点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

点、直线、平面之间的位置关系

一、线、面之间的平行、垂直关系的证明

书中所涉及的定理和性质可分为以下三类：

1、平行关系与平行关系互推；

2、垂直关系与垂直关系互推；

线面垂直判定定理 线面垂直的定义 面面垂直性质定理（需加线线垂直）

两平面的法线垂

直则两平面垂直 面面垂直判定定理

垂直的两平面的法线互相垂直

线面平行判定定理 线面平行性质定理 面面平行定义（交点）

线面平行转化

面面平行判定定理

面面平行性质定理

两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直

两平面内分别垂直于交线的直线互相垂直，则两平面垂直

面面垂直定义

3、平行关系与垂直关系互推。

以线或面为元素，互推的本质是以某一元素为中介，通过另外两元素与中介元素的垂直或平行关系，推导出该两元素的关系，总共有21种情况，能得出结论的有以下9种情况。

线线平行传递性：b c c a b a //////⇒⎭

⎬⎫； 面面平行传递性：γαβγβα//////⇒⎭

⎬⎫； 线面垂直、线面垂直⇒线面平行：

ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥； 线面垂直⇒线线平行（线面垂直性质定理）：b a b a //⇒⎭

⎬⎫⊥⊥αα； 线面垂直⇒面面平行：βαβα//⇒⎭

⎬⎫⊥⊥a a ； 线面垂直、面面平行⇒线面垂直：βαβα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //； 线线平行、线面垂直⇒线面垂直：αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a //； 线面垂直、线面平行⇒面面垂直：βααβ⊥⇒⎭

⎬⎫⊥a a //。 备注：另外证明平行关系时可以从最基本的定义交点入手，证明垂直关系时可以从最基本的定义角度入手。

符号化语言一览表

①线面平行ααα////a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂；αββα////a a ⇒⎭⎬⎫⊂；ααββα//a a a ⇒⎪⎭

⎪⎬⎫⊄⊥⊥； ②线线平行:////a a a b b α

βαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭；b a b a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥αα；////a a b b αβαγβγ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭

；b c c a b a //////⇒⎭⎬⎫； ③面面平行:,////,//a b a b O a b αααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭；βαβα//⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ；γαβγβα//////⇒⎭⎬⎫；

④线线垂直:b a b a ⊥⇒⎭

⎬⎫⊂⊥αα； ⑤线面垂直:,,a b a b O l l a l b ααα⊂⊂⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭

；,l a a a l αβαββα⊥⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭；

βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //；αα⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a //； ⑥面面垂直：二面角

900; βααβ⊥⇒⎭

⎬⎫⊥⊂a a ；βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a //； 二、立体几何中的重要方法

1、求角：（步骤-------Ⅰ找或作角；Ⅱ求角）

⑴异面直线所成角的求法：

①平移法：平移直线，构造三角形；

②补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系． 注：还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角．

⑵直线与平面所成的角：①直接法（利用线面角定义）；②先求斜线上的点到平面距离h ，与斜线段长度作比，得sin θ；③三线三角公式12cos cos cos θθθ=．

注：还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角．

⑶二面角的求法：①定义法：在二面角的棱上取一点（特殊点），作出平面角，再求解； ②垂面法：作面与二面角的棱垂直； ③投影法（三垂线定理）；④面积摄影法． 注：对于没有给出棱的二面角，应先作出棱，然后再选用上述方法；

还可用向量法，转化为两个班平面法向量的夹角．

2、求距离：（步骤-------Ⅰ找或作垂线段；Ⅱ求距离）

⑴两异面直线间的距离：一般先作出公垂线段，再进行计算；或转化为线面距离、点面距离；

⑵点到直线的距离：一般用三垂线定理作出垂线段，再求解；

⑶点到平面的距离：①垂面法：借助面面垂直的性质作垂线段（确定已知面的垂面是关键），再求解；②等体积法；还可用向量法：||n n AB d =．

3、证明平行、垂直的理论途径：

①证明直线与直线的平行的思考途径：

（1）转化为判定共面二直线无交点（定义）；

（2）转化为两直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行．

②证明直线与平面的平行的思考途径：

（1）转化为直线与平面无公共点（定义）；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行．

③证明平面与平面平行的思考途径：

（1）转化为判定两平面无公共点（定义）；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直．

④证明直线与直线的垂直的思考途径：

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直．

⑤证明直线与平面垂直的思考途径：

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直（定义）；（2）转化为该直线与平面内相交的两条直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；

（5）转化为该直线与两个垂直平面交线垂直．

⑥证明平面与平面的垂直的思考途径：

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直．