椭圆的标准方程与性质

《椭圆的性质及其标准方程》评课稿椭圆的性质及其标准方程评课稿椭圆是一种经典的数学曲线，它具有许多重要的性质和特点。

在本次评课稿中，我们将介绍椭圆的性质以及其标准方程。

椭圆的定义椭圆可以通过以下定义来描述：对于给定的两个焦点F₁和F₂以及给定的常数2a(a>0)，所有到F₁和F₂的距离之和等于2a的点构成的轨迹形状就是椭圆。

椭圆的性质1. 椭圆的离心率：离心率是一个衡量椭圆形状的重要参数。

它可以通过以下公式计算：e = c/a，其中c是焦距的一半，a是长轴的一半。

离心率的取值范围是0到1，当离心率为0时，椭圆退化为一个圆。

2. 椭圆的焦点：椭圆有两个焦点F₁和F₂，它们分别位于椭圆的长轴两端。

焦点对于椭圆的形状和性质具有重要影响。

3. 椭圆的长轴和短轴：椭圆的长轴和短轴是两个重要的尺寸参数。

长轴的长度是2a，短轴的长度是2b，其中a>b。

4. 椭圆的对称性：椭圆具有关于x轴和y轴的对称性。

换言之，如果椭圆上的点(x, y)满足条件，则点(x, -y)、(-x, y)和(-x, -y)也在椭圆上。

椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过以下形式表示：(x²/a²) + (y²/b²) = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的一半。

这个方程描述了一个以原点为中心，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行的椭圆。

通过标准方程，我们可以方便地确定椭圆的形状、长轴、短轴以及焦点等信息。

进一步的方程变化可以用于描述椭圆在平面上的平移、旋转等操作。

总结椭圆作为一种重要的数学曲线，具有许多独特的性质和特点。

通过了解椭圆的性质以及标准方程，我们可以更好地理解和应用椭圆在数学和物理问题中的应用。

在实际生活中，椭圆的几何特性也有很多实际应用，例如电子轨道、天体运动等领域。

椭圆的研究不仅有助于培养学生的几何直观和数学思维能力，也为他们今后深入数学和物理研究打下坚实的基础。

椭圆方程的公式椭圆方程是数学中一个非常重要的概念，它在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍椭圆方程的公式及其应用。

一、椭圆方程的定义椭圆方程是一个二元二次方程，其一般形式为：Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E、F均为实数，且A、C不同时为0。

二、椭圆方程的标准形式椭圆方程可以通过变量替换和平移来化为标准形式：(x-x0)^2/a^2 + (y-y0)^2/b^2 = 1其中(x0,y0)为椭圆中心点坐标，a、b为椭圆长轴和短轴的长度。

三、椭圆方程的参数椭圆方程的参数包括中心坐标、长轴和短轴长度、离心率等。

1. 中心坐标：椭圆的中心坐标为(x0,y0)。

2. 长轴和短轴长度：长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。

3. 离心率：椭圆的离心率为e，e的值介于0和1之间，表示椭圆长轴与短轴长度之比。

四、椭圆方程的性质1. 对称性：椭圆方程具有关于x轴和y轴的对称性。

2. 焦点和直径：椭圆方程有两个焦点F1和F2，它们之间的距离为2c，c^2=a^2-b^2。

椭圆的长轴是过焦点F1和F2的直径。

3. 弦和法线：椭圆方程上任意一点P的切线与椭圆长轴的夹角是β，法线与椭圆长轴的夹角是α。

弦是连接椭圆上任意两点的线段，弦的中垂线与长轴的夹角是β/2，法线与弦的夹角是α-β/2。

五、椭圆方程的公式1. 椭圆方程的离心率公式：e=sqrt(1-b^2/a^2)2. 椭圆焦点的坐标公式：F1(x0-c,y0)，F2(x0+c,y0)3. 椭圆长轴和短轴长度公式：a^2=c^2+b^2b^2=a^2-c^24. 椭圆周长公式：C=4aE(e)其中E(e)是第二类椭圆积分，可以用级数或逼近公式计算。

5. 椭圆面积公式：S=πab六、椭圆方程的应用椭圆方程在物理、工程、计算机科学等领域都有广泛的应用，以下是一些例子：1. 圆轨道的近似：当椭圆的离心率e足够小时，它近似为一个圆，因此可以用椭圆方程来描述圆形轨道。

初中椭圆方程知识点总结椭圆是平面上一个固定点F到平面上任意一点P的距离之和等于常数2a的轨迹。

椭圆的方程可以用于描述椭圆的形状和位置。

在初中数学课程中，学生通常会学习如何识别和使用椭圆方程。

本文将总结初中阶段涉及的椭圆方程的知识点。

一、椭圆的定义在讨论椭圆的方程之前，我们首先来了解一下椭圆的定义。

椭圆是平面上一个固定点F到平面上任意一点P的距离之和等于常数2a的轨迹。

这个固定点F叫做焦点，称为F1和F2。

椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和是常数2a。

二、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以写成(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h, k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是x轴和y轴上的半径。

当椭圆的中心在原点时，标准方程变为x²/a² + y²/b² = 1。

三、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程表示：x = h + a*cos(θ)，y = k + b*sin(θ)。

这里θ是参数，通常取值在[0,2π]之间。

使用参数方程可以方便地描述椭圆上的点，但在初中阶段，学生一般不需要深入研究参数方程。

四、椭圆的一般方程椭圆的一般方程可以写成Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0，其中A、B、C、D、E都是常数。

一般方程描述了椭圆的所有可能形状和方位，但通常需要将一般方程转化为标准方程才能进行具体的计算和分析。

五、椭圆的性质对于初中生而言，了解椭圆的一些基本性质是很重要的。

例如，椭圆的离心率e满足0 <e < 1，椭圆的长轴长度是2a，短轴长度是2b，焦点到中心的距离是c，有关椭圆的这些性质可以帮助学生理解椭圆方程的意义和应用。

六、椭圆的图像学生需要掌握如何根据椭圆的方程画出椭圆的图像。

对于标准方程x²/a²+ y²/b²= 1而言，椭圆的图像在x轴和y轴上分别展开a个单位和b个单位。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。

椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。

在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。

椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。

离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。

根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。

首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。

其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。

最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。

除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。

例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。

其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。

利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。

另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。

其中(h,k)为椭圆的中心坐标。

通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。

总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。

通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。

对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。

高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。

具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。

1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。

（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。

（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。

1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。

这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。

二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。

2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。

2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。

椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。

在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。

2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。

三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。

3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。

3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。

一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。

其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。

不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。

这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。

定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。

椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。

此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。

为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。

上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。

而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。

【专题七】椭圆标准方程及其性质知识点大全(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：●椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2离心率①(01)c e e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

椭圆标准方程及其性质(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率①(01)ce e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

椭圆知识点归纳总结椭圆是一种数学中常用的曲线，它具有非常重要的地位和应用价值。

这里我们总结了关于椭圆的一系列知识点，供大家参考。

1、椭圆的定义：椭圆是椭圆轴心所在的平面内，任意一点距离椭圆的两个焦点的距离之和是常数的曲线，称为椭圆。

2、构成椭圆的元素：椭圆由焦点、椭圆轴、长轴、短轴、过椭圆轴心的直线等组成。

3、椭圆的特性：椭圆的长轴和短轴是对称的，其上的任意点距离椭圆的两个焦点的距离之和都是恒定的；同时，椭圆的两个焦点和椭圆轴心之间的距离是确定的。

4、椭圆的标准方程：椭圆的标准方程为 A x²+ B y² + Cx + Dy + E = 0，其中A,B,C,D,E是实数，且A乘以B 不等于0。

5、椭圆的性质：1）椭圆的周长：椭圆的周长等于4aπ，其中a为椭圆的长半轴；2）椭圆的面积：椭圆的面积等于abπ，其中a、b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

6、椭圆的几何意义：椭圆就是以椭圆轴心为中心，以椭圆轴为横轴，以椭圆的焦点为纵轴，将椭圆当作一个轴对称的椭圆框，将椭圆框围住的底面积称为椭圆的面积，椭圆的面积可以用椭圆的标准方程来表示，椭圆的周长用椭圆的参数方程来表示。

7、椭圆的用途：椭圆的应用很广泛，如天文学中的行星运行轨道都是椭圆，在工程学中也有椭圆的运用，如飞机的空气动力学和水力学中，都会用到椭圆来分析流动的轨迹，还有在医学影像学中，椭圆曲线也有很多的应用，例如用来检测胎儿的脑部异常，如脑损伤等。

8、椭圆的积分：椭圆积分是指对椭圆函数进行求积分的问题，又称椭圆函数求积分。

椭圆积分有一系列的公式，如兰佩-科普尔公式、哈斯科夫积分公式等，可以用来求解椭圆函数的积分。

9、椭圆的极坐标：椭圆的极坐标是椭圆的一种表示形式，它使用一般坐标系中的极坐标来表示椭圆上的点，即用椭圆的焦点作为原点，用椭圆的椭圆轴为极轴，椭圆上的任意一点可以用极坐标表示为(r,θ)，此时椭圆的标准方程可以写成r=f(θ)的形式。

椭圆的定义、标准方程及其性质[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．【知识通关】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2＝1 B .y 29＋x 25＝1 C .y 29＋x 2＝1 D .x 29＋y 25＝1 D4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12B .1＋52C .－1＋52D .－1±52C5．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20【题型突破】椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72D .752(1)D (2)C[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 29＝1(y ≠0) B .y 225＋x 29＝1(y ≠0) C .x 216＋y 29＝1(y ≠0) D .y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 22＝1 B .x 22＋y 2＝1 C .x 24＋y 22＝1 D .y 24＋x 22＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .36B .13C .12D .33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________． 4[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C .3－12D .3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8(1)D (2)C【真题链接】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B。

椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义：平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼤于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

思考：若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（⼩于或等于||21F F ）的点的轨迹⼜是如何？2．标准⽅程：（1）焦点在x 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;（2）焦点在y 轴上，中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系： 222a b c =+。

（注意⼤⼩关系） 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。

（1）范围：a x a ≤≤-,b y b ≤≤-（椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中）（2）对称性：图形关于原点对称．原点叫椭圆的对称中⼼，简称中⼼．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．长轴与短轴长分别为b a 2,2。

b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。

椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(21a A a A -，),0(),,0(21b B b B -。

【⼩秘书】（1）求椭圆⽅程的⽅法：除了定义外，常⽤待定系数法；（2）当椭圆的焦点位置不确定时，可设⽅程为221x y m n+=（,0m n >），避免讨论和繁杂的计算。

（3）要重视椭圆定义解题的重要作⽤，要注意归纳提炼，优化解题过程。

【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.：(1)焦点在坐标轴上，且经过两点)31（3）以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形，且焦点到椭圆的最短练兵场：1. 椭圆5x 2＋ky 2＝5的⼀个焦点是（0，2），那么k 等于（） (A)－1 (B)1 (C)5(D) －52、（08上海⽂）设P 椭圆2212516x y +=上的点．若1F 、2F 是椭圆的两个焦点，则12||||PF PF +等于（）(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ，为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A B ，两点，若2212F A F B +=，则AB = ．4.椭圆的中⼼在原点，对称轴为坐标轴，椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23，且∠F 1BF 2= 23π，求该椭圆⽅程。

椭圆的标准方程一、高考考点分析与讲解： 1．椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ） 的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间 的距离叫做椭圆的焦距．说明：当与两个定点21,F F 的距离之和等于||21F F 的点的轨迹是线 段12F F ；与两个定点21,F F 的距离之和小于||21F F 的点的轨迹不存在． 2．根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴设),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数） {}a PF PF P P 221=+=∴ 221)(y c x PF ++=又，a yc x yc x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-， 由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+， 两边同除22b a 得12222=+bya x此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -其中222b c a+=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+by ax 中的y x ,调换，即可得12222=+bxa y，也是椭圆的标准方程说明：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+by ax 与12222=+bx ay 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m nymx≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+by ax 类比，如12222=+bya x中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)．3注：①是0a b >>；②是222a b c =+（要区别与习惯思维下的勾股定理222c a b =+）； ③是定方程“型”与曲线“形”．例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： 两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bya x)0(>>b a 9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a所以所求椭圆标准方程为192522=+yx．例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)-、(4,0)，椭圆上一点P 到两焦点距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)-、(0,2)，并且椭圆经过点35(,)22-；（3）焦点在x 轴上，:2:1a b =，c =（4）焦点在y 轴上，225a b +=，且过点(0)； （5）焦距为b ，1a b -=； （6）椭圆经过两点35(,)22-，． 解析：（1）∵椭圆的焦点在x 轴上，故设椭圆的标准方程为22221x y ab+=（0a b >>）， ∵210a =，4c =，∴2229b a c =-=，所以，椭圆的标准方程为221259xy+=．（2）∵椭圆焦点在y 轴上，故设椭圆的标准方程为22221y x ab+=（0a b >>）， 由椭圆的定义知，2a ===∴10a =，又∵2c =，∴2221046b a c =-=-=， 所以，椭圆的标准方程为221106yx+=．（3）∵c =2226a b c -==，①又由:2:1a b =代入①得2246b b -=， ∴22b =，∴28a =，又∵焦点在x 轴上， 所以，椭圆的标准方程为22182xy+=． （4）设椭圆方程为22221y x ab+=，∴221b=，∴22b =，又∵225a b +=，∴23a =， 所以，椭圆的标准方程为22132yx+=．（5）∵焦距为6，∴3c =，∴2229a b c -==，又∵1a b -=，∴5a =，4b =，所以，椭圆的标准方程为2212516xy+=或2212516yx+=．（6）设椭圆方程为221xymn+=（,0m n >）， 由2235()()221351m nm n⎧-⎪+=⎪⎨⎪+=⎪⎩得6,10m n ==， 所以，椭圆方程为221106yx++=．点评：求椭圆的方程首先清楚椭圆的定义，还要知道椭圆中一些几何要素与椭圆方程间的关系．例3 已知1F 、2F 为椭圆()012222>>=+b a by ax 的左、右焦点，过2F 做椭圆的弦AB .（1） 求证AB F 1∆的周长是常数；（2） 若AB F 1∆的周长为16，1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，求椭圆的方程. 解：（1）AB F 1∆的周长a BF BF AF AF l 42111=+++= 所以AB F 1∆的周长为常数. （2） 164==a l ， 得4=a .1AF 、21F F 、2AF 成等差数列，所以1AF +2AF =221F F ，得 2=c ，122=b ，所以所求椭圆方程是1121622=+yx.例4 已知椭圆C 经过原点，且一个焦点为()0,2F ，其长轴长为4，求椭圆C 的中心的轨迹方程.解：设椭圆C 的中心()y x M ,，已知焦点()0,2F ，则另一焦点()y x F2,22/-.因为原点O 在椭圆上，其长轴长为4，所以4/=+OF OF .()()4222222=+-+y x ，得中心轨迹方程为()1122=+-y x .（另解）2=OF ，所以 2/=OF .设OF 的中点()0,1/O由三角形的中位线得 1/=MO,所以中心M 的轨迹是圆．例5 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b ab+=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591444a a b b a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆2211625xy+=的焦点坐标为 （A ）(0, ±3) （B ）(±3, 0) （C ）(0, ±5) （D ）(±4, 0) 解：选A ． 2．在方程22110064xy+=中，下列a , b , c 全部正确的一项是 （A ）a=100, b=64, c=36 （B ）a=10, b=6, c=8 （C ）a=10, b=8, c=6 （D ）a=100, c=64, b=36 解：选C ．3．已知a =4, b =1，焦点在x 轴上的椭圆方程是 （A ）2214xy += （B ）2214yx += （C ）22116xy += （D ）22116yx +=解：选C ．4．已知焦点坐标为(0, －4), (0, 4)，且a =6的椭圆方程是 （A ）2213620xy+= （B ）2212036xy+= （C ）2213616xy+= （D ）2211636xy+=解：选B ．5．若椭圆22110036xy+=上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是（A ）4 （B ）194 （C ）94 （D ）14 解：选D ．6．已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 解：选D ．7．过点(3, －2)且与椭圆4x 2+9y 2=36有相同焦点的椭圆的方程是 （A ）2211510xy+= （B ）221510xy+= （C ）2211015xy+= （D ）2212510xy+=解：选A ． 8．若椭圆a 2x 2－22a y =1的一个焦点是(－2, 0)，则a =（A 4（B ）4（C 4（D 4解：选C ． 9．点P 为椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1, F 2为顶点的三角形的面积为1，则点P 的坐标是 （A）(±2, 1)（B ）(2, ±1)（C ）(2, 1) （D）(2, ±1)解：选D ．10=10为不含根式的形式是（A ）2212516xy+= （B ）221259xy+= （C ）2211625xy+= （D ）221925xy+=解：选C ． 11．椭圆22125xym m +=-+的焦点坐标是 （A ）(±7, 0) （B ）(0, ±7) （C ）(±7,0) （D ）(0, ±7) 解：选D ． 12．若方程1162522=++-mym x表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 （A ） ()25,16- （B ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛25,29（C ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,16 （D ） ⎪⎭⎫⎝⎛∞+,29解：选B ． 13．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的焦点F ，与长轴垂直的弦的长度是（A ）cb2（B ）cb 22 （C ）ab2（D ） ab 2214．两焦点坐标分别为(0, 2), (0, －2)，且经过点(－23,25)的椭圆的标准方程是解：221610xy+=．15．当a +b =10, c =25时的椭圆的标准方程是解：2213616xy+=或2213616yx+=．16．已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ’，则线段PP ’的中点M 的轨迹方程为 . 解：2214xy +=．17．经过点M (3, －2), N (－23, 1)的椭圆的标准方程是 解：221155xy+=．18．过椭圆4x 2+2y 2=1的一个焦点F 1的弦AB 与另一个焦点F 2围成的三角形△ABF 2的周长是解：．19．点P 为椭圆22110064xy+=上的一点，F 1和F 2是其焦点，若∠F 1PF 2=60°，则△F 1PF 2的面积为20．若y 2－lga ·x 2=31－a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是解：11(,)103． 21．已知A B C ∆中，()0,3A ，()0,3B -，三边长AC 、AB 、BC 的长成等差数列，求顶点C 的轨迹方程．解：221(0)3627xyy +=≠．22．点P 是椭圆22154xy+=上一点，以点P 以及焦点F 1,F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标.解：(,1)2±±．23．椭圆的两焦点为F 1(－4, 0), F 2(4, 0)，点P 在椭圆上，已知△PF 1F 2的面积的最大值为12，求这椭圆的方程． 解：221259xy+=．26．如图，线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，|AB|=5.点M 是AB 上一点，且|AM|=2，点M 随线段AB 的运动而变化，求点M 的轨迹方程.解：22194xy+=．27． 28． 29． 30．椭圆的简单几何性质一、高考考点分析与讲解：1．范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y ab≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤， 说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里.2．对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称．若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3．顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b-，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点．同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点.所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ∆中，2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a c =-．4．离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆． 当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=． 5．椭圆的第二定义、准线：当点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数)10(<<=e ac e 时，这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率．对于椭圆12222=+by ax ，相应于焦点)0,(c F 的准线方程是cax 2=．根据对称性，相应于焦点)0,(c F -'的准线方程是cax 2-=．对于椭圆12222=+bx ay 的准线方程是cay 2±=．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．由椭圆的第二定义e dMF =∴||可得：右焦半径公式为ex a cax e ed MF -=-==||||2右；左焦半径公式为ex a cax e ed MF +=--==|)(|||2左．例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出图形．解：把已知方程化为标准方程22221x y ab+=，5a =，4b =，∴3c ==，∴椭圆长轴和短轴长分别为210a =和28b =，离心率35c e a ==，焦点坐标1(3,0)F -，2(3,0)F ，顶点1(5,0)A -，2(5,0)A ，1(0,4)B -，2(0,4)B ．1A2A2B2AO x y2F例2 过适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）经过点(3,0)P -、(0,2)Q -； （2）长轴长等于20，离心率等于35．解：（1）由题意，3a =，2b =，又∵长轴在x 轴上，所以，椭圆的标准方程为22194xy+=．（2）由已知220a =，35c e a==，∴10a =，6c =，∴22210664b =-=， 所以，椭圆的标准方程为22110064xy+=或22110064yx+=．例3 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）2F 为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面439km ，远地点B （离地面最远的点）距地面2384km ，并且2F 、A 、B 在同一直线上，地球半径约为6371km ，求卫星运行的轨道方程（精确到1km ）．解：如图，建立直角坐标系，使点2,,A B F 在x 轴上，2F 为椭圆右焦点（记1F 为左焦点），设椭圆标准方程为22221xya b+=（1a b >>）， 则22||||||63714396810a c OA OF F A -=-==+=，22||||||637123848755a c OB OF F B +=+==+=，解得：7782.5a = 972.5c =∴7722b ===≈， 所以，卫星的轨道方程是2222177837722xy+=．例4 已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值．解：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，2553m =⇒=．例5 （1）求椭圆1162522=+yx的右焦点和右准线；左焦点和左准线．（2）求椭圆81922=+y x 方程的准线方程．解：（1）由题意可知右焦点)0,(c F 右准线cax 2=；左焦点)0,(c F -和左准线cax 2-=（2）椭圆可化为标准方程为：198122=+xy，故其准线方程为42272±=±=cay小结：求椭圆的准线方程一定要化成标准形式，然后利用准线公式即可求出．例6 椭圆1162522=+yx上的点M 到左准线的距离是5.2，M 到左焦点的距离为 ，M到右焦点的距离为 .解：记椭圆的左右焦点分别为21,F F 到左右准线的距离分别为21,d d 由椭圆的第二定义可知：edMF =||53||11===ac ed MF 5.15.253||11=⨯==∴ed MF 5.1||1=∴MF又由椭的第一定义可知：5.8||102||||221=∴==+MF a MF MF另解：点M 到左准线的距离是2.5，所以点M 到右准线的距离为685253505.222=-=-ca5.868553||||2222=⨯==∴=edMF e d MF小结：椭圆第二定义的应用和第一定义的应用x y O ∙∙ 1F 2F A x yO A2B 1B F 图①例7 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线8=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹． 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|8|)2(22=-+-x y x 由化简得1121622=+yx，故所的轨迹是椭圆．解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以82==cax 解得4=a ，又因为21==a c e 故所求的轨迹方程为1121622=+yx例8 点P 与定点A （2，0）的距离和它到定直线5=x 的距离的比是1：2，求点P 的轨迹； 解法一：设),(y x P 为所求轨迹上的任一点，则21|5|)2(22=-+-x y x 由化简得0946322=-+-y x x 配方得134)1(22=+-yx ，故所的轨迹是椭圆，其中心在（1，0）． 解法二：因为定点A （2，0）所以2=c ，定直线8=x 所以52==cax 解得102=a ，故所求的轨迹方程为161022=+yx．例9 （1）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 的长半轴长、短半轴长、半焦距、离心率；（2）求出椭圆方程13422=+yx和134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程．解：因为把椭圆13422=+yx向右平移一个单位即可以得到椭圆134)1(22=+-yx 所以问题1中的所有问题均不变，均为21,1,3,3=====ac e c b a ．13422=+yx长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,2(±，)0,1(±4±=x ．134)1(22=+-yx 长轴顶点、焦点、准线方程分别为：)0,12(+±，)0,11(+±14+±=x ．例10 椭圆13422=+yx上位于y 轴左侧的部分是否存在一点P ，使点P 到左准线的距离是点P 到两焦点1F 、2F 的距离的比例中项. 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.解：假设存在，设点()00,y x P ，左准线l ：4-=x ， 所以点P 到左准线的距离40+=x d ，又212PF PF d=，01212x PF +=、02212x PF -=，得()20204144x x -=+得 451200-=-=x x 或，与20-≥x 矛盾，所以点P 不存在.二、配套练习巩固与提高： 1．椭圆192522=+yx上一点P 到左焦点的距离为8，那么点P 到右准线的距离是（A ）25 （B ） 45 （C ） 35 （D ） 425解：选A ．2．椭圆()012222>>=+b a by ax 上任意一点()00,y x P 到左焦点1F 、右焦点2F 的距离分别为1r 、2r ，椭圆的离心率为e ，则1r 、2r 分别等于（A ） a ex +0、a ex -0 （B ） a ex -0、a ex +0 （C ） 0ex a +、0ex a - （D ） 0ex a -、0ex a + 解：选C ． 3．椭圆()012222>>=+b a by ax 的两个焦点 1F 、2F ，若椭圆上存在点P ，使得02190=∠PF F ，则椭圆的离心率的取值范围是（A ） ⎥⎦⎤⎝⎛22,0 （B ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,22 （C ） ⎥⎦⎤⎝⎛23,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,23 解：选B ．4．设AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以AB 为直径的圆必与椭圆的右准线 （A ）相切 （B ）相离 （C ）相交 （D ）相交或相切解：选B ．设AB 的中点为M ，则M 即为圆心，直径是|AB|；记椭圆的右焦点为F ，右准线为l ； 过点A 、B 、M 分别作出准线l 的垂线，分别记为d d d ,,21由梯形的中位线可知221d d d +=又由椭圆的第二定义可知ed AF =1||e d BF =2||即)(||||21d d e BF AF +=+又22||||2||21d d e BF AF AB +⋅=+=且10<<e 2||AB d >∴故直线与圆相离．5．方程Ax 2+By 2=C 表示椭圆的条件是（A ）A , B 同号且A ≠B （B ）A , B 同号且C 与异号（C ）A , B , C 同号且A ≠B （D ）不可能表示椭圆 解：选C ． 6．已知椭圆方程为221499xy+=中，F 1, F 2分别为它的两个焦点，则下列说法正确的有①焦点在x 轴上，其坐标为(±7, 0)；② 若椭圆上有一点P 到F 1的距离为10，则P 到F 2的距离为4；③焦点在y 轴上，其坐标为(0, ±210)；④ a =49, b =9, c =40， （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个 解：选B ．7．如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 （A ）53 （B ）312 （C ）43 （D ）910解：选A ．8．若点P 到两定点F 1(－2, 0), F 2(2, 0)的距离之和为4，则点P 的轨迹是（A ）椭圆 （B ）直线 （C ）线段 （D ）两点 解：选C ．9．设椭圆的标准方程为22135xyk k+=--，若其焦点在x 轴上，则k 的取值范围是（A ）k >3 （B ）3<k <5 （C ）4<k <5 （D ）3<k <4解：选C ． 10．若AB 为过椭圆12222=+by ax 中心的弦，F (c , 0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值是（A ）b 2（B ）bc （C ）ab （D ）ac 解：选B ． 11．已知椭圆11622=+myx，直线x y 22=，如果直线与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点，则m 的值是（ ）（A ） 2 （B ） 22 （C ） 8 （D ） 32 解：选C ．12．直线l 经过点()2,0M 与椭圆2222=+y x 有两个不同的公共点，那么直线l 的倾斜角的范围是（A ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-26arctan,26arctanπ （B ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,26a r c t a n 26a r c t a n ,0（C ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛26arctan,0 （D ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ,26arctan 解：选A.13．以椭圆的右焦点2F 为圆心做圆使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M ，若直线1MF （1F 为椭圆的左焦点）是圆2F 的切线，则椭圆的离心率是（A ） 22 （B ）23 （C ） 13- （D ） 32-解：选C ．14．一条直线l ：022=+-y x 过椭圆12222=+by ax 的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为（A ）51 （B ）52 （C ）55 （D ）552解：选D ． 15．已知椭圆13422=+yx内一点()1,1-P ，2F 为椭圆的右焦点，M 为椭圆上的一个动点，则2MF MP +的最大值为（A ） 54- （B ） 54+ （C ） 53- （D ） 53+解：选B ． 16．椭圆14922=+yx的两个焦点 1F 、2F ，点P 是椭圆上的动点，当21PF F ∠为钝角时，则点P的横坐标的范围是 解：填⎪⎪⎭⎫⎝⎛-553,553． 17．椭圆的两个焦点为()0,41-F 、 ()0,42F ，椭圆上一点P ，若21F PF ∆的最大面积是12，则椭圆的方程是 解：192522=+yx．18．已知椭圆822=+y mx 与椭圆10025922=+y x 的焦距相等，则m 的值等于 解：179．19．椭圆81922=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，半焦距为 ，离心率为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，准线方程为 解：18，6，26，322，)26,0(±，)9,0(±)0,3(±，4227±=y ．20．短轴长为8，离心率为53的椭圆两焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 解：20． 21．椭圆12222=+by ax (a >b >0)的半焦距为c ，若直线y =2x 与椭圆的一个交点的横坐标为c ，则椭圆的离心率为1-．22．把椭圆的长轴AB 分成8等分，过每个等分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于721,P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则||||||721F P F P F P +++ =解法一：53==ac e ，设i P 的横坐标为i x ，则i x i 455+-=不妨设其焦点为左焦点由53||===ac e dF P i 得i i ex a cax e F P i i i 432)455(535)(||2+=+-⋅+=+=+=35)721(4372||||||721=++++⨯=+++ F P F P F P ．解法二：由题意可知1P 和7P 关于y 轴对称，又由椭圆的对称性及其第一定义可知a F P F P 2||||71=+，同理可知a F P F P 2||||62=+，a F P F P 2||||53=+，a F P =||4故357||||||721==+++a F P F P F P ．23．直线062=+-y x 过椭圆12522=+myx的左焦点，则椭圆的右准线方程是 .解：填325=x ． 24．过椭圆192522=+yx的右焦点F ，做倾斜角为4π的直线，交椭圆于A 、B 两点，则弦AB 的长是 .解：填1790．25．已知椭圆193622=+yx，过点()2,4P 做直线交椭圆于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线AB 的方程是 . 填：082=-+y x ．26．若方程x 2cosα－y 2sinα+2=0表示一个椭圆，则圆(x +cosα)2+(y +sinα)2=1的圆心在第 象限．解：四． 27．椭圆221123xy+=的两个焦点为F 1，F 2, 点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 1|是|PF 2|的 倍．解：7．28．线段|AB |=4，|PA |+|PB |=6, M 是AB 的中点，当点P 在同一平面内运动时，PM 长度的最大值、最小值分别为 解：3，29．方程|2|)1()1(222++=-+-y x y x 表示什么曲线？解：222|2|)1()1(22=++-+-y x y x 122<；即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数（且该常数小于1）．所以，方程表示椭圆．30．求过点P (3, 0)且与圆x 2+6x +y 2－91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程． 解：2212516xy+=．31．椭圆()012222>>=+b a by ax 的左右焦点分别为1F 、2F ，短轴的下端点A 长轴的右端点B ，点M 在椭圆上，且x MF ⊥2轴，原点为O ，若AB OM // （1） 求椭圆的离心率；（2） 若点N 为椭圆上不同于长轴端点的任意一点，求21NF F ∠的范围；（3） 过2F 与OM 垂直的弦CD ，若CD F 1∆的面积为320，求椭圆方程.解：（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M 2,，a b k ac b k AB OM ===2，得22=⇒=e c b ； （2）因为221π=∠AF F ，所以21NF F ∠的范围是⎥⎦⎤⎝⎛2,0π；（3）22c b =，222c a =，则椭圆22222c y x =+…①、直线CD ：()c x y --=2…②，②代入① 得0222522=--ccy y得 c y y 53421=-，3205342212121211=⨯⨯=-=∆c c y y F F S CD F ，得 2522==b c 、502=a ，所求椭圆方程是1255022=+yx．32．已知点M 为椭圆1162522=+yx的上任意一点，1F 、2F 分别为左右焦点；且)2,1(A 求||35||1MF MA +的最小值．分析：应如何把||351MF 表示出来解：左准线1l ：3252-=-=cax ，作1l MD ⊥于点D ，记||MD d = 由第二定义可知：53||1===ac e dMF ⇒ d MF 53||1=⇒ ||351MF d =故有||||||||35||1MD MA d MA MF MA +=+=+所以有当A 、M 、D 三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：3251+即||35||1MF MA +的最小值是328变式1：||5||31MF MA +的最小值；解：283283)||35||(3||5||311=⨯=+=+MF MA MF MA变式2：||||531MF MA +的最小值；解：52832853|)|35|(|53||||5311=⨯=+=+MF MA MF MA33．已知 ,A B 为椭圆2222519x y a+=上的两点，2F 是椭圆的右焦点．若228||||,5a A F B F A B +=的中点到椭圆左准线的距离是32，试确定椭圆的方程．解：由椭圆方程可知、两准线间距离为．设，到右准线距离分别为，，由椭圆定义有，所以，则，中点到右准线距离为 ，于是到左准线距离为，，所求椭圆方程为．34．已知椭圆的中心在原点，长轴在x 轴上，，直线1=+y x 被椭圆截得的弦AB 的长为22，且弦AB 的中点M 与椭圆的中心O 的连线的斜率为22，求这个椭圆的方程.解：设椭圆方程)0(222222>>=+b a b a y a x b ，()11,y x A 、()22,y x B ，弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()021********=-++-+y y y y a x x x x b . ()2121x x y y --=-、0212x x x =+、0212y y y =+、2200=x y ，得222b a =.()()0122212.1,22222222=-+-+⇒⎩⎨⎧+-==+bx x x y b a y a x b ，由弦长公式得 232=b ，则32=a ，所以椭圆方程为132322=+y x．35．椭圆)0(222222>>=+b a b a y a x b 的离心率32=e ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，A 、B 是椭圆上不同的两个点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点()0,1Q .（1） 求线段AB 的中点()00,y x M 的横坐标0x ；（2） 若322=+BF AF ，且椭圆上一点P 满足02160=∠PF F ，求椭圆的方程及21PF F ∆的面积解：（1）设()11,y x A 、()22,y x B 弦AB 的中点()00,y x M ，则22212212b a y a x b =+，22222222b a y a x b =+，得 ()()()()02121221212=-++-+y y y y a x x x x b.0212x x x =+、0212y y y =+、11002121-=-∙--x y x x y y ，得2259b a=，得 490=x .（2）1232x a AF -=、2232x a BF -=、292021==+x x x ， 322=+BF AF ，得 53=⇒=b a ，所以椭圆方程是15922=+yx.设 11r PF =、22r PF =，则()⎩⎨⎧==-+=+16260cos 2,62021222121c r r r r r r . 得 32021=r r ，所以 33560sin 2102121==∆r r S F PF ．36．过椭圆()012222>>=+b a by ax 的一个焦点F 做弦AB ，若1d AF =、2d BF =，求证：2111d d +=22ba ．解：证明：设F 为右焦点，直线AB 的倾斜角θ为锐角，点A 在x 轴的上方A 、B 到右准线的距离分别为1m 、2m ，F到右准线的距离为p ，离心率为e ，则θθc o s c o s 2211d m p d m -==+ ①.又 ed m 11=、ed m 22=代入①得2111d d +=ep2.又 ac e =、cbp 2=所以2111d d +=22ba .37．已知椭圆C 的两个焦点()0,221-F 、()0,222F ，（1） 当直线l 过1F 与椭圆交于M 、N 两点，且MN F 2∆的周长为12时，求椭圆C 的方程；（2）是否存在直线m 过点()2,0P 与椭圆C 交于A 、B 两点，且以A B 为直径的圆过原点，若存在求直线m 的方程；若不存在，说明理由.解：解：（1）1922=+yx（过程略）（2） 设直线m ：()存在且k k kx y ,02≠+=代人椭圆方程得 ()027369122=+++kx x k ，0>∆得 3333>-<k k 或.以A B 为直径的圆过原点，则 OB OA ⊥，设()11,y x A 、()22,y x B得()()()()04212201121221212121=++++⇒+++⇒=+x x k x x k kx kx x x y y x x 由韦达定理得()049172911272222=++-++kkkk ，解得 331±=k 使得 0>∆所以满足条件的直线m 的方程是06331=+-y x 或06331=-+y x ．椭圆中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形． 性质一：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2tan221θb S PF F =∆．θcos 2)2(2122212212PF PF PF PF F F c -+== )cos 1(2)(21221θ+-+=PF PF PF PFθθθcos 12)cos 1(244)cos 1(24)(222222121+=+-=+-+=∴bca cPF PF PF PF1222121sin sin tan21cos 2F PF bS PF PF b θθθθ∆∴===+性质二：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 左右两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，若21PF F ∠最大，则点P 为椭圆短轴的端点．证明：设),(o o y x P ,由焦半径公式可知：o ex a PF +=1，o ex a PF -=1在21PF F ∆中，2122121212cos PF PF F F PF PF -+=θ21221221242)(PF PF cPF PF PF PF --+=1))((24124422122--+=--=o o ex a ex a bPF PF ca =122222--ox e a ba x a ≤≤-0 22a x o ≤∴性质三：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ证明：设,,2211r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得： 1222242)(2c o s 212221221221212212221--=--+=-+=r r c a r r cr r r r r r F F r r θ .2112221)2(222222222122e ac a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证．练习：（2000年高考题）已知椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的两焦点分别为,,21F F 若椭圆上存在一点,P 使得,120021=∠PF F 求椭圆的离心率e 的取值范围． 简解：由椭圆焦点三角形性质可知.21120cos 2e -≥即22121e -≥-,于是得到e 的取值范围是.1,23⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡性质四：已知椭圆方程为),0(12222>>=+b a by ax 两焦点分别为,,21F F 设焦点三角形21F PF ，,,1221βα=∠=∠F PF F PF 则椭圆的离心率βαβαsin sin )sin(++=e ．,,1221βα=∠=∠F PF F PF由正弦定理得：βαβαsin sin )180sin(1221PFPF F F o==--由等比定理得：βαβαsin sin )sin(2121++=+PF PFF F而)sin(2)sin(21βαβα+=+c F F ，βαβαsin sin 2sin sin 21+=++a PF PF∴βαβαsin sin )sin(++==ac e ．练习：已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2． 解：(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3 ∴椭圆的方程为3422yx+＝1．(2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=oooo，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan=θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅．。

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。