高一数学必修5不等式题型汇总

高中数学不等式的综合复习【本讲教育信息】一. 教学内容：不等式的综合应用二. 教学目的：比较熟练的应用不等式解决有关的综合问题三. 教学重点：不等式与函数，方程，数列，导数等知识的联系。

教学难点：不等式与几何知识的综合。

四. 知识概要：1、不等式的功能：不等式的知识已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式广泛运用的工具功能。

2、建立不等式的途径：运用不等式知识解题的关键是建立不等关系，其途径有：利用几何意义、利用判别式、应用变量的有界性、应用函数的有界性、应用均值不等式。

3、实际应用：应用题中有一类是最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出最值。

【典型例题】（一）基础训练题 例1. （1）（全国2文4）下列四个数中最大的是（ ）A. 2(ln 2)B. ln(ln 2)C.D. ln 2解：∵ 0ln 21<<，∴ ln （ln2）<0，（ln2）2< ln2，而ln 2=21ln2<ln2，∴ 最大的数是ln2，选D 。

（2）（安徽文8）设a ＞1,且2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,则pn m ,,的大小关系为 （ ） A. n ＞m ＞p B. m ＞p ＞nC. m ＞n ＞pD. p ＞m ＞n解析：设a ＞1,∴ 212a a +>，21a a >-，2log (1),log (1),log (2)a a a m a n a p a =+=-=,∴ p n m ,,的大小关系为m ＞p ＞n ，选B 。

（3）（北京理7）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） A. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 B. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 C. ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 D. ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2()2c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2，选A 。

必修 5 第 3 章不等式知识汇总一、常用的不等式的基天性质：（ 1 ）a b b a （反对称性）（ 2 ）a b,b c a c （传达性）（ 3 ）a b a c b c （可加性,也叫移项法例）（ 4 ）a b,c0ac bc （不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变！）a b, c0ac bc （不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变！）a ba cb d （同向不等式相加，不等号方向不变！）（ 5 ）cda b0ac bd0 （正数同向不等式相乘，不等号方向不变！）（ 6 ）cd0（ 7 ）a b0, n N , n1a n b n0 （正数乘方法例）（ 8 ）a b0, n N , n1n a n b0 （正数开方法例）二、一元二次不等式及其解法1 、三个“二次”间的关系（以下a> 0）△= b 2 - 4ac△> 0△=0△< 0二次函数y y yy=ax 2+bx+cx0x的图象x1x20x 一元二次方程有两个不等实根x1， x2有两个相等实根b无实根ax2+bx+c= 0的根x1< x2x1= x 2=2a一元二次不等式b{x|x < x1或x> x2 }R{x|x≠}2aax2+bx+c >0的解集一元二次不等式{x|x1< x < x2 }ΦΦax2+bx+c <0的解集2 、一元二次不等式的一般解法：一看二次项的系数，二算△，三绘图并据图写解集；3、含参数不等式的解法：分类议论；4 、不等式恒建立问题的解决：即不等式解集为R；5 、高次不等式的解法：数轴标根法（也叫穿针引线法）用曲线自右往左、自上往下挨次穿过，遇偶次重根穿而可是，遇奇次重根一次穿过。

三、基本不等式1 、关于随意两个正数a bab 。

a, b ，它们的算术均匀数是，几何均匀数是22 、基本不等式：关于随意 a 0, b 0 ，都有a b2 ab ）此中等号建立的条件是 a b 。

最新必修五基本不等式题型分类（绝对经典）基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1 •如果a,bRab2・ab （当且仅当_A_厂时取="号）・22•如果a,bRab ab（当且仅当匸一时取」’号）2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值;③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值a「求下列函数的最大（或最小）1（1）求火一一（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值（3）已知“〕/ ，且■••求•二|的最大值及相应的’匸的值5变式1：已知x ■，求函数y=4x2 1的最大值4 4x5X类型二：含“ 1 ”的式子求最值02 •已知「」”求：「的最小值.2 3变式1:若x 0, y 0, x y=1，求——的最小值xy变式2 :2 3x 0, y 0, x y=2，求的最小值变式求函数y= 2 2 (0 X ）的最小值类型三：求分式的最值问题X?X 13•已知x0，的最小值变式1求函数y x1 2 X3(X $的值域变式2：求函数y X2 44J的最小值类型四：求负数范围的最值问题、1 曰4. xO,求x ■的最大值X4X变式1：求f (x) x (x 0)的值域Xx12 2x 1变式2：求f (x) 亠的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5•若正数a,b满足abab 3,则(1) ab的取值范围是(2) a+b的取值范围是变式1:若x，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2:已知x ‘ y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习:1 :已知a,b R，下列不等式中不正确的是()(A) a1 2 3 b 2ab ( B) ■■- ab (C) a24n 4 b2 b222：在下列函数中最小值为2的函数是()1(A)y x-X(B) y 3X3X1 1(C)y lg x (1 x 10) (D)y sin x (Oxla x sin x 214：若x3,求yx —的最小值x33：若x0，求y3x*的最小值X1 1 6： x 0, y 0, x+3y=1求 --- 的最小值xy作业（共80分，限时40分钟）1、（5 分）1 4设x,y 为正数, 3.4.5.A. 6B.9C.12则（xy ）（丄4）的最小值为（）xyD.15A. (5分) 若a,b 为实数，且a（A ） 18（B ） 6（5分）设正数x 、y 满足2x y(A) 50 (B) 20 2，则歹3b 的最小值是（（C ） 23 （D ）24320 ，贝U lg x lg y 的最大值是（(C) 11g5(D)1（5分）已知a,b 为正实数，且a1［的最小值为（2b 1,则 ---- 、ab ）4,2B. 6C.3 ・ 2 2D. 3+2 2 (5分)设a 、b 2,2(A) 1 ab abR,且 a b, a b(B)ab 12,则必有（） a 2b 2 6.( 5分)F 列结论正确的是22,2 1A.翁XabClik 文 1 时，Igx(D)丄 ? l g xa 2b 22B.ab 0时,C.当x 2时，x —的最小值为xD.7. ( 5 分)若ab 1、P Igalgb、Q 12(lga|gb）,R ©笃，则下列不等式成立的是（）(A) R PQ (B) P Q R (C)Q P R (D)P RQ8. （5分）函数vx1—（x1）的最小值是X 19. （5分）已知两个正实数x・y满足尖系式x 4y 40,则Igx lg y的最大值是110・（5分）已知0 x-JIJx （1 2x）的最大值是211. （5分）已知x，v R，且x 4y 1，则x y的最大值为____________12. （5分）若正数a,b满足abab3,,则ab的取值范围是13. （10分）已知abc是3个不全等的正数。

专题 基本不等式1．下列结论正确的是（ ） A ．当0x >且1x ≠时,1lg 2lg x x+≥ B ．当0x >时,12x x+≥ C ．当2x ≥时,1x x+的最小值是2 D ．当02x <≤时,1x x-无最大值 【答案】B 【解析】A ．当1＞x ＞0时，lgx ＜0，lgx 1lgx+≥2不成立； B ．当0x >时,12x x+≥，正确； C ．当x ≥2时，x 1x+＞2，不成立； D ．当0＜x ≤2时，函数y ＝x 1x -单调递增，当x ＝2时，有最大值21322-=，不正确． 故选B ．2．若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ） A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14C ．+a b 有最大值2D ．22a b +有最小值22【答案】C 【解析】因为正实数，满足，所以112224a b a b b a a b a b a b+++=+=++≥+=，故11a b +有最小值4，故A 不正确；由基本不等式可得112,4a b ab ab +=≥∴≤，故有最大值14，故B 不正确；由于()22122,2a ba b ab ab a b +=++=+≤∴+≤，故+a b 由最大值为2，故C 正确；()22211212122a b a b ab ab +=+-=-≥-=Q ，故22a b +由最小值12，故D 不正确． 3．【海南省海南中学2018-2019学年高一下学期期中】0x >，0y >，且260x xy y -+=，则x y +的最小值为（ ）A ．843+B ．16C ．3D ．25【答案】A 【解析】260x xy y -+=Q ，0x >，0y >()26x x y ∴=-⋅ 26xy x ∴=- 6x ∴>()2121268268438666x y x x x x x x x ∴+=+=-+≥-+=---++⋅当且仅当1266x x -=-，即623x =+时取等号 故选：A4．【黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年高一下学期期末】若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y+的最大值是（） A ．6 B ．233C ．4D ．23【答案】B 【解析】()22211x y xy x y xy ++=⇒+-=,Q 22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， ()2212x y x y +⎛⎫∴+-≤ ⎪⎝⎭，解得()2314x y +≤，223333x y ∴-≤+≤， x y ∴+的最大值是233. 故选B.5．【湖北省第五届高考测评活动2019-2020学年高一上学期期末】若不等式11014m x x+-≥-对10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7 B ．8C ．9D ．10【答案】C 【解析】 将不等式化为1114m x x+≥-，只需当10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，min 1114m x x ⎛⎫+≥ ⎪-⎝⎭即可，由()11114141414x x x x x x ⎛⎫+=++- ⎪--⎝⎭14414441525491414x x x xx x x x--=+++≥+⋅=+=--， 当且仅当15x =时取等号，故9m ≤,故m 的最大值为9. 故选：C6．【四川省攀枝花市2018-2019学年高一下学期期末】已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2 B ．92C ．143D ．5【答案】B 【解析】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则141441412()[(1)]()52591111x y x yx y x y x y y x y x+++=+++=+++=++++g …， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ．7．若直线220ax by +-=（,0a b >）始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+的最小值为（ ） A ．1 B ．5C ．42D ．322+【答案】D 【解析】由圆的性质可知，直线()220,0ax by a b +-=>， 是圆的直径所在的直线方程，Q 圆224280x y x y +---=的标准方程为：()()222113,x y -+-= ∴圆心()2,1在直线220ax by +-=上，2220a b ∴+-=，即1a b +=，()1212a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭Q22332322b a b a a b a b=++≥+⋅=+， 12a b∴+的最小值为322+，故选D. 8．【北京东城崇文门中学2017届高三上学期期中】某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( ) A ．10 B ．11 C ．13 D ．21【答案】A 【解析】由题意可知：每年的维护费构成一个以2为首项，2为公差的等差数列， 故第n 年的维护费为：22(1)2n a n n =+-=，总的维护费为：(22)(1)2n n n n +=+，故年平均费用为：1000.5(1)n n n y n+++=，即1001.5y n n=++，（n 为正整数）； 由基本不等式得：1001001.52 1.521.5y n n n n=++≥+=（万元）， 当且仅当100n n=， 即10n =时取到等号，即该企业10年后需要更新设备． 故选A ．9．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019-2020学年高一上学期期末】已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥对任意实数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为（ ） A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】C 【解析】()11a ax yx y a x y y x⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭Q .若0xy <，则0yx<，从而1ax y a y x +++无最小值，不合乎题意；若0xy >，则0yx>，0x y >.①当0a <时，1ax ya y x+++无最小值，不合乎题意； ②当0a =时，111ax y y a y x x +++=+>，则()19a x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥不恒成立； ③当0a >时，()()21121211a ax y ax yx y a a a a a x y y xy x ⎛⎫++=+++≥⋅++=++=+ ⎪⎝⎭，当且仅当=y ax 时，等号成立.所以，()219a +≥，解得4a ≥，因此，实数a 的最小值为4.故选：C.10．【上海市市北中学2017-2018学年高一上学期期中】设,x y R +∈，当21x y +=时，14ax y+≥恒成立，则a 的最小值是（ ） A ．12B ．1C ．23D ．2【答案】A 【解析】由题意可知：0a >， ∵,x y R +∈，21x y +=，∴()1122121222a a y ax x y a a a x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当2y axx y=时，等号成立， 要使14ax y+≥恒成立，则12224a a ++≥，即()2124a+≥∴122a +≥，即12a ≥， ∴a 的最小值是12故选：A11．若正数a,b 满足a+b=2,则1411a b +++ 的最小值是( ) A ．1 B ．94C ．9D ．16【答案】B 【解析】∵2a b +=，∴()()114a b +++=，又∵0a >，0b >， ∴()()141141111411a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭ ()()411119145441144a b a b ⎡⎤++=+++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦， 当且仅当()41111a b a b ++=++， 即13a =，53b =时取等号, 1411a b +++ 的最小值是94,故选B. 12．【河南省开封市五县联考2019-2020学年高二上学期期末】若两个正实数x ，y 满足412222x y+=，并且246x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()(),82,-∞-⋃+∞ B ．()(),28,-∞-+∞U C ．(),2-∞ D ．()2,8-【答案】D 【解析】因为412222x y+=，所以411x y +=. 所以()4144x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 1616448y y x x xy x y =+++=++182166y x x y ≥+⋅=. 当且仅当16y xxy=，即64x =，4y =时等号成立， 若使得246x y m m +>-恒成立则需2166m m >-，即26160m m --<，解得28m -<<. 所以实数m 的取值范围是()2,8-.故选：D13．【上海市上海交通大学附属中学2016-2017学年度高一上学期期末】已知x ，()0,y ∈+∞，且191x y+=，那么x y +的最小值是______. 【答案】16. 【解析】()199********x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当9x yy x=，0,0x y >> 即3x y =时等号成立，∴x y +的最小值是16.故答案为：1614．【浙江省杭州高级中学2018-2019学年高二上学期期末】已知a,b ∈R ，且a >b >0，a +b =1，则a 2+2b 2的最小值为______，4a−b +12b 的最小值为______.. 【答案】23 9 【解析】因为a +b =1，所以a =1−b ，因a >b >0，故0<b <12． a 2+2b 2=(1−b)2+2b 2=3b 2−2b +1=3(b −13)2+23，当b =13时，a 2+2b 2有最小值且为23．4a−b +12b =41−2b+12b，故4a−b +12b=(41−2b +12b)(1−2b +2b )=5+8b1−2b +1−2b 2b≥5+4=9，当且仅当b =16时等号成立，故4a−b +12b 的最小值为9． 综上，填23，9．15．【湖南省湘西州2018-2019学年高二（上)期末】已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是__________【答案】94m ≤ 【解析】由题意知两个正数x ，y 满足4x y +=， 则14559144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=，当4y x x y=时取等号； 14x y ∴+的最小值是94， Q 不等式14m x y +≥恒成立，94m ∴≤． 故答案为94m ≤． 16．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab ≤1； ②a +b ≤2； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;112a b+≥⑤. 【答案】①③⑤ 【解析】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：，所以，故②项错误；而利用特殊值，代入②中式子，也可得出②错误的结论；对于③：因为，由①知，所以，故③项正确；对于④：()3322()a b a b a ab b +=+-+22()3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故④项错误；对于⑤1a +1a=a b ab +=2ab≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.17．设0a b >>，则a ，b ，ab ，2a b +，211a b+，222a b +按从小到大顺序排列是______．【答案】2221122a b a b b ab a a b++<<<<<+【解析】由0a b >>，可得()2222ab ab b ab ab b a b b b a b>⇒>+=+⇒>+，即2211abba b a b =>++，由基本不等式可得2122a b ab ab ab a b a b ab+>⇒<⇒<++，即211aba b<+，由基本不等式可得2222222222a b ab a ab b a b +>⇒++<+，()()2222222222222a b a b a b a b a b a b ++++⎛⎫⇒+<+⇒<⇒< ⎪⎝⎭， 由0a b >>，可得222222a b a a a ++<=.所以答案为22222ab a b a b b ab a a b ++<<<<<+.18．某校要建一个面积为392m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m 和4m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为________m 2.【答案】648 【解析】设游泳池的长为xm ，则游泳池的宽为392m x， 又设占地面积为ym 2， 依题意，得()392784844244424224648y x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当784x x=，即x ＝28时，取“＝”． 答：游泳池的长为28m ，宽为14m 时，占地面积最小为648m 2. 故答案为64819．【山东省枣庄市滕州市滕州市第一中学2019-2020学年高一上学期期中】2019年滕州某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元.每生产x （百辆）新能源汽车，需另投入成本()C x 万元，且210100,040()100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩.由市场调研知，每辆车售价5万元，且生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2019年的利润()L x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；（利润=销售-成本） （2）2019年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】（1）2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元【解析】（1）当040x <<时，22()5100101002500104002500L x x x x x x =⨯---=-+-；当40x …时， 1000010000()5100501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=⨯--+-=-+ ⎪⎝⎭； 所以2104002500,040()100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当040x <<时，2()10(20)1500L x x =--+，当20x =时，max ()1500L x =；当40x …时，1000010000()200020002L x x x x x ⎛⎫=-+≤-⋅ ⎪⎝⎭ 20002001800=-=. （当且仅当10000x x=即100x =时，“=”成立） 因为18001500>所以，当100x =时，即2019年生产100百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为1800万元.20．已知,,,a b R x y R +∈∈，试比较22x y a b +与2()x y a b ++的大小． 【答案】答案见解析．【解析】因为()()2222222222x y bx ay a b x y x y xy x y a b a b ⎛⎫++=+++≥++=+ ⎪⎝⎭， 所以()222x y x y a b a b ++≥+，当且仅当x y a b =时等号成立． 21．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200 m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？【答案】（1）S ＝38 000＋4 000x 2＋2400000x (0＜x ＜102)；（2）至少要投入11.8万元。

不等关系与一元二次不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1. 2x 2－3x －2≥0的解集是 。

1. {x|x ≥2或x ≤－12}。

提示：方程2x 3－3x －2＝0的根是：x 1＝－12，x 2＝2，故不等式解集为{x|x ≥2或x ≤－12}。

2.已知a ＜0,-1＜b ＜0，则a 、ab 、ab 2的大小关系是 。

2.ab ＞ab 2＞a.提示：特殊值.a=-1,b=-12,ab=12,ab 2=-12.故ab ＞ab 2＞a. 3.不等式-x 2+2x-3>0的解集为 。

3. {x/-1<x<3}。

提示：原不等式转化为： x 2-2x+3<0,解得{x/-1<x<3}。

4.不等式301x x -<+的解集为 。

4.{}13x x -<<。

提示：由301x x -<+⇔（x-3）(x+1)<0，得{}13P x x =-<<．5. x 2－(m ＋3)x ＋m 2＋3＝0有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围是 .5.∅。

提示：Δ=(m ＋3)2－4(m 2＋3)＝m 2＋6m ＋9－4m 2－12＞0 即－3m 2＋6m －3＞0，∴m 2－2m ＋1＜0，(m －1)2＜0，无解。

6.有48支铅笔，在甲组里每人分配3支，则有多余；若每人分配4支，则不够分配；乙组里，若每人分配4支，则有多余；若每人分配5支，则不够分配.设甲组为x 人乙组y 人，则x 、y 满足不等式组 .6.⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

提示：由题意可得：3x ＜48，3x ＞48，4y ＜48，5y ＞48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＜48＜4x 4y ＜48＜5y 。

7.设二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则a = ，b = 。

7.a ＝－3，b ＝－2。

高中数学必修5基本不等式知识点总结•算术平均数与几何平均数1•算术平均数a +b设a 、b 是两个正数，则称为正数a 、b 的算术平均数 22 •几何平均数 ab 称为正数a 、b 的几何平均数基本不等式2 •基本不等式适用的条件一正：两个数都是正数三相等：必须有等号成立的条件注：当题目中没有明显的定值时，要会凑定值 常用的基本不等式a 2b 2 _ 2ab a,b R31 2 •当0 ：：： x 时，函数 2(2) ab~2 2 — a ，b R (3) 山专 a 0,b 0(4) 专 a,b R • 三•跟踪训练1.下列各函数中，最小值为 丄1 A • y 二 x _ x B . 2的是（） 、二 s in x— si nx JI，x (0,-) _ X 2 +3 C ,2=2 2 y = x 1 V x 1•基本不等式： 若a 0, b 0，则a b _ 2. ab ，即 a . ab2 二定：若x • y = s （和为定值），则当x = y时，积若xy = p （积为定值），则当x =y 时，和x y 取得最小值3. i 2 1+COS 2X +8S in xf (x) 的最小值是(sin 2xB.3. X >0,当X 取什么值，X +丄的值最小？最小值是多少?X4 .用2 0cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应该怎样折?5 •—段长为3 0m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花园，墙长18m ，这个矩形的长，宽 各为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？1 16 •设X 0, y 0且x 2y = 1，求 的最小值是多少?x y7.设矩形ABCD(AB >AD )的周长是2 4,把 ABC 沿AC 向 厶ADC 折叠，A B 折过去后交CD 与点P ,设AB =X ，求."■： ADP 的面积最大值及相应 X 的值。

基本不等式测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.若xy>0,则x y y x+的最小值是 。

1.2.提示：x y y x+≥2. 已知a ，b 都是正数，则 a ＋b 2、a 2＋b 22的大小关系是 。

2.a ＋b 2≤a 2＋b 22。

提示：平方作差，利用a 2+b 2≥2ab 可得。

3.若x ＋y ＝4，x ＞0，y ＞0，则lg x ＋lg y 的最大值是 。

3.lg4.提示：lg x ＋lg y =lg x y ≤lg(2x y +)2=lg4. 4.已知121(0,0),m n m n+=>>则mn 的最小值是4. 121mn m n =+≥≥5.已知：226x y +=， 则 2x y +的最大值是＿＿＿5.9.提示： 6 = 22x y +≥2， ∴22x y ≤9 。

故2x y +的最大值是9，此时x=y=2log 3。

6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与车库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处 6.8.提示 由已知y 1=x20；y 2=0 8x (x 为仓库与车站距离)， 费用之和y =y 1+y 2=0 8x + x 20≥2x x 208.0⋅=8，当且仅当0 8x =x 20即x =5时“=”成立。

7.已知正数x y 、满足3xy x y =++，则xy 的范围是 。

7.[9,)+∞。

提示：由0,0x y >>，则3xy x y =++3xy x y ⇒-=+≥，即230-+≥解得13≤-≥(舍)，当且仅当3x y xy x y ==++且即3x y ==时取“=”号，故xy 的取值范围是[9,)+∞。

8. 给出下列命题：①a,b 都为正数时,不等式a+b ≥②y=x+1x的最小值为2。