量， 故常把 y f (x) 的反函数写作 y f 1(x) ．
39
注： 函数
与其反函数
的图形关于直线
对称 .
y Q(b, a)
yx y f (x)
例如 ,
指数函数 y ex , x (, )
对数函数
o
x
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线
若A B，A B =A，A B =B。
9
2）区间---9种类型的区间
设实数 a b，开区间 (a,b)＝{x | a x b}，记作 (a,b)． 数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，但不包括端点 a 及端 点b． 闭区间[a,b] ＝{x | a x b}，记作[a,b] ． 在数轴上表示点 a 与点b 之间的线段，包括两个端点．. 集合{x | a x b}记作 (a,b]，称为左开右闭区间. 集合{x | a x b}记作[a,b) ，称为左闭右开区间. 以上区间都称为有限区间，数 b a 称为这些区间的长度．
46
两个以上函数也可构成复合函数. 例如,
y u, u0
u 1v2
v x , x (, ) 2
邻域: 设a与是两个实数 , 且 0.
称数集{x a x a }为点a的邻域 ,
记作U（a，）,称点a为该邻域的中心 ,为该邻域的半径


a
a
a
x
点a的去心的邻域, 记作U 0 (a, ).
U 0 (a, ) {x 0 x a }
12
一、函数的定义
33
【例4】 f(x)=sinx和f(x)=cosx

3. xlim 左右极限存在并相等 x ƒ(x) 的存在性 当x<xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo-0) 左极限 x
0
0
当x>xo时,x→ x 0 ,极限 xlim ƒ(x)= -ƒ(xo+0) 左极限 x
0
应用-----主要用于分段函数 分段点处求极限
x x0 2
证明: 对 >0要使|sinx-sinxo |=2|sin 2|sin
x x0 2
cos
x x0 |<ε 2
x x0 cos 2
|≤2|sin
x x0 2
|

当 x 很 小 时,|sinx| < |x| 2|sin
x x0 2
|<|2
x x0 2
| = |x-x0|<ε
（1）、ε-x定义:
if 对 >0, x>0,st 当 |x|>x 时 , 有 |ƒ(x)-a|<ε so 称 a 为 ƒ(x) 当 x→∞时的极限 先有ε,再找x
（2）、ε-定义 if对 >0, st当0<|x-xo|< 时,有|ƒ(x)-a|<ε成立,则 limƒ(x)=a 称a是ƒ(x)当x→xo 的极限,记为 x x
iii) 极限过程可以变,但必须是型,且x一模一样 1/(x-1) =1 如:1) lim x 1 [1+(x-1)] 1 .2 x 1 1 2 x lim（1 ) = e1/2 2) lim (1+ ) = x 2 x x 2x 3) lim (1+ x 4) lim ) x = e2 x (1+

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退 出
余弦函数 y cos x
y cos x
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退 出
正切函数 y tan x
y tan x
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退 出
余切函数 y cot x
y cot x
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退 出
正割函数 y sec x
y sec x
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y
o -1
x sgn x x
x
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退 出
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 x 的最大整数 4 3 2 1 o
y
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4
阶梯曲线
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退 出
(3) 狄利克雷函数
1 y D(x) 0 当 x 是有理数时 当 x 是无理数时
退 出
例2
1 设 f (x) 2 0 x 1 1 x 2 , 求函数 f ( x 3 )的定义域 .
解
1 f (x) 2
0 x 1 1 x 2 0 x 3 1 1 x 3 2
1 f ( x 3) 2 1 2
函数的两要素: 定义域与对应法则.
(
x
D
x0
)
对应法则f
(
自变量
)
W
y
f ( x0 )
因变量
约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义 的一切实数值.
例如， y 1 x
2
D : [ 1 ,1 ] D : ( 1 ,1 )

y 1 若 f x 1 3 x 5
2
2 2
求 f(x)
解法1： f x 1
3 x 5 3 ( x 2 x 1) 6 x 3 5
2
3 ( x 1) 6 x 6 2
y
• ° • ° 实际上是取左端点.
–2 –1 o• ° 2 1 • ° –1
• ° • ° • °
x
注意: 分段函数虽有几个式子, 但它们合起来表示一 个函数, 而不是几个函数.
7.复合函数 所谓复合函数就是把两个或两个以上的函数组合成一 个新的函数.
例如由 y u ,u 1 x
y
(7 )
ab a b .
3.邻域 设a, b都是实数, 且a<b, 数集{x|a<x<b}称为开区间. 记作(a, b), 即
( a , b ) { a x b },
其中a和b称为开区间的端点, a ( a , b ), b ( a , b ).
(如图)
° a
° b
类似还有闭区间, 半开半闭区间以及无限区间. 其中数
函数的极限如图000xxxx????????1xy?arctanyx?ooxxyy0xxx???????xye?0xx?????xye??logayx?01a??ooxxylnyx?xx??????xx??????0xx?????由以上几例可看得出同一个函数的自变量在不同的变化过程中相应的函数变化趋势不一样因而有必要分情况考察
4.函数的概念 (2) 函数的定义域 定义域的表示方法： 用不等式描述的集合；（举一个例子） 用区间表示；（复习区间的各种情况：开区间、半 开区间、闭区间） 求定义域的原则： 如果已经用解析式表示，要使函数有意义，自变量 必须满足运算要求的条件；（如分式的分母不能为 零；对数的真数要大于零；偶次方根号下不能是负 数等） 如果是实际问题，还要使变量要有实际意义。