不完全信息下的静态博弈习题
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不完全信息静态博弈博弈论1.二手车市场为什么难以建立?在发达国家,二手车(旧车)的价格往往比新车差一大截,即使旧车本身没有什么质量问题,一旦旧车进入二手车市场,其价格就会与新车相比差得老远。
在我国许多城市,二手车市场甚至难以建立起来,原因是进入市场的买车人太少。
这是为什么呢?二手车市场的博弈理论为我们解答了这个谜语。
在二手车市场上,卖车人比买车人更多地知道车的质量情况,但卖车人不会将旧车的质量问题老老实实地告诉买车人。
买车人也知道这种情形,因此,买车人在开出价格时会考虑到车的质量问题。
假定没有问题的好车价值20万元,有问题的坏车只值10万元,并且设买车人认为市场上出现好车和坏车的可能性各占一半。
这时,买车人开出的价格不会高于1/2某20+1/2某10=15万元。
这样,如果卖车人的车果真是好车,他就不会出售,好车退出市场,但当卖车人的车是坏车时,他会十分积极地将只值10万元的车按15万元卖给他。
但买车人知道愿意按15万元卖的车一定是坏车,从而认定市场上全是坏车。
所以,除非他愿意买一辆坏车,否则他会退出市场。
当他愿买坏车时,他只开出10万元的价。
于是,旧车市场或者建立不起来,没有买主,或者充斥着坏车,真正的好车退出市场,而坏车在不断成交,但价格很低。
类似现象广泛存在如人才市场、信贷市场等。
如一个公司往往流走的是能力强的人,因为公司不能正确评价一个能力强的员工的能力,给予的薪水低于其市场价值。
2.维克里拍卖法如果有一件古董需要拍卖,有许多人参加竞争性拍卖。
这件古董在每个买主心中有一个价值评价。
但是,卖主不知道买主的评价,买主也不会老实将其对古董的评价告诉卖主。
不同买主之间也不知道其他人的价值评价。
如果采用“英式拍卖法”,买主们轮流出价,直到开出最高价的买主拿走古董并支付所开出的最高价格。
按这种拍卖方法,古董并不能按买主心中的最高评价价值卖出。
壁如,当买主中的最高评价为100万元,第二高评价为90万元时,当评价最高的买主开出91万元时,就可买走其评价为100万元的古董但只支付了91万元。
博弈论与经济分析(不完全信息静态)第四章 不完全信息静态博弈不完全信息意味着至少有一个参与者不能确定另一个参与者的收益函数,或者说类型。
我们用一个例子来引入要讨论的问题: 例:信息不对称条件下的古诺模型 市场:P(Q)=a-Q ,Q=q1+q2 企业1:C1(q1)=cq1企业2:以θ的概率为高成本,即222()H C q c q =;以1θ-的概率为低成本,即222()L C q c q =。
当然,H L c c >。
信息不对称:企业2知道自己的成本,也知道企业1的成本;企业1知道自己的成本,但是只知道企业2成本状况的概率分布。
以上都是公共信息,即企业1知道企业2享有信息优势,企业2知道企业1知道,企业1也知道企业2知道企业1知道……如此等等。
解题:企业1会预测企业2在不同情况下的最优选择:当企业2为高成本时2122max[()]H q a q q c q *---当企业2为低成本时2122max[()]L q a q q c q *---既然企业只知道企业2成本情况的概率分布,则企业1只能根据上述预测最大化自己的期望收益:1121121max [(())](1)[(())]H L q a q q c c q a q q c c q θθ**---+----以上三个优化问题的一阶条件为:12()2H H a q c q c **--=12()2LL a q c q c **--=221[()](1)[()]2H L a q c c a q c c q θθ***--+---=联立求解:221()()36H H H L a c c q c c c θ*-+-=+-22()()36L L H L a c c q c c c θ*-+=-- 12(1)3H L a c c c q θθ*-++-=比较该结果与“完全信息条件”条件下结果的不同。
作业:说明企业2在两种成本下是否因为“信息优势”得到了好处?是应该巩固该优势还是向企业1公开信息?一、 静态贝叶斯博弈的标准表述完全信息静态:G={S1,…Sn;u1,…,un}在静态博弈条件下,策略S 就是一个行动A (当然,动态博弈则不同),于是我们可以写作G={A1,…An;u1,…,un}。
博弈论第六章不完全信息静态博弈题库【原创版】目录一、引言二、不完全信息静态博弈的概述1.不完全信息的定义2.静态博弈的定义三、不完全信息静态博弈的解题方法1.严格优势策略2.纳什讨价还价解3.轴向讨价还价解四、应用案例分析五、总结正文一、引言在博弈论中,不完全信息静态博弈是一个重要的研究领域。
由于参与者在博弈过程中所拥有的信息不完全,这使得博弈过程变得更加复杂和有趣。
本文将介绍不完全信息静态博弈的概述,以及探讨如何解决这类问题。
二、不完全信息静态博弈的概述1.不完全信息的定义不完全信息指的是参与者在博弈过程中,无法完全了解其他参与者的策略或支付函数。
这种情况下,参与者需要根据自己所掌握的信息,来猜测其他参与者可能采取的策略。
2.静态博弈的定义静态博弈是指参与者在一定时间内,一次性地选择策略并完成博弈的过程。
静态博弈中,参与者不需要考虑时间顺序,只需关注当前状态下的最优策略。
三、不完全信息静态博弈的解题方法1.严格优势策略在完全信息静态博弈中,如果一个策略对某个参与者来说是严格优势的,那么他会选择这个策略。
在不完全信息静态博弈中,同样可以利用严格优势策略来求解。
即通过分析其他参与者可能采取的策略,找到一个对某个参与者来说严格优势的策略。
2.纳什讨价还价解纳什讨价还价解是解决不完全信息静态博弈问题的一种方法。
通过设计一种讨价还价机制,使得参与者可以在不完全信息的情况下,达成一种合作解。
纳什讨价还价解的关键是让参与者在博弈过程中,有动力去揭示自己的真实支付函数。
3.轴向讨价还价解轴向讨价还价解是另一种解决不完全信息静态博弈问题的方法。
它通过让参与者在博弈过程中,根据其他参与者的策略选择,来调整自己的策略,从而实现一种合作解。
轴向讨价还价解的优势在于,它可以在不完全信息的情况下,使得参与者的收益达到最大。
四、应用案例分析以寡头垄断市场为例,市场中有两个寡头企业,它们需要决定是否进行价格战。
在这个过程中,每个企业都需要考虑对方的策略选择。
不完全信息下的静态博弈习题(总4页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--非完全信息静态博弈习题1、考虑下面的Cournot 双头垄断模型。
市场的反需求函数为Q a Q p -=)(,其中21q q Q +=为市场总产量,两个企业的总成本都为()i i i cq q c =,但需求却不确定:分别以θ的概率为高(H a a =),以θ-1的概率为低(L a a =),此外,信息也是非对称的:企业1知道需求是高还是低,但企业2不知道,所有这些都是共同知识,两企业同时进行决策。
要求:假定H a 、L a 、θ和c 的取值范围使得所有均衡产出都是正数,试问此博弈的贝叶斯纳什均衡是什么解:在市场需求为高时,企业1的最优战略为:()H H H q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出221c q a q H H --= (1) 在市场需求为低时,企业1的最优战略为:()L L L q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出221c q a q L L --=(2) 企业2的最优战略为 ()()(){}2212211q c q q a q c q q a Max L L H H ----+---θθ由一阶条件可得:()()()211*2cq a q a q L L H H ---+=-θθ (3)方程(1)、(2)和(3)联立可得:()()()()621311*1c q a q a q L L H H H ------=θθ ()622*1c a a q HL L --+=θθ()31*2c a a q HL -+-=θθ由此可知,企业1的战略()*1*1,L H q q 和企业2的战略*2q 构成贝叶斯纳什均衡。
2、在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯战略贝叶斯纳什均衡:(1)自然决定收益情况由博弈1给出还是由博弈2给出,选择每一博弈的概率相等;(2)参与者1了解到自然是选择了博弈1还是博弈2,但参与者2不知道;(3)参与者1以相同概率选择T 或B ,同时参与者2选择L 或R;(4)根据自然选择的博弈,两参与者都得到了相应的收益。
第八章不完全信息静态博弈不完全信息的市场进入博弈参与人:企业1,企业2行动空间:企业1选择建厂或不建厂,企业2 选择进入或不进入行动顺序和信息结构:自然先以概率对(p,1 p)选择企业1 的成本类型(高,低),企业1 观察到自然的选择而企业2 不能观察到自然的选择;然后企业1 和企业2 同时采取其可选的行动。
赢利状况:如下表对于例子的不完全信息博弈,将不完全信息博弈转化为标准形式贝叶斯博弈。
这一方法是Harsanyi(1967-1968)创造的。
企业1选择DB, 企业2选择IN,构成贝叶斯纳什均衡;意思是,当高成本类型时企业1选择“不建厂”,而低成本类型时企业1选择“建厂”,企业2选择“进入”与企业1展开竞争。
贝叶斯纳什均衡的结果为:(2.3,0.4),即双方获得的均衡利润。
这一方法是Harsanyi (1967-1968)创造的。
这一章里我们讨论不完全信息静态博弈,也称为贝叶斯博弈(Bayes)。
不完全信息博弈中,至少有一个参与者不能确定另一参与者的收益函数。
非完全信息静态博的一个常见例子是密封报价拍卖(sealed —bid auction):每一报价方知道自己对所售商品的估价,但不知道任何其他报价方对商品的估价;各方的报价放在密封的信封里上交,从而参与者的行动可以被看作是同时的。
静态贝叶斯博弈问题的主要来源也是现实经济活动,许多静态博弈关系都有不完全信息的特征,研究贝叶斯博弈不仅是完善博弈理论的需要,也是解决实际问题的需要。
8.1 静态贝叶斯博弈和贝叶斯纳什均衡为了更好的说明不完全信息与完全信息之间的差异,我们用一个典型静态贝叶斯博弈作为例子,自然的引进静态贝叶斯博弈概念。
8.1.1不完全信息古诺模型考虑如下两寡头进行同时决策的产量竞争模型。
其中市场反需求函数由Qa Q P -=)(给出,这里21q q Q +=为市场中的总产量。
企业1的成本函数为1111)(q c q C =,不过企业2的成本函数以θ的概率为222)(q c q C H =,以θ-1的概率为222)(q c q C L =,这里H L c c <。
12 不完全信息静态博弈贝叶斯纳什均衡不完全信息静态博弈Bayesian Game完全信息complete information不完全信息incomplete information完美信息perfect information不完美信息imperfect information信息不对称的例子拍卖暗标拍卖密封递交标书统一时间公正开标标价最高者以所报标价中标中标者的支付取决于标价和其对标的物的估价信息不对称的例子结婚信息不对称的例子市场进入在位者新企业信息不对称的例子信用困境良商奸商2 2信念Belief1 11 1商人B有两种可能的类型 type 良商奸商商人B的类型是自己的私人信息private information商人A对商人B有不同的信念 belief信念不同收益不确定信念不同均衡解也不同商人A如何确定B的类型如何作出理性的选择海萨尼转换The Harsanyi transformationNature良商 p奸商 1-pBelief共同知识海萨尼转换The Harsanyi transformationA的类型B的类型A知道自己的类型知道B的概率分布B知道自己的类型知道A的概率分布1212商人ANature1212A的选择H CB的选择HH HC CH CC商人A的期望收益厂商A的最优反应B选HH A选H B选HC A选HB选CH A选H B选CC A选C1212厂商B的最优反应A选H良商B选H奸商B选CA选C良商B选C奸商B选C均衡解 H HC BNE不完全信息的古诺模型假设两个厂商 A B市场需求厂商A的成本函数厂商B的成本函数以的概率为以的概率为信息是不对称的B知道自己的成本函数和A的成本函数A知道自己的成本函数但却只知道B为高成本或低成本的概率共同知识A的成本B的成本概率分布A知道B享有信息优势B知道A知道自己的信息优势利润函数如果B是高成本厂商如果B是低成本厂商情况1 情况2B是高成本厂商 B是低成本厂商B的选择 B选择概率为概率为A 面临的可能情况厂商A的目标同时求解三个最大化问题期望收益最大反应函数不完全信息的古诺均衡解完全信息的古诺均衡解不完全信息条件下贝叶斯博弈的战略表达式参与者空间参与者的行动空间参与者的类型空间参与者的信念参与者的收益函数参与者i 的类型 ti 是参与者i 的私人信息决定其效用函数 ui ai a-i ti参与者i 只知道自己的类型ti 而不知道其他参与者的类型 t-i参与者i 的信念 pit-i|ti 表示i 在给定自己的类型 ti 时对其他n-1个参与者可能的类型 t-i 的概率参与者i 的期望效用函数为贝叶斯纳什均衡在静态贝叶斯博弈 G A1An T1Tn p1pn u1un 中战略组合 a a1 an 是一个单纯战略贝叶斯纳什均衡如果对每一参与者i 及对i 的类型Ti 集中的每一 ti ai ti 满足古巴导弹危机苏联美国Cuban Missile Crisis1962古巴导弹危机假设Va Vb∈ 1 -7如果双方都选择进攻则会发生一场战争如果一方撤退则会避免战争苏每一方都知道自己属于哪一派但这一信息是自己的隐私美国的选择苏美国的选择如果苏联采取进攻当Vb1 鹰派时最好反应是进攻当Vb -7 鸽派时最好反应是撤退如果苏联选择撤退那么无论私人信息是什么最好反应都是进攻如果苏联是鹰派则进攻将是苏联的占优战略如果苏联选择进攻则美国的最优反应为如果美国是鹰派进攻如果美国是鸽派撤退美国的选择如果苏联是鸽派若美国进攻苏联将撤退若美国撤退苏联将进攻美国的选择美国的信念美国情报部门所掌握的信息赫鲁晓夫强硬的姿态苏联决策集团内部各种意见的综合苏联的实力赫鲁晓夫执行其意旨的能力美国的选择赫鲁晓夫可能断定美国人太胆小肯尼迪是个软弱的总统不敢冒核战争的风险美国人一旦实际面对着这些导弹除了抗议之外不会做什么别的苏联的选择赫鲁晓夫错误地估计了对方的反应认为美国会容忍这种后果而事实相反古巴导弹危机的结果美国施行封锁态度强硬苏联寻求妥协撤回在古巴的导弹1962年11月苏联从古巴撤回导弹。
博弈论第六章不完全信息静态博弈题库【原创实用版】目录一、引言:介绍博弈论及其在经济学中的应用二、不完全信息静态博弈的定义和特点三、博弈论第六章不完全信息静态博弈的主要内容四、如何解决不完全信息静态博弈问题五、结论:总结博弈论在经济学中的重要性正文一、引言博弈论作为经济学的一个重要分支,主要研究多个理性决策者在特定规则下的决策行为及其结果。
在经济学中,博弈论的应用已经渗透到许多领域,如市场竞争、价格博弈、合作与信任等。
通过研究博弈论,我们可以更好地理解经济现象及其背后的决策过程。
二、不完全信息静态博弈的定义和特点不完全信息静态博弈是指在博弈过程中,参与者拥有不完全的信息。
在这种情况下,参与者需要根据已知的部分信息和其他人的可能策略来选择最佳行动。
不完全信息静态博弈的特点包括:1.参与者拥有不完全的信息,无法了解其他参与者的准确策略和支付函数。
2.参与者的决策是静态的,即他们在一个特定的时间点上做出决策,不考虑未来可能的变化。
三、博弈论第六章不完全信息静态博弈的主要内容博弈论第六章主要讨论了不完全信息静态博弈的解决方法,包括:1.贝叶斯纳什讨价还价解:通过贝叶斯定理,参与者可以根据已知的部分信息和其他人的可能策略来推测其他人的支付函数,从而找到一个纳什讨价还价解。
2.声誉模型:在不完全信息静态博弈中,参与者可以通过建立声誉来影响其他参与者的决策。
声誉好的参与者更容易达成合作,从而获得更好的支付。
3.信号博弈:信号博弈是一种通过发送信号来传递信息的博弈。
参与者可以通过观察其他参与者的信号来推测其策略和支付函数,从而找到一个合适的行动。
四、如何解决不完全信息静态博弈问题在不完全信息静态博弈中,参与者需要根据已知的部分信息和其他人的可能策略来选择最佳行动。
以下是一些解决不完全信息静态博弈问题的方法:1.充分沟通:参与者之间可以通过充分沟通来传递信息,从而减少不确定性,提高决策效率。
2.建立信任:在博弈过程中,参与者可以通过建立信任关系来降低其他参与者的背叛风险,从而更容易达成合作。
不完全信息静态博弈例子博弈论是研究决策者在相互影响下进行决策的数学模型。
在博弈论中,不完全信息静态博弈是一种常见的博弈形式。
在这种博弈中,每个决策者只能获得有限的信息,无法完全了解其他决策者的策略和利益。
本文将通过一个例子来说明不完全信息静态博弈的特点和解决方法。
假设有两个商人A和B,他们同时决定是否进入一个新的市场。
进入市场的成本是固定的,但市场的利润是不确定的。
商人A可以选择进入市场或不进入市场,商人B也可以做出相同的选择。
然而,商人们只能获得有限的信息,无法准确了解对方的决策和市场利润。
商人A和B的利益是相互关联的。
如果两个商人都选择进入市场,他们将面临更大的竞争和风险,但如果市场利润高,他们也有机会获得更大的回报。
如果一个商人选择进入市场而另一个商人选择不进入市场,前者将面临更大的风险,但如果市场利润高,他将独享这一利润。
在这个例子中,商人A和B都面临着不完全信息的情况。
他们无法准确了解对方的决策和市场利润,只能根据自己的信息做出决策。
这种情况下,他们需要通过分析对方的可能策略和利益来做出最优的决策。
为了解决这个问题,我们可以使用博弈论中的概念和方法。
首先,我们可以建立一个博弈矩阵来描述商人A和B的策略和利益。
矩阵的行表示商人A的策略,列表示商人B的策略,每个单元格表示两个商人在不同策略下的利益。
然后,我们可以使用博弈论中的解概念来找到最优策略。
例如,纳什均衡是指在博弈中,每个决策者都选择了最优策略,而且没有动机改变自己的策略。
通过分析博弈矩阵,我们可以找到纳什均衡点,即商人A和B都选择了最优策略。
在这个例子中,纳什均衡点可能是商人A和B都选择进入市场,或者都选择不进入市场。
这取决于市场利润的不确定性和商人们的风险偏好。
如果市场利润高,商人们可能更倾向于进入市场以获取更大的回报;如果市场利润低,商人们可能更倾向于不进入市场以避免风险。
然而,由于不完全信息的限制,商人A和B可能无法准确预测市场利润。
不完全信息静态博弈案例不完全信息静态博弈是博弈论中的一个重要概念,它描述了参与者在博弈过程中并不了解对手的全部信息,从而导致决策的不确定性和复杂性。
本文将通过一个简单的案例来解释不完全信息静态博弈的基本概念和特点。
假设有两位商人A和B,他们分别经营着两家竞争性的商店。
他们需要在某一天决定是否要举行促销活动。
如果A决定举行促销活动而B不举行,A将会获得10个单位的利润,而B将会获得0个单位的利润;如果A和B都不举行促销活动,他们各自将会获得5个单位的利润;如果A不举行促销活动而B举行,A将会获得0个单位的利润,而B将会获得10个单位的利润。
在这个案例中,A和B在做出决策的时候并不了解对方的决策,这就构成了不完全信息静态博弈的情形。
在这个案例中,A和B都面临着不确定性和风险。
他们需要在不了解对方决策的情况下做出自己的决策,这就需要他们根据自己的利益和对方可能的行为来进行推断和决策。
在这种情况下,他们可能会采取不同的策略来应对对方的行为,比如采取保守策略或者冒险策略。
不完全信息静态博弈的特点在于参与者并不了解对手的全部信息,这就需要他们根据自己的判断和推断来做出决策。
在这个案例中,A和B都需要考虑到对方可能的行为,并根据自己的利益来选择最优的策略。
这就需要他们运用博弈论中的相关概念和方法,比如纳什均衡和最优反应等。
在不完全信息静态博弈中,参与者需要根据自己的利益和对手可能的行为来做出决策。
他们需要在不确定性和风险的情况下做出最优的选择,这就需要他们具备一定的推断能力和决策技巧。
同时,他们也需要考虑到对手的可能行为,并根据对手的行为来调整自己的策略。
总之,不完全信息静态博弈是博弈论中的重要概念,它描述了参与者在博弈过程中并不了解对手的全部信息,从而导致决策的不确定性和复杂性。
在这种情况下,参与者需要根据自己的利益和对手可能的行为来做出最优的选择,这就需要他们具备一定的推断能力和决策技巧。
不完全信息静态博弈的研究不仅有助于我们更好地理解博弈过程中的决策行为,也对实际生活中的决策问题具有一定的启发作用。
非完全信息静态博弈习题
1、考虑下面的Cournot 双头垄断模型。
市场的反需求函数为Q a Q p -=)(,其中21q q Q +=为市场总产量,两个企业的总成本都为()i i i cq q c =,但需求却不确定:分别以θ的概率为高(H a a =),以θ-1的概率为低(L a a =),此外,信息也是非对称的:企业1知道需求是高还是低,但企业2不知道,所有这些都是共同知识,两企业同时进行决策。
要求:假定H a 、L a 、θ和c 的取值范围使得所有均衡产出都是正数,试问此博弈的贝叶斯纳什均衡是什么
解:
在市场需求为高时,企业1的最优战略为:
()H H H q c q q a Max 121⨯--- 由一阶条件可以推出2
21c q a q H H --= (1) 在市场需求为低时,企业1的最优战略为:
()L L L q c q q a Max 121⨯---
《 由一阶条件可以推出2
21c q a q L L --=
(2) 企业2的最优战略为 ()()(){}2212211q c q q a q c q q a Max L L H H ----+---θθ
由一阶条件可得:
()()()211*2c
q a q a q L L H H ---+=-θθ (3)
方程(1)、(2)和(3)联立可得:
()()()()6
21311*1c q a q a q L L H H H ------=θθ ()6
22*1c a a q H
L L --+=θθ ()31*2c a a q H
L -+-=θθ
由此可知,企业1的战略()*1*1,L
H q q 和企业2的战略*2q 构成贝叶斯纳什均衡。
;
2、在下面的静态贝叶斯博弈中,求出所有的纯战略贝叶斯纳什均衡:
(1)自然决定收益情况由博弈1给出还是由博弈2给出,选择每一博弈的概率相等;
(2)参与者1了解到自然是选择了博弈1还是博弈2,但参与者2不知道;
(3)参与者1以相同概率选择T 或B ,同时参与者2选择L 或R;
(4)根据自然选择的博弈,两参与者都得到了相应的收益。
L R
T
B
L R )
T
B
解:
(1) (B ,L )
(2) 参与者1在上边博弈时选T ,下边博弈时选B ;
%
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率>2/3,参与者2选L
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率=2/3,参与者2选L 和选R 无差异
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率<2/3,参与者2选R
(3) 参与者1以相同的概率选T 或选B ;
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率>2/3,参与者2选L
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率=2/3,参与者2选L 和选R 无差异
如果参与者推断自然选择上边博弈的概率<2/3,参与者2选R
(4) 自然选择上边博弈时,参与者1选T ,参与者2 选L ;
自然选择下边博弈时,参与者1选B ,参与者2 选R ;
\
3、考虑一个非完全信息性别博弈:假设克里斯和帕特两人已经认识了相当长的一段时间,但克里斯和帕特仍然不能确定对方的支付函数(收益函数)的情况。
如果双方都选择歌剧时克里斯的支付为c t +2,其中c t 为克里斯的私人信息;双方都去看拳击时帕特的支付为p t +2,其中p t 为帕特的私人信息。
c t 和p t 相互独立,并服从〔0,x 〕区间上的均匀分布。
两人的战略选择为:克里斯在c t 超过某临界值c 时选择歌剧,否则选择拳击;帕特在p t 超过某临界值p 时选择拳击,否则选择歌剧。
帕特
歌剧 拳击
歌剧
克里斯
拳击
要求:求出该博弈的纯
战略贝叶斯纳什均衡
解;
.
解:(1)克里斯以()x c x /-的概率选择歌剧,帕特以()x p x /-的概率选择拳击。
给定帕特的战略,克里斯选择歌剧和拳击的期望支付分别为: ()()c c t x p x p t x p +=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++2012 与
x p x p x p -=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+⋅1110 从而当且仅当
c p
x =-〉3t c (1) 时选择歌剧是最优的。
~
相似地,给定克里斯的战略,帕特选择拳击和选择歌剧的期望支付为
()()p p t x c x c t x c +=⋅⎪⎭⎫ ⎝
⎛-++2012 与
x
c x c x c -=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅1110 从而当且仅当
p c
x =-〉3t p (2) 时选择拳击是最优的。
解方程(1)和(2)构成的方程组可得c =p 及
03p 2=-+x p (3)
解此方程可得到克里斯选择歌剧的概率()x c x /-和帕特选择拳击的概率()x p x /-均为 x x 24931++--。