高中数学必修五 第3章 不等式 同步练习 3.4基本不等式(含答案)

等式练习题 第一部分1.下列不等式中成立的是(7.在R 上定义运算 :xy x(1 y)，若不等式(x a)(x a) 1对任意实数x 成立，贝U 实数a 的取值范围是().A. {a| 1 a 1}B .{a| 0 a 2}1 3 C {a| 1 a £} D.{a| 3 11-a -}2 28已知正实数x,y 满足x 2y4，则丄 4x 丄的最小值为y•9 .设x, y 为正实数，aJ x 22xy y ,bpjxy,c xy .试比较a 、c 的大小.A. b a C. D. a cB. b c a b ca c bA.若a 则ac 2 bc 2 .若 a b ，贝U a 2b 2 C.若aab b 21.若 a b 0，贝U -a2.已知a 1 3,b14,(A). c a3.已知a,b,c 满足c (B)3 5a b3 4，则a,b,c 的大小关系是()(C) b a c a 且ac 0，下列选项中不一定(D) c成立的是((A ) ab ac(B )(C) cb 2 ab 2(D) ac(a c) 04 .规定记号“O”表示一种运算，定义若1O k 2<3,则k 的取值范围为A . 1 k 1B aO b^/ab a (a , b 为正实数)，5 .若a,b,c 为实数, 则下列命题正确的是(A.若a 则ac 2bc 2B.若a ab b 2C.若aD.若a 1bab6.设a0.5. I,b log 3,c log 4 2，则(6.226函数y = 3x + x^+1的最小值是（）A.10 .已知不等式ax 2 5x 2 0的解集是M .（1）若2 M ，求a 的取值范围;(2)若 M x2x2，求不等式ax 2 5x a 2 10的解集.第二部分1.给出以下四个命题:1 12 2①若a>b ,则-<匚; ②若ac >bc ，则a>b ；a b ③若 a>|b|，则 a>b ； ④若 a>b ,则 a 2>b 2.其中正确的是（A.②④ B .②③ C .①② D ①③2.设 a , b € R, A. b -a>0 B若a -1 b|>0，贝U 下列不等式中正确的是（ .a 3+ b 2<0)C . b + a>0D . a — b <0 3.在下列函数中，最小值是 2的是（） A.x + 2 .y =尸(x >0)C. y = sin x + cscx , x € (0 ,ny )4. 已知log a （a 2+ 1）vlog a 2a<0，则a 的取值范围是（ A. (0,1) B ・（扌,1)C. (0, 2)5. f (x) = ax 2+ ax - 1 在 R 上满足 f (x)<0, 则a 的取值范围是（ ）A. (-X, 0]B. (-X,- 4)C. (-4,0)D. (-4,0]B.C.6.41 17.设a>0, b>0.若{3是3与3的等比中项，则o +b 的最小值为( )A. 8D-4&已知当x>0时，不等式x 2— m)+ 4>0恒成立，则实数m 的取值范围是 9.已知 A = {x|x 2— 3x + 2<0},{x|x 2— (a + 1)x + a <0}.⑴若A B,求a 的取值范围； ⑵若B? A 求a 的取值范围1 910.已知x>0, y>0,且x + y = 1,求X + y 的最小值.11.已知a , b , c 都是正数，且a +b + c = 1.求证：(1 — a)(1 — b)(1 — c) >8abc. 证明•/ a 、b 、c 都是正数，且a +b + c = 1,•-1 — a = b + c 寸 bc>0, 1—b=a+c >2ac>0, 1 — c = a + b 寸 ab>0.••• (1 — a)(1 — b)(1 — C) •^Oc •2ab= 8abc.212.不等式 kx — 2x + 6kv0(k 工0).(1) 若不等式的解集为｛x|x< — 3或x> — 2｝，求k 的值； (2) 若不等式的解集为R,求k 的取值范围.B. 4C. 11. D. 【解析】对于A ,若c 不成立；对于C,若a2. D 【解析】 参考答案 第一部分,显然ac 2b 0，则 a 2;故选Dbc 2不成立；对于B ,若b a 0，则a 2ab b 2b 2，所以C 错；对于D,若a b33 4 2 3. C 【解析】 1所以c 综上,所以答案为：D.Qa c, ac 0, 0,a (1) Qb c,a 0,ab ac;⑵ Q b a,0,0, c b 0 ；(3) Q c a,,Q ac 0, ac a0 ■⑷b a 且c 0, a 0, 0或b 0或b 0, cb 2和ab 2的大小不能确定，即C 选项不一定成立■故选C.4. A 【解析】根据题意1e k 2 1 k 2 3化简为k 2绝对值如下: 原不等式为 k 2k 2 0解得2 0时, 原不等式为 0成立，所以k k 2 0 ,对k 分情况去 k 1，所以0 k 原不等式为 k 2k 2 0，解得 1 k 2，所以1 综上， 5. B 【解析】对于 所以选择 A. 当c 0时, 0，所以1a 所以a b，故D 错，所以选b a两边同时除以 A, ab 故A 错；对于C, 不等式不成立， 11，故C 错;对于D,因为a b 0 , b因为a 1bB .6. A【解析】••• a 20.5, b log 3 , c log42 , 1>2 0.51log 3 >1, Iog 42= -b >a >c .故选: 27. C8. 1 【解析】【解析】根据题意化简不等式为（X a ）（1 (X a)) 1,即 X 2 X(a 2 a 1) 0 对任意实数X 成立,所以根据二次恒成立 0,解得（当且仅当“X y 4”时，取“ ”），故最小值为1.39.a 2 X 22 2 2 22 2xy y 2, c 2X 22xy y 2c 2 a 2xy ；X 0, y0, xy 0，即 c a ;10. (1) a12 (2) X3 X 1【解析】（1）由2 M ，说明元素2满足不等式ax 2 5x 2 0，代入即可求出a的取值范围； （2）由M x2 X 2，2,2是方程ax 25x 20的两个根，由韦达定理即可求出a 2，代入原不等式解一元二次不等式即可；(1)v 2 M 2，二 a 2 5 2 20，••• a 2(2)v Mx1 X 2 ,••• 1,2是方程ax 2 5x 20的两个根，11 y X 8 yX y 1 4 5 25 21 / y X 4点 1 -1 8尸y4x A.由X 2y 4化为4x4 X 2 4x1 2x1 2xX 2y 4，因为o,y所以1 8所以 X + y = (x+ y)( 1+ 9) = y+ — + 10>2 ' 八 X y X y y 9x 1 9当且仅当x =—时，等号成立，又因为X +y = 1.所以当 x = 4, y = 12 时，(X + y) min = 16.•••由韦达定理得2 1/•不等式ax 2 5x a0即为：2x 2 5x 3 0其解集为X第二部分2.解析 由 a —|b|>0? |b|va? — a<b<a? a + b>0,故选 C.3.解析X 2y=- + -的值域为(一X,— 2] U [2，+X);X + 2 --- 1y〒=也〒 + k >2(X >0)；1y = SinX + CSCX = SinX + 茹>2(0<Sin X <1)；y = 7x + 7—x>2（当且仅当x = 0时取等号）.7.解析 V s 是 3a 与 3b 的等比中项？ 3a •3b= 3a + b= 3? a + b = 1, v a>0,b>0, /^ab1 1 a + b 1 1 「a +萨石=Ob ^ 1=4.411.解析因为 x>0, y>0, X + 9= 1,9X-—+ 10= 16. y。

§3.4 基本不等式：ab ≤a ＋b 2(一)课时目标1．理解基本不等式的内容及其证明；2．能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)．2．若a ，b 都为正数，那么当且仅当a ＝b 时，等号成立)，称上述不等式为基本不等式，其中a ＋b 2称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数． 3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥2；当x<0时，x ＋1x ≤－2. (3)当ab>0时，b a ＋a b ≥2；当ab<0时，b a ＋a b≤－2. (4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)．一、选择题1．已知a>0，b>0，则a ＋b 2，ab ， a 2＋b 22，2ab a ＋b中最小的是( )A.a ＋b 2B.abC. a 2＋b 22D.2ab a ＋b 答案 D解析 方法一 特殊值法．令a ＝4，b ＝2，则a ＋b 2＝3，ab ＝8， a 2＋b 22＝10，2ab a ＋b ＝83.∴2ab a ＋b最小． 方法二 2ab a ＋b ＝21a ＋1b ，由21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22，可知2ab a ＋b 最小． 2．已知m ＝a ＋1a －2(a>2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x<0)，则m 、n 之间的大小关系是( ) A ．m>n B ．m<n C ．m ＝n D ．m ≤n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4.∴m>n.3．设a ，b ∈R ，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab<1<a 2＋b 22C ．ab<a 2＋b 22<1 D.a 2＋b 22<ab<1 答案 B解析 ∵ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ≠b ，∴ab<1， 又∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0， ∴a 2＋b 22>1，∴ab<1<a 2＋b 22. 4．已知正数0<a<1,0<b<1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b>2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b)＝a(a －1)＋b(b －1)，又0<a<1,0<b<1，所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大．5．设0<a<b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 答案 B解析 ∵ab<⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab<14，∴2ab<12. ∵a 2＋b 22>a ＋b 2>0，∴ a 2＋b 22>12， ∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b(1－b)－a 2＝ab －a 2＝a(b －a)>0，∴b>a 2＋b 2，∴b 最大．6．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 二、填空题7．若a<1，则a ＋1a －1有最______值，为________． 答案 大 －1解析 ∵a<1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a)＋11－a≥2(a ＝0时取等号)， ∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1. 8．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________． 答案 2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x>0，y>0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x 2≥2(x ＝2时取等号)． 9．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________． 答案 3解析 ∵x>0，y>0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12， ∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4时取等号． 10．若对任意x>0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________． 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x>0，∴x x 2＋3x ＋1>0，易知a>0. ∴x 2＋3x ＋1x ≥1a， ∴1a ≤x ＋1x＋3. ∵x>0，x ＋1x ＋3≥2x·1x ＋3＝5(x ＝1时取等号)，∴1a ≤5.∴a ≥15. 三、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c. 证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、ab c也都是正数． ∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋ab c≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c)，即bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c. 12．a>b>c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥n a －c，求n 的最大值． 解 ∵a>b>c ，∴a －b>0，b －c>0，a －c>0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c. ∵a －c ＝(a －b)＋(b －c)，∴n ≤(a －b)＋(b －c)a －b ＋(a －b)＋(b －c)b －c， ∴n ≤b －c a －b ＋a －b b －c＋2. ∵b －c a －b ＋a －b b －c ≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c) ＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)．∴n ≤4.∴n 的最大值是4.能力提升 13．已知不等式(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2答案 C 解析 只需求(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可，又(x ＋y)⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a·x y ＋y x＋a ≥a ＋1＋2 a·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a·x y ＝y x即可，所以(a)2＋2 a ＋1≥9，即(a)2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4.14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1. 求证：a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c. 证明 ∵1a ＋1b≥2 1ab ＝2c ， 1b ＋1c≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a ≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c)，即1a ＋1b ＋1c ≥a ＋b ＋ c. ∵a ，b ，c 为不等正实数， ∴a ＋b ＋c<1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b)表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b)表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b)≤21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b)．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ； 另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b.。

描述：例题：高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 不等式 3.4 基本不等式一、学习任务掌握基本不等式 （）；能用基本不等式证明简单不等式（指只用一次基本不等式即可解决的问题）；能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式即可解决的问题）．二、知识清单均值不等式的含义均值不等式的应用 均值不等式的实际应用三、知识讲解1.均值不等式的含义均值定理如果 ，，那么 ．当且仅当 时，等号成立．对任意两个正实数，，数 叫做 ， 的算术平均值，数 叫做 ， 的几何平均值．均值不等式可以表达为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．均值不等式也称为基本不等式 ．两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．⩽ab −−√a +b2a >0,b >0a b ∈R +⩾a +b2ab −−√a =b a b a +b2a b ab −−√a b 设 ，，下列不等式中不成立的是（ ）A． B．C． D．解：D，故 A 中不等式成立；，所以，所以 B 中不等式成立；，， ，所以不等式两边同时平方可得 ，故 C 中不等式成立．因为 的符号不确定，当时，不等式不成立.a >0b >0+⩾2b a a b+⩾2ab a 2b2ab ⩽()a +b22a −b +⩾21a −b+⩾2=2b a ab ⋅b a ab −−−−−−√(a −b ⩾0)2+⩾2aba 2b 2a >0b >0⩽a +b 2ab −−√⩾ab ()a +b 22a −b a ⩽b 已知 ，，且 ，求 的最大值．解：由均值不等式可得 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，当且仅当 ， 时等号成立，所以 的最大值为 ．x y ∈R +x +4y =1xy x +4y ⩾2x ⋅4y −−−−−√x =4y xy ⩽116x =12y =18xy 116描述：例题：2.均值不等式的应用基本不等式的应用非常广泛，如求函数最值，证明不等式，比较大小，求取值范围，解决实际问题等．其中，求最值是其最重要的应用 ．利用均值不等式求最值时应注意“一正，二定，三相等”，三者缺一不可．求函数 (x>3)\) 的最小值．解：因为 ，所以，所以当且仅当，即 时，取 “” 号，所以 ．y =+x 1x −3x >3x −3>0y =+x =+(x −3)+3⩾5,1x −31x −3x −3=1x −3x =4==5y min （1）求函数的最小值；（2）求函数 的最大值．解：（1）当，所以，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ．（2）当，所以 ，，所以当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=+3x (x >0)12x f (x )=+3x (x <0)12x x >0>012x3x >0f (x )=+3x ⩾2=12,12x ⋅3x 12x−−−−−−√=3x 12xx =2f (x )12x <0−>012x−3x >0f (x )=+3x 12x=−[(−)+(−3x )]12x ⩽−2(−)⋅(−3x )12x −−−−−−−−−−−−−√=−12,−=−3x 12xx =−2f (x )−12求函数的最大值．解：因为 ，所以 ，所以f (x )=x (1−3x )(0<x <)130<x <130<1−3x <1描述：例题：3.均值不等式的实际应用利用基本不等式解决实际问题的一般步骤：①正确理解题意，设出变量，一般可以把要求最大（小）值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大值或最小值；④正确写出答案．当且仅当 ，即 时， 取得最大值 ．f (x )=x (1−3x )=×3x (1−3x )13⩽13()3x +1−3x 22=,1123x =1−3x x =16f (x )112设 ，求证：．证明：因为 ，，，所以当且仅当 时，等号成立，所以 ．a ,b ,c ∈R ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2+⩾2ab a 2b 2+⩾2bc b 2c 2+⩾2ca c 2a 2(+)+(+)+(+)⩾2ab +2bc +2ca ,a 2b 2b 2c 2c 2a 2a =b =c ++⩾ab +bc +ca a 2b 2c 2建造一个容积为 ，深为 的长方形无盖水池，如果池底的造价是每平方米 元，池壁的造价是每平方米 元，求这个水池的最低造价．解：设水池的造价为 元，池底的长为 ，则宽为．所以当且仅当 ，即 时，等号成立．所以当 时，．答：水池的最低造价为元．8m 32m 12080y x m 4xm y =4×120+2(2x +)×808x=480+320(x +)4x ⩾480+320×2x ⋅4x−−−−−√=1760,x =4xx =2x =2=1760y min 1760某种汽车，购车费用是 万元，每年使用的保险费、汽油费约为 万元，年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元．问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？解：设使用 年时，年平均费用 最少．由于“年维修费第一年是 万元，以后逐年递增 万元”，可知汽车每年维修费构成以 万元为首项， 万元为公差的等差数列．因此汽车使用 年的总维修费用为万元，所以100.90.20.2x y 0.20.20.20.2xx (0.2+0.2x )2四、课后作业 （查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）当且仅当 ，即 时， 取得最小值．答：汽车使用 年时年平均费用最少．y =10+0.9x +x (0.2+0.2x )2x =10+x +0.1x 2x =1++10x x 10⩾1+2⋅10x x10−−−−−−−√=3=10xx 10x =10y 10答案：1. 若 ，下列不等式中总能成立的是 A ．B ．C ．D ．Ca >b >0()>>2aba +ba +b2ab −−√>>a +b 22ab a +b ab−−√>>a +b 2ab −−√2ab a +b>>2ab a +bab −−√a +b 2答案：2. 下列各式中最小值是 的是 A ．B ．C ．D ．D2()+x y y x+5x 2+4x 2−−−−−√tan x +cot x+2x 2−x答案：解析：3. 已知 ，则函数 的最大值是A ．B ．C ．D ．C ，由 可得 ，根据基本不等式可得，当且仅当 即 时取等号，则 ．x <12y =2x +12x −1()21−1−2y =−[(1−2x )+]+111−2x x <121−2x >0(1−2x )+⩾211−2x 1−2x =11−2x x =0=−1y max 答案：4. 如果正数 满足 ，那么 A ． ，且等号成立时 的取值唯一B ． ，且等号成立时 的取值唯一C ． ，且等号成立时 的取值不唯一D ． ，且等号成立时 的取值不唯一Aa ,b ,c ,d a +b =cd =4()ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d ab ⩽c +d a ,b ,c ,d ab ⩾c +d a ,b ,c ,d高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

3.4 基本不等式1、函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线20mx ny ++=上,其中0,0m n >>,则21m n+的最小值为( )A. B. 4C.52 D. 922、若41x -<<,则当22222x x x -+-取最大值时 x 的值为( )A.-3B.-2C.-1D.03、若,,,,,a b c d x y 都是正实数,且P Q ==则( ) A. P Q = B. P Q ≥ C. P Q ≤ D. P Q >4、某工厂第一年产量为A ,第二年的增长率为()0a a >,第三年的增长率为()0b b >,这两年的平均增长率为 x ,则( )A. 2a bx += B. 2a bx +≤C. 2a bx +>D. 2a ba +≥5、已知,?a b 均为正实数,则下列不等式不一定成立的是( )A. a b++≥B. ()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭ C.22a b≥+D.≥6、已知等差数列{}n a 的各项均为正数, 95a =,则315a a 的最大值为( ) A.100 B.75 C.50 D.257、已知01?x <<,则( )A. 14 B. 12C.2D. 18、设,x y R ∈,且4x y +=,则33x y +的最小值为( ) A. 10B.C. D. 189、若01,01a b <<<<,且a b ≠,则22,2,a b ab a b ++中最大的是( )A. 22a b +B. C. 2ab D. a b +10、在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2cos ,4cos a c Cb b B==－,则ABC ∆的面积的最大值为( )A.B.C.D.11、长为4，宽为3的矩形，当长增加x ,且宽减少2x时，面积最大，此时x = ，面积S = .12、已知在△ABC 中, 90,3,4ACB BC AC ∠=︒==,P 是AB 上异于点,?A B 的点,则点P 到,AC BC 的距离的乘积的最大值是__________.13、为净化水质,向一个游泳池加入某种化学药品,加药后池水中该药品的浓度 C (单位:1mg L -⋅)随时间t (单位: h )的变化关系为2204tC t =+,则经过__________h 后池水中该药品浓度达到最大.14、若()11,lg lg ,lg22a ba b P Q a b R +>>=+=,则,,P Q R 的大小关系是__________(用“>”连接).15、已知0x >,0y > ,且280x y xy +-=.求: 1. xy 的最小值; 2. x y +的最小值.答案以及解析1答案及解析： 答案：D解析：∵当2x =-时, log 111a y =-=-,∴函数()(log 310,a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点()2,1A --.∵点A 在直线20mx ny ++=上,∴220m n --+=,即22m n +=. ∵0,0m n >>,∴()21121122925222n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (当且仅当22n m m n =时,等号成立).故选D.2答案及解析： 答案：D解析：变形,可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----,∵41x -<<, ∴510x -<-<,∴原式()()11111221221x x x x ⎡⎤--=+=--+≤-=-⎢⎥---⎢⎥⎣⎦, 当且仅当()11221x x --=--, 即0?x =时取等号,故选D.3答案及解析： 答案：C解析：Q P == (当且仅当adx bcyy x=时等号成立).4答案及解析： 答案：B解析：∵这两年的平均增长率为 x , ∴()()()2111A x A a b +=++, ∴()()()2111x a b +=++,∴111122a b a bx +++++=+, ∴2a bx +≤,当且仅当11a b +=+,即a b =时取等号.5答案及解析： 答案：D解析：A 项, a b+≥≥当且仅当a b ==时等号同时成立,B 项, ()1124a ba b a b b a ⎛⎫++=++≥⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号;C 项,()2222a b a b a b+≥≥=++,当且仅当a b =时取等号.故选D.6答案及解析： 答案：D解析：由等差数列的性质,可得3159210a a a +==.又3150,0a a >>,所以315a a +≥(当且仅当315a a =时,等号成立),即2315315252a a a a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭.7答案及解析： 答案：B解析：因为221x +=,且01?x <<,由均值不等式可得222x +≥,所以12 (当且仅当x =即2x =时,等号成立).故选B.8答案及解析： 答案：D解析：∵30,30x y >>,∴23322318x y +≥==⨯=,当且仅当2x y ==时取等号.9答案及解析： 答案：D解析：方法一 ∵01,01a b <<<<,且a b ≠,∴22222,,a b ab a b a a b b +>+>>>,∴22a b a b +>+,故选D.方法二取11,23a b ==,则221336a b +=,15,36ab a b =+=,显然56最大,故选D.10答案及解析： 答案：A 解析：11答案及解析： 答案：1；252解析：依题意得：221125(4)(3)12(1)2222x S x x x x =+-=-++=--+ 所以当1x =时，252S =最大值.12答案及解析： 答案：3解析：以 C 为坐标原点, CB 所在直线为 x 轴, CA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,过点P 作PD y ⊥轴点D ,PE x ⊥轴于点E ,如图所示.设()(),0,0P x y x y >>,则AB 所在直线的方程为134x y +=,∵0,0x y >>,∴134x y =+≥当且仅当34x y =,即3,22x y ==时等号成立),∴3xy ≤.13答案及解析： 答案：2 解析：2202044t C t t t==++.因为0t >,所以44t t +≥= (当且仅当4t t=,即 2t =时等号成立),所以2020544C t t=≤=+, 即当 2t =时, C 取得最大值.14答案及解析： 答案：R Q P >> 解析：因为1a b >>,所以lg 0,lg 0,a b >>()()11lg lg ,lg lg 222a b Q a b P R ab Q +=+==>==,所以R Q P >>.15答案及解析：答案：1. 28xy x y =+≥,当且仅当28x y =,即16x =，4y =时等号成立.8≥,∴64xy ≥. 故xy 的最小值为64. 2.由28x y xy +=,得281y x+=，∴.()2828101010818x y x y x y y x y x ⎛⎫+=++=++≥+=+= ⎪⎝⎭, 当且仅当28x y y x=,即12x =,6y =时等号成立. 故x y +的最小值为18. 解析：。

3.4 基本不等式：√ab≤a+b2（数学人教实验A版必修5）A.C.2.A.B.C.D.5∞)6.为1x+1y)，)成正(x).10. （20分）某单位决定投资3 200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅栏，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元.计算：仓库底面积S的最大允许值是多少？为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅栏应设计为多长？（数学人教实验A版必修5）3.4 基本不等式：√ab≤a+b2答题纸得分：一、选择题二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.3.4 基本不等式：√ab≤a+b2（数学人教实验A版必修5）参考答案一、选择题1.C 解析：∵x＜0，∴ -x＞0，∴x+ 1x -2=-[(-x)+ 1(−x)]-2≤-2·√(−x)·1(−x)-2=-4，等号成立的条件是-x= 1−x，即x=-1满足定义域.2.C 解析：f（x）=π),π2π).xx⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩当x∈［0，π］时，令t=cos x∈［-1，1］，构造函数g（t）=2154tt-+，通过整理此解析式得g（t）=-［14×(54+t)+964×154t+］+58≤-38+58=14，所以f（x）=g（t）∈12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.同理，当x∈（π，2π］时，f（x）12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.综上所述，f（x）0≤x≤2π）的值域是1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.3. A 解析：∵ ab-（a+b）=1，ab≤22+⎛⎫⎪⎝⎭a b，∴22+⎛⎫⎪⎝⎭a b-（a+b）≥1，它是关于a+b的一元二次不等式，将a+b作为一个整体，解得a+b≥2+1）或a+b≤2（）（舍去）.∴ a+b有最小值2+1）.又∵ ab-（a+b）=1，a+b≥∴1作为一个整体，+1.∴ ab ≥，即ab 有最小值，故选A.4.C 解析：A 选项，y =x + 4x≥4或x + 4x≤-4，∴ A 不正确；B 选项等号不能取到；D 选项，y =log 3x +4log 3x与A 选项相同，所以只有C 选项正确.二、填空题5. 32解析：因为x ＞a ，所以2x +2x−a =2(x -a )+2x−a+2a ≥2 √2(x −a )·2x−a+2a =2a +4，即2a +4≥7，所以a ≥ 32，即a 的最小值为 32.6.18 解析：平均销售量y = f (t )t=t2+10t+16t=t + 16t+10≥18，当且仅当t = 16t，即t =4∈［1，30］时等号成立，即平均销售量最少为18. 三、解答题7. 解：证明：∵ a ，b ∈（0，+∞），∴ 2a b +b ≥，同理2b c+c ≥，2c a +a ≥，当且仅当a=b=c 时，上述三式均取“=”.三式两边分别相加得2a b +b+2b c+c+2c a +a ≥2a+2b+2c ，即2a b +2b c +2c a≥a+b+c. 8．解：因为x ＞0，y ＞0，且x+2y=1，所以1x +1y =2x y x ++2x y y +=1+2+2y x +x y ≥.当且仅当2y x =x y且x+2y=1，即-1，y=1-2时，等号成立.所以1x +1y的最小值为. 9.解：(1)设题中比例系数为k ，若每批购入x 张书桌，则共需分 36x批，每批价值为20x 元，由题意得f (x )= 36x·4+k ·20x .由x =4时，f (x )=52，得k = 1680= 15.∴ f (x )=144x+4x (0＜x ≤36，x ∈N ∗).(2)由(1)知f (x )= 144x+4x (0＜x ≤36，x ∈N ∗)，∴ f (x )≥2 √144x·4x =48(元).当且仅当144x=4x ，即x =6时，上式等号成立.故只需每批购入6张书桌，可以使资金够用.10. 解：设铁栅栏长为x 米，一侧砖墙长为y 米，则有S=xy. 由题意得40x+2×45y+20xy=3 200.由基本不等式得3 200≥，∴160））≤0.∵＞0，∴≤0，从而S ≤100.因此S 的最大允许值是100平方米，取得此最大值的条件是40x=90y ，而xy=100，由此求得x=15.即正面铁栅栏的长应是15米.。

基本不等式： ab ≤a ＋b2[新知初探]1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．[点睛] 基本不等式成立的条件：a ＞0且b ＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab ＜a ＋b2. 预习课本P97～100，思考并完成以下问题[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，a ＋b ≥2ab 均成立( ) (2)若a ≠0，则a ＋4a≥2a ·4a＝4( ) (3)若a >0，b >0，则ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22( )解析：(1)错误．任意a ，b ∈R ，有a 2＋b 2≥2ab 成立，当a ，b 都为正数时，不等式a ＋b ≥2ab 成立．(2)错误．只有当a >0时，根据基本不等式，才有不等式a ＋4a ≥2a ·4a＝4成立． (3)正确．因为ab ≤a ＋b 2，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22.答案：(1)× (2)× (3)√2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＞b ＞a ＋b2＞ab B ．a ＞a ＋b2＞ab ＞b C ．a ＞a ＋b2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b2＞b解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此B 项正确． 3．若x >0，则x ＋9x ＋2有( )A ．最小值6B ．最小值8C ．最大值8D ．最大值3解析：选B 由x ＋9x ＋2≥2x ·9x ＋2＝8(当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，取等号)，故选B.4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是( ) A ．y ＝|x |2＋4|x |≥2|x |2·4|x |＝4|x |≥0B ．y ＝sin x ＋4sin x≥2sin x ·4sin x ＝4(x 为锐角)C ．已知ab ≠0，a b ＋ba ≥2a b ·b a ＝2D ．y ＝3x ＋43x ≥23x ·43x ＝4 解析：选D 在A 中，4|x |不是常数，故A 选项错误；在B 中，sin x ＝4sin x 时无解，y 取不到最小值4，故B 选项错误；在C 中，a b ，ba 未必为正，故C 选项错误；在D 中，3x ，43x 均为正，且3x＝43x 时，y 取最小值4，故D 选项正确．利用基本不等式比较大小[典例] (1)已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定(2)若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．[解析] (1)因为a >2，所以a －2>0，又因为m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2，所以m ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，由b ≠0，得b 2≠0，所以2－b 2<2，n ＝22－b 2<4，综上可知m >n .(2)因为a >b >1，所以lg a >lg b >0， 所以Q ＝12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ＝P ；Q ＝12(lg a ＋lg b )＝lg a ＋lg b ＝lg ab <lg a ＋b 2＝R .所以P <Q <R .[答案] (1)A (2)P <Q <R已知a ，b ，c 都是非负实数，试比较a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2与2(a ＋b ＋c )的大小．解：因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2， 所以 a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 同理 b 2＋c 2≥22(b ＋c ), c 2＋a 2≥22(c ＋a )， 所以a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥22[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]， 即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立.[典例] 已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.[证明] ∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a2b ≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)， 3c 2b ＋2b3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)， 将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)， 即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.[典例] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值． (2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． (3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值． [解] (1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. (2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.(3)∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.1．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：选C 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2ba时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C. 2．设a >b >0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选D 因为a >b >0，所以a －b >0， 所以a 2＋1ab ＋1a (a －b )＝a (a －b )＋1a (a －b )＋ab ＋1ab≥2a (a －b )·1a (a －b )＋2ab ·1ab ＝4，当且仅当a (a －b )＝1a (a －b )且ab ＝1ab ，即a ＝2，b ＝22时等号成立.[典例] 不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．解：每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元． 故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．层级一 学业水平达标1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x≥2解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C.3．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥2解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤⎝⎛⎭⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab≥214＝1. 4．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bcB.a ＋d 2<bcC.a ＋d 2＝bcD.a ＋d 2≤bc解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5．若x >0，y >0，且2x ＋8y ＝1，则xy 有( ) A ．最大值64 B ．最小值164C ．最小值12D ．最小值64解析：选D 由题意xy ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab ，则a 3＋b 3的最小值为________．解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b≥21ab，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.答案：4 27．已知正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，则2x ＋y 的最小值是________． 解析：由题意得，y ＝3－x 22x，∴2x ＋y ＝2x ＋3－x 22x ＝3x 2＋32x ＝32⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≥3，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立． 答案：38．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.答案：⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 9．(1)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值；(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值．解：(1)∵x <3， ∴x －3<0， ∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎡⎦⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋3y ＝4＋⎝⎛⎭⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3. 当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.10．设a ，b ，c 都是正数，试证明不等式：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0， 所以b a ＋a b ≥2，c a ＋a c ≥2，b c ＋cb ≥2，所以⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫b c ＋c b ≥6， 当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c ，即a ＝b ＝c 时，等号成立． 所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c≥6.层级二 应试能力达标1．a ，b ∈R ，则a 2＋b 2与2|ab |的大小关系是( ) A ．a 2＋b 2≥2|ab | B ．a 2＋b 2＝2|ab | C ．a 2＋b 2≤2|ab |D ．a 2＋b 2>2|ab |解析：选A ∵a 2＋b 2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，∴a 2＋b 2≥2|ab |(当且仅当|a |＝|b |时，等号成立)．2．已知实数a ，b ，c 满足条件a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( ) A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正负不确定解析：选B 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，所以a >0，b <0，c <0，且a ＝－(b ＋c )，所以1a ＋1b ＋1c ＝－1b ＋c＋1b ＋1c ， 因为b <0，c <0，所以b ＋c ≤－2bc ，所以－1b ＋c ≤12bc ，又1b ＋1c ≤－21bc ， 所以－1b ＋c ＋1b ＋1c ≤12bc －21bc ＝－32bc<0，故选B. 3．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选D 由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，所以(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ＝x 2＋y 2xy ＋2≥2＋2＝4，当且仅当x ＝y 时，等号成立．4．若实数x ，y 满足xy >0，则x x ＋y ＋2y x ＋2y 的最大值为( ) A ．2－2B ．2＋ 2C ．4＋2 2D ．4－2 2解析：选Dx x ＋y ＋2y x ＋2y ＝11＋y x ＋2·y x 1＋2·y x ， 设t ＝y x >0，∴原式＝11＋t ＋2t 2t ＋1＝1t ＋1＋2t ＋1－12t ＋1＝1＋t (t ＋1)(2t ＋1)＝1＋12t ＋1 t ＋3. ∵2t ＋1t ≥22，∴最大值为1＋122＋3＝4－2 2. 5．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是________．解析：因为不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，因为x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，所以x ＋y 4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y 4x，即x ＝2，y ＝8时，等号是成立的，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min ＝4，所以m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2的最小值为________． 解析：由a ＋b ＝1，知13a ＋2＋13b ＋2＝3b ＋2＋3a ＋2(3a ＋2)(3b ＋2)＝79ab ＋10，又ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)，∴9ab ＋10≤494，∴79ab ＋10≥47. 答案：477．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．(1)将2016年该产品的利润y (单位：万元)表示为年促销费用m 的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x 元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m )＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2016年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．8．已知k >16，若对任意正数x ，y ，不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立，求实数k 的最小值．解：∵x >0，y >0，∴不等式⎝⎛⎭⎫3k －12x ＋ky ≥2xy 恒成立等价于⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2恒成立． 又k >16， ∴⎝⎛⎭⎫3k －12x y ＋k y x ≥2k ⎝⎛⎭⎫3k －12， ∴2k ⎝⎛⎭⎫3k －12≥2，解得k ≤－13(舍去)或k ≥12， ∴k min ＝12.。

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不 等 式 练 习 题第一部分1．下列不等式中成立的是（ )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11>a b2．已知113344333,,552a b c ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是（ ）（A).c a b << （B ）a b c << （C)b a c << （D)c b a << 3．已知,,a b c 满足c b a <<且0ac <,下列选项中不一定．．．成立的是（ ） （A ）ab ac > （B ）()0c b a -> (C ）22cb ab > （D)()0ac a c -<4．规定记号“⊙"表示一种运算，定义a ⊙b=b a ab ++(a , b 为正实数），若1⊙k 2〈3，则k 的取值范围为 （ )A ．11k -<<B ．01k <<C ．10k -<<D ．02k << 5．若,,a b c 为实数,则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<,则22a ab b >>C ．若0a b <<，则11ab <D ．若0a b <<,则b aa b>6．设0.5342log log 2a b c π-===，，，则（ )A 。

3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12， 当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立， 即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。

人教新课标A版高中数学必修5 第三章不等式 3.4基本不等式同步测试一、单选题（共15题；共30分）1.若x>0,y>0，且，则xy有（）A. 最小值64B. 最大值64C. 最小值D. 最大值2.设a>0,b>0，若lga和lgb的等差中项是0，则的最小值是（）A. 1B. 2C. 4D.3.若，且则的最小值为（）A. 2B.C.D.4.函数f(x)=2x+ (x>0)有（）A. 最大值8B. 最小值8C. 最大值4D. 最小值45.不等式的解集是( )A. B. C. {x|x＞2或x≤} D. {x|x＜2}6.设x＞0，y＞0，，则的最小值是（）A. B. C. D.7.已知正数满足，则的最小值为（）A. B. C. D.8.若，则对说法正确的是( )A. 有最大值B. 有最小值C. 无最大值和最小值D. 无法确定9.若正实数a,b满足a+b=1，则+的最小值是( )A. 4B. 6C. 8D. 910.设x ，y为正数，则（x+y）（+ ）的最小值为（）A. 6B. 9C. 12D. 1511.下列各式中，最小值等于２的是（）A. B. C. D.12.设x，y∈R，且x+y=4，则5x+5y的最小值是（）A. 9B. 25C. 162D. 5013.若直线+=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A. 2B. 3C. 4D. 514.若a＞0，b＞0，且a+b=4，则下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.15.设a、b是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（）A. a3+b3＞a2b+ab2B.C. D.二、填空题（共5题；共5分）16.已知x＞0，y＞0，且，则x+2y的最小值是________．17.已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为________18.若2a=5b=10，则=________19.（2015重庆）设,则的最大值为________ .20.若a＞0，b＞0，且ln（a+b）=0，则+ 的最小值是________．三、解答题（共5题；共25分）21.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？22.建造一个容积为240m3，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为180元/m2，池底的造价为350元/m2，如何设计水池的长与宽，才能使水池的总造价为42000元？23.若正数x，y满足x+3y=5xy，求：（1）3x+4y的最小值；（2）求xy的最小值．24.如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD．在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ 始终为45°（其中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t．（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；（Ⅱ）设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平方百米），求S的最大值．25.设函数f（x）=|x﹣a|+5x．（1）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤5x+3的解集；（2）若x≥﹣1时有f（x）≥0，求a的取值范围．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】基本不等式【解析】【分析】和定积最大，直接运用均值不等式2/x+8/y=1≥2=8，就可解得xy的最小值，注意等号成立的条件。