椭圆的标准方程与几何性质
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椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形,具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点(h,k),椭圆的长轴为2a,短轴为2b,则可得出椭圆的标准方程:(x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2 = 1其中,h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标,a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心:椭圆的中心即标准方程中的点(h,k),表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点:椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a,即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点,用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴:标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径,短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率:椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比,通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度,e<1时表示椭圆,e=0时表示圆。
5. 直径:椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等,则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦:椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线:椭圆上与两个焦点连线垂直的直线,与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性:入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上,这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线,在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子:1. 天体运动:行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件:抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信:卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业:船体的椭圆剖面设计,可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类,在几何光学中,椭球曲面可以聚焦光线。
总结:本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线,其在几何和物理学中有着广泛的应用。
第52讲椭圆的几何性质一、课程标准1、掌握椭圆的性质,能够正确求出椭圆的性质2、掌握求椭圆的离心率的值以及离心率的范围3、掌握直线与椭圆的位置关系二、基础知识回顾1、椭圆的标准方程和几何性质2、焦半径:椭圆上的点P(x0,y0)与左(下)焦点F1与右(上)焦点F2之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径,分别记作r1=|PF1|,r2=|PF2|.(1)x2a2+y2b2=1(a>b>0),r1=a+ex0,r2=a-ex0;(2)y2a2+x2b2=1(a>b>0),r1=a+ey0,r2=a-ey0;(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小(近日点与远日点).3、焦点三角形:椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形,∠F1PF2=θ,△PF1F2的面积为S,则在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中(1)当P为短轴端点时,θ最大.(2)S =12|PF 1||PF 2|·sin θ=b 2tan θ2=c |y 0|,当|y 0|=b 时,即点P 为短轴端点时,S 取最大值,最大值为bc . (3)焦点三角形的周长为2(a +c ).4、.AB 为椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的弦,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),弦中点M (x 0,y 0),则 (1)弦长l =1+k 2|x 1-x 2|=1+1k 2|y 1-y 2|;(2)直线AB 的斜率k AB =-b 2x 0a 2y 0.5、直线与椭圆的关系将直线方程与椭圆方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元二次方程ax 2+bx +c =0(或ay 2+by +c =0).再求一元二次方程的判别式Δ,当: ①Δ>0⇔直线与椭圆相交; ②Δ=0⇔直线与椭圆相切; ③Δ<0⇔直线与椭圆相离.6、设直线l 与椭圆的交点坐标为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),k 为直线l 斜率,则AB =(1+k 2)|x 1-x 2|.三、自主热身、归纳总结1、直线y =kx -k +1(k 为实数)与椭圆x 29+y 24=1的位置关系为( )A . 相交B . 相切C . 相离D . 相交、相切、相离都有可能 【答案】A【解析】 直线y =kx -k +1=k(x -1)+1恒过定点(1,1).∵点(1,1)在椭圆内部,∴直线与椭圆相交.故选A .第2题图2、如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 1,B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的右、下、上顶点,F是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1,则椭圆C 的离心率是____. 【答案】5-12【解析】 ∵kB 2F ·kAB 1=-1,-b c ·b a =-1,b 2=ac ,即a 2-c 2=ac ,∴e =ca =5-12.3、中心为原点,一个焦点为F (0,52)的椭圆,截直线y =3x -2所得弦中点的横坐标为12,则该椭圆的方程是____________. 【答案】:x 225+y 275=1【解析】:由题设知c =52,设椭圆方程为x 2a 2-50+y 2a2=1,联立方程⎩⎨⎧x 2a 2-50+y 2a2=1,y =3x -2,消去y ,整理得(10a 2-450)x 2-12(a 2-50)x +4(a 2-50)-a 2(a 2-50)=0,由根与系数的关系得x 1+x 2=12(a 2-50)10a 2-450=1,解得a 2=75,所以椭圆方程为x 225+y 275=1. 4、已知直线y =-x +1与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ,B 两点,若椭圆的离心率为22,焦距为2,则线段AB 的长是( )A.223B.423C. 2 D .2【答案】B【解析】由条件知c =1,e =c a =22,所以a =2,b =1,椭圆方程为x 22+y 2=1,联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1),⎝⎛⎭⎫43,-13,所以|AB |=423. 5、(一题两空)已知点F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则椭圆离心率为________,△PF 1F 2的周长为________. 【答案】4518【解析】由椭圆方程知a =5,b =3,c =4,所以其离心率e =c a =45.△PF 1F 2的周长为2a +2c =10+8=18.四、例题选讲考点一 椭圆的离心率的值例1 (1)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左顶点为A ,左焦点为F ,第(1)题图上顶点为B ,若∠BAO +∠BFO =90°,则椭圆的离心率是____.(2)已知O 为坐标原点,F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左焦点,A ,B 分别为椭圆C 的左、右顶点.P为椭圆C 上一点,且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率为____. 【答案】(1) 5-12 (2)13【解析】 (1)由∠BAO +∠BFO =90°,∠BAO +∠ABO =90°,得∠BFO =∠ABO.又∠AOB =∠AOB ,∴△ABO ∽△BFO ,∴OB OF =AO BO ,即b c =a b,得ac =b 2=a 2-c 2,变形得e 2+e -1=0,解得e =5-12或-5-12(舍),∴椭圆的离心率为5-12. (2)设M(-c ,m),则E(0,am a -c ),OE 的中点为D ,则D(0,am 2(a -c )),又B ,D ,M 三点共线,∴m2(a -c )=m a +c,解得a =3c ,∴e =13.变式1、(1)已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为36的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P =120°,则C 的离心率为( )A.23 B.12 C.13 D.14【答案】 D变式2、(四川省乐山一中2019届质检)设F 是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点,P 是椭圆C 上的点,圆x 2+y 2=a 29与线段PF 交于A ,B 两点,若A ,B 三等分线段PF ,则椭圆C 的离心率为( ) A.33B.53C.104D.175 【答案】D【解析】如图,取线段PF 的中点H ,连接OH ,OA .设椭圆另一个焦点为E ,连接PE .∵A ,B 三等分线段PF ,∴H 也是线段AB 的中点,即OH ⊥AB .设|OH |=d ,则|PE |=2d ,|PF |=2a -2d ,|AH |=a -d3.在Rt △OHA 中,|OA |2=|OH |2+|AH |2,解得a =5d . 在Rt △OHF 中,|FH |=45a ,|OH |=a5,|OF |=c . 由|OF |2=|OH |2+|FH |2, 化简得17a 2=25c 2,c a =175. 即椭圆C 的离心率为175.故选D.变式3、焦点在x 轴上的椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,该三角形内切圆的半径为b3,则椭圆的离心率为( )A.14B.13C.12D.23 【答案】C【解析】由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形,又由三角形面积公式得12×2c ×b =12(2a +2c )×b3,得a =2c ,即e =c a =12,故选C.变式4、(2017苏北四市一模) 如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知A ,B 1,B 2分别为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b >0)的右、下、上顶点,F 是椭圆C 的右焦点.若B 2F ⊥AB 1,则椭圆C 的离心率是________.【答案】5-12【解析】因为F (c,0),B 2(0,b ),B 1(0,-b ),A (a,0),所以B 2F →=(c ,-b ),B 1A →=(a ,b ).因为FB 2⊥AB 1,所以ac -b 2=0,即c 2+ac -a 2=0,故e 2+e -1=0,解得e =-1+52(负值舍去).方法总结:求离心率的值关键是找到等式关系,解出a 与c 的关系,进而求出离心率。
椭圆总结一、椭圆的定义:(隐含条件)平面内与两定点F 1,F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹,即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a >|F 1F 2|};(212F F a =时为线段21F F ,212F F a <无轨迹)。
其中两定点F 1,F 2叫焦点,定点间的距离叫焦距。
二、 方程1、标准方程:(1)焦点在x 轴上,中心在原点:12222=+by a x (a >b >0);焦点F 1(-c ,0), F 2(c ,0)。
其中22b a c -=(一个Rt 三角形)(2)焦点在y 轴上,中心在原点:12222=+bx a y (a >b >0);焦点F 1(0,-c ),F 2(0,c )。
其中22b a c -=2、 一般方程:)0,0(122>>=+B A By Ax Ax 2+By 2=1 (A >0,B >0,A ≠B ),当A <B 时,椭圆的焦点在x 轴上,A >B 时焦点在y 轴上。
要求能熟练的把一般方程转化成标准方程,并找出a,b,c.三、性质:对于焦点在x 轴上,中心在原点:12222=+b y a x (a >b >0)有以下性质:1、范围:|x|≤a ,|y|≤b ;[][]22121212,*,0PF a c a c PF PF b a F PF F BF ∈-+⎡⎤∈⎣⎦∈角,2、对称性:对称轴方程为x=0,y=0,对称中心为O (0,0);3、顶点:A 1(-a ,0),A 2(a ,0),B 1(0,-b ),B 2(0,b ),长轴|A 1A 2|=2a ,短轴|B 1B 2|=2b ;(a 半长轴长,b 半短轴长);4、通径:过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径,通径最短=ab 225、离心率:e=ca==(焦距与长轴长之比)()1,0∈;e 越大越扁,0=e 是圆。
高中数学椭圆笔记
椭圆是平面上与两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点的轨迹。
其中,F1和F2称为椭圆的焦点,a称为椭圆的半长轴。
椭圆的离心率e定义为焦点距离与半长轴的比值。
1. 椭圆的标准方程:
椭圆的标准方程为:(x-h)/a + (y-k)/b = 1
其中,(h,k)为椭圆的中心坐标。
a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2. 椭圆的离心率:
椭圆的离心率e的计算公式为:e = c/a
其中,c为焦点距离,a为椭圆的半长轴。
3. 椭圆的几何性质:
- 椭圆的长轴和短轴:长轴的长度为2a,短轴的长度为2b。
- 椭圆的焦距:焦距的长度为2ae。
- 椭圆的对称轴:垂直于长轴且通过中心点的直线称为椭圆的对称轴。
- 椭圆的顶点:椭圆与对称轴的交点称为椭圆的顶点。
4. 椭圆的方程转化:
- 将一般方程转化为标准方程:通过平移和旋转操作,将一般方程转化为标准方程。
- 将标准方程转化为一般方程:通过展开和整理,将标准方程转化为一般方程。
5. 椭圆的判定:
- 判断椭圆的标准方程:如果a>b,则为椭圆。
- 判断椭圆的离心率:如果0<e<1,则为椭圆;如果e=1,则为抛物线;如果e>1,则为双曲线。
以上是关于高中数学中椭圆的一些基本笔记,希望对你的学习有所帮助!。
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义:⑴第一定义:平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义:动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ,则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点,定直线l 叫做椭圆的准线,常数e 叫做椭圆的离心率。
说明:①若常数2a 等于2c ,则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ,则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质:标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点,焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点,焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤,x b y a ≤≤,顶点()()()()12120000A a A a B b B b --,、,,、,()()()()12120000A a A a B b B b --,、,,、,对称轴 x 轴、y 轴;长轴长2a ,短轴长2b ;焦点在长轴上x 轴、y 轴;长轴长2a ,短轴长2b ;焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -,、, ()()1200F c F c -,、, 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式:椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
椭圆的标准⽅程及⼏何性质椭圆的标准⽅程与⼏何性质⼀、知识梳理1、椭圆定义:平⾯内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(⼤于||21F F )的点的轨迹叫作椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
思考:若与两个定点21,F F 的距离之和等于常数(⼩于或等于||21F F )的点的轨迹⼜是如何?2.标准⽅程:(1)焦点在x 轴上,中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+b y a x ;(2)焦点在y 轴上,中⼼在坐标原点的椭圆的标准⽅程为12222=+bx a y .3、重要关系: 222a b c =+。
(注意⼤⼩关系) 4、椭圆的⼏何性质由椭圆⽅程12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的性质。
(1)范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-(椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中)(2)对称性:图形关于原点对称.原点叫椭圆的对称中⼼,简称中⼼.x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴.长轴与短轴长分别为b a 2,2。
b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
(3)顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点: )0,(),0,(21a A a A -,),0(),,0(21b B b B -。
【⼩秘书】(1)求椭圆⽅程的⽅法:除了定义外,常⽤待定系数法;(2)当椭圆的焦点位置不确定时,可设⽅程为221x y m n+=(,0m n >),避免讨论和繁杂的计算。
(3)要重视椭圆定义解题的重要作⽤,要注意归纳提炼,优化解题过程。
【例1】求满⾜下列各条件的椭圆的标准⽅程.:(1)焦点在坐标轴上,且经过两点)31(3)以短轴的⼀个端点和两焦点为顶点的三⾓形为正三⾓形,且焦点到椭圆的最短练兵场:1. 椭圆5x 2+ky 2=5的⼀个焦点是(0,2),那么k 等于() (A)-1 (B)1 (C)5(D) -52、(08上海⽂)设P 椭圆2212516x y +=上的点.若1F 、2F 是椭圆的两个焦点,则12||||PF PF +等于()(A)4 (B)5 (C)8 (D) 103.已知12F F ,为椭圆221259x y +=的两个焦点,过1F 的直线交椭圆于A B ,两点,若2212F A F B +=,则AB = .4.椭圆的中⼼在原点,对称轴为坐标轴,椭圆的⼀个顶点B 与两焦点F 1F 组成三⾓形的周长为4+23,且∠F 1BF 2= 23π,求该椭圆⽅程。
椭圆及其几何性质主干梳理:(一)椭圆定义:a MF MF 2||||21=+()c a >。
注:①||221F F a >轨迹为椭圆;②||221F F a =轨迹为线段21F F ;③||221F F a <轨迹不存在。
(二)椭圆标准方程:(其中222b c a +=) 12222=+by a x (0>>b a )表示椭圆的焦点在x 轴上,焦点是)0,()0,(21c F c F -, 中心在坐标原点的椭圆方程;12222=+bx a y (0>>b a )表示椭圆的焦点在y 轴上,焦点是),0(),0(21c F c F -, 中心在坐标原点的椭圆方程。
(三)以椭圆12222=+by a x (0>>b a ) 研究椭圆的几何性质 1、范围:a x a ≤≤-,b y b ≤≤-,落在b y a x ±=±=,组成的矩形中;2、对称性:原点叫椭圆的对称中心,简称中心,x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴;3、顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
椭圆共有四个顶点:)0,(),0,(2a A a A -,),0(),,0(2b B b B -。
长轴,短轴长分别为b a 2,2,b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率:椭圆焦距与长轴长之比。
定义式:a c e =⇒2)(1ab e -=; 范围: 10<<e ; (四)焦点三角形应注意以下关系:其中),(00y x P 为椭圆上一点,θ=∠==212211,||,||PF F r PF r PF 1、a r r 221=+;2、余弦定理:2212221)2(cos 2c r r r r =-+θ;3、配方法:212222122212)(r r r r r r -+=+4、面积:2tan ||sin 21202121θθb y c r r S F PF ===∆典型例题考点题型1 椭圆的定义问题 例1.下列说法正确的是( )A.已知)0,4(),0,4(21F F -。
椭圆的标准方程与几何性质
高考频度:★★★★☆ 难易程度:★★★☆☆
典例在线
(1)已知椭圆24x +2
2
y =1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则12PF F △的面积是
A B .2
C .
D
(2)已知F 1,F 2分别是椭圆E :22x a +221y b =(0a b >>)的左、右焦点,点(1)在椭圆
上,且点(1-,0)到直线PF 2P (1-,4-),则椭圆的标准方程为
A .x 2
+2
4
y =1
B .24x +y 2
=1
C .x 2
+2
2
y =1
D .22
x +y 2
=1
(3)已知椭圆22x a +2
2y b
=1(0a b >>)的左、右焦点分别为F 1(c -,0),F 2(c ,0),若椭圆上
存在点P ,使1221
sin sin a c
PF F PF F ∠∠=,则该椭圆离心率的取值范围为
A .(01-)
B .,1)
C .(0)
D .1-,1)
【参考答案】(1)A ;(2)D ;(3)D .
【试题解析】(1)由椭圆的方程可知a =2,c ,且|PF 1|+|PF 2|=2a =4,又|PF 1|-|PF 2|=2,
所以|PF 1|=3,|PF 2|=1.又|F 1F 2|=2c =|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2
,即12PF F △为直
角三角形,所以12122||11
12
|2|PF F S F F PF =
=⨯=△.故选A .
(3)根据正弦定理得
2112
21
sin sin PF PF PF F PF F ∠∠=
,又
1221
sin sin a c
PF F PF F ∠∠=可得
21
a c PF PF =,即12
PF c
PF a
=
=e
,
所
以
|PF 1|=e|PF 2|
.
又
|PF 1|+|PF 2|=e|PF 2|+|PF 2|=|PF 2|·(e+1)=2a ,所以|PF 2|=
21
a
e +.因为a -c <|PF 2|<a+c ,所以a -c <21a e +<a+c ,所以1-21c a e <+<1+c a ,所以1-e <21e +<1+e ,即2
(1)(1)2
2(1)01
e e e e +-<⎧⎪<+⎨⎪<<⎩
,
-1<e <1.故选D .
【名师点睛】(1)椭圆定义的集合语言:1212{|||2,2||}P M MF MF a a F F =+=>往往是解决计算问题的关键,椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.
(2)求椭圆的方程有两种方法:①定义法;②待定系数法.用待定系数法求椭圆的方程时,要“先定型,再定量”,不能确定焦点的位置时,可进行分类讨论或把椭圆的方程设为
221mx ny =+(0,0m n >>且)m n ≠.
(3)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了.
(4)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两
种方法:①求出a ,c ,代入公式c
e a
=
;②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式,结合222b a c =-转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 或2e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围). 学霸推荐
1.已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>上有一点A ,它关于原点的对称点为B ,点F 为椭圆
的右焦点,且满足AF BF ⊥,设ABF α∠=,且ππ
[,]126
α∈,则该椭圆的离心率e 的取值范围为
A .
B .
C .-
D .-
2.已知椭圆C :22x a +221y b =(0a b >>),椭圆短轴的一个端点与两个焦点
构成的三角形的面积为2.直线l :y =kx+m (m ≠0)与椭圆相交于不同的A ,B 两点. (1)求椭圆C 的方程; (2)若线段AB 中点的横坐标为
2
m
,求k 的值.
1.【答案】C 【解析】如图,
因为AF BF ⊥,所以点F 在以AB 为直径的圆上,则OA OB OF c ===.根据图形的对称性知,2AF BF a +=.又ABF α∠=,所以
cos sin AF BF AB AB αα+=⋅+⋅=2(sin cos )c αα+2a =,因此
1sin cos c e a αα=
==+ππ[,]126α∈
,所以e ∈-.故选C .
(2)联立直线l 的方程与椭圆的方程得22
142
x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,代入消元得(2k 2+1)x 2+4kmx+(2m 2
-4)=0.
设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1+x 2=2421km k -+,x 1x 2=22
24
21
m k -+. 由题意知,x 1+x 2=
2421km k -+=m ,因为m ≠0,所以2
421
k
k -+=1,即2k 2+4k+1=0,
解得1k =--
1-+。