优质解析：江苏省苏锡常镇四市2016届高三教学情况调研(二)数学试题(解析版)

2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二） 数学 Ⅰ 试 题 2017.5注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合，，则 ▲ ． 2．已知i 为虚数单位，复数，，且，则 ▲ ． 3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布．若利用组中值近似计算本组数据的平均数，则的值为 ▲ ．4．已知直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ．5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入的值为1，则输出的值为 ▲ ． 6．已知是集合所表示的区域，是集合0.50.5{}13A x x =-<<{}2B x x =<A B = 13i z y =+()R y ∈22i z =-121i z z =+y =x x 20x =22221(0,0)x y a b a b-=>>x S 1Ω{}22(,)1x y x y +…2Ω所表示的区域，向区域内随机的投一个点，则该点落在区域内的概率为 ▲ ．7．已知等比数列的前n 项和为，公比，，则 ▲ ． 8．已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为 ▲ ．9．已知是第二象限角，且，则 ▲ ．10．已知直线：，圆：，当直线被圆所截得的弦长最短时，实数 ▲ ．11．在△中，角对边分别是，若满足，则角的大小为 ▲ ．12．在△中，，，，是△ABC 所在平面内一点，若，则△PB C 面积的最小值为 ▲ ． 13．已知函数 若函数有三个零点，则实数b 的取值范围为 ▲ ．14．已知均为正数，且，则的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量,．（1）当时，求的值； （2）若，且，求的值．{}(,)x y y x (1)Ω2Ω{}n a n S 3q =34533S S +=3a=αsin α=tan()2αβ+=-tan β=l 210mx y m +--=C 22240x y x y +--=l C m =ABC ,,A B C ,,a b c 2cos =2b A c B ABC AB AC ⊥1AB t=AC t =P 4||||AB ACAP AB AC =+24,0,()3,0,x x x f x x x⎧-⎪=⎨<⎪⎩…()()3g x f x x b =-+,a b 20ab a b --=22214a b a b-+-m ,1)x =-n 2(sin ,cos )x x =π3x =⋅m n π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦⋅m n 12=-cos 2x16．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， E ，F ，G 分别为AB ，AD ，AC 的中点，，．（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明EP ∥平面BCD ．17．（本小题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）．（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 18．（本小题满分16分）已知函数，a ，b 为实数，， e 为自然对数的底数，…．（1）当，时，设函数的最小值为，求的最大值； （2）若关于x 的方程在区间上有两个不同实数解，求的取值范围．19．（本小题满分16分）已知椭圆的左焦点为，左准线方程为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于，两点． ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，AC BC =90ACD ∠=︒w x 341w x =-+2x ()L x ()L x 3()ln f x a x bx =-0b ≠e 2.71828≈0a <1b =-()f x ()g a ()g a ()=0f x (1e]，ab2222:1(0)x y C a b a b+=>>(1,0)F -2x =-C l C A B l C F y P PA AF λ=．求证：为定值； ②若A ，B 两点满足（O 为 坐标原点），求△AOB 面积的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列满足,其中,,为非零常数．（1）若，求证：为等比数列，并求数列的通项公式； （2）若数列是公差不等于零的等差数列． ①求实数的值；②数列的前n 项和构成数列，从中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列．试问：是否存在首项为的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加）试题 2017.5注意事项：1．本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题，如多答，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试用时30分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置．3．答题时，必须用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．21．【选做题】本题包括，，，四小题，每小题10分. 请选定其中两题．．．．．．，并在相．．．应的．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． A ．（选修4－1：几何证明选讲）如图，直线切圆于点，直线交圆于两点，于点， 且，求证：．PB BF μ=λμ+OA OB ⊥{}n a 21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+*N n ∈λμ3,8λμ=={}1n a +{}n a {}n a ,λμ{}n a n S {}n S {}n S 1S 0.50.5A B C D DE O D EO O ,A B DC OB ⊥C 2D E BE =23OC BC =B ．（选修4—2：矩阵与变换）已知矩阵的一个特征值及对应的特征向量． 求矩阵的逆矩阵．C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线的参数方程为为参数)，曲线的极坐标方程为（）．若曲线与曲线有且仅有一个公共点，求实数的值．D.（选修4—5：不等式选讲）已知为正实数，求证：．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分. 请把答案写在答题卡的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第局得分（）的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）M 13a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11λ=-e 11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M xO y 1C []2cos (0,2π,32sin x y αααα⎧=⎪∈⎨=+⎪⎩，2C πsin()3a ρθ+=R a ∈1C 2C a ,,abc 222b c a a b c a b c++++…n n *N n ∈X ()E X已知，其中． （1）试求，，的值；（2）试猜测关于n 的表达式，并证明你的结论．2016-2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学参考答案2017.5一、填空题． 1． 2．1 3．19.7 45．14 6．7．8． 9．10．-111．12．13． 14．7二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．解：（1）当时，，， ……………………………4分所以． (6)分 （2）， ………………………8分 若，则，即，因为，所以，所以……………10分则 ……………12分． ……………………………14分 16．（1）因为平面ABC ⊥平面ACD ，，即CD ⊥AC ， 平面ABC 平面ACD =AC ，CD 平面ACD ，所以CD ⊥平面ABC ，………………………………………………………………3分又AB 平面ABC ，所以CD ⊥AB ， (4)分01()(1)(1)()(1)()n n k k n n nn n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- *,R N N x n k k n ∈∈∈，，…1()f x 2()f x 3()f x ()n f x {}12x x -<<34317π6321(,6)(,0]4-∞-- π3x =m 1)=-n 1)4=⋅m n 311442=-=⋅m n 2sin cos x x x -=11π12cos 2sin(2)2262x x x =--=--⋅m n 12=-π1sin(2)1262x =--πsin(2)6x -=π[0,]4x ∈πππ2663x --剟πcos(2)6x -=ππππ1cos 2cos[(2)]cos(2)sin(2)66662x x x x =-+=---⨯12==90ACD ∠=︒ ⊂⊂因为，E 为AB 的中点，所以CE ⊥AB ， …………………………………6分又，CD 平面EDC ，CE 平面EDC ，所以AB ⊥平面EDC ． …………………………………………………………………7分 （2）连EF ，EG ，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又平面BCD ，平面BCD ，所以EF ∥平面BCD ， ………………………………………………………………10分 同理可证EG ∥平面BCD ，且EF EG =E ，EF 平面BCD ，EG 平面BCD ，所以平面EFG ∥平面BCD ， ………………………………………………………12分又P 为FG 上任一点，所以EP 平面EFG ，所以EP ∥平面BCD ．……………14分17．解：（1）（）．………………4分 （2）法一： ．……………………………………8分 当且仅当时，即时取等号．……………………………10分 故．………………………………………………………………12分答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分法二：，由得，．……………………………7分 故当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减；…………………10分 故．………………………………………………………………12分 答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．…14分 18．解：（1）当时，函数，则， ………………………………………………………2分所以， ……………………………4分令，则，令，得， 且当时，有最大值1， 所以的最大值为1（表格略），(分段写单调性即可)，此时．………6分（2）由题意得，方程在区间上有两个不同实数解，AC BC =CE CD C = ⊂⊂BD ⊂EF ⊄ ⊂⊂⊂348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭05x 剟()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭6743-…()48311x x =++3x =()max 43L x =()()24831L x x '=-+()0L x '=3x =()0,3x ∈()0L x '>()L x ()0,3()3,10x ∈()0L x '<()L x ()3,5()max 43L x =1b =-3()ln f x a x x =+323()3a a x f x x x x+'=+=()ln()3333a a a ag a f a ===--()ln t x x x x =-+()ln t x x '=-()0t x '=1x =1x =()t x ()g a 3a =-3ln 0a x bx -=(1e]，所以在区间上有两个不同的实数解，即函数图像与函数图像有两个不同的交点，…………………9分因为，令，得，所以当时，，……………………………………………14分当时，，所以满足的关系式为 ，即的取值范围为．…………16分 19．解：（1）由题设知，，即，……………………1分 代入椭圆得到，则，，…………………2分 ∴． ……………………………………………………………………3分（2）①由题设知直线的斜率存在，设直线的方程为，则．设，直线代入椭圆得，整理得，，∴． ……………5分 由，知，， ……………………………7分 ∴（定值）．………9分 ②当直线分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积，……………10分 当直线的斜率均存在且不为零时，设，设，将代入椭圆得到，∴，同理， …………………12分 △AOB 的面积 ………………………………13分3ln a x b x=(1e]，1ay b =3()ln x m x x =22(3ln 1)()(ln )x x m x x -'=()0m x '=x x ∈()(3e,)m x ∈+∞e]x ∈3()(3e,e ]m x ∈,a b 33e e a b <…ab33e e ]（，=e 22222==+a c b c 222=a b (1,C 2211122+=b b21=b 22=a 22:12x C y +=l l (1)y k x =+(0,)P k 1122(,),(,)A x y B x y l 2222(1)2x k x ++=2222(12)4220k x k x k +++-=22121222422,1212k k x x x x k k --+==++λ= PA AF μ= PB BF 1212,11x x x x λμ--==++222212122212122244424121244221111212k k x x x x k k k k x x x x k k λμ--+++-+++=-=-=-=---+++-++++,OA OB S =,OA OB 1:,:OA y kx OB y x k==-1122(,),(,)A x y B x y y kx =C 22222x k x +=222112222,2121k x y k k ==++222222222,2k x y k ==+2OA OBS ⋅=令，， 令，则． ……………15分 综上所述，． ………………………………………………………16分20．解：（1）当时，， ∴．……………………………………………………………………2分又，不然，这与矛盾，…………………………………3分 ∴为2为首项，3为公比的等比数列，∴，∴． …………………………………………………4分 （2）①设， 由得，∴， …………………………5分 ∴ 对任意恒成立． ………………………………………………………………7分∴即∴．…………9分综上，． ……………………………………………………10分②由①知．设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数．若三个奇数一个偶数，设是满足条件的四项，则，∴，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去． ……11分若一个奇数三个偶数，设是满足条件的四项，则，∴． ……………………………12分 由504为偶数知，中一个偶数两个奇数或者三个偶数． 1）若中一个偶数两个奇数，不妨设则，这与251为奇数矛盾． ………………………13分 2）若均为偶数，不妨设，则，继续奇偶分析知中两奇数一个偶数，[)211,t k =+∈+∞S =1(0,1)ut =∈23S ⎡==⎢⎣⎭23S ⎡∈⎢⎣⎦3,8λμ==21384(32)(2)3222n n n n n n n n a a a a a a a a +++++===+++113(1)n n a a ++=+10n a +≠110a +=112a +={}1n a +1123n n a -+=⋅1231n n a -=⋅-1(1)1n a a n d dn d =+-=-+2142n n n n a a a a λμ+++=+21(2)4n n n n a a a a λμ++=++2(3)(1)(1)(1)4dn d dn dn d dn d λμ-++=-++-++222222(4)3(2(1))(1)(1)4d n d d n d d n d dn d d λλμλμ⋅+--+=+-++-+-+*∈N n 22224(2(1))3(1)(1)4d d d d d d d d d λλμλμ⎧=⎪-=-+⎨⎪-+=-+-+⎩，，，122λ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩u d d ，，，1,4,2λ===u d 14,21n a n λμ===-，2(121)2n n n S n +-== 1121212,,,x y z S S S S ++2221(21)(21)42017x y z +++++=2222()1007x x y y z ++++= 21222,,,x y z S S S S 222214442017x y z +++=222504x y z ++=,,x y z ,,x y z 111221,21,x x y y z z ==+=+，222111112()251x y y z z ++++=,,x y z 1112,2,2x x y y z z ===222111126x y z ++=111,,x y z不妨设，，，则． …14分 因为均为偶数，所以为奇数，不妨设，当时，，，检验得，，， 当时，，，检验得，，， 当时，，，检验得，，， 即或者或者满足条件，综上所述，，，为全部满足条件的四元子列．…………………………………………………………………………………………16分（第Ⅱ卷 理科附加卷）21．【选做题】本题包括，，，四小题，每小题10分. A ．（选修4－1 几何证明选讲）.解：连结OD ，设圆的半径为R ，，则，． …………2分在Rt △ODE 中，∵，∴，即， ① 又∵直线DE 切圆O 于点D ，则，即，② ………6分 ∴，代入①，，， ……………………………8分 ∴， ∴． ……………………………………………………………………10分 B ．（选修4—2：矩阵与变换）解：由题知，……………………4分 ∴，.…………………………………………………………6分122x x =1221y y =+1221z z =+2222222231x y y z z ++++=2222(1),(1)y y z z ++2x 220y z 剟21x =22222230y y z z +++=22214y y +…20y =25z =21x =23x =22222222y y z z +++=22210y y +…21y =24z =23x =25x =2222226y y z z +++=2222y y +…20y =22z =25x =14844,,,S S S S 1122436,,,S S S S 142040,,,S S S S {}14844,,,S S S S {}1122436,,,S S S S {}142040,,,S S S S A B C D BE x =OD R =22DE BE x ==DC OB ⊥2OD OC OE =2()R OC R x =+ 2DE BE OE =24()x x R x =+ 23R x =22()3R R OC R =+ 35ROC =BC OB OC =-35R R =-25R=23OC BC =111111113131131a a a b b b ---=-⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅==-⋅=⇒⎨⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----=⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩，，2,2a b ==1232M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， …………………………………………………8分 ∴． ………………………………………………………………10分 C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）解：，∴曲线的普通方程为． ……………………………………4分，∴曲线， ……………………………………6分 曲线圆心到直线的距离为， ………………………8分∴，∴或．………………………………10分（少一解，扣一分） D．（选修4—5：不等式选讲） 解法一：基本不等式∵，，，∴， ………………………………………6分 ∴， ………………………………………………………10分解法二：柯西不等式，∴， …………………………………………………………10分【必做题】第22，23题，每小题10分，计20分.22．解：（1）设在一局游戏中得3分为事件，则．… …………………………………………………………2分 答：在一局游戏中得3分的概率为．………………………………………………3分 （2）的所有可能取值为．在一局游戏中得2分的概率为，…………………………………5分 ； 12det()1223432M ==⨯-⨯=-111223144M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦2222((3)4cos 4sin 4x y αα+-=+=C 22(1)(3)4x y ++-=1sin()sin cos 32a a πρθρθθ+=⇒+=D 20y a +-=C D 2d =32-=a 1=a 5a =22b a b a +...22c b c b + (2)2a c a c +…222b c aa b c a b c +++++222a b c ++ (222)b c a a b c a b c++++ (222)2()()()b c a a b c b c a a b c++++++ (222)b c a a b c a b c++++…A 111221352()5C C C P A C ==25X 1,2,3,41221222135310C C C C C +=2122351(1)5C C P X C ===； ； ．所以………………………………………………………………………………………………8分∴．…………………………………10分23．解：(1)；………………………………………1分； ………………………………………2分． ………………………………………3分 （2）猜测：． …………………………………………………………………4分而，， 所以． …………………………………………………………………5分 用数学归纳法证明结论成立．①当时，，所以结论成立．②假设当时，结论成立，即． 当时，（）由归纳假设知（）式等于． 所以当时，结论也成立．综合①②，成立． ………………………………………………………10分436(2)51025P X ==⨯=43228(3)(1)5105125P X ==⨯-⨯=43342(4)(1)5105125P X ==⨯-⨯=162842337()1234525125125125E X =⨯+⨯+⨯+⨯=01111()(1)11f x C x C x x x =--=-+=0212222222()(1)(2)f x C x C x C x =--+-2222(21)(44)2x x x x x =--++-+=0313233333333()(1)(2)(3)f x C x C x C x C x =--+---33333(1)3(2)(3)6x x x x =--+---=()!n f x n =!!!()!(1)!()!k n n n kC k k n k k n k ==---11(1)!!(1)!()!(1)!()!k n n n nC nk n k k n k ---==----11k k n n kC nC --=1n =1()1f x =n k =01()(1)(1)()!k k k k k k k kk f x C x C x C x k k =--++--= 1n k =+01111111111()(1)(1)(1)k k k k k k k k k f x C x C x C x k +++++++++=--++--- 0111111111(1)(1)(1)()()(1)(1)k k k k k k k k k k k k C x C x x C x k x k C x k ++++++++=---++---+--- 011111211111111[(1)(1)()][(1)2(2)(1)()](1)(1)kk kk kk k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k C x C x kC x k C x k +++++++++++=--++--+---+--+--- 010*******[()(1)(1)()()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k k x C x C C x C C x k k x C x C x k C x k x k -+-+++=-+-++-+-++---+--+----- 010*******[(1)(1)()][(1)(1)()](1)[(1)(2)(1)()](1)(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk x C x C x C x k x C x C x k k x C x C x k x C x k k x k --+-++=--++----++--++---+--+----+--- 010-11111[(1)(1)()][(1)(1)()(1)(1)](1)[(1)(2)(1)()(1)(1)]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x C x C x C x k x C x C x k C x k k x C x C x k x k ---=--++----++--+---++---+--+--- !!(1)!(1)!x k x k k k k ⋅-⋅++⋅=+1n k =+()!n f x n =。

专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．ab （3）a ，b ∈R ，≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．a 2＋b 22a ＋b2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且1，，b a ，则的最小值为 .7log 3log 2=+a b b a 112-+b a 【解析】∵且∴，解得1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 32log 7log a a b b+=或，∵∴，即．1log 2a b =log 3a b =1，，b a 1log 2a b =2a b =2111111a ab a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足0x y >>，且22log log 1x y +=，则22x y x y+-的最小值为．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=yx -4，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足,x y，则的最小值为 ．133(02xy x x +=<<313x y +-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则0,0,2a b c >>>2a b +=的最小值为 .2ac c c b ab +-+【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋4x4x ＋y 的最大值为 ．yx ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y yx ＋y ))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++22225484yxy x y xy x ++++=1+=1+≤1+=，22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423+⋅xy y x 43当且仅当4=，即y=2x 时等号成立．y x xy【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2()a b +-,解得(当且仅当且,即时,取等号).2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________R y x ∈,1422=++xy y x y x +210524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足，则的最小值为 195a b+=-ab 【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则y x ,1=+y x的最小值为 1124+++y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足，则y x ,111=+yx 的最小值为 .1914-+-y yx x 解析：对于正数x ，y ，由于+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y1+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 114-x x 14-y y x x 1-yy 1-+）2=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-14-y y x x 1-立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则8x yxy+的最小值为 ．解析：8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x yy x=时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点(0)xy a b b =+>，如下图所示，则的最小值为 .(1,3)P 411a b+-解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 121++1）≥（2+5）=，当且仅当=时等号成立．b a 1-14-a b 21141-⋅-a b b a 29b a 1-14-a b4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线60ax by +-=与直线2(3)50x b y +-+=互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有2a =3-b b ，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·ab b a 23+=（2a+3b ）（b 3+a 2）=b a 6+ab6+13≥2a b b a 66⋅+13=25，当且仅当b a 6=ab6，即a=b 时等号成立．5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，＋＝.若x ＋2y 的最小值为64，则ax 2by 12a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用).6.已知正实数满足，则的最大值为．,a b ()()12122a b b b a a +=++ab 答案：2【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知，，则的14ab =,(0,1)a b ∈1211ab+--最小值为 ．解析：由得 ，14ab =14a b=2221211424122711411451451a b b b b b b b b b bb +---+--=+==+---+--+-令 则当且仅当71b t -=227149*********5142718427b t b bt t t t-+=+=-≥+-+--+-+- 等号成立．t =练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x ，y 满足x 2＋2xy －1＝0，则x 2＋y 2的最小值是 ．解析：由x 2＋2xy －1＝0可得y=，那么x 2＋y 2=x 2＋=x 2+－≥2212x x -222(1)4x x -54214x 12－，当且仅当x 2=，即x 4=时等号成立． 121254214x 152．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x ，y 满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x ，y 满足xy+2x+y=4，∴（0＜x ＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数满足，则,x y (1)(1)16x y -+=的最小值为．x y +解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴，∴x+y=1116++=y x ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为()8116121116=+⋅+≥+++y y y y 8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若，且，则使得取2,0>>b a 3=+b a 214-+b a 得最小值的实数=。

2016届高三年级第二次模拟考试（一）数学本试卷满分160分，考试时间为120分钟.-、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1. 已知集合A = ｛x|x<3 , x€ R｝, B = ｛x|x>1 , x€ R｝，贝U AA B = __2. 已知i为虚数单位，复数z满足Z + 4= 3i,则复数z的模为____________ .3. 一个容量为n的样本，分成若干组，已知某组的频数和频率分别为40, 0.125,则n 的值为_________ .2 24. 在平面直角坐标系xOy中，已知方程-------- =匚=1表示双曲线，则实数m的取4 —m 2+ m值范围为_________ .5. 为强化安全意识，某校拟在周一至周五的五天中随机选择2天进行紧急疏散演练，则选择的2天恰好为连续2天的概率是____________ .6. ____________________________________________ 执行如图所示的程序框图，输出的x（第6题图）（第7题图）值为____________________________________________________7. 如图，正方体ABCDA i B i C i D i的棱长为1, P是棱BB i的中点，则四棱锥PAA i C i C的体积为________ .8. 设数列｛a n｝是首项为i,公差不为零的等差数列，S n为其前n项和，若S i, S2, S n成等比数列，则数列｛a n｝的公差为_________ ._ t x2+ 49. 在平面直角坐标系xOy中，设M是函数f（x）= （x>0）的图象上任意一点，过M 点向直线y= x和y轴作垂线，垂足分别是A, B，则MA • MB = ___________ .i0.若一个钝角三角形的三内角等差数列，且最大边与最小边之比为m，则实数m的取值范围是_________ .2 211.在平面直角坐标系 xOy 中，已知过原点 0的动直线l 与圆C : x + y - 6x + 5 = 0 相交于不同的两点 A,B ，若点A 恰为线段0B 的中点，则圆心C 到直线I 的距离为 ________________________.W 6时，f(x i ) = f(X 2)，则X l f(X 2)的取值范围是 ___________ .13.已知函数 f(x)= 2X —1 + a, g(x) = bf(1 — x)，其中 a, b € R ，若关于 x 的不等式 f(x) > g(x) 的解的最小值为2,则a 的取值范围是 ______________ .二、解答题：本大题共 6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 15. (本小题满分14分)已知函数 f(x) = sin 2x +nn — .3sin 2x -才. (1) 求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2) 当x € — n ,亍 时，试求f(x)的最值，并写出取得最值时自变量x 的值.16. (本小题满分14分)如图，已知四棱柱 PABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，PA 丄平面ABCD , M 是AD 的中点，N 是PC 的中点.(1)求证：MN //平面PAB ;17.(本小题满分14分)如图是某设计师设计的 Y 型饰品的平面图，其中支架OA , OB , OC 两两成12012. 已知函数f (x )= -x 2+ 4x , <Iog 2 ( x — 2)0< x<4, + 2, 4 W x W 6,若存在 x i , X 2^ R ，当 O W X i <4 W X 214.若实数x , y 满足 x 2— 4xy + 4y 2+ 4x 2y 2= 4，则当x + 2y 取得最大值时,(2)若平面 PMC 丄平面PAD ,(第16题图)OC = 1, AB= OB + OC,且OA>OB.现设计师在支架OB上装点普通珠宝，普通珠宝的价值为M，且M与OB长成正比，比例系数为k（k为正常数）；在厶AOC区域（阴影区域）内镶嵌名贵珠宝，名贵珠宝的价值为N，且N与厶AOC的面积成正比，比例系数为4.3k.设OA =x, OB = y.（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）求N —M的最大值及相应的x的值.（第17题图）18.(本小题满分16分)(1) 求椭圆C 的方程；(2) 设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.①若直线l 过椭圆C 的右焦点，记△ ABP 大值；②若直线l 的斜率为 于，试探究0A 2+ OB 2是否为定值？若是定值， 则求出此定值；若 不是定值，请说明理由.19.(本小题满分16分)设函数f (x )= x 「2e x — k (x — 2lnx )(k 为实常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数). (1) 当k = 1时，求函数f (x )的最小值；在平面直角坐b 2 = 1(a>b>0)过点P 1,弓，离心率为2.三条边所在直线的斜率的乘积为 t ,求t 的最(2) 若函数f(x)在区间(0, 4)内至在三个极值点，求k的取值范围.20.(本小题满分16分)已知首项为1的正项数列｛a n ｝满足 空+1 + a n <|a n +仙，n € N *. 3(1) 若a 2= 2, a 3= x , a 4= 4,求x 的取值范围；1(2) 设数列｛a n ｝是公比为q 的等比数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和.若-S n <S n + i <2S n , n € N *，求q 的取值范围；(3) 若a i , a 2,…，a k (k >3)成等差数列，且 a i + a ?+…+ a k = 120,求正整数k 的最小 值，以及k 取最小值时相应数列 a i , a 2,…，a k 的公差.2016届高三年级第二次模拟考试(一)数学附加题21. 【选做题】在 A , B , C , D 四小题中只.能选•做•两题.，每小题10分，共计20分.解 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1:几何证明选讲如图，直线AB 与O O 相切于点B ,直线AO 交O O 于D , E 两点，BC 丄DE ，垂足为C , 且AD= 3DC , BC = 2，求O O 的直径.C.选修4-4:坐标系与参数方程点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，O C 的极坐标方程为 P= 2 , 3sin 0 .设P 为直线I 上1,1 0-0 设M =,N = 2-0 2-一 0 1 -试求曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下得到的曲线方程.在平面直角坐标系xOy 中，直线I 的参数方程为(t 为参数),以原点0为极选修4-2：矩阵与变换 B.一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的直角坐标.D.选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)= 3x + 6, g(x)= 14-x ,若存在实数 x 使f(x) + g(x)>a 成立，求实数 a 的取值范围.【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分•解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)如图，在长方体 ABCDA i B i C i D i 中，AA i = AB = 2AD = 2, E 为AB 的中点，F 为 上的一点，D i F = 2FE.(1) 证明：平面 DFC 丄平面D i EC ; (2) 求二面角ADFC 的大小.23.(本小题满分10分)在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的二个数值之和， 这三角形数阵开头几行如右图所示.(1) 在杨辉三角形中是否存在某一行， 且该行中三个相邻的数之比为3 :4 : 5?若存在,试求出是第几行；若不存在，请说明理由；(2)已知n , r 为正整数，且n > r + 3.求证：任何四个相邻的组合数C ；, C n 1, C n 2,c n +3不能构成等差数列.I 1 II 2 I13 3 1 14 6 4 1 I 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1(第22题图)2016届高三年级第二次模拟考试(一)(苏锡常镇四市)亍亍亍亍亍亍亍0 12 3 4 5 6(第22题图)数学参考答案填空题：本大题共 14小题，每小题5分，共计70 分.2 … 4. (-2, 4) 5. 5 6. 610.(2， +8)11.芈 12.3, 2576 113.( —a,-6小题，共计90分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算 一n n2 n 八15. 解：(1)由题意知，f(x) = 3sin2x + 三 + cos(2x + y)=2sin2x + 可 ,(4 分)2 n所以f(x)的最小正周期为T = -^= n .(6分)n^2 n 冗当一2 + 2k n w 2x +gW - + 2k n (k € Z )时，f(x)单调递增， 解得 x € — 7^+ k n ，—土;+ k n (k € Z )，所以f(x)的单调递增区间为[—务+ k n ，- 12+ k n ](k € Z ). (8分) (2)因为x € —才，nn ，所以才w 2x +夺三午，⑴分)当2x +=—，即x =— 12时，f(x)取得最大值2， (12分) 3 2 12当2x +号=4了，即x =才时，f(x)取得最小值—.3.(14分)116. 证明：(1)取 PB 中点 E ，连 EA ，EN ，△ PBC 中，EN // BC 且 EN = ^BC ，又 AM = ?AD ，AD // BC ，AD = BC ，(3 分)得EN // AM ，EN = AM ，四边形ENMA 是平行四边形，(5分) 得 MN // AE ，MN ?平面 PAB ，AE?平面 PAB ， ••• MN // 平面 PAB(7 分)(2)过点A 作PM 的垂线，垂足为 H ，•/平面PMC 丄平面 PAD ，平面 PMC 门平面 PAD = PM ，AH 丄PM ，AH?平面PAD ， • AH 丄平面PMC ， • AH 丄 CM.(10 分)•/ PA 丄平面 ABCD ，CM?平面 ABCD ，• PA 丄CM.(12 分)PA n AH = A ，PA ，AH ?平面 PAD ，CM 丄平面 PAD ， •/ AD?平面 PAD ，• CM 丄AD.(14 分)17. 解：(1)因为 OA = x ，OB = x ，AB = y + 1，1. (1 , 3)2. 53. 320 1 7. 3 8. 2 9. - 2 2] U - 4 ,+^14. 2二、解答题：本大题共 步骤.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70 分.由余弦定理，x2+ y2—2xycos120 ° = (y + 1)2，x 2—1解得y= x，(3分)2 —x由 x>0, y>0 得 1<x<2，又 x>y ，得 x>-1,解得 1<x< 1 +j 3, （6 分）2— x 21，呼〕（7（2） M = kOB = ky , N = 4 .3S AOC = 3kx ,（x 2 — 1、则 N — M = k （3x — y ） = k 3x — , （8 分） \、 2 — x /3 91 y 『2-2（y 1+ y 2）+ 4 ~2 • m y 1y 2所以 t = k AB • k AP •陆一器—4m =- m +1 + 64,（9 分）所以当m =-殳时，t 有最大值討分）所以OA 的取值范围是则 N —M =k3（ 2—t ）—（2—t t ）2—1=k 10—W k 10— 2 4t3 = （10— 4 ,3）k.（11 分）当且仅当4t = 3即t =~^€号，此时 x = 2 — ~23, （13 分）,N — M 的最大值是（10 — 4.3）k.（14分）& 1 9 18.解：⑴孑+ 4b 2 =2 2 所以椭圆C :牛+牛=4 3 1, 'a — b = 1，得 a 2= 4, b 2= 3.（2 分）1.（3 分） ⑵①设直线I 的方程为x = my + 1,直线I 与椭圆C 的交点为A （X 1, %）, B （X 2,x = my + 1,y 2）,__ 9 __所以y1+y 2=—3mm 爲,y1y2=—37扁,3 、 y1—2 所以 k AP • k BP= - X 1— 13 y2—2 X 2 — 13 y1 —2 my 13 y2—2my 2设 2 — x =t € ,1， 4t + 3所以当x =2 —x②设直线l 的方程为y = ~2x + n ,直线l 与椭圆C 的交点为A(x 1, y i ), B (X 2, y 2), 丫=亍+ n ,22得 3x 2 + 2 3nx + 2n 2— 6 = 0,乞+乞=1 4十3 ，△ = (2 ,3n)2— 4X 3(2n 2— 6)>0, 即—*'6<n< 牛七.,_ 2鈕 _2n 2— 6X l + x 2= ------- 亍,x i X 2 = 3—， (12 分)OA 2+ OB 2= X 1+ y 1 + x 2 + y 2= (x 2 + x 2)+ (y ? + y 2)+ n + "2x 2+ n = 7(x 2 + x 2)十 3n (X 1 + x ?)+ 2n=x 1 + x 2 +=7(x 1 + X 2)2 — 3x 1x 2+ . 3n(X 1 + X 2) + 2『(14 分) =7 -^V — 7 咛 + 3n(—穿n) +=7.(16 分)Xef(x) =(x — 2lnx)(x>0), X(e x — x 2)~3X19.解：(1)由函数(2分)因为当x>0时，e X >x 2.理由如下： 要使x>0时，e X >x 2 设 $ (x )= x — 2lnx ,，只要 x>2lnx , , 2 x — 2$(x)=1—x =丁$ ' (x)<0 ； 于是当 0<x<2 时， 当 x>2 时，O' (x)>0. 即 $ (x = x — 2lnx 在 x = 2 处取得最小值 $ (2= 2— 2ln2>0，即 x>0 时，x>21nx , 所以 e x — x 2>0, (5 分) 于是当 0<x<2 时，f ' (x)<0 ; 当 x>2 时，f ' (x)>0.所以函数f(x)在(0, 2)上为减函数，(2,+^ )上为增函数.(6分)2所以f(x)在x = 2处取得最小值f(2) = e — 2 + 2ln2.(7分)4⑵因为 f ' (=)(X- 2)(齐 kx2)( X — 2)x当 k w 0 时，e— k>0,x 值点，所以k>0.(8分) 所以f(x)在(0, 2)上单调递减，(2, 4)上单调递增，不存在三个极 又 f , (= (x -八e x- g(x—2)exe 2 •( X -2)令 g(x )= X 2 得 g '(冷X 3，易知g(X )在(0, 2)上单调递减，在(2,+^ )上单调递增，在X = 2处取得极小值, 24e e得 g(2) = 4，且 g(4) =(10 分)Xe于是可得y = k 与g(X )= -2在(0, 4)内有两个不同的交点的条件是k €X-设y = k 与g(X )=十在(0,4)内有两个不同交点的横坐标分别为 F 面列表分析导函数 f '(及原函数f(x):可知f(x)在(0, x i )上单调递减，在(x i , 2)上单调递增.在(2 , X 2)上单调递减，在(X 2, 4)上单调递增， 所以f(x)在区间(0, 4)上存在三个极值点.(15分)e e 、即函数f(x)在(0, 4)内存在三个极值点的 k 的取值范围是 e ，16 .(16分)120.解：(1)由题意得，2a n <a n +1<2a n , (2 分) 3 -所以 4<X <3，2<4<2X ，解得 x € (2, 3). (4 分)n + 1 n1 - q1 — q<2 • , 1 - q 1 - qq n (q -2) >- 1, q 1 (q -2) > — 1, q n (2q - 1) <1, q 1 (2q - 1) <11⑵ 由题意得，•••2a n <a n + 1<2a n ,且数列｛a n ｝是等比数列，a 1= 1,e，16 .(12 分)1n -1尹n n -1<q <2q1(q -2｝0， [q n -1(q -2) <0,••• q €£，2](6 分)又••• ^S n <S n + 1<2S n , 而当q = 1时，S 2= 2S 1不满足题意.(7分)X 1,X 2,则有 0<X 1<2<X 2<4 ,1 1-q n2 1-q<1, 10 2又.a 1 + a ? +…+ 比=120,「. S k = #k 2+ a 1 — dk=炎+1=120,••• d =晋,k — k 240—2k 厂 2 € k — k1, 1，解得 k € （15, 239）, k € N *,所以k 的最小值为 1316,此时公差为4=亦.（16分）附加题21.【选做题】在A ,B ,C ,D 四小题中只能选做两题 ，每小题10分，共计20分.A.选修4-1:几何证明选讲 解：因为DE 是O O 的直径，则/ BED + Z EDB = 90°, 又 BC 丄 DE ,所以/ CBD + Z EDB = 90°, （3 分）又 AB 切O O 于点 B ，得/ ABD =Z BED ，所以/ CBD = Z DBA.（5 分） 即 BD 平分/ CBA ，则 BC = ADD = 3,又 BC = 2,从而 AB = 3 2, 所以 AC = AB 2— BC 2= 4，所以 AD = 3, （8 分）AB 2AE =-A — = 6,故 DE = AE — AD = 3，即O O 的直径AD由切割线定理得 AB 2 = AD ・AE ，即 为3.（10分）B.选修4-2:矩阵与变换半0 L 0 1解：MN =-0 2,（4 分）设（x , y ）是曲线y = sinx 上的任意一点，在矩阵 MN 变换下对应的点为（x ', y '）. _ 11 01 1所以 x'= ?X , y '= 2y ,且 x = 2x', y = ?y ', （8 分）解得q € 1, 1 ; （9分）②当q € （1 , 2）时，•- q € g, 1 ]（11 分）1⑶••• 2a n <a n + 1<2a n ,且数列a 1, a ?,…，a k 成等差数列，1,1二 2【1 + （n — 1）d]<1 + nd<2[1 + （n — 1）d] , n = 1, 2，…，k — 1.d （n + 1）>— 1,- d €〔— 1, 1） （13 分） d （ 2— n ） <1 ,k丁 （q -2） <— 1, q n（2q - 1） >1, q 1 （q -2） <- 1, q 1（2q - 1） >1 ,无解.（6分）1代入 y = sinx ,得2y '= sin2x 即 y'= 2sin2x '.即曲线y = sinx 在矩阵MN 变换下的曲线方程为 y = 2sin2x.(10分)C.选修4-4:坐标系与参数方程解：由 p= 2 3sin 0，得 p 2= 2 3sin 0，从而有 x 2 + y 2 = 2 3y , (3 分) 所以 x 2+ (y —.③2= 3.(5 分) 设 P 3+ $，于t , C(0, ,3), PC =3 + ；t + jt —■ 3 = .t 2+ 12, (8 分)故当t = 0时，PC 取得最小值，此时 P 点的坐标为(3, 0). (10分) D.选修4-5:不等式选讲解：存在实数x 使f(x) + g(x)>a 成立， 等价于f(x) + g(x)的最大值大于 a , (2分)因为 f(x) + g(x) = 3x + 6 +• 14 — x = ；3X x + 2+ 1X 14 — x , (4 分)由柯西不等式： (“ 3X ：x + 2 + 1X ‘14 — x)2< (3 + 1)(x + 2 + 14 — x) = 64, (7 分) 所以 f(x) + g(x) = 3x + 6 + 14 — x < 8，当且仅当 x = 10 时取“ =”，(9 分) 故常数a 的取值范围是(一a, 8). (10分)【必做题】第22题，第23题，每题10分，共计20分.22.解：(1)以D 为原点，分别以 DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y轴、z 轴建立如A(1 , 0, 0), B(1 , 2, 0), C(0, 2, 0), D 1(0, 0, 2).E 为AB 的中点， E 点坐标为E(1 , 1 , 0), D 1F =2FE ,D T F = 2D TE = 3(1 , 1, — 2) = (3 , 2, 一 3),=I , I , 2 .(2 分)2 2 22x +屏+ 3z =0 ,2y = 0 , 取x = 1得平面FDC的一个法向量 n = (1, 0, — 1) , (3分) 设p = (x , y , z)是平面ED 1C 的法向量，贝y°，2 D 1C = 0,图所示空间直角坐标系，则 DF = D D 1+ D 7F = (0 ,(2设n = (x , y , z)是平面 DFC 的法向量，则n DF = 0 ,n DC = 0 ,12 • n ! 1n r 1n !r !( n — r )!n !2 - n !n != +(r + 2) !( n — r — 2)!(r + 1)!( n — r — 1)!(r + 3)!)n! __________ (n — r — 3)! .(6所以有________ 21)_______ 1 ______ (r + 1)(r + 2),11)(n — r )22) _________ 1 _________ (n — r — 2)( n — r — 1)(r + 2)(r + 3)，经整理得到 n 2— (4r + 5)n + 4r(r + 2) + 2= 0, n 2— (4r + 9)n + 4(r + 1)(r + 3)+ 2= 0. 两式相减可得n = 2r + 3,2 2 4,3x +3y —3z =0，2y — 2z = o ,取y = 1得平面D I EC 的一个法向量p = (1 , 1 , 1), (4分) •- np = (1 , 0, — 1)(1,1,1) = 0, •••平面DFC 丄平面D 1EC.(5分)⑵ 设q = (x , y , z)是平面ADF 的法向量，贝U2 2 2 _丿3x + 3y + 3z_ 0,取y = 1得平面 ADF 的一个法向量 q = (0, 1, ,=0,设二面角A-DF-C 的平面角为0,由题中条件可知灰牙,n i ,q DF = 0, q DA = 0,—1), (7 分)贝U cos 0=—n q |n ||q |0 + 0+ 1,2 — 22, (9 分)面角A-DF-C 的大小为120° .（10分）23.解：1, 2,n 组成.如果第n 行中有C n —1"CTkk 3 C n k +1 4,—k + 1 =即么 3n — 7k = — 3, 4n — 9k =5, (2 分)解这个联立方程组，得 k = 27, n = 62.（3分） 即第62行有三个相邻的数 C 66, C67 , C28的比为3： 4： 5.（4⑵ 若有 n , r(n > r + 3)，使得 C ：, C +1, C +2,c n 十3成等差数列,则 2c ；+1=c n +c n +2r +2 r +1 r + 3,2C n = C n 十 C n ,于是 C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3 , C 2r + 3成等差数列，（8 分） 而由二项式系的性质可知c 2r + 3= C2++33<C 2++13= C 2；+3,这与等差数列性质矛盾，从而要证明的结论成立. （10分）。

学苏锡常镇四市高三二模数学试卷Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5参考公式：圆锥的体积公式：V 圆锥=13Sh ，其中S 是圆锥的底面积，h 是高．圆锥的侧面积公式：S 圆锥=rl ，其中r 是圆柱底面的半径， l 为母线长．样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应位置上．．．．．．1．已知全集{}12345U =，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，那么()UAB = ▲ ．2．已知2(i)2i a -=，其中i 是虚数单位，那么实数a = ▲ ．3．从某班抽取5名学生测量身高（单位：cm ），得到的数据为160，162，159，160，159，则该组数据的方差2s = ▲ ．4．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为 ▲ ．5．若双曲线221x my +=过点()2，则该双曲线的虚轴长为 ▲ ．6．函数()2ln 2()1x x f x x -=-的定义域为 ▲ ．7．某算法流程图如右图所示，该程序运行后，若输出的15x =，则实数a 等 于 ▲ ．8．若1tan 2α=，1tan()3αβ-=-，则tan(2)βα-= ▲ ．9．若直线340x y m +-=与圆222440x y x y ++-+=始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．10．设棱长为a 的正方体的体积和表面积分别为1V ，1S ，底面半径和高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为2V ，2S ，若123=V V ，则12SS 的值为 ▲ ．11．已知函数3()2f x x x =+，若1(1)(log 3)0af f +>（0a >且1a ≠），则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．设公差为d （d 为奇数，且1d >）的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19m S -=-，0m S =，其中3m >，且*m ∈N ，则n a = ▲ ．13．已知函数2()f x x x a =-，若存在[]1,2x ∈，使得()2f x <，则实数a 的取值范围是▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，设点(1 0)A ，，(0 1)B ，，( )C a b ，，( )D c d ，，若不等式2(2)()()CD m OC OD m OC OB OD OA -⋅+⋅⋅⋅≥对任意实数a b c d ，，，都成立，则实数m 的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，已知向量(cos cos )B C =，m ，(4)a b c =-，n ，且∥m n ．（1）求cos C 的值； （2）若c =，△ABC的面积S ，求a b ，的值．16．（本小题满分14分）C B 1A 1PDCBA在直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AA ，D 是AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）若点P 在线段1BB 上，且114BP BB =，求证：AP ⊥平面1ACD ．某经销商计划销售一款新型的空气净化器，经市场调研发现以下规律：当每台净化器的利润为x （单位：元，0x >）时，销售量()q x （单位：百台）与x 的关系满足：若x 不超过20，则1260()1q x x =+；若x 大于或等于180，则销售量为零；当20180x ≤≤时，()q x a =-a ，b 为实常数）．（1）求函数()q x 的表达式；（2）当x 为多少时，总利润（单位：元）取得最大值，并求出该最大值． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点分别是1F ，2F ，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点O 到直线AB 的距离等于ab ﹒（1）若椭圆C ，求椭圆C 的方程；（2）若过点(0,1)的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P ，且P 在第二象限，直线2PF 交y 轴于点Q ﹒试判断以PQ 为直径的圆与点1F 的位置关系，并说明理由﹒已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，且对任意的正整数n ，都有113n n n S S λ++=+，其中常数0λ>．设3n n na b =()n *∈N ﹒（1）若3λ=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若1≠λ且3λ≠，设233n n n c a λ=+⨯-()n *∈N ，证明数列{}n c 是等比数列；（3）若对任意的正整数n ，都有3n b ≤，求实数λ的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知函数2()e x f x a x bx =⋅+-（a b ∈R ，，e 2.71828=是自然对数的底数），其导函数为()y f x '=．（1）设1a =-，若函数()y f x =在R 上是单调减函数，求b 的取值范围； （2）设0b =，若函数()y f x =在R 上有且只有一个零点，求a 的取值范围； （3）设2b =，且0a ≠，点()m n ，（m ，n ∈R ）是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立？证明你的结论． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题）命题单位：常州市教育科学研究院 2016．5题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4 —1：几何证明选讲已知△ABC 内接于O ，BE 是O 的直径，AD 是BC 边上的高． 求证：BA AC BE AD ⋅=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换已知变换T 把平面上的点(34)-，，(5 0)，分别变换成(21)-，，(1 2)-，，试求变换T 对应的矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点(12)M ，，倾斜角为3π﹒以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆:6cos C ρθ=﹒若直线l 与圆C 相交于A B ，两点，求MA MB ⋅的值．D ．选修4—5：不等式选讲设x 为实数，求证：()()2242131x x x x ++++≤﹒【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止． （1）求恰好摸4次停止的概率；（2）记4次之内（含4次）摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列． 23．（本小题满分10分） 设实数12n a a a ，，，满足120n a a a +++=，且12||||||1n a a a +++≤(*n ∈N 且2)n ≥，令(*)nn a b n n =∈N ．求证：1211||22n b b b n+++-≤(*)n ∈N ． 2015-2016学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{125}，， 2．1- 3．654．125．4 6．()()0,11,2 7．1 8．17-9． [010]， 103211．()()0,13,+∞ 12．312n - 13．(1,5)-14．1二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 解：（1）∵∥m n ，∴cos (4)cos c B a b C =-， …………2分由正弦定理，得sin cos (4sin sin )cos C B A B C =-，化简，得sin()4sin cos B C A C +=﹒ …………4分∵A B C ++=，∴sin sin()A B C =+﹒又∵()0,A ∈，∵sin 0A >，∴1cos 4C =． (6)分（2）∵()0,C ∈， 1cos 4C =，∴sin C =．∵1sin 2S ab C ==2ab =﹒① …………9分∵c =，由余弦定理得22132a b ab =+-，∴224a b +=，② …………12分由①②，得42440a a -+=，从而22a =，a =b =，∴a b = …………14分16．证明：（1）连结1AC ，设交1A C 于点O ，连结OD ．∵四边形11AA C C 是矩形，∴O 是1AC 的中点． …………2分在△1ABC 中， O ，D 分别是1AC ，AB 的中点，∴1OD BC ∥． …………4分又∵OD ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ， ∴1BC ∥平面1ACD ． …………6分（2）∵CA CB =，D 是AB 的中点，∴CD AB ⊥﹒又∵在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ⊥侧面11AA B B ，交线为AB ，CD ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面11AA B B ﹒ (8)分∵AP ⊂平面11A B BA ，∴CD AP ⊥． …………9分∵1BB =，11BB AA = ，114BP BB =，∴1BP ADBA AA =， ∴Rt △ABP ∽Rt △1A AD ， 从而∠1AA D =∠BAP ，所以∠1AA D +∠1A AP =∠BAP +∠1A AP =90︒，∴1AP A D ⊥． …………12分又∵1CDA D D =，CD ⊂平面1ACD ，1A D ⊂平面1ACD ∴AP ⊥平面1ACD ． …………14分17．解：（1）当20180x ≤≤时，由600a b a b ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，，得90a b =⎧⎪⎨=⎪⎩， (2)分故1260,020,1()90180,0,180x x q x x x ⎧<⎪+⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎪⎩≤＝≤ (4)分（2）设总利润()()f x x q x =⋅，由（1）得126000020,1()9000201800180xx x f x x x x ⎧<<⎪+⎪⎪-⎨⎪>⎪⎪⎩，＝≤≤，， (6)分当020x <≤时，126000126000()12600011x f x x x ==-++，()f x 在[020]，上单调递增，所以当20x =时，()f x 有最大值120000． (8)分当20180x <≤时，()9000f x x -＝()9000f x '-＝令()0f x '＝，得80x =． …………10分当2080x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当8080x <≤1时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当80x =时，()f x 有最大值240000． …………12分当180x <时，()0f x =﹒答：当x 等于80元时，总利润取得最大值240000元． …………14分18．解：由题意，得点(,0)A a ，(0,)B b ，直线AB 的方程为1x y ab+=，即0ax by ab +-=﹒ab =，化简，得221a b +=﹒① (2)分（1）∵c e a ==22223a b a -=，即223a b =﹒②由①②，解得223414a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，﹒ …………5分所以，椭圆C 的方程为224413x y +=﹒ …………6分（2）点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为：1y kx =+，由222211x y a b y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22222222()20b a k x ka x a a b +++-=，（*） …………8分则22222222=(2)4()()0ka b a k a a b ∆-+-=，化简，得22210b a k --=，所以，22211b k a-== ，∵点P 在第二象限，∴1k =﹒ …………10分把1k =代入方程（*） ，得22420x a x a ++=，解得2x a =-，从而2y b =，所以22(,)P a b -﹒ …………11分从而直线2PF 的方程为：2222()b y b x a a c-=+--，令0x =，得22b c y a c =+，所以点22(0,)+b cQ a c﹒ (12)分从而221=(,)F P a c b -+，212=(,)+b cFQ c a c， …………13分 从而42112()+b cF P FQ c a c a c⋅=-++ 22222424442222()()(+)()==0+++c b a b a c c a c b c a b c a c a c a c⎡⎤-++-+-++⎣⎦==， 又∵221a b +=，222=+a b c ，∴110F P F Q ⋅=﹒ …………15分所以点1F 在以PQ 为直径的圆上﹒ …………16分19．解：∵113n n n S S λ++=+，n *∈N ，∴当2n ≥时，-13n n n S S λ=+， 从而123n n n a a λ+=+⋅，2n ≥，n *∈N ﹒又在113n n n S S λ++=+中，令1n =，可得12123a a λ=+⋅，满足上式，所以123n n n a a λ+=+⋅， n *∈N ﹒ …………2分（1）当3λ=时， 1323n n n a a +=+⋅，n *∈N ，从而112333n n n n a a ++=+，即123n nb b +-=， 又11b =，所以数列{}n b 是首项为1，公差为23的等差数列，所以213n n b +=． …………4分（2）当0>λ且3λ≠且1≠λ时，11111223(33)(3)33n n n n n a a c λλλλλλ-----=+⨯-+=+⨯=⋅--， …………7分又163(1)3033c -=+=≠--λλλ，所以{}n c 是首项为3(1)3λλ--，公比为λ的等比数列， 13(1)3n n c λλλ--=⋅-﹒ (8)分（3）在（2）中，若1λ=，则0n c =也适合，所以当3λ≠时，13(1)3n n c λλλ--=⋅-．从而由（1）和（2）可知11(21)333(1)23333n n n n n a λλλλλλ--⎧+⨯=⎪=⎨-⋅-⨯≠⎪--⎩，，，． (9)分当3λ=时，213n n b +=，显然不满足条件，故3λ≠． …………10分当3λ≠时，112()333n n b λλλλ--=⨯---．若3λ>时， 103λλ->-，1n n b b +<，n *∈N ，[1,)n b ∈+∞，不符合，舍去． …………11分若01λ<<时，103λλ->-，203λ->-，1n n b b +>，n *∈N ，且0n b >．所以只须11133a b ==≤即可，显然成立．故01λ<<符合条件； …………12分若1λ=时，1n b =，满足条件．故1λ=符合条件； …………13分若13λ<<时，103λλ-<-，203λ->-，从而1n n b b +<，n *∈N ，因为110b =>．故2[1)3n b λ∈--，， 要使3n b ≤成立，只须233λ--≤即可．于是713λ<≤． …………15分综上所述，所求实数λ的范围是7(0]3，． …………16分20．解：（1）当1a =-时，2()e x f x x bx =-+-，∴()e 2x f x x b '=-+-，由题意()e 20x f x x b '=-+-≤对x ∈R 恒成立﹒ …………1分由e 20x x b -+-≤，得e 2x b x +≥-，令()e 2x F x x =+-，则()e 2x F x '=+-，令()0F x '=，得ln2x =．当ln2x <时，()0F x '>，()F x 单调递增，当ln2x >时，()0F x '<，()F x 单调递减， 从而当ln2x =时，()F x 有最大值2ln22-，所以2ln 22b -≥． (3)分（2）当0b =时，2()e x f x a x =+，由题意2e 0x a x +=只有一解﹒由2e 0xa x +=，得2exx a -=，令2()exx G x =，则(2)()exx x G x -'=，令()0G x '=，得0x =或2x =． (5)分当0x ≤时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为[)0+∞，， 当02x <<时，()0G x '>，()G x 单调递增，()G x 的取值范围为240e ⎛⎫⎪⎝⎭，，当2x ≥时，()0G x '≤，()G x 单调递减，()G x 的取值范围为240e ⎛⎤ ⎥⎝⎦，，由题意，得0a -=或24ea ->，从而0a =或24ea <-，所以当0a =或24ea <-时，函数()y f x =只有一个零点． …………8分（3）2()e 2x f x a x x =+-，()e 22x f x a x '=+-，假设存在，则有00000()()()()()()22x m x mf x f x m n f x m f m ++''=-+=-+， 即000()()()2f x f m x mf x m -+'=-，∵0002()e 2222x mx m x m f a +++'=+⋅-， 00220000000()()(e )()2()(e e )()2x m x m f x f m a e x m x m a x m x m x m x m--+----==++----，∴0020(e e )e x m x m a a x m+-=-﹒……（*）﹒ …………10分∵0a ≠，∴0020e e ex m x m x m+-=-，不妨设00t x m =->，则2e e et t m m m t++-=﹒两边同除以e m，得2e 1e t t t-=，即2e e 1tt t =-， …………12分令2()e e 1ttg t t =--，则2222()e (e e )e (e 1)22t t t t tt t g t '=-+=--，令2()e 12t t h t =--，则22111()e (e 1)0222t th t '=-=->，∴()h t 在(0)+∞，上单调递增，又∵(0)0h =，∴()0h t >对(0)t ∈+∞，恒成立， …………14分即()0g t '>对(0)t ∈+∞，恒成立， ∴()g t 在(0)+∞，上单调递增，又(0)0g =，∴()0g t >对(0)t ∈+∞，恒成立，即（*）式不成立， …………15分∴不存在实数0x （0x m ≠），使得000()()()2x mf x f x m n +'=-+成立． …………16分2013-2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连结AE ．∵BE 是O 的直径，∴90BAE ∠=︒． …………2分∴BAE ADC ∠=∠． …………4分又∵BEA ACD ∠=∠，∴△BEA ∽△ACD ． …………7分∴BE AC BAAD=，∴BA AC BE AD ⋅=⋅． …………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，由题意，得35214012a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， …………3分∴342513415 2.a b a c d c -=⎧⎪=-⎪⎨-=-⎪⎪=⎩，，， …………5分解得1,513,202,51120a b c d ⎧=-⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩. …………9分即113520211520⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：直线l的参数方程为112(2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，为参数)， (2)分圆C 的普通方程为22(3)9x y -+=﹒ …………4分直线l 的参数方程代入圆C的普通方程，得21)10t t +-=， (6)分设该方程两根为1t ，2t ，则121t t ⋅=-﹒ …………8分∴12==1MA MB t t ⋅⋅． …………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为 右—左=432222x x x --+ …………2分=3222(1)(1)2(1)(1)x x x x x --=-++ (4)分=22132(1)024x x ⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦≥， (8)分所以，原不等式成立． …………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：（1）设事件“恰好摸4次停止”的概率为P ，则2231319()444256P C =⨯⨯⨯=． …………4分（2）由题意，得=0123，，，X ，044381(=0)()4256P C =⨯=X ， 1341327(=1)()()4464P C =⨯⨯=X ，22241327(=2)()()44128P C =⨯⨯=X ， 81272713(=3)125664128256P =---=X ， …………8分X 的分布列为…………10分23．证明：（1）当2n =时，12a a =-，∴1122||||||1a a a =+≤，即11||2a ≤，∴21121||111||||224222a ab b a +=+==-⨯≤，即当2n =时，结论成立． …………2分（2）假设当n k =(*k ∈N 且2)k ≥时，结论成立，即当120k a a a +++=，且12||||||1k a a a +++≤时，有1211||22k b b b k+++-≤． (3)分则当1n k =+时，由1210k k a a a a +++++=，且121||||||1k a a a ++++≤，∵11211212|||||||||||1k k k k a a a a a a a a +++=+++++++≤≤，∴11||2k a +≤， (5)分又∵1211()0k k k a a a a a -++++++=，且1211121||||||||||||||1k k k k a a a a a a a a -++++++++++≤≤，∴由假设可得112111||22k k k a a b b b k k+-+++++-≤， …………7分∴1121121|||1k k k k k a a b b b b b b b k k ++-++++=++++++ 111111111111()||()221221222(1)k a k k k k k k k +=-+-+⨯=-+++-≤-， 即当1n k =+时，结论成立．综上，由（1）和（2）可知，结论成立． …………10分。