高三数学第一学期 空间平面与平面的位置关系
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14.4（1）空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形，它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后，研究的一种空间的角，二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识，对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养，乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.
二、教学目标设计
理解二面角及其平面角的概念；能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角；能作出二面角的平面角，并能初步运用它们解决相关问题.
三、教学重点及难点
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、 新课引入
1.复习和回顾平面角的有关知识.
平面中的角
定义从一个顶点出发的两条射
线所组成的图形，叫做角
图形
结构射线—点—射线
表示法∠AOB,∠O等
2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义，及其共同特征.（空间角转化为平面角）
3.观察：陡峭与否，跟山坡面与水平面所成的角大小有关，而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中，能够转化为两个平面所成角例子非常多，比如在这间教室里，谁能举出能够体现两个平面所成角的实例？（如图1，课本的开合、门或窗的开关.）从而，引出“二面角”的定义及相关内容.
二、学习新课
（一）二面角的定义
平面中的角二面角
定义从一个顶点出发的两条射
线所组成的图形，叫做角
课本P17
图形
结构射线—点—射线半平面—直线—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
C
B
（二）二面角的图示
1.画出直立式、平卧式二面角各一个，并分别给予表示.
2.在正方体中认识二面角. （三）二面角的平面角
平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成，它有一个旋转量，它的大小可以度量，类似地，"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成，它也有一个旋转量，那么，二面角的大小应该怎样度量？
1.二面角的平面角的定义（课本P17）.
2.∠AOB 的大小与点O 在棱上的位置无关.
[说明]①平面与平面的位置关系，只有相交或平行两种情况，为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨，有必要来研究二面角的度量问题.
②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比，用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三个主要特征：角的顶点在棱上；角的两边分别在两个半平面内；角的两边分别与棱垂直. 3.二面角的平面角的范围：[0,]π （四）例题分析
例1 一张边长为a 的正三角形纸片ABC ，以它的高AD 为折痕，将其折成一个60d 的二面角，求此时B 、C 两点间的距离. [说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况. ②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变? 例2 如图，已知边长为a 的等边三角形ABC 面外有一点P ，使PA=PB=PC=a ，求二面A PB C --的大小.
[说明] ①求二面角的步骤：作—证—算—答.
②引导学生掌握解题可操作性的通法（定义法和线面垂直法）.
例 3 已知正方体''''ABCD A B C D -，求二面角''
'B AC
B --的大小.（课本P18例1）
[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法. （五）问题拓展
例4 如图，山坡的倾斜度（坡面与水平面所
成二面角的度数）是60d ，山坡上有一条直道CD ，它和坡脚的水平线AB 的夹角是30d ，沿这条路上山，行走100米后升高多少米？ [说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.
三、巩固练习
1.在棱长为1的正方体1AC 中，求二面角11A B D C --的大小.
2. 若二面角l αβ--的大小为30d ，P 在平面α上，点P 到β的距离为h ，求点P 到棱l 的距离.
四、课堂小结
1.二面角的定义
2.二面角的平面角的定义及其范围
3.二面角的平面角的常用作图方法
4.求二面角的大小（作—证—算—答）
五、作业布置
1.课本P18练习14.4（1）
2.在60d
二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，求它到棱的距离．
3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠，使二面角A-BD-C成60d 的二面角，求A、C两点的距离．
六、教学设计说明
本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生，而是考虑到知识的形成过程，设法从学生的数学现实出发，调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫，学生的主动探究，使学生经历概念的形成、发展和应用过程，有意识地加强了知识形成过程的教学.
14.4（2）空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
在空间平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系.空间中平面与平面平行的定义与性质学生之前已经掌握，本节课使学生掌握两个平面平行的判定（证明）.通过两个平面平行的判定定理的证明过程，使学生进一步体会反证法的思想，加强用反证法证明某些简单命题的能力，培养和发展学生的归纳推理论证能力；通过两个平面平行的判定定理应用的教学，使学生体会转化思想（空间向平面；线线、线面、面面平行关系的相互转化）在解决问题中的运用.
二、教学目标设计
掌握空间两个平面的位置关系，掌握两个平面平行的判定定理及其推导，能用两个平面平行的判定定理判定（证明）两个平面平行.
三、教学重点及难点
两个平面平行的判定定理的证明及其应用.
四、教学流程设计
五、教学过程设计
一、新课引入
问题1：空间两个平面之间的位置关系有哪些？
问题2：空间平面位置关系分类的依据是什么？
问题3：对于两个平面平行的位置关系，我们可以根据定义（没有公共点）来判断，但很难操作，除此之外，能否用简便的方法来判断呢？
二、学习新课
（一）两个平面平行的判定
1.平面β内一条直线与平面α平行，能否判断β
α//？
2.平面β内两条直线与平面α平行，能否判断β
α//？
3.平面β内无数条直线与平面α平行，能否判断β
α//？
[说明]通过长方体模型，引导学生观察、动手实验，探索出结论. （二）两个平面平行的判定定理的证明
例1设a、b是平面α内的两条相交直线，且//
bβ
平面，求
平面，//
aβ
证：β
α//.
[说明]①让学生用文字语言和符号语言描述两个平面平行的判定定理，即如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.
②小结反证法的证题步骤.
（三）例题分析
例2 如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，求证：平面//1BD A 平面C D B 11.
[说明]进一步使学生明白运用定理时一定要注意寻求的是两相交直线，而后证明这两条直线分别平行与另一个平面，在论证及书写的过程中要力求规范.
例3 已知a 、b 是异面直线，求证：过直线a 且平行于b 的平面α与过直线b 且平行于a 的平面β平行. 证明:过a 作平面γ,使'a =⋂βγ ∵a ∥β,a ⊂γ,'a =⋂βγ,∴a ∥'a 又∵'a ⊄α,a ⊂α,∴'a ∥α且b ∥α 又a 、b 异面,∴'a 与b 必相交,∴α∥β.
[说明]灵活地实现“线线”、“线面”、“面面”平行间的相互转换
（四）问题拓展
例4 有一块木料如图，已知棱BC 平行于面A ′C ′．要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC 有什么关系？ 解：（1）∵BC ∥面A ′C ′，
面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′， ∴BC ∥B ′C ′．
经过点P ，在面A ′C ′上画线段EF ∥B ′C ′， 得：EF ∥BC ．
b
β
α
a
C
D B
A
1
A 1
B 1
C 1D
1
A 1
∴EF ⊂面BF,B ⊂面BF.连结BE 和CF. BE,CF 和EF 就是所要画的线. （2）∵EF ∥BC ，根据判定定理，则EF ∥面AC ；BE 、CF 显然都和面AC 相交．
三、巩固练习
1.断下列命题是否正确，并说明理由.
(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行，则α与β平行.（ ） (2)若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α与β平行.（ ） (3)平行于同一条直线的两个平面平行. （ ）
(4)过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面平行.（ ） (5)过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面.（ ）
2.如图，设E ，F ，E 1，F 1分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ，CD ，A 1B 1，C 1D 1的中点.求证：平面ED 1∥平面BF 1.
四、课堂小结
1.空间两个平面的位置关系.
2.两个平行平面的判定定理.
五、作业布置
1.课本P19练习14.4（2）
2.如图，设G 、H 、E 、F 分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 的棱A 1D 1、A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.AGH ∥平面DBEF.
七、教学设计说明
本节课在教学中引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程，通过直观感知、操作确认，归纳出两个平面平行的判定方法，并引导学生将文字语言转化为图形语言和符号语言.要求学生能熟练运用判定定理证明两个平面平行，注重数学思想的渗透；注重数学知识
与实际的联系.。
