一轮复习椭圆的标准方程与几何性质

1

椭圆知识点

知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点P到两个定点1F、2F的距离之和等于常数)2(2121FFaPFPF ,这个动点P的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.

注意：若2121FFPFPF，则动点P的轨迹为线段21FF；

若2121FFPFPF，则动点P的轨迹无图形.

知识点二：椭圆的简单几何性质

椭圆：12222byax)0(ba与 12222bxay)0(ba的简单几何性质

标准方程 12222byax )0(ba 12222bxay )0(ba

图形

性质 焦点 )0,(1cF，)0,(2cF ),0(1cF，),0(2cF

焦距 cFF221 cFF221

范围 ax，by bx，ay

对称性 关于x轴、y轴和原点对称

顶点 )0,(a，),0(b ),0(a，)0,(b

轴长 长轴长=a2，短轴长=b2 长半轴长=a，短半轴长=b（注意看清题目）

离心率 )10(eace

caFAFA2211；caFAFA1221；caPFca1；

(p是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）

2

注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等

知识点三：椭圆相关计算

1．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义 222cba

2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22

焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，21PFF为最大角。

4.椭圆上一点和两个焦点构成的三角形称为焦点三角形。

焦点三角形的面积2tan221bSFPF，其中21PFF（注意公式的推导）

2022

第五讲 椭圆

知识梳理·双基自测

错误!错误!错误!错误!

知识点一 椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数（大于|F1F2｜)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__,两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．

注:若集合P＝｛M｜｜MF1｜＋|MF2｜＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：

（1）若a＞c，则集合P为__椭圆__；

(2）若a＝c，则集合P为__线段F1F2__;

（3）若a＜c，则集合P为__空集__．

知识点二 椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 错误!＋错误!＝1(a＞b＞0) 错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)

图形

性

质 范围 －a≤x≤a

－b≤y≤b －b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 2022

顶点 A1（－a,0），A2（a，0)

B1（0,－b)，B2(0，b) A1(0，－a）,A2（0，a）

B1（－b，0)，B2（b,0）

轴 长轴A1A2的长为__2a__；

短轴B1B2的长为__2b__

焦距 ｜F1F2|＝__2c__

离心率 e＝__错误!__∈（0,1)

a、b、c

的关系 __c2＝a2－b2__

错误!错误!错误!错误!

1．a＋c与a－c分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值．

2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦｜AB｜＝错误!，称为通径．

3．若过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a．

4．e＝错误!．

5．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大,椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．

6．AB为椭圆错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的弦，A(x1，y1),B（x2,y2）,弦中点M(x0，y0),则

（1）弦长l＝错误!|x1－x2｜＝错误!|y1－y2｜；

（2）直线AB的斜率kAB＝－错误!． 2022

2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

1/9第52讲椭圆的几何性质

一、课程标准

1、掌握椭圆的性质，能够正确求出椭圆的性质

2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围

3、掌握直线与椭圆的位置关系

二、基础知识回顾

1、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)x2

b2＋y2

a2＝1(a＞b＞0)

图形

性质范围－a≤x≤a，

－b≤y≤b－b≤x≤b，

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴，对称中心：(0,0)

顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，

B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴长轴A1A2的长为2a，短轴B1B2的长为2b

焦距|F1F2|＝2c

离心率e＝c

a，e∈(0,1)

a，b，c

的关系c2＝a2－b2

2、焦半径：椭圆上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分

别记作r1＝|PF1|，r2＝|PF2|.

(1)x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ex0，r2＝a－ex0；

(2)y2

a2＋x2

b2＝1(a＞b＞0)，r1＝a＋ey0，r2＝a－ey0；

(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点)．

3、焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

2/9为S，则在椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)中

(1)当P为短轴端点时，θ最大．

(2)S＝1

2|PF1||PF2|·sinθ＝b2tanθ

2＝c|y0|，当|y0|＝b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.

(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．

4、．AB为椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则

(1)弦长l＝1＋k2|x1－x2|＝

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- 1 - / 31 第5讲 椭圆

[考纲解读] 1.掌握两种求椭圆方程的方法：定义法、待定系数法，并能根据其标准方程及几何图形研究椭圆的几何性质(X围、对称性、顶点、离心率)．(重点)

2．掌握直线与椭圆位置关系的判断，并能求解直线与椭圆相关的综合问题．(难点)

[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲为高考的必考内容．预测2021年将会考查：①椭圆标准方程的求解；②直线与椭圆位置关系的应用；③求解与椭圆性质相关的问题．试题以解答题的形式呈现，灵活多变、技巧性强，具有一定的区分度，试题中等偏难.

1.椭圆的定义

(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的□01和等于□02常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做□03焦距．

(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝□042a，且2a□05>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．

注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．

2．椭圆的标准方程和几何性质

标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)

图形

性 X围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a word

- 2 - / 31 质 对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点

焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)

顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)；

B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)；

B1(－b,0)，B2(b,0)

轴 线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b

焦距 |F1F2|＝2c

离心率 e＝ca且e∈(0,1)

a，b，c

的关系 c2＝a2－b2