2、1、2空间中直线与直线之间的位置关系导学案(供参考)

[拓展3]若E，F，G，H分别是四面体A－BCD的棱AB，BC，
CD，DA上的中点，且AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH
为 正方形 . (你会证明吗？不妨一试)
A
H E
D G
B
F
C
二.讲授新课—3.空间等角定理
思考：在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
公理4 1.文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
2.数学符号语言：设空间中的三条直线分别为a, b, c,
若 a∥b
a∥c
c∥b
3.作用：判断空间两条直线平行.
4.实质:平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. NhomakorabeaA
H
E
D G
B
F
C
二.讲授新课—2.平行公理
说明：空间四边形：如图，顺次连接不共面的四点A，B， C，D所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A
相对顶点A与C，B与D的连线AC，
BD叫做这个空间四边形的对角线.
B
D
C
二.讲授新课—2.平行公理
例1.如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.
C
A
B
两条直线 既不平行 也不相交
二.讲授新课—1.空间两直线的位置关系
m
P l′ l
图1
m m′
图2
从图中可见，直线 l 与 m 既不相交，也不平

第二章第一节空间中直线与直线之间的位置关系三维目标1.理解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、会画异面直线，提升空间想象能力；3.了解公理4和等角定理，知道异面直线所成角的定义、范围及作用.________________________________________________________________________________ 目标三导学做思1问题1.通过身边诸多实物，空间两条直线有多少种位置关系？*问题2.如何用图形语言表示表示空间两条直线的位置关系？问题3. 如右图长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？你能得出什么结论？【试试】公理4：符号表示为：作用：问题4. 如右图∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 【试试】等角定理： 符号表示为： 作用： 问题5.阅读教材46-47页回答：什么是异面直线所成角？如何画出两条异面直线所成的角？异面直线所成角的范围是多少？ 【学做思2】1.如图2.1-17，空间四边形ABCD 中，E,F,G,H 分别是AB,BC,CD,DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形.图2.1-172. 如图2.1-18,观察长方体ABCD-A'B'C'D' (1)有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ (2)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直， 那么另一条直线是否也与这条直线垂直？(3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 图2.1-18A 13.如图2.1-20，已知正方体ABCD-A'B'C'D'. (1)哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？（2）直线BA'和CC'的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？图2.1-20【反思】 如何求异面直线所成角？达标检测*1.平面βα,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点最多能确定 个平面*2.若︒=∠120AOB ,直线a OA a ,//与OB 为异面直线，则OB a 和所成的角的大小为 . 3.填空题： （1）如图1，'AA 是长方体的一条棱，长方体中与'AA 平行的棱共有 ________ 条.（2）如果OA//''A O ,OB//''B O ,'''B O A ________.图1 图2*4.如图2，在正方体1111D C B A ABCD 中，F E 、分别是1BB 、CD 的中点．求AE 与F D 1所 成的角。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系学习目标（1）了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义； （2）掌握平行公理，掌握等角定理； （3）掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. 一、学前准备预习教材4448P P -的内容．1. 叫异面直线2. 空间中两直线的位置关系如何？3. 空间中两直线平行与平面中两直线平行意义是否一致？4. 如何形象地画两异面直线？5. 把图示的正方体展开图还原为正方体后，线段GH EF CD AB ,,,所在直线是异面直线的有对二、体验探究 探究一问题：如图，长方体1111ABCD A BC D -中，1111//,//,BB AA DD AA 问11BB DD 与平行吗？公理4：空间中平行于同一条直线的所有直线都相互__ ____.（空间平行线的传递性）【例1】如图，空间四边形ABCD 中，E F G H 、、、分别是AB BC CD DA 、、、的中点. （1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若加上条件AC BD =，四边形EFGH 是什么图形？ （3）若加上条件AC BD ⊥，四边形EFGH 是什么图形？ （4）若AC BD =且AC BD ⊥，结果又如何？探究二1. 问题： 在平面上，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补．问：空间中此结论是否继续成立？2. 定理（等角定理）：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边 ，则这两个角 ．DCBA A 1D 1C 1B 1HGF EDCBA D CB A A 1D 1C 1B 13. 什么叫两条异面直线所成的角？如何度量异面直线所成的角？4.什么叫异面直线垂直？回忆平面中两直线垂直情形，理解空间中两直线的垂直，体会垂直概念的发展．在下图中举出一些是异面垂直的直线。

三、合作交流1. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与ED 平行； ② CN 与BE 是异面直线； ③ CN 与BM 成60º角； ④ DM 与BN 垂直.以上四个说法中，正确说法的序号依次是 .【例2】如图，正方体1111ABCD A BC D -中， （1）哪些棱所在的直线与直线1BA 是异面直线？ （2）求直线1BA 和1CC 所成的角的大小； （3）哪些棱所在的直线与直线1AA 垂直？四、反馈练习1. 把两条异面直线称作“一对”，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为 （ ） A ． 12 B ．24 C ． 36 D ． 482. 正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线'B M 与CN 所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．已知异面直线a 和b 所成的角为50°，P 为空间一定点，则过点P 且与a 、b 所成角都是 30°的直线有且仅有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 4条 4．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AB 与1BC 所成角为 度． 5. 长方体1111ABCD A B C D -中，32=AB ,32=AD ,21=AA 。

o
角是45 o (2)连接FH，
∥ ∥ ∵HD ∥ EA ， EA FB ∴HD FB = = =
H E
O
G
∴四边形BFHD为平行四边形，∴HF∥BD ∴∠HFO(或其补角)为异面直线 FO与BD所成的角
F
D
连接HA、AF， 则AH=HF=FA ∴ △AFH为等边△ 依题意知O为AH中点 , ∴∠HFO=30 o
为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作 直线a'∥a，a' 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。
b b′
a′″

O
异面直线所成的角的范围( 0 , 90 ]
如果两条异面直线 a , b 所成的角为直角，我们就 称这两条直线互相垂直 , 记为a ⊥ b
O
H E
G
在空间,如图所示, 正方体
ABCD－EFGH中, 异面直线AB
F D
C B
与HF的错开程度可以怎样来刻
画呢?
A
(3)解决问题
思想方法 : 平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题
异面直线所成角: 如图,已知两条异面直线 a , b , 经过空间任一点 O作 直线 a′∥a , b ′∥b 则把 a ′与 b ′所成的锐角(或直角)叫做异 面直线 a与b所成的角(或夹角).
(如线段的端点,线段的中点等)
例题示范
例3、如图，已知正方体ABCD－A'B'C'D' 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA'是异面直线？ （2）直线BA'和CC'的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直？ 解：（2）由 BB // CC 可知， BBA等于异面直线 CC 与 BA 的夹角,所以异面直线 CC 与 BA 的夹角为450 。 (3) 直线 AB, BC , CD, DA, AB, BC , C D, DA 与直线 AA 都垂直.