直线方程课件

∴点(32，1)不在直线 l 上． (4)虽然以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的解为坐标 的点都在 l 上， 但是 l 上点的坐标不都是该方程的解，
比如点 C(－32，－1)∈l，
但x＝－32 不是该方程的解， y＝－1
所以方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)不是直线 l 的方 程， 直线 l 也不是方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)的直线．
学习目标 1. 了解直线的方程与方程的直线的概念和关 系． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两 点的直线斜率的计算公式．
2.2.1
课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．一次函数的图象是一条直线，直线上点的 坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在 直线上． 2．常见的直线函数图象有常数函数，正比例 函数等．
(2)斜率与倾斜角的关系 由斜率k的定义可知：k＝0时，直线平行于x轴或与 x轴重合． k＞0时，直线的倾斜角为__锐__角____；k值增大，直 线的倾斜角也随着___增__大___． k＜0时，直线的倾斜角为___钝__角____；k值增大，直 线的倾斜角也随着__增__大____． 垂直于x轴的直线的倾斜角等于___9_0_°___.
思考感悟 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1＝x2的直线的倾 斜角和斜率怎样？ 提示：此时，倾斜角为90°，斜率不存在．
课堂互动讲练
考点突破 考点一 直线方程的概念
两点确定一条直线，直线上的点和方程的解是 一一对应关系．
例1 已知方程 2x＋3y＋6＝0. (1)求方程所对应直线的斜率； (2)画出这个方程所对应的直线 l； (3)点(32，1)是否在直线 l 上？ (4)方程 2x＋3y＋6＝0(x∈Z)是不是直线 l 的方程？ 直线 l 是不是该方程的直线？

B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知直线l经过点P(2,3)且斜率为- 3 ,试求下列直线的一般式方程:
2
(1)直线l.
(2)与直线l平行,且过点(-3,1)的直线.
(3)与直线l垂直,且过点(0,-1)的直线.
【思维·引】1.化为斜截式,利用斜率、y轴上截距的符号判断. 2.根据条件,利用点斜式、斜截式写出直线方程,再化成一般式.
3.直线3x+2y+6=0在y轴上的截距为b,则b=
()
A.3 B.-2 C.2 D.-3
【解析】选D.3x+2y+6=0中,令x=0得y=-3,所以在y轴上的截距b=-3.
关键能力·素养形成
பைடு நூலகம்
类型一 直线的一般式方程
【典例】1.已知直线Ax+By+C=0(AB>0,BC>0),则直线不经过
()
A.第一象限
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【解析】(1)由点斜式得y-(-2)=- 1(x-8),
2
即x+2y-4=0.
(2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得 x ＋=y1,即2x-y-3=0.
3 3 2
(4)由两点式得 y 2 ＝,即x x3+y-1=0. 4 2 5 3
a
a
2,
则a-2= a 2,解得a=1或a=2,故直线l的方程为x+y+1=0或2x+y=0.
a
【内化·悟】 直线的一般式方程化斜截式方程时需要注意什么问题? 提示:必须考虑B是否为0,当B不等于0时才能化成斜截式方程,不确定时需要对B 分情况讨论.

直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 ___y－___y0_＝__k_(_x_－__x_0_) __
_y_＝__k_x_＋__b____
适用范围
斜率存在
2.直线 l 在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的__纵__坐__标__b__叫作直线 l 在 y 轴上的截距． [化解疑难] 解读直线的点斜式方程 直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点 P(x0，y0)和斜率 k；(2)斜率 必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.
二、特点
斜率：直线的斜率是直线在某一点上的变化率，反映了直线在该点上的陡峭程度。斜率越大， 直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
截距：直线的截距是直线与y轴的交点坐标，反映了直线在y轴上的位置。截距越大，直线离y 轴越远；截距越小，直线离y轴越近。
方程的适用范围：直线的点斜式方程适用于已知一点和斜率的直线，不适用于斜率不存在的直 线。
1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( )
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
答案： D
自主练习
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( )
自主练习
A．直线过点(2，－2)，斜率为 2
B．直线过点(－2,2)，斜率为 2
C．直线过点(1，－2)，斜率为12
精准例题
直线的点斜式方程 课后总结 直线的点斜式方程是描述直线的一种重要方式，它表达了直线在某一点上的斜率和截距，是解

2 -1
k=
(x1≠x2)求斜率.
2 - 1
(3)当倾斜角 α 的取值范围与直线斜率的取值范围互求时,要充分利用 y=tan α 的单调性.
25
目录
【追踪训练 1】(1)(2022·石家庄模拟)若 A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则 a 的值
为
4
.
-3 5-3
【解析】(1)由题意知 kAB=kAC,即
2 − 1
2 − 1
______________.
6
目录
特别提醒
斜率公式与两点的顺序无关，即两个纵坐标和两个横坐标在公式中的次序
可以同时调换.
7
目录
3.直线方程的五种情势
名称
方程
适用范围
点斜
式
− 0 = ( − 0 )
________________________
不含直线 = 0
又直线 l 过点 A(- 3,3),所以直线 l 的方程为
y-3= 3(x+ 3),即 3x-y+6=0.
29
目录
2.在△ ABC 中,已知 A(5,-2),B(7,3),且 AC 的中点 M 在 y 轴上,BC 的中点 N 在 x
轴上,则直线 MN 的方程为
5x-2y-5=0.
30
目录
【解析】设 C(x0,y0),
2
3


则 + =1,解得 a=5,所以直线方程为 x+y-5=0.
综上可知,直线方程为 3x-2y=0 或 x+y-5=0.
14
目录
【易错自纠】
4.已知直线 l 的斜率 k∈(-1, 3],则直线倾斜角的取值范围为( B ).

二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M 0(x0 ,y0 )，倾斜角，
sin 要注意 把它变成 y y0 : ( x x0 ) x0, y0 都是常 cos y y0 x x0 进一步整理，得： 数,t才是参 sin cos 数 y y0 x x0 t 令该比例式的比值为t ,即 sin cos x=x0 t cos 整理，得到 (t是参数） y y0 t sin
三、例题讲解 2 例 2 例1.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
求这条直线的方程. 解: 直线的普通方程为y y0 tan ( x x0 )
求这条直线的方程. 解: 在直线上任取一点M(x,y),则 （x, y) ( x0 y0 ) ( x x0 , y y0 ) M 0M 设 e是直线l的单位方向向量，则 y M(x,y) e (cos ,sin ) 因为M 0 M // e, 所以存在实数t R, M0(x0,y0) 使M 0 M te,即 ( x x0 , y y0 ) t (cos ,sin ) e x x0 t cos , y y0 t sin 所以 即，x x0 t cos , y y0 t sin (cos ,sin ) 所以，该直线的参数方程为 O
①
（ 3 ） AB 、 MA MB 与t1，t 2有什么关系？

当直线l的倾斜角为90°时，斜率k不存在
此时直线与y轴平行或重合
方程为x-x0=0，即x=x0
直线的点斜式方程
直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线.
直线l的斜率k=tan45°=1 由直线的点斜式方程得y-3=x+2
y A
P
0
令x=-1，得y=4
O
x
直线的点斜式方程
2.判断A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线， 并说明理由. 3.已知点A（7，-4），B（-5，6），求线段AB的垂直平分线 的方程. 4.一条直线经过点A（2，-3），并且它的斜率是直线y= 1 x
3
的斜率的2倍，求这条直线的方程.
直线的点斜式方程
5.求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行； （2）经过点C（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5） 的直线； （3）经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.
x 显然，过点P0（x0,y0），斜率为k的直线 上的每一点的坐标都满足该方程
反之，坐标满足该方程的点都在直线l上
直线的点斜式方程
经过点P0（x0,y0）,且斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0)
y
A
当直线l的倾斜角为0°时，k＝0
P
此时直线与x轴平行或重合
0
O
x 方程为y-y0=0，即y=y0
直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，直线l如何表示？
y
将点的坐标代入直线的点斜式方程，得
y-b=kx 即 y=kx+b

练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2. 判断点 3.分别求满足下列各条件的直线的点斜式方程. (1)经过点A(1,3),斜率为4； (2)经过点B(2,-5)、D(3,0);
6.2直线的方程
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.分别求满足下列各条件的直线的斜截式方程： (1)斜率是-2,在y轴上的截距是4；
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例6 求直线2x-3y+6=0的斜率及直线在y轴上的截距. 解 将直线的一般式方程2x-3y+6=0化为直线的斜截式方程:
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1. 写出直线x+2y+6=0的斜截式方程. 2.求下列直线的斜率,并将方程化为直线的一般式方程.
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
2. 直线的斜截式方程 例4 设直线l的斜率是 ,在y轴上的截距是-2,写出直线l的
斜截式方程. 解 由直线的斜截式方程，得
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
练习
1. 填空题：
(1) 若 直 线 的 点 斜 式 方 程 是 y-2=x-1 ， 则 直 线 的 斜 率 为
5.已知直线经过点A(2,5),倾斜角为 ,分别求出该直 线在x轴与y轴上的截距.
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
6.2直线的方程
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业

• ②设与直线3x＋4y－20＝0垂直的直线方程 为4x－3y＋m＝0，过点A(2,2)，所以4×2－ 3×2＋m＝0，即m＝－2，直线方程为4x－ 3y－2＝0.
(2)方法 1：当 m＝0 时，l1：x＋6＝0，l2：2x－3y＝0 两直 线既不平行也不垂直；当 m≠0 时，
l1：y＝－m1 x－m6 ，l2：y＝－m－3 2x－23m，
解得 m＝2 或 3.故选 A.
• [错因分析] 错解忽视了当m＝2时，2m2－ 5m＋2＝0且－(m2－4)＝0.
• [思路分析] 直线的一般式方程Ax＋By＋C＝ 0中，A与B满足的条件是A与B不能同时为0， 即A2＋B2≠0.当A＝B＝0时，方程变为C＝0， 不[表正解示] 任直何线图l1 的形斜．率为2m2m－2－5m4＋2，直线 l2 的斜率为 1，
• (2)当A＝0且B≠0时，这条直线与y轴垂直．
• (3)要使直线与x轴，y轴都相交，则它与两轴 都不垂直，由(1)(2)知，当A≠0且B≠0，即当 AB≠0时，这条直线与x轴和y轴都相交．
• (4)将x＝0，y＝0代入直线方程Ax＋By＋C＝ 0，得C＝0，故当C＝0时，这条直线过原 点．
• (5)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线方程化为y ＝0，直线与x轴重合．
斜率不存在 斜率 k＝0
• ●自我检测
• 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B 应满足的条件为( )
• A．A≠0
B．B≠0
• C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
• [答案] D
• [解析] A，B不能同时为0，则A2＋B2≠0.
2．直线 2x＋y＋4＝0 的斜率 k＝( )
A．2
B．－2
ax＋by＝1
a，b 分别是直线 直线不垂直于 在 x 轴，y 轴上的 x 轴和 y 轴，且 两个非零截距 不过原点

法二：令 2×3＝m(m＋1)， 解得 m＝－3 或 m＝2. 当 m＝－3 时，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. 同理当 m＝2 时，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0， 显然 l1 与 l2 不重合，∴l1∥l2. ∴m 的值为 2 或－3.
即 x＋y－1＝0.
[规律方法] 求直线的一般式方程的策略
1当
A≠0
时，方程可化为
x＋
B A
y＋
C A
＝0，只需求
B A
，
C A
的值；
若 B≠0，则方程化为
A B
x＋y＋
C B
＝0，只需确定
A B
，
C B
的值.因此，只要
给出两个条件，就可以求出直线方程.
2在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定
直线的一般式方程
直线的一般式方程 (1)．在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直 线的关于 x二，元y 一的次__方__程_________；任何关于 x，y 的二元一次一方条程直都线表示 _____A_x_＋_ ．By方＋程C＝__0_(_其__中__A_、__B__不__同__时__为___0_) ______________ 叫做直线方程的 一般式．
(3)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是3，－3； 2
(4)经过两点 P1(3，－2)，P2(5，－4)．
[解] (1)由点斜式得 y－(－2)＝－12(x－8)， 即 x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得 y＝2，即 y－2＝0.
(3)由截距式得3x＋－y3＝1， 2
即 2x－y－3＝0. (4)由两点式得－y－4－－－22＝5x－－33，

已知条件
斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式 适用条件
y＝kx＋b ___________
斜率存在
[思考辨析 判断正误]
y－y0 1.对直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)也可写成k＝ .( × ) x－x0 2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( √ )
3.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( × )
(1)过点P(0，4)，斜率为2；
解 y＝2x＋4.
解答
(2)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解 ∵直线的倾斜角为60°，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∴其斜率k＝tan 60°＝ 3 ， ∵直线与y轴的交点到原点的距离为3， ∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3. ∴所求直线方程为y＝ 3 x＋3或y＝ 3 x－3.
解答
反思与感悟 直线的斜截式方程的求解策略
(1) 直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的
斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定某直线，只
需两个独立的条件.
(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数
为k，设点P(x，y)是直线l上不同于点P0的任意 一点，那么x，y应满足什么关系？
答案 y－y0 由斜率公式得 k＝ ， x－x0
则x，y应满足y－y0＝k(x－x0).
思考2 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0斜率不存在的直线
1
2
3
答案
2.已知直线 x－ay＝4 在 y 轴上的截距是 2，则 a 等于 1 A.－2

谢谢您的聆听
THANKS
在解析几何中的应用
解析表达
空间直线方程是解析几何 中描述直线的一种方式， 它可以用来表示直线上所 有点的坐标满足的关系。
参数方程
通过空间直线方程，我们 可以方便地转化为直线的 参数方程，这在解决一些
特定问题时非常有用。
计算直线长度和角度
利用空间直线方程，我们 可以计算直线的长度（即 原点到直线的垂直距离） ，以及两直线之间的夹角
详细描述
首先，我们需要找到两个平面的法向量，记 作$mathbf{a}$和$mathbf{b}$。然后，计 算这两个法向量的叉积，得到直线的方向向 量$mathbf{d}$。接下来，我们需要找到两 个平面的交点，记作$P(x_0, y_0, z_0)$。最 后，根据直线的点向式方程$mathbf{d} = (x - x_0)mathbf{i} + (y - y_0)mathbf{j} + (z - z_0)mathbf{k}$，我们可以得到空间直
平行于y轴的空间直线方程
$x = k_3, z = k_4$，其中$k_3$和$k_4$是常数。
平行于z轴的空间直线方程
$x = k_5, y = k_6$，其中$k_5$和$k_6$是常数。
垂直于坐标轴的空间直线方程
垂直于x轴的空间直线方程
01
$x = k_7$，其中$k_7$是常数。
垂直于y轴的空间直线方程
《空间直线方程》ppt课件
CONTENTS
• 空间直线方程的基本概念 • 空间直线方程的推导 • 空间直线方程的应用 • 空间直线方程的性质 • 空间直线方程的特殊情况
01
空间直线方程的基本概念
空间直线的定义
01

2
m 2
率为 ，由两条直线互相垂直得− ⋅
5
4 5
= −1，解得m = 10，故选D.
方法二：由两条直线互相垂直得m ⋅ 2 + 4 × −5 = 0，解得m = 10.故选D.
课中探究
（2）已知直线l：ax − 2y − a + 4 = 0.
①求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
解：证明：直线l的方程可化为 x − 1 a = 2 y − 2 ，
1
2
+ = 1，解得a = − ，所以直线的方程为
x + 2y + 1 = 0；
当直线过原点时，设所求直线的方程为y = kx，则−5k = 2，解得k =
2
5
以直线的方程为y = − x，即2x + 5y = 0.
综上，所求直线的方程为2x + 5y = 0或x + 2y + 1 = 0.
2
− ，所
② l1 ⊥ l2 ⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0 .
（2）与直线Ax + By + C = 0平行的直线方程可设为Ax + By + m = 0 m ≠ C ；
与直线Ax + By + C = 0垂直的直线方程可设为Bx − Ay + m = 0.
课中探究
拓展
已知直线l：Ax + By + C = 0．
2.2 直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
【学习目标】
1.能根据直线特殊形式的方程归纳出直线的一般式方程.
2.能讨论特殊形式与一般式的关系，并能熟练地进行互化.
课前预习

=

,

⋅

=
.所以



=
=


= +

≥ ,当且仅当


.所以直线的倾斜角为



=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =





− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;

当直线不过原点时，设直线方程为

+

−
= ≠ ,
因为直线过点 ,

,所以


,

= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈

[ , ].故选B.


D.[ , ]


.由于 ∈ [ , ]，所以


[ , ]，即倾斜角的取值范围是

（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公


+ = .

直线在平面直角坐标系中的表示
点斜式
通过一点的直线和它的斜率能 唯一确定一条直线。 y-y0=k(x-x0)
一般式
描述直线上所有点的通用形式。 Ax+By+C=0
截距式
通过直线在y轴和x轴上的截距 可以形成直线的一般式。 x/a+y/b=1
斜率为零的直线
性质
斜率为零的直线与x轴平行。
应用
在建筑、化工、航空等领域中， 需要使用水平位置。
研究直线及其方程，对创
直线及其方程是所有科技
新和问题解决等思维能力
进步和工业现代化的基础，
的提高都具有显著作用。
便于空间的描述和计算。
3 日常生活中的广泛应
用
直线及其方程的应用广泛， 涉及物理、化工、机械、 地理、建筑、设计等领域 的众多应用。
2
应用二：描述活动场所的布局和规划
通过建立直线方程，组成图形，帮助决策者理解和规划拟建设项目的空间形态、 布局与结构。
3
应用三：运用直线方程进行巧妙的整数运算
运用斜截式方程式进行整数求解，可以帮助学生更好地掌握数学运算。
直线及其方程的作用和意义
1 基本几何构造简化实 2 提高抽象思维能力
际问题求解
应用
建筑等实际工程中，经常需要 计算各种构件表面相对于母体 的夹距等。
点到直线的垂线
定义
连接直线上一点与直线上垂足的线段，称 为垂线。
性质
垂线是上面的点到直线的最短距离。
特点
点到直线的垂线是否在平面内外表示了这个点相对于这条直线的位置。
直线的解析几何
应用领域
发展历程
未来方向
直线解析几何有着广泛的应用， 如在复杂多变的天文运动运动中， 诸如行星、星系和宏观宇宙等天 体，都是在参照直线解析几何模 型的基础上得到结论的。

一、直线方程的点斜式
【问题思考】
1.(1)若直线经过点P0(x0,y0)P(x,y) 是直线上不同于点
-0
P0 的任意一点,则- =k,即
0
y-y0=k(x-x0),点
P0 也满足该式,即该直线上任意一点的坐标都满足方程 y-y0=k(x-x0).
当 b=-12 时,直线 l 与 x 轴、y 轴的交点分别为点(6,0),(0,-12).
故所求三角形的周长为 6+12+√62 + 122 =18+6√5.
随堂练习
1.方程y=k(x-2)表示(
).
A.经过点(-2,0)的所有直线
B.经过点(2,0)的所有直线
C.经过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
3
(1) 因为直线经过点(-4,1),所以由直线方程的点斜式得
4√3
√3
y= 3 x+ 3 +1.
(2)由题意,知直线在 y 轴上的截距为-10,
所以由直线方程的斜截式得
√3
y= x-10.
3
√3
y-1= (x+4),即
3
(2)斜率与直线y=-x的斜率相等,在y轴上的截距与直线y=2x+3在y轴上的截
距相等.
解:(1)由于直线过点A(3,4)和点(2,0),故直线的斜率
4-0
k=3-2 =4.由直线方程的
点斜式,得y-0=4×(x-2)=4x-8,故所求直线方程的斜截式为y=4x-8.
(2)由题意知所求直线的斜率为-1,在y轴上的截距为3,∴所求直线方程的斜
y=kx+b ,其中b为这条直线在y轴上的 截距 .倾斜角是 90°的直线无斜截式.