必修五基本不等式题型分类(绝对经典)

1.基本不等式:)0,0(2>>≥+b a ab b a ，当b a =时取等变形式：)0,0(2>>+≤b a b a ab ，当b a =时取等 2)2(b a ab +≤，当b a =时取等 2.重要不等式：ab b a 222≥+，当b a =时取等 变形式：222b a ab +≤，当b a =时取等 3.重要做题方法：（1）已知p b a =+，求ab 的最大值4)2()2(222p p b a ab ==+≤，当2p b a ==时ab 取得最大值42p （2）已知s ab b a =>>,0,0，求b a +的最小值s ab b a 22=≥+，当s b a ==时b a +取得最小值s 25.典型例题(1).求)50()5(<<-=x x x y 的最大值. 解：425252)5()5(22=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x y 当x x -=5即25=x 时，y 取得最大值425. .1618141416121412)41(441)41(441)41(.)410()41()2(22取得最大值时，即当解：的最大值求y x x x x x x x x x y x x x y =-==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⨯≤-⋅=-=<<-= .12)(23941236294294)(.94)(0)3(取得最小值时，即当解：的最小值，求若x f x x x xx x x x f xx x f x ====⋅≥+=+=>.12)(23941294)(12362)9()4(2)9()4()94(09040.94)(0)4(--=-=--≤+=∴==-⋅-≥-+-=+-∴>->-∴<+=<取得最大值时，即当，，解：的最大值，求若x f x x x xx x f xx x x x x xx x xx x f x.12222221)2(2122121)2(22121)2(22152.21522)5(-+=-=--=--⋅-≥--+-=-+-=-+-=>取得最小值时，即当解：的最小值，求若y x x x x x x x x x y x x y x .301113111)1(2111)1(112133.)1(133)6(22取得最小值时，即当解：的最小值求y x x x x x x x x x x x x y x x x x y =+=+=++⋅+≥++++=+++=+++=->+++= .1)(14514513235415454124)(2541542451)45(2451455415404510450544535415454124)(.54124)(45)7(取得最大值时，即当，，，解：的最大值，求函数已知x f x xx x x x x x f x x x x x x x x xx x x x x x x x f x x x f x =-=-=+-≤+-+-=-+-=∴-≤-+-∴=-⋅-≥-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--∴>->-∴<-∴<+-+-=-+-=-+-=<.161241919169210910991)91()(.191,0,0)8(取得最小值时，即当解：的最小值，求且已知y x y x yx x y y x xy y x x y y x x y y x y x y x y x y x yx y x +⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==⋅+≥++=+++=+⋅+=++=+>>。

基本不等式12种题型在数学中，基本不等式是重要的一种运算表示方法，它涉及不同类型的数据，可以构成一系列不等式和等式，有助于理解形状、性质和变化规律的数学问题。

许多数学题的解决都离不开不等式的运用，不等式的题型也是考试题型中的重要类型，本文将简要介绍基本不等式12种常见题型。

1、比较不等式比较不等式是一种两个不同数之间的大小比较，表示结果不等式，即大于、小于、大于等于或小于等于等。

例如：2a + b > 3，表示2a + b大于3。

2、区间不等式区间不等式是一种不等式，用于表示一个数字处于两个不同数字之间，即大于等于或小于等于的情况，例如：1 < x < 2。

即表示x介于1和2之间，大于1小于2。

3、极值不等式极值不等式用于表达某一数值在一系列数值中的位置，比如最大值、最小值和极值点，例如：f(x)<f(2)，表示在函数f(x)中x=2处的值小于其他全部x处的值。

4、组合不等式组合不等式是所有不等式的一个组合，即将几个不同的不等式进行合并，使得总的结果能够得到满足，例如2a + b > 2且b < 4，表示2a + b大于2，并且b小于4。

5、不等关系不等式不等关系不等式是指在有两个变量的不等式中，一个变量的取值存在一定的不等关系，即两个变量均存在大于、小于、大于等于或小于等于等关系，例如：x>2和x+2>y，表示x大于2，且x+2大于y。

6、方程不等式方程不等式也叫不等式方程，是指一个方程中关于未知数的不等式，即未知数的取值存在一定的不等关系，例如：3x-2<7，表示3x-2小于7。

7、多项式不等式多项式不等式是指多项式的不等式，即系数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：3x^2+2x+1>0，表示3x^2+2x+1大于0。

8、指数不等式指数不等式是指指数的不等式，即指数和未知数之间存在一定的不等关系，例如：2x > 8，表示2x大于8。

均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项11、 求 y = 2 x + x - 3 （x > 3 ）的最小值322、已知 x > 2 ，求 y = 2x - 3的最小值、已知 x5 ，求函数 y= 4x –2 + x 1 的最大值。

3<- 544 技巧二：凑系数4、当 0 < x < 4 时，求 y = x(8 - 2x) 的最大值。

5、设 0 < x <32 时，求 y = 4 x(3 - 2x) 的最大值，并求此时 x 的值。

、已知 0 < x <1 时，求 y x x )的最大值。

6= 2(1-7、设0 <x <23 时，求 y =x(2 - 3x)的最大值技巧三：分别、求 y = x 2 + 7 x + 10 （ x > -1）的值域； 9、求 y = x 2 + 3 x + 1 （ x> 0） 8 x + 1 x的值域10、已知 x > 2 ，求 y =x2 - 3x + 6的最小值x- 2a - c a - c11、已知 a > b > c，求 y = a - b + b - c的最小值x + 112、已知 x > -1 ，求 y = x2+ 5 x + 8的最大值技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单一性、求函数 y x2 + 5的值域。

13=x2 + 4a b的最小值是。

14、若实数知足 a + b = 2 ，则 3 + 31115、若+= 2 ，求x +y的最小值，并求 x、y 的值。

技巧六：整体代换1916、已知 x > 0 ，y > 0 ，且x + y = 1 ，求 x + y 的最小值。

17、若x、 y∈ R+且2x + y = 1 ，求1x +1y的最小值+a b18、已知 a，b， x， y∈ R 且x + y = 1 ，求 x + y 的最小值。

1219、已知正实数 x， y 知足 2x + y = 1 ，求x + y的最小值149 20、已知正实数 x， y， z 知足 x + y + z = 1 ，求x + y + z的最小值技巧七：取平方、已知 x，y x2y2，求 x y2的最大值。

高中数学 必修五基本不等式题型（精编）变2．以下结论正确的选项是（）A ．若ab ，则acbcB ．若 ab ，则 a 2b 2C ．若acb c ， c0 ，则abD ．若ab ，则ab3 . 若 m ＝(2a －1)(a ＋2)， n ＝(a ＋2)(a －3)，则 m ，n 的大小关系正确的选项是例 2、解以下不等式（1） x 2 2x 3 0（ 2） x 22x 8 0（3）4 x（ 4）x 4x 5 x 511（5） 2x（ 6）已知 a R ，解对于 x 的不等式 a x x 1 0 .变、 若不等式 x 2 ax b0 的解集为x 2 x 3 ，则 a b变补．以下各函数中，最小值为 2 的是 ()A ． y 1B ． ysin x1 (0, )x， xxsin x2C ． y x 2 3D ． yx2 1x 22 x变1.若 x 2 y 1，则 2x4y 的最小值是 ______3. 假如正数 a 、 b 知足 ab a b3 ，则 ab 的取值范围是 _________，a+b 的取值范围是_________.例 5、1. 积为定值（1）函数 y1 ( x>0) 的最小值是.xx1（2） 设 a2 ， p a.的最大值是1a 2（3）函数 y( x<0) 的最小值是.xx（4）变、x2 3y（1）x2 2 （2）2.和为定值（1）（2）的最小值是..， y=x(4-x)的最大值是.,的最大值是.例 6、“1”的妙用1.2. 已知正数x, y 知足x 2 y 1，则1 1的最小值为______ x y。

高考基本不等式专题典题精讲例1（1）已知0＜x ＜31，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+x 1的值域.思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论.（1）解法一：∵0＜x ＜31,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31［2)31(3x x -+］2=121，当且仅当3x=1-3x ，即x=61时，等号成立.∴x=61时，函数取得最大值121. 解法二：∵0＜x ＜31,∴31-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3［231x x -+］2=121，当且仅当x=31-x,即x=61时，等号成立. ∴x=61时，函数取得最大值121. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2xx 1∙=2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+x 1=-［(-x)+)(1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1⇒x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解：∵x ＞-1,∴x+1＞0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+∙+x x -1=1.当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1. 变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析：从函数解析式的结构来看，它与基本不等式结构相差太大，而且利用前面求最值的方法不易求解，事实上，我们可以把分母视作一个整体，用它来表示分子，原式即可展开.解：令t=x 2+1，则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2tt 1∙=2,当且仅当t=t 1,即t=1时，等号成立.∴当x=0时，函数取得最小值3.例2已知x ＞0,y ＞0，且x 1+y 9=1，求x+y 的最小值.思路分析：要求x+y 的最小值，根据极值定理，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请仔细体会.解法一：利用“1的代换”, ∵x 1+y 9=1,∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+yx x y 9+. ∵x ＞0,y ＞0,∴y x x y 9+≥2y x x y 9∙=6. 当且仅当yx x y 9=，即y=3x 时，取等号. 又x 1+y 9=1,∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16. 解法二：由x 1+y9=1，得x=9-y y . ∵x ＞0,y ＞0,∴y ＞9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10.∵y ＞9,∴y-9＞0. ∴999-+-y y ≥299)9(-∙-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ，即y=12时，取得等号，此时x=4.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.解法三：由x 1+y 9=1，得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9. ∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y 9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时，x+y 取得最小值16.绿色通道：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察,学会变形，另外解法二，通过消元,化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y 9，不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1，x+y 的最小值为18，求a,b 的值. 思路分析：本题属于“1”的代换问题.解：x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y ＞0,a,b ＞0，∴x+y≥10+2ab =18，即ab =4. 又a+b=10，∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a例3求f(x)=3+lgx+xlg 4的最小值（0＜x ＜1）. 思路分析：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0不满足各项必须是正数这一条件，不能直接应用基本不等式，正确的处理方法是加上负号变正数.解：∵0＜x ＜1,∴lgx ＜0,x lg 4＜0.∴-x lg 4＞0.∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=xlg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0＜x ＜1)的最小值为-1. 黑色陷阱：本题容易忽略0＜x ＜1这一个条件.变式训练1已知x ＜45，求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析：求和的最值，应凑积为定值.要注意条件x ＜45，则4x-5＜0. 解：∵x ＜45,∴4x-5＜0. y=4x-5+541-x +3=-［(5-4x)+x451-］+3 ≤-2xx 451)45(-∙-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x451-,即x=1时等号成立.所以当x=1时，函数的最大值是1. 变式训练2当x ＜23时，求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析：本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23,再求最值. 解：y=21（2x-3）+328-x +23=-（x x 238223-+-）+23，∵当x ＜23时，3-2x ＞0， ∴x x 238223-+-≥xx 2382232-∙-=4，当且仅当x x 238223-=-，即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-，故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.图3-4-1（1）现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？（2）若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？思路分析：设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则（1）是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值；而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解：（1）设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件,知4x+6y=36，即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ，则S=xy.方法一：由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6, ∴2xy 6≤18,得xy≤227，即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大.方法二:由2x+3y=18，得x=9-23y.∵x ＞0,∴0＜y ＜6. S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y.∵0＜y ＜6,∴6-y ＞0.∴S≤23［2)6(y y +-］2=227.当且仅当6-y=y,即y=3时，等号成立，此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时，可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x+3y≥2y x 32∙=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小.方法二:由xy=24，得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ，即y=4时，等号成立，此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时，可使钢筋总长最小.绿色通道：在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时，要注意：（1）x,y 都是正数；（2）积xy （或x+y ）为定值；（3）x 与y 必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析：在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解：设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0＜x≤16,0＜x 200≤16),∴12.5≤x≤16.于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200.=800(x+x 324)+16 000≥800×2xx 324∙+16 000=44 800,当且仅当x=x324 (x ＞0),即x=18时等号成立,而18∉［12.5,16］,∴Q(x)＞44 800. 下面研究Q(x)在［12.5,16］上的单调性.对任意12.5≤x 1＜x 2≤16,则x 2-x 1＞0,x 1x 2＜162＜324.Q(x 2)-Q(x 1)=800［(x 2-x 1)+324(1211x x -)］=800×212112)324)((x x x x x x --＜0, ∴Q(x 2)＞Q(x 1).∴Q(x)在［12.5,16］上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n 8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度.导思：本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究：设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n 8.∵n+n 8≥2248=⨯n n ,当且仅当n=n 8,即n=22时取等号.但考虑到n ∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.1.已知a ，b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C ．2a －2b <0 D.1a >1b2.如果0a <，0b >，则下列不等式中正确的是（ ）A ．11a b <B ．a b -<C ．22a b < D ．a b > 3. 已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：（1）若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0；(2)若ab >0，c a －d b>0，则bc －ad >0； (3)若bc －ad >0，c a －d b>0，则ab >0，其中正确命题的个数是( )A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4. 设a 、b 、c 、d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( )A. a ＋c >b ＋d B ．a －c >b －d C ．ac >bd D.a d >b c1. 给出下列命题：①22a b ac bc >⇒>；②22a b a b >⇒>；③33a b a b >⇒>；④22a b a b >⇒>．其中正确的命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④2. 设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >03.不等式3529x ≤-<的解集为（ ）（运用公式法）A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-4. 求解不等式：|21||2|4x x ++->．（运用零点分段发）5.函数46y x x =-+-的最小值为（ ） （零点分段法）A ．2B ．2C ．4D ．6例1 .不等式2lg(1)1x -<的解集是____________.例2. 解不等式1lg()0.x x-< 例3. 解关于x 的不等式222(1)3 1.x a x x ax+-+>+ 例4. 不等式x -5≥1+x 的解集是（ ）)(A |{x 4-≤x ≤}1)(B x x |{≤}1- )(C x x |{≤}1 )(D 1|{-x ≤x ≤}11.集合A=},045|{2≤+-x x x B=}065|{2≥+-x x x ,则B A 等于( )A.}4321|{≤≤≤≤x x x 或B. }4321|{≤≤≤≤x x x 且C. }4321{，，，D. }3241|{≤≤-≤≤-x x x 或2.设二次不等式012〉++bx ax 的解集为}311|{〈〈-x x ,则ab 的值为( )A.-6B.-5C.6D.5 3.已知函数322++=x ax y ,若x 的取值范围是全体实数,则实数a 的取值范围是( )A.0〉aB. 31≥aC. 31≤aD. 310≤〈a 4.若不等式)0(02≠〈++a c bx ax 的解集为φ,则( )A. 04,02>-<ac b aB. 04,02≤-<ac b aC. 04,02≤->ac b aD. 04,02<->ac b a5.若关于实数x 的方程0122=-++a ax x 有一正根和一负根,则实数a 的取值范围是 .例1. 已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集是⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-31,,求关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集.例2 :解关于x 的不等式)(04)1(22R a x a ax ∈>++-.例3 已知不等式02>++c bx ax 的解集为())0(,βαβα<<,求不等式02>++a bx cx 的解集. 例4.解关于x 的不等式:0)(322〉++-a x a a x例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x [ ] A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32[ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ．≥230--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1[ ] A a B a C a D a ．＜．＞．＝．＝－12121212 例解不等式≥．8 237232x x x -+-例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．例11 不等式|x 2－3x|＞4的解集是________．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)x x -1。

高中数学必修5基本不等式精选题目（附答案）高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤? ????a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <="">D ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：? ????1a －1? ????1b －1? ??1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<="">x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bc< p="">C.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lg< p="">a＋b2＝R.所以P<q<r.< p="">3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得? ????2b a ＋a 2b ＋? ????3c a ＋a 3c ＋? ????3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴? ????2b a ＋a 2b －1＋? ????3c a ＋a 3c －1＋? ????3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得? ????1a －1? ????1b －1? ????1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·?2x ＋3y 22＝16·? ????622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ??1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10，又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立．由y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6? 2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6? ????2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6? ?5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ，＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0，故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100，求得x ＝15，即铁栅的长是15米．练习：1.解析：选B A 中，当0<="">lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤?a ＋b 22≤? ??422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝? ????2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当 a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4? ??900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号，所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3，∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1，当且仅当43－x＝3－x ，即x ＝1时取等号，∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )? ????1x ＋3y ＝4＋? ????y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号．又x ＋y ＝4，∴1x ＋3y ≥1＋32，故1x ＋3y 的最小值为1＋32.</q<r.<></lg<></bc<>。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案）1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式(1)有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．(2)不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(3)变形：ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，a ＋b ≥2ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a＝b 时等号成立)．题型一：利用基本不等式比较大小1.已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．不确定2.若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系是________．题型二：利用基本不等式证明不等式3.已知a ，b ，c 均为正实数， 求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c3c ≥3.4.已知a ，b ，c 为正实数， 且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥8.题型三：利用基本不等式求最值5.已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值．6.已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．7.已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．8．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5题型四：利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？巩固练习：1．下列结论正确的是( ) A ．当x >0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2 B ．当x >0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 的最小值为2 D ．当0<x ≤2时，x －1x 无最大值2．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1>2x C.1x 2＋1≤1 D ．x ＋1x ≥23．设a ，b 为正数，且a ＋b ≤4，则下列各式中正确的一个是( ) A.1a ＋1b <1 B.1a ＋1b ≥1 C.1a ＋1b <2D.1a ＋1b ≥24．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d2>bcB.a ＋d2<bcC.a＋d2＝bc D.a＋d2≤bc5．若x>0，y>0，且2x＋8y＝1，则xy有()A．最大值64B．最小值1 64C．最小值12D．最小值646．若a>0，b>0，且1a＋1b＝ab，则a3＋b3的最小值为________．7．(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．8．若对任意x>0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．9．(1)已知x<3，求f(x)＝4x－3＋x的最大值；参考答案：1.解：因为a>2，所以a－2>0，又因为m＝a＋1a－2＝(a－2)＋1a－2＋2，所以m≥2(a－2)·1a－2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<2，n＝22－b2<4，综上可知m>n.2.解：因为a>b>1，所以lg a>lg b>0，所以Q＝12(lg a＋lg b)>lg a·lg b＝P；Q＝12(lg a＋lg b)＝lg a＋lg b＝lg ab<lga＋b2＝R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a，b，c均为正实数，∴2ba＋a2b≥2(当且仅当a＝2b时等号成立)，3c a＋a3c≥2(当且仅当a＝3c时等号成立)，3c 2b ＋2b3c ≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c时等号成立)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．4.证明：因为a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a . 同理，1b －1≥2ac b ，1c －1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正，相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2abc ＝8，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.5.解：由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100 ＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20. 6.解：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. 7.解：∵1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9xy ＋10， 又∵x ＞0，y ＞0， ∴y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16，当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，1x ＋9y＝1，得⎩⎨⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16.8.解析：选C 由已知，可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝1，∴2a ＋b ＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2a b ＋2b a ≥6×(5＋4)＝54，当且仅当2a b ＝2b a 时等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，而顶部面积为S ＝xy ，依题意得，40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200，由基本不等式得3 200≥240x ×90y ＋20xy ＝120xy ＋20xy ， ＝120S ＋20S .所以S ＋6S －160≤0，即(S －10)(S ＋16)≤0， 故S ≤10，从而S ≤100，所以S 的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x ＝90y 且xy ＝100， 求得x ＝15，即铁栅的长是15米． 练习：1.解析：选B A 中，当0<x <1时，lg x <0，lg x ＋1lg x ≥2不成立；由基本不等式知B 正确；C 中，由对勾函数的单调性，知x ＋1x 的最小值为52；D 中，由函数f (x )＝x －1x 在区间(0,2]上单调递增，知x －1x 的最大值为32，故选B.2.解析：选C 对于A ，当x ≤0时，无意义，故A 不恒成立；对于B ，当x ＝1时，x 2＋1＝2x ，故B 不成立；对于D ，当x <0时，不成立．对于C ，x 2＋1≥1，∴1x 2＋1≤1成立．故选C. 3.解析：选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422＝4，所以1a ＋1b ≥21ab ≥214＝1.4.解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d2>bc .5.解析：选D 由题意xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8y xy ＝2y ＋8x ≥22y ·8x ＝8xy ，∴xy ≥8，即xy 有最小值64，等号成立的条件是x ＝4，y ＝16.6.解析：∵a >0，b >0，∴ab ＝1a ＋1b ≥21ab ，即ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，∴a 3＋b 3≥2(ab )3≥223＝42，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，则a 3＋b 3的最小值为4 2.7.解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析：因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1时取等号， 所以有xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12＋3＝15， 即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞(2)已知x ，y 是正实数，且x ＋y ＝4，求1x ＋3y 的最小值． 9.解：(1)∵x <3， ∴x －3<0，∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋(x －3)＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤43－x ＋(3－x )＋3≤－243－x·(3－x )＋3＝－1， 当且仅当43－x＝3－x ， 即x ＝1时取等号， ∴f (x )的最大值为－1. (2)∵x ，y 是正实数，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋3y ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋3x y ≥4＋2 3.当且仅当y x ＝3xy ，即x ＝2(3－1)，y ＝2(3－3)时取“＝”号． 又x ＋y ＝4， ∴1x ＋3y ≥1＋32， 故1x ＋3y 的最小值为1＋32.。

一对一个性化辅导教案时取“当且仅当时取“基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1．如果,a b R+∈a b+≥（当且仅当时取“=”号）.2．如果,a b R+∈22a bab+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值1．求下列函数的最大（或最小）值.（1）求11xx+≥+（x0）的最小值；（2）若x0,0,24,xyy x y>>+=求的最大值（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知51,y=42445x xx<-+-求函数的最大值类型二：含“1”的式子求最值2．已知且，求的最小值.变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2x x x π+<<的最小值类型三：求分式的最值问题3. 已知0x >，求21x x x ++的最小值变式1：求函数231()12x y x x +=≥+的值域变式2：求函数2y =类型四：求负数范围的最值问题4. 10,x x x <+求的最大值变式1：求4()(0)f x x x x =+≠的值域2212()x x f x x -+=变式：求的值域类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则（1）ab 的取值范围是（2）a+b 的取值范围是变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是课堂练习： 1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ）（A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b 422≥+2：在下列函数中最小值为2的函数是（ ）3：若0x >，求123y x x =+的最小值。

基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1．如果,a b R +∈2a b ab +≥（当且仅当时取“=”号）.2．如果,a b R +∈22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ 当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值1．求下列函数的最大（或最小）值.（1）求11x x +≥+（x 0）的最小值；（2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知51,y=42445x x x <-+-求函数的最大值类型二：含“1”的式子求最值2．已知且，求的最小值.变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2x x x π+<<的最小值类型三：求分式的最值问题3. 已知0x >，求21x x x++的最小值变式1：求函数231()12x y x x +=≥+的值域变式2：求函数224y x =+的最小值类型四：求负数范围的最值问题4. 10,x x x <+求的最大值变式1：求4()(0)f x x x x=+≠的值域2212()x x f x x-+=变式：求的值域类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则（1）ab 的取值范围是（2）a+b 的取值范围是变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是课堂练习：1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ）（A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b422≥+ 2：在下列函数中最小值为2的函数是（ ）()A 1y x x=+ ()B 33x x y -=+ ()C 1lg (110)lg y x x x =+<< ()D 1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3：若0x >，求123y x x =+的最小值。

【知识梳理】1．重要不等式当a ，b 是任意实数时，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．基本不等式（1）有关概念：当a ，b 均为正数时，把a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，把ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．（2）不等式：当a ，b 是任意正实数时，a ，b 的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (3)变形：ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，a ＋b ≥2 ab (其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时等号成立)．【常考题型】题型一、利用基本不等式证明不等式【例1】 已知a ，b ，c ∈R ，求证：a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.[证明] 由基本不等式可得：a 4＋b 4＝(a 2)2＋(b 2)2≥2a 2b 2，同理：b 4＋c 4≥2b 2c 2，c 4＋a 4≥2a 2c 2，∴(a 4＋b 4)＋(b 4＋c 4)＋(c 4＋a 4)≥2a 2b 2＋2b 2c 2＋2a 2c 2，从而a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.【类题通法】1．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果．2．注意多次运用基本不等式时等号能否取到．【对点训练】1．已知a ，b 是正数，求证21a ＋1b ≤ab . 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b≥21ab ＞0，∴21a ＋1b ≤221ab ＝ab ， 即21a ＋1b≤ab (当a ＝b 时取“＝”). 题型二、利用基本不等式求最值【例2】 (1)已知m ，n ＞0，且m ＋n ＝16，求12mn 的最大值． (2)已知x ＞3，求f (x )＝x ＋4x －3的最小值； (3)设x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y的最小值． [解] (1)∵m ，n ＞0且m ＋n ＝16，所以由基本不等式可得mn ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝⎝⎛⎭⎫1622＝64， 当且仅当m ＝n ＝8时，mn 取到最大值64.∴12mn 的最大值为32. (2)∵x ＞3，∴x －3＞0，4x －3＞0， 于是f (x )＝x ＋4x －3＝x －3＋4x －3＋3≥2 (x －3)·4x －3＋3＝7， 当且仅当x －3＝4x －3即x ＝5时，f (x )取到最小值7. (3)法一：∵x ＞0，y ＞0,2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 y x ·2x y＝3＋22， 当且仅当y x ＝2x y，即y ＝2x 时，等号成立， 解得x ＝1－22，y ＝2－1， ∴当x ＝1－22，y ＝2－1时，1x ＋1y 有最小值3＋2 2. 法二：1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (2x ＋y )＝3＋2x y ＋y x≥3＋2y x ·2x y ＝3＋22， 以下同解法一．【类题通法】1．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b 2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0； (2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立．以上三点缺一不可．2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．【对点训练】2．(1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值；(2)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值．(3)已知x ＞0，y ＞0，1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2，即ab ＝100，且a ＞0，b ＞0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2 ab ＝2 100 ＝20，当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x ＞0，y ＞0,2x ＋3y ＝6，∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22 ＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32. (3)∵1x ＋9y＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )×⎝⎛⎭⎫1x ＋9y＝1＋9x y ＋y x ＋9＝y x ＋9x y＋10， 又∵x ＞0，y ＞0，∴y x ＋9x y ＋10≥2y x ×9x y＋10＝16， 当且仅当y x ＝9x y，即y ＝3x 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3x ，1x ＋9y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12，即当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 取得最小值16. 题型三、利用基本不等式解应用题【例3】 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？[解] (1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ，则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18，设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .由于2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ，∴2 6xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3，故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．(2)法一：由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥2 2x ·3y ＝2 6xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4.故每间虎笼长6 m 时，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．法二：由xy ＝24，得x ＝24y. ∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×2 16y ·y ＝48，当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立．此时x ＝6.故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．【类题通法】在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)根据实际背景写出答案．【对点训练】3．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元．(1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x (x ∈N *)的函数关系式；(2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？解：(1)依题意，每辆车x 年总收入为100x 万元，总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x )＝200＋12x (x ＋1)·16(万元)． ∴y ＝4⎣⎡⎦⎤100x －200－12x (x ＋1)·16 ＝16(－2x 2＋23x －50)．(2)年平均利润为 y x＝16⎝⎛⎭⎫23－2x －50x ＝16⎣⎡⎦⎤23－2⎝⎛⎭⎫x ＋25x . 又x ∈N *，∴x ＋25x ≥2 x ·25x ＝10， 当且仅当x ＝5时，等号成立，此时y x≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元．【练习反馈】1．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 2．若a ＞b ＞0，则下列不等式成立的是( )A ．a ＞b ＞a ＋b 2＞abB ．a ＞a ＋b 2＞ab ＞bC ．a ＞a ＋b 2＞b ＞abD ．a ＞ab ＞a ＋b 2＞b 解析：选B a ＝a ＋a 2＞a ＋b 2＞ab ＞b ·b ＝b ，因此只有B 项正确． 3．若x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则x ·y 的最大值为________． 解析：1＝x ＋4y ≥2 4xy ＝4 xy ，∴xy ≤116，当且仅当x ＝4y 时等号成立． 答案：1164．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5y的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5y ≥2 10xy ＝2，故⎝⎛⎭⎫2x ＋5y 最小值＝2， 当且仅当2y ＝5x 时取等号．又xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：25．已知a ，b ，c 均为正数，a ，b ，c 不全相等．求证：bc a ＋ac b ＋ab c＞a ＋b ＋c . 证明：∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ac b≥2 abc 2ab ＝2c ， ac b ＋ab c≥2 a 2bc bc ＝2a ， bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c＝2b . 又a ，b ，c 不全相等，故上述等号至少有一个不成立． ∴bca ＋acb ＋abc ＞a ＋b ＋c .。

一对一个性化辅导教案时取“当且仅当时取“基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1．如果,a b R +∈a b +≥（当且仅当时取“=”号）.2．如果,a b R +∈22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（ 当且仅当时取“=”号）.在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值1．求下列函数的最大（或最小）值.（1）求11x x +≥+（x 0）的最小值；（2）若x 0,0,24,xy y x y >>+=求的最大值（3）已知,，且. 求的最大值及相应的的值变式1：已知51,y=42445x x x <-+-求函数的最大值类型二：含“1”的式子求最值2．已知且，求的最小值.变式1：若230,0,=1x y x y x y >>++，求的最小值变式2：230,0,=2x y x y x y >>++，求的最小值变式3：求函数2214y=(0)sin cos 2x x x π+<<的最小值类型三：求分式的最值问题3. 已知0x >，求21x x x++的最小值变式1：求函数231()12x y x x +=≥+的值域变式2：求函数2y =类型四：求负数范围的最值问题4. 10,x x x <+求的最大值变式1：求4()(0)f x x x x=+≠的值域2212()x x f x x-+=变式：求的值域类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b 满足3,ab a b =++则（1）ab 的取值范围是（2）a+b 的取值范围是变式1：若x ，y>0满足2x+y+6,xy xy =则的最小值是变式2：已知x ，y>0满足x+2y+2xy 8,x+2y =则的最小值是课堂练习：1：已知a,b R ∈,下列不等式中不正确的是（ ）（A ）2ab b a 22≥+ （B ）ab 2b a ≥+ （C ）4a 4a 2≥+ （D ）4b b422≥+ 2：在下列函数中最小值为2的函数是（ ）()A 1y x x=+ ()B 33x x y -=+ ()C 1lg (110)lg y x x x =+<< ()D 1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3：若0x >，求123y x x =+的最小值。

一对一个性化辅导教案一、教学衔接:1检查学生的作业，及时指点； 2、通过沟通了解学生的思想动态和了解学生的本周学校的学习内容 二、内容讲解： 1 .如果a,b R a b 2 ..ab 那么当且仅当八时取“二”号）. 2 2. 如果a,b R ab … 那么（当且仅当时取“二”号） 23、 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件： 一正二定三相等① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值三、课堂总结与反思:带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结教学步骤及教学 内容基本不等式复习知识要点梳理知识点：基本不等式1如果a,b R a b 2.ab （当且仅当时取“二”号）.22.如果a,b R ab 口（当且仅当-：时取“二”号）.2在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等。

①一正：函数的解析式中，各项均为正数；②二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值。

类型一：利用（配凑法）求最值i求下列函数的最大（或最小）值（1）求x丄-（X 0）的最小值；X 1(2)若x 0,y 0,2x y 4,求xy的最大值(3)已知，且：七—求-r' 的最大值及相应的卞的值变式1：已知x 5,求函数y=4x 2右的最大值类型二：含“ 1”的式子求最值02.已知—且亠，求，的最小值.变式1: 2 3 右x 0, y 0, x y = 1,求 的最小值变式2: 2 3 x 0, y 0,x y=2，求的最小值 类型三：求分式的最值问题变式3: 求函数y= 2sin x —(0 x )的最小值 cos x2 2 . 0，求-一「的最小值求负数范围的最值问题 1 x 0,求x 一的最大值 x变式1: 求函数y X 3（x 丄）的值域x 1 2 变式2:求函数y 变式1:类型四:仇.求f (x) x - (x 0)的值域x变式2:求f （x）X一红」的值域x类型五：利用转化思想和方程消元思想求最值例5.若正数a,b满足ab a b 3,则（1）__________________________ ab的取值范围是（2）__________________________ a+b的取值范围是变式1：若X，y>0满足2x+y+6 xy,则xy的最小值是变式2：已知x，y>0满足x+2y+2xy 8,则x+2y的最小值是课堂练习：1：已知a,b R,下列不等式中不正确的是（）（A）a2圧2ab（B）宁ab（C）a2 4 4a（D）吕b2 4 2:在下列函数中最小值为2的函数是（）(A) y 1x —x (B) y x x3 3(C) y1lg x (1 x 10)(D) y1sin x (0 x —lg x sin x 23：若x 0，求y 3x 12的最小值x4：若x 3，求yx —的最小值x 35:若° x 2，求y xd 2x）的最大值。

基本不等式 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧技巧一：凑项例 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数例： 当时，求(82)y x x =-的最大值。

变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。

技巧三： 分离换元 例：求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧五：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()a f x x x =+的单调性。

例：求函数224y x =+的值域。

技巧六：整体代换（“1”的应用）多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

例：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值。

技巧七例：已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab的最小值.技巧九、取平方例: 求函数15()22y x =<<的最大值。

应用二：利用均值不等式证明不等式例：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。

求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。

应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b a R b a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是 .。

基本不等式题型总结基本不等式是数学中的重要概念，其中包括很多不等式题型。

下面将对基本不等式的常见题型进行总结，并提供一些解题思路和方法。

1. 一次不等式：一次不等式是最简单的不等式形式，通常是形如 ax + b > 0 的形式。

解这类不等式时，可以将不等式转化为等式，求出等式的解集，然后根据不等号的方向确定不等式的解集。

2. 二次不等式：二次不等式是一次不等式的推广，形如 ax^2 + bx + c > 0 的形式。

解这类不等式时，可以利用二次函数的性质，首先求出二次函数的零点，然后根据二次函数的图像确定不等式的解集。

3. 绝对值不等式：绝对值不等式是一种常见的不等式形式，形如 |ax + b| > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据绝对值的定义，分别考虑 ax + b > c 和 ax + b < -c 两种情况，然后求出每种情况下的解集。

4. 分式不等式：分式不等式是包含有分式的不等式，形如p(x)/q(x) > 0 的形式。

解这类不等式时，可以找出分式的零点，然后根据分式的正负性确定不等式的解集。

5. 根式不等式：根式不等式是带有根号的不等式，形如√(ax +b) > c 的形式。

解这类不等式时，可以根据根式的定义，将不等式平方后再进行求解。

6. 微分不等式：微分不等式是用微分的方法解决的不等式，通常涉及函数的导数。

解这类不等式时，可以求出函数的导数，然后根据导数的正负性确定函数在不同区间上的增减性以及函数的极值点，从而确定不等式的解集。

7. 参数不等式：参数不等式是含有参数的不等式，通常涉及参数的范围和取值。

解这类不等式时，可以根据参数的取值范围，分析不等式在不同情况下的解集，并给出参数的取值条件。

8. 不等式组：不等式组是由多个不等式组成的集合，通常需要在平面上找出满足所有不等式条件的解集。

解这类不等式组时，可以利用图像解法、代数解法或线性规划等方法，确定不等式组的解集。