第二章 晶体结构2.2

22 2.2 倒格子和晶体衍射

1 倒格子

周期性物理量的傅里叶变换 晶体中任一处r的物理量r具有晶格周期性：

rT rl (2.2.1)

其中332211aaaTllll 为晶格平移矢量。将周期函数r展开为傅里叶级数：

3h , h , hrK21Kr hihe (2.2.2)

其中332211bbbKhhhh ，称为倒格子矢量，321,,bbb 称为相应的倒格子基矢。作傅里叶变换：

3h , h , hTKrK21KTr lhhiihlee (2.2.3)

利用晶格的平移周期性有：

1lhieTK (2.2.4)

于是

nlh2TK n为整数 (2.2.5)

显然，当倒格子基矢bj和正格子基矢ai之间满足下列关系时上式必然成立

jii=jjiji 0 22 ba (2.2.6)

倒格子 设晶格基矢为321,,aaa ，相应的倒格子基矢定义为：

213132321222aabaabaab

 (2.2.7)

式中是晶格原胞的体积，即321aaa 。显然倒格矢

332211bbbKhhhh (2.2.8)

满足傅里叶变换。倒格矢相当于波函数中波矢的矢量，具有长度倒数的量纲，常用波矢来描述电子在晶格中的运动状态和晶格的振动状态，由倒格矢决定的空间称为状态空间或倒格子空间，也称为波矢空间、k空间；而由正格子组成的空间称为位置空间或坐标空间。

光波通过光栅衍射的过程，其实质是把光波从坐标空间变换到状态空间；晶体的X射线衍射照片上的斑点分布一定程度上是晶体结构在状态空间的缩影，倒格子是晶格在状态空间的缩影。

正格子和倒格子的关系

(1) 正格子中的一族晶面(h1h2h3)和倒格矢332211bbbKhhhh 正交。

(2) 倒格矢332211bbbKhhhh 的长度正比于晶面族(h1h2h3)面间距321hhhd的倒数：

hhhhdK 2321 (2.2.9)

(3) 正格子原胞体积和倒格子原胞体积*的关系。

33212bbb (2.2.10)

证明如下：

(1)

a3 晶面族(h1h2h3)中最靠近原点的晶面ABC在基矢

33/ha Kh a1, a2, a3上的截距为a1/h1, a2/h2, a3/h3, 如图所示:

C B22/ha a2 3311//hhaaOCOACA

O a1 3322//hhaaOCOBCB

11/ha A CA和CB都在ABC面上，因此只要证明：

0CAKh 和 0CBKh

则Kh必定和晶面族(h1h2h3)正交。因为ijji2ba，因此：

0//3311332211hhhhhhaabbbCAK 23 0//3322332211hhhhhhaabbbCBK

(2) hhhhhhhhhhhhdKKbbbaKKa

21332211111321

2 散射波振幅

衍射条件 布喇格对衍射条件的推导简洁而清楚地表述被格点处点电荷所散射的波相干涉条件。考虑每个单胞中电子密度空间分布所给出的散射强度。因为晶体中电子密度分布具有晶格周期性，因此可以将电子密度函数作傅里叶展开：

321 h h hihhennrKKr (2.2.11)

由相距为r的体积元散射的射线束之间的位相差因子是r k' kie，入射束和出射束的波矢分别是k和k’。从一个体积元散射的波的振幅正比于该处的电子密度。在k’方向上散射波的总振幅F为：

321321

h h hih h hhihihedVnedVnedVnFrkKrk' k Krk' kKKrh

(2.2.12)

式中k' k k 为散射波矢。当散射波矢等于一个倒格矢Kh时，指数的幅角为零，F = Vn(Kh)。可以证明当散射波矢不等于倒格矢时，F小到可以忽略。

在不改变入射波粒子能量的弹性散射中，入射束和出射束的频率和波矢的数值不变。22'kk。因此衍射条件为：

022hhKK k (2.2.13)

这个条件实际上布喇格定律在倒格子空间的表述形式。稍加变换可得：

321/2sin /22hhhd (2.2.14)

定义Kh的诸整数可能含有一个公因子n，然而在晶面密勒指数中的公因子n已被消去。这样就得布喇格的结果：

ndsin 2 (2.2.15)

单胞的结构因子和原子形状因子 在实验上，对于衍射强度问题的研究必须考虑晶体的特殊对称性，因此在讨论衍射问题时，必须采用结晶学中的原胞即单胞。当衍射条件hK k 被满足时，对于一个由含有N个单胞的晶体，散射振幅为：

sisNfedVnNFhrKr (2.2.16)

fs称为单胞的结构因子，有时也称为几何结构因子。它定义为在一个单胞体积内的积分。令单胞的一个顶点处r = 0。把电子密度写成同单胞内每个原子j相联系的电子密度函数nj的叠加，如果rj是到原子j中心的矢量，那末函数nj(r  rj)确定该原子在r处的电子密度的贡献。单胞中所有s个原子在r处的总电子密度为：

sjjjnn1r rr (2.2.17)

因此单胞的结构因子可以写成对单胞中s个原子的s个积分之和：

sjijisjijjshhhedVneedVnf11jKrKr Kr r (2.2.18)

其中jr r ，现在定义原子形状因子fj：

hK ijjedVnf (2.2.19)

积分遍及整个空间，这基本上是原子的特性。如果电子密度函数是球面对称的，则上式可以简化，将自变量由改为r，为此引入径向分布函数：

rnrrU24 (2.2.20)

于是就表示电子在半径为r到r + dr的球壳内的几率，如果取k为极轴的极坐标，则：

cos =rKhhrK  (2.2.21)

drdrdV sin 22 (2.2.22) 24 0200cos sin 4 sin 241drrKrKrrndrderUfhhriKjh (2.2.23)

由此可见，原子形状因子和散射波矢hK k有关，在0rK rkh 的特殊情况下，1sinrKrKhh，由此可得

Zdrrrnfj024 (2.2.24)

即等于原子中电子的数目。所以原子形状因子实际上是原子内所有电子的散射波的振幅的叠加与一个电子的散射波振幅之比。由于电子数目和分布不同，不同原子的原子形状因子不同。原子散射因子同时与散射波矢有关。

考虑到原子形状因子，这样单胞的结构因子就变为：

sjijsheff1jrK (2.2.25)

显然单胞的结构因子也与散射波矢hK k 有关，这是由于衍射加强的条件随所考虑的晶面族而定。由此将单胞的结构因子表示为对晶面族的依赖关系更有意义。对应于晶面族 (hkl) 的反射，单胞的结构因子用Fhkl表示。由于：