椭圆定义、标准方程及性质(一)

(0,-c)和(0,c)
D
B
D
=1.
小结：椭圆的标准方程及其简单几何性质
条件
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
标准方程
图形
范围 对称性 顶点 焦点 焦距 离心率
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
长轴顶点(±a,0) 短轴顶点(0,±b)
(-c,0)和(c,0)
曲线关于x轴、 y轴、原点对称
长轴顶点(0,±a) 短轴顶点(±b,0)
F1、F2为端点的线段． 3.当2a<2c时,无轨迹,图形不存在. 4.当c=0时,轨迹为圆．
二.椭圆的标准方程 (1)焦点在x轴
y
P
F1 o
F2 x
(2)焦点在y轴
y
F2
P
o
x
F1
看分母大小
2a>2c,a2=b2+c2,a>0,b>0,c>0
三.椭圆的几何性质
让我们一起研究标准方程为:标准方程
椭圆的定义及性质
一．椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离 之和等于常数2a（大于∣F1F2∣）的 点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1、F2叫椭圆的焦点. 两焦点的距离∣F1F2∣叫椭圆的焦距 （2c）.
2.椭圆定义的符号表述：
(2a>2c)
注意 1.当2a>2c时,轨迹是椭圆 ：2.当2a=2c时,轨迹是一条线段, 是以
因此 焦点F1Leabharlann (-c,0)、 F2 (c,0)y
O
x
把椭圆的焦距与长轴长的比叫作椭圆 的离心率，用e表示，即
y x
O
所以 e∈(0，1) e越接近于0，椭圆越圆；e越接近于1，椭圆越扁.

椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。

本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。

一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。

设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。

二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。

2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。

焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。

3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。

长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。

4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。

离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。

5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。

6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。

7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。

8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。

三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。

以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。

2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。

3. 固定时间下的最短路径问题。

4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。

4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。

5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。

总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。

椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。

第一节椭圆的方程及性质复习目标学法指导1.椭圆及其标准方程.(1)椭圆的定义.(2)椭圆的标准方程.(3)椭圆的焦点、焦距的概念.2.椭圆的简单几何性质.(1)椭圆的简单几何性质.(2)有关椭圆的计算证明.3.掌握利用曲线的方程研究曲线几何性质的基本方法. 1.注重掌握椭圆的形成过程,注重掌握其形成过程中椭圆上的点所满足的几何条件.2.利用曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形,是解析几何的基本问题之一.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.1.概念理解(1)|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c⇒动点M轨迹为椭圆.(2)|MF 1|+|MF 2|=2a=|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹为线段. (3)|MF 1|+|MF 2|=2a<|F 1F 2|=2c ⇒动点M 轨迹不存在. 2.相关结论 焦点三角形:以椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)上一点P(x 0,y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(-c,0),F 2(c,0)为顶点的三角形PF 1F 2称为焦点三角形. ①焦点三角形PF 1F 2的周长|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|=2a+2c.②焦点三角形PF 1F 2的面积S=12|PF 1|·|PF 2|sin α(其中α=∠F 1PF 2). ③|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos ∠F 1PF 2. 二、椭圆的标准方程及其简单几何性质 焦点在x 轴上焦点在y 轴上标准 方程22x a +22y b =1(a>b>0)22y a +22x b =1(a>b>0)图形范围 |x|≤a;|y|≤b |x|≤b;|y|≤a 对称性曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 曲线关于x 轴、y 轴、原点对称 顶点长轴顶点(±a,0)短轴顶点(0,±b)长轴顶点(0,±a)短轴顶点(±b,0)轴长轴长2a,短轴长2b焦点 (±c,0)(0,±c)焦距 |F 1F 2|=2c离心率 e=c a ∈(0,1)a,b,c的关系c 2=a 2-b 21.概念理解(1)给出椭圆的标准方程,可根据x 2,y 2项分母的大小确定a 2和b 2的值及焦点的位置,平方项中分母大的为a 2,并且焦点所在的坐标轴名称与该项变量相同,即焦点在长轴上,如23x +24y =1中,y 2项的分母大,所以a 2=4,b 2=3,且焦点在y 轴上.(2)椭圆中a 2,b 2与c 2的关系b 2=a 2-c 2是椭圆固有的性质,不会因椭圆的位置变化而变化. (3)椭圆的离心率e 反映椭圆的扁平程度,e ∈(0,1),e=ca21b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭变形为b a21e -这四个量之间的关系要记准,解题中经常用到.(4)焦点在y 轴上的方程及所有性质,都是焦点在x 轴上的内容中的x,y 互换得到的.2.与椭圆的方程及几何性质相关的结论 (1)点M(x 0,y 0)与22x a +22y b =1的关系:点M 在椭圆上:202x a +202y b =1, 点M 在椭圆内:202x a+202y b<1,点M 在椭圆外:202xa +202y b >1.(2)共焦点的椭圆方程的设法:22x a k -+22y b k -=1,其中a 2>b 2>k.(3)共离心率的椭圆方程的设法:22x a +22y b =k, 其中k>0.1.已知方程25x m-+23y m +=1表示椭圆,则m 的取值范围为( D )(A)(-3,5) (B)(-3,1) (C)(1,5) (D)(-3,1)∪(1,5)解析:方程表示椭圆的条件为50,30,53,m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩解得m ∈(-3,1)∪(1,5).故选D.2.椭圆210x m-+22y m -=1的焦距为4,则m 等于( C )(A)4 (B)8 (C)4或8 (D)12解析:当焦点在x 轴上时,10-m>m-2>0, 10-m-(m-2)=4,所以m=4.当焦点在y 轴上时,m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4, 所以m=8.所以m=4或8.故选C.3.(2019·北京卷)已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的离心率为12,则( B )(A)a 2=2b 2 (B)3a 2=4b 2 (C)a=2b (D)3a=4b解析:因为椭圆的离心率e=c a =12,所以a 2=4c 2. 又a 2=b 2+c 2,所以3a 2=4b 2.故选B.4.椭圆225x +29y =1的左、右焦点分别为F 1,F 2,直线l 过(0,5)与椭圆交于A,B,则△ABF 2周长的最大值为 . 解析:△ABF 2周长=|AB|+|AF 2|+|BF 2|≤|AF 1|+|BF 1|+|AF 2|+|BF 2|=4a=20. 答案:205.椭圆24x +29y =1的左、右顶点分别为A,B,P 是椭圆上异于A,B 的一点,设PA,PB 的斜率分别为k 1,k 2,则k 1k 2= . 解析:设P(x,y), 则k 1k 2=2yx +·2y x -=224y x -=2249y y -=-94. 答案:-94考点一 椭圆的定义及应用[例1] (1)已知动圆M 过定点A(-3,0)并且与定圆B:(x-3)2+y 2=64相切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )(A)216x +27y =1 (B)27x +216y =1 (C)216x -27y =1 (D)27x -216y =1(2)以A(-1,0),B(1,0)为焦点,经过x-y+3=0上一点的椭圆中,长轴最短的椭圆方程为 . 解析:(1)因为点A 在圆B 内, 所以过点A 的圆与圆B 只能内切, 因为B(3,0),所以|AB|=6.所以|BM|=8-|MA|,即|MB|+|MA|=8>|AB|, 所以动点M 的轨迹是以A,B 为焦点的椭圆,设其方程为22x a +22y b =1,得a=4,c=3,b 2=7,所以方程为216x+27y =1.故选A.解析:(2)A(-1,0)关于直线x-y+3=0的对称点为A ′(-3,2), 2a=|PA|+|PB|=|PA ′|+|PB|≥|A ′B|=25,所以长轴最短为25,此时椭圆方程为25x +24y =1.答案:(1)A 答案:(2)25x +24y =1椭圆定义的应用主要有两个方面:一是利用定义求椭圆的标准方程,二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的离心率等. 考点二 求椭圆的标准方程 [例2] (1)求过点35且与椭圆225y +29x =1有相同焦点的椭圆的标准方程;(2)椭圆中心在原点,焦点在坐标轴上,离心率3且过点(2,1),求椭圆方程. 解:(1)法一 椭圆225y +29x =1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义知, ()()223054-+-+()()223054-+--解得5由c 2=a 2-b 2可得b 2=4.所以所求椭圆的标准方程为220y+24x =1.法二 设所求椭圆方程为225y k -+29x k-=1(k<9), 将点(3,-5)的坐标代入可得()2525k --+()239k -=1,解得k=5(k=21舍去),所以所求椭圆的标准方程为220y +24x =1.解:(2)因为e=3,所以a=2b.当焦点在x 轴上时,设椭圆方程为24x +21y =b 2,(2,1)代入得b 2=2,此时标准方程为28x +22y =1.当焦点在y 轴上时,设椭圆方程为24y +21x =b 2,(2,1)代入得b 2=174,此时标准方程为217y +2417x =1.(1)求椭圆标准方程,常用待定系数法,解题时常依据条件确定焦点所在坐标轴,设出椭圆标准方程,建立关于a,b 的等量关系式,因椭圆标准方程中有两个未知量,所以需建立两个等量关系式进行求解,这一过程概括为“先定式,后定量”.(2)对于共焦点的椭圆方程问题,既可以利用定义法根据已知的焦距求解,也可以利用待定系数法把与椭圆22x m +22y n =1(m 2≠n 2)共焦点的椭圆设为22x m k-+22y n k-=1(k<m 2,k<n 2)来求解.(3)对于已知椭圆离心率求方程的问题,可以用c 来表示a,b,从而设出方程,利用待定系数法求解.若所求椭圆与椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)有相同的离心率,则可设为22x a +22y b =k 1(k 1>0,焦点在x 轴上)或22y a +22x b =k 2(k 2>0,焦点在y 轴上).(4)把题目中关于直线、曲线的相互位置关系、等量关系转化为关于a,b,c,e 的等量关系,结合b 2=a 2-c 2,e=c a这些等量关系,求得a,b 的值,是求椭圆方程的一般思路.1.如图,已知椭圆C 的中心为原点O,F(-25,0)为C 的左焦点,P 为C上一点,满足|OP|=|OF|,且|PF|=4,则椭圆C 的方程为( B )(A)225x +25y =1 (B)236x +216y =1 (C)230x +210y =1(D)245x +225y =1解析:设椭圆的标准方程为22x a +22yb =1(a>b>0),焦距为2c,右焦点为F ′,连接PF ′,如图所示. 因为5为C 的左焦点,所以5由|OP|=|OF|=|OF ′|知,∠FPF ′=90°, 即FP ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中,由勾股定理, 得|PF ′22||||FF PF '-()22454-由椭圆定义,得|PF|+|PF ′|=2a=4+8=12, 所以a=6,a 2=36, 于是b 2=a 2-c 25)2=16,所以椭圆C 的方程为236x +216y=1.故选B.2.设F 1,F 2分别是椭圆E:x 2+22y b =1(0<b<1)的左、右焦点,过点F 1的直线交椭圆E 于A,B 两点.若|AF 1|=3|F 1B|,AF 2⊥x 轴,求椭圆E 的方程. 解:设F 1(-c,0),F 2(c,0),依据题意可得 a 2-b 2=1-b 2=c 2, 所以b 2=1-c 2. 因为AF 2⊥x 轴,所以将x=c 代入椭圆E 的方程,得 |AF 22,所以A(c,±b 2). 因为|AF 1|=3|F 1B|, 所以1AF =31F B .设B(x 0,y 0),根据椭圆的对称性不妨取A(c,b 2). 因为1AF =(-2c,-b 2),1F B =(x 0+c,y 0),所以(-2c,-b 2)=3(x 0+c,y 0), 所以()02023,3,c x c b y ⎧-=+⎪⎨-=⎪⎩解得0205,3,3c x b y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩则B(-53c ,-23b ),代入椭圆E 的方程,得(-53c )2+2223b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭=1,所以2259c +219c -=1,解得c 2=13,所以b 2=1-c 2=23,所以椭圆E 的方程为x2+232y =1.考点三 椭圆的几何性质及应用[例3] (1)(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1,F 2是椭圆C: 22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且斜率为3的直线上,△PF 1F 2为等腰三角形,∠F 1F 2P= 120°,则C 的离心率为( )(A)23 (B)12 (C)13 (D)14(2)已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆C 上的一点,且∠F 1PF 2=60°.若△F 1PF 2的面积为33,则b= .解析:(1)由题意可得椭圆的焦点在x 轴上,如图所示, 设|F 1F 2|=2c,因为△PF 1F 2为等腰三角形, 且∠F 1F 2P=120°, 所以|PF 2|=|F 1F 2|=2c, 因为|OF 2|=c,所以点P 坐标为(c+2ccos 60°,2csin 60°), 即点3c),因为点P 在过点A 3的直线上,所以3c=3,解得c a=14,所以e=14,故选D.解析:(2)法一 设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2, 因为△F 1PF 2的面积为33,∠F 1PF 2=60°,所以12F PF S∆=12|PF 1||PF 2|·sin ∠F 1PF 2=3r 1r 2=33,所以r 1r 2=12.根据余弦定理,可得|F 1F 2|2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=(|PF 1|+|PF 2|)2-3|PF 1||PF 2|, 即4c 2=4a 2-3r 1r 2,所以4b 2=3r 1r 2=36,解得b=3. 法二 因为12F PF S ∆=b 2tan 122F PF ∠=b 2tan 30°=3b 2=33,所以b=3. 答案:(1)D (2)3(1)与几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系,深挖出它们之间的联系,求解自然就不难了. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方程:①求出a,c,代入公式e=ca ;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c 的齐次式,结合b 2=a 2-c 2转化为关于a,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围).如图所示,已知F 1,F 2是椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点,点P 在椭圆C 上,线段PF 2与圆x 2+y 2=b 2相切于点Q,且点Q 为线段PF 2的中点,则椭圆C 的离心率为 .解析:连接OQ,PF 1(图略),则|OQ|=b,|PF 1|=2b, |PF 2|=2|QF 222c b -,由|PF 1|+|PF 2|=2a, 可知22c b -=2a,化简可得221e -21e -+,解得5.答案5考点四 易错辨析[例4] (1)设e 是椭圆24x +2y k=1的离心率,且e ∈(12,1),则实数k 的取值范围是( )(A)(0,3) (B)(3,163) (C)(0,3)∪(163,+∞) (D)(0,2) (2)已知点P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别4525过P 作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点,求此椭圆的方程.(1)解析:当4>k>0时,e=ca ∈(12,1),即12<1⇒1<4-k<4,即0<k<3;当4<k 时,e=ca ∈(12,1), 即14<4k k -<1⇒14<1-4k <1⇒34>4k >0⇒k>163. 故选C. (2)解:法一设椭圆的标准方程是22x a +22y b =1(a>b>0)或22y a +22x b =1(a>b>0),两个焦点分别为F 1,F 2.由题意知2a=|PF1|+|PF 2所以在方程22x a +22y b =1(a>b>0)中,令x=±c,得|y|=2b a . 在方程22y a +22x b =1(a>b>0)中,令y=±c,得|x|=2b a.依题意得2b a 2=103. 即椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 法二 设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,且|PF 1,|PF 2,则由椭圆的定义知2a=|PF1|+|PF 2所以由|PF 1|>|PF 2|知,PF 2垂直于长轴. 故在Rt △PF 2F 1中,4c 2=|PF 1|2-|PF 2|2=203, 所以c 2=53,b 2=a 2-c 2=103,故椭圆的方程为25x +2310y =1或25y +2310x=1. 涉及含参数的椭圆标准方程,需要考虑x 2,y 2项的分母的大小,以确定焦点所在坐标轴,常见错误是只考虑一种情况忽略另一种情况.温馨提醒:(1)涉及椭圆标准方程问题,需考虑“定式”与“定量”两个方面.定式即确定焦点所在的坐标轴,它决定x 2与y 2项分母的大小,定量是利用已知条件求a 2,b 2的值.(2)牢记“先定式,后定量”这一处理问题的顺序.1.在平面直角坐标系xOy 中,P 是椭圆24y +23x =1上的一个动点,点A(1,1),B(0,-1),则|PA|+|PB|的最大值为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:因为椭圆方程为24y +23x =1,所以焦点坐标为B(0,-1)和B ′(0,1), 连接PB ′,AB ′,根据椭圆的定义, 得|PB|+|PB ′|=2a=4, 可得|PB|=4-|PB ′|,因此|PA|+|PB|=|PA|+(4-|PB ′|) =4+(|PA|-|PB ′|).因为|PA|-|PB ′|≤|AB ′|, 所以|PA|+|PB|≤4+|AB ′|=4+1=5.当且仅当点P 在AB ′延长线上时,等号成立. 综上所述,可得|PA|+|PB|的最大值为5.2.长轴长为6,焦距为4的椭圆的标准方程为 . 解析:因为2a=6,2c=4,所以a=3,c=2. b 2=a 2-c 2=9-4=5,所以椭圆的标准方程为29x +25y =1或25x +29y =1. 答案:29x +25y =1或25x +29y =1类型一 椭圆的定义及应用1.若椭圆C:29x +22y =1的焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上,且|PF 1|=4,则∠F 1PF 2等于( C )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150° 解析:由题意知7所以|PF 2|=2,在△F 2PF 1中,由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=()2224227242+-⨯⨯=-12,又因为∠F 1PF 2∈(0°,180°), 所以∠F 1PF 2=120°.故选C. 2.设F 1,F 2是椭圆249x +224y =1的两个焦点,P 是椭圆上的点,且|PF 1|∶|PF 2|=4∶3,则△PF 1F 2的面积为( C ) (A)30 (B)25 (C)24 (D)40解析:因为|PF 1|+|PF 2|=14,|PF 1|∶|PF 2|=4∶3, 所以|PF 1|=8,|PF 2|=6,又因为|F 1F 2|=10,所以PF 1⊥PF 2;12PF F S =12|PF 1|·|PF 2|=12×8×6=24.故选C.3.已知椭圆C:29x +24y =1,点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A,B,线段MN 的中点在C 上,则|AN|+|BN|= .解析:由椭圆C:29x +24y =1,得a=3.设MN 的中点为P,椭圆的左、右焦点分别为F 1,F 2,连接PF 1,PF 2.①当点A,B 都不在直线MN 上时, 因为F 1,F 2分别是AM,BM 的中点,所以PF 1,PF 2分别是△AMN,△MNB 的中位线, 所以|AN|=2|PF 1|,|BN|=2|PF 2|,所以|AN|+|BN|=2|PF 1|+2|PF 2|=2(|PF 1|+|PF 2|)=4a=12.②当点A,B 中有一点在直线MN 上时,同理可得|AN|+|BN|=12. 答案:124.椭圆22x a +22yb =1(a>b>0)左、右焦点分别为F 1,F 2,P 是椭圆上一点,过F 2作∠F 1PF 2外角平分线的垂线,垂足为M,则M 的轨迹方程为 . 解析:延长F 2M 交F 1P 延长线于Q, 则|PQ|=|PF 2|,所以M 为F 2Q 的中点. 所以|OM|=12|F 1Q|=a,所以M 的轨迹方程为x 2+y 2=a 2. 答案:x 2+y 2=a 2类型二 求椭圆的标准方程5.已知F 1(-1,0),F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A,B 两点,且|AB|=3,则C 的方程为( C ) (A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:设椭圆的方程为22x a +22y b =1(a>b>0), 由题意知2b a =32, 又c 2=a 2-b 2=1,解得a=2或a=-12(舍去),b 2=3, 故椭圆的方程为24x +23y =1.故选C.6.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C 的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A,B 两点.若|AF 2|=2|F 2B|,|AB|=|BF 1|,则C 的方程为( B )(A)22x +y 2=1 (B)23x +22y =1 (C)24x +23y =1 (D)25x +24y =1解析:不妨设|F 2B|=m,故|F 1B|=|AB|=|AF 2|+|F 2B|=3|F 2B|=3m. 由椭圆定义得|F 1B|+|F 2B|=2a=4m,故|F2B|=12a,|BF1|=32a,|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得:2222122222141cos,22194244cos.1222a c aAF Fa c aa c a aBF Faa c⎧+-∠==⎪⨯⨯⎪⎪⎨+--⎪∠==⎪⨯⨯⎪⎩由二角互补可得22aa-=-1a,解得a2=3,故b2=2,方程为23x+22y=1.故选B.7.已知椭圆C:22xa+22yb=1(a>b>0)的离心率为12,右焦点为F2,点M在圆x2+y2=b2上,且M在第一象限,过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P,Q两点.若△PF2Q的周长为4,则椭圆C的方程为.解析:椭圆的离心率为12,则3设P(x1,y1),Q(x2,y2),所以|PF2|2=(x1-c)2+21y=14(x1-4c)2,所以|PF2|=2c-12x1,连接OM,OP,由相切条件知:|PM|2=|OP|2-|OM|2=21x+21y-3c2=2114x,所以|PM|=12x1,所以|PF2|+|PM|=2c,同理可求|QF 2|+|QM|=2c, 所以|F 2P|+|F 2Q|+|PQ|=4c. 因为△PF 2Q 的周长为4, 所以c=1, 所以所以椭圆C 的方程为24x +23y =1. 答案:24x +23y =1类型三 椭圆的几何性质8.已知椭圆22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右两焦点分别为F 1,F 2,点A 在椭圆上,1AF ·12F F =0,∠F 1AF 2=45°,则椭圆的离心率e 等于( B )解析:由1AF ·12F F =0得AF 1⊥F 1F 2,又∠F 1AF 2=45°, 所以|AF 1|=|F 1F 2|, 即2b a =2c,整理得c 2+2ac-a 2=0, 所以e 2故选B.9.椭圆216x+24y =1上有两点P,Q,O 为坐标原点,若OP,OQ 斜率之积为-14,则|OP|2+|OQ|2等于( C ) (A)4 (B)64 (C)20 (D)不确定 解析:设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),所以1212y y x x =-14,即22122212yy x x=116,(*)因为椭圆方程为216x +24y =1,所以21y =4-214x ,22y =4-224x ,代入(*)式整理可得21x +22x =16,所以|OP|2+|OQ|2=21x +22x +21y +22y =20.故选C.10.如图,已知椭圆C:22x a +22y b =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P是椭圆C 上一点,点M 在PF 1上,且满足1F M =2MP ,PO ⊥F 2M,O 为坐标原点,则椭圆C 的离心率的取值范围为 .解析:过点O 作ON ∥F 2M 交PF 1于点N,OP 与MF 2交于点Q, 因为O 为F 1F 2中点, 所以N 为MF 1的中点, 又1F M =2MP ,所以M 为PN 中点,进而有Q 为OP 的中点, 又因为PO ⊥F 2M, 所以OF 2=PF 2=c, 又a-c<PF 2<a+c, 所以a-c<c<a+c,即ca >12,所以离心率e∈(12,1).答案:(12,1)。

椭圆的标准方程及性质1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）.其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距.(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF=，0＜e ＜1的常数}.2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）.其中22b a c -=（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）.其中22b a c -=3.椭圆一般方程两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B 当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），已知椭圆上的两个点这种形式用起来更方便. 4．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则c 相同。

与椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为12222=+++mb y m a x )(2b m ->，此类问题常用待定系数法求解。

5.共离心率椭圆方程的椭圆标准方程共离心率，则e 相同。

与椭圆12222=+by a x )0(>>b a 共焦点的椭圆方程可设为 ，6：椭圆12222=+b y a x 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的区别和联系标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221=范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤ 对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ±),0(a ±，)0,(b ±轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2离心率)10(<<=e ace 准线方程 ca x 2±=ca y 2±=焦半径01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=x y O F F PA AB 11121222M M K K7．性质：对于椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：1.范围；②对称轴、对称中心；③顶点；④焦点、焦距；⑤准线方程；⑥离心率. 焦半径c a PF c a PF -=+=min max,. 2.焦准距c b p 2=；两准线间的距离c a 22=；通径长22b a⨯.半通径.3.最大角()12122max F PF F B F ∠=∠4.8.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by a x 时,点P 在椭圆上;9.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔10.弦长公式11．对椭圆方程22221x ya b +=作三角换元可得椭圆的参数方程：⎩⎨⎧θ=θ=sin cos b y a x ，θ为参数．12．有关圆锥曲线弦的中点和斜率问题可利用“点差法”及结论：13对椭圆：12222=+b x a y ，则k AB =2020a xb y -．第三章：直线与方程的知识点倾斜角与斜率1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0°. 则直线l 的倾斜角α的范围是0απ≤<.2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式2121y y k x x -=-. 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.两条直线平行与垂直的判定1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：（1）12//l l 12k k =；（2）12l l ⊥121k k ⋅=-.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；….直线的点斜式方程1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.直线的两点式方程1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=.3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. 直线的一般式方程1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为C B -的直线.2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为10Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为10Bx Ay C -+=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠；（3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.两条直线的交点坐标1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 两点间的距离1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y，则两点间的距离为：12||PP . 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；点到直线的距离及两平行线距离 1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为d =2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式d =，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-.这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为d =-----精心整理，希望对您有所帮助!。

一.椭圆曲线的介绍1.域k(特征0)上的椭圆曲线可看成由下面方程的解全体再加上一个无穷远点：y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2,a,b为k中常数，并且右边判别式Δ=−16(4a3+27b2)不等于0(即为了光滑性要求无重根)。

其上的点可以自然地有一个群结构(实数域为例，图自wiki)：具体说来，取曲线上两个点P,Q,连接P,Q的直线与曲线第三个交点（其存在是因为一元三次方程有两个解在k中，那么由韦达定理第三个也在k中）记为R。

不难看出曲线y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2关于x轴对称，R 的对称点就记为P+Q。

这样粗糙的讨论可能会有问题，因为可能会出现图中2,3,4的情况，2的情况把Q看成2重点即可，而3的情况迫使我们引入无穷远点0，规定此时和为0,而如果P,Q重合，那么我们就取切线。

定义保证如下性质：随便取一条直线，其与曲线交于三个点P,Q,R（可能有无穷远点，也可能两个点重合），那么P+Q+R=0.这个定义是“对称”的，可具体写出P+Q的表达式（利用韦达定理）：P，Q不重合时：P，Q重合时：总之在椭圆曲线上有一个交换群结构，因此我们可以从y2=x3+ax+b,(x,y)∈k2的一个有理解生成新的有理解，从而得到许多有理解。

椭圆曲线在复数域的图像可以看成复平面模掉一格C/Λ，也就是一个环面：Q上图像可直观想象是实数域的椭圆曲线上的有理点：（图自《数论1 FERMAT的梦想和类域-加藤和也》）而Qp等非阿局部域及Z/pZ等有限域的情况没有很好的几何图像（当然有限域的平面是有限个点，此时椭圆曲线就是一堆点）。

此时不妨就把它看成代数几何意义上的一条曲线。

为了理解为什么椭圆曲线定义成y^2=三次多项式，我们简单讨论一番。

上面已经说过，我们希望找一些好的f，使得f=0即解全体带群结构。

而这个群结构的产生巧就巧在定义一个乘法，是把两个东西运算得到一个新东西，总共涉及3个object，而三次方程恰好有三个根，并且两个根加上方程系数完全可以求出第三个根。

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于 M F1F2）的点的轨迹叫椭圆.
定点F1、F2叫做椭圆的焦点.
说明
1.平面上这一个条件不可少;
F1
F2
2.椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数,记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即F1F2＝2c.
椭圆的定义式： MF ＋ MF 2a 1 2
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距 式
10
x y 1 (a b 0) 2 2 a b y2 x2 2 1 (a b 0) 2 a b
问题1
2
2
y
（ 1）
M F1 0 y F2 O F1 x
（ 2）
F
2x椭圆的标准方程的特：1、方程的右边是常数1
2、方程的左边是和的形式，每一项的分子是 x2、y2，分母是一个正数。
x
MF 由椭圆的定义得，限制条件： 1 MF 2 2a
代入坐标 MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a(1)
（问题：下面怎样化简？）
8
当x≠0时，分子有理化，得： 4cx
问题2
根据上述讨论，如何判断椭圆的焦点的位置？ 若 x2 项的分母大，则其焦点就在 x 轴上，若 y2 项 的分母大，则其焦点就在 y 轴上，简称“分母大小定焦 点”
11
练习1.下列方程哪些表示椭圆？ 若是,则判定其焦点在何轴？ 并指明 a 2 , b 2 .
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25y 2 225 0 16 16 x2 y2 2 2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) k 2 3 k m m 1

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

椭圆标准方程及其性质(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：椭圆定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形(二)椭圆的简单几何性：●标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。

标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长12A A ,12A A =a 2，短轴长12B B ,12B B =b 2 离心率①(01)ce e a =<< ，②21()b e a=-③222b a c -=（离心率越大，椭圆越扁）【说明】：1.方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 2.2. 方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A≠B 。

A ＞B 时，焦点在y 轴上，A ＜B 时，焦点在x 轴上。

(三)焦点三角形的面积公式：122tan2PF F S b θ∆=如图：●椭圆标准方程为:12222=+by a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，其面积为122tan2PF F S b θ∆=。

椭圆的定义、标准方程及其性质[考纲传真]1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用．【知识通关】1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)离心率e＝ca，且e∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2 1．点P(x0，y0)和椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x20a2＋y20b2＜1.(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.2．焦点三角形椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)中：(1)当r 1＝r 2时，即点P 的位置为短轴端点时，θ最大；(2)S ＝b 2tan θ2＝c |y 0|，当|y 0|＝b 时，即点P 的位置为短轴端点时，S 取最大值，最大值为bc . (3)a －c ≤|PF 1|≤a ＋c .3．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边长，a 2＝b 2＋c 2.4．已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a . 5．椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝－b 2a 2，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.6．弦长公式：直线与圆锥曲线相交所得的弦长 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率)． 【基础自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆．( )(4)关于x ，y 的方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标为( )A ．(±3,0)B ．(0，±3)C ．(±9,0)D ．(0，±9)B3．已知动点M 到两个定点A (－2,0)，B (2,0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为( ) A .x 29＋y 2＝1 B .y 29＋x 25＝1 C .y 29＋x 2＝1 D .x 29＋y 25＝1 D4．若一个椭圆长轴的长、短轴的长和焦距成等比数列，则该椭圆的离心率是( ) A .5－12B .1＋52C .－1＋52D .－1±52C5．椭圆C ：x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆C 于A ，B 两点，则△F 1AB 的周长为________． 20【题型突破】椭圆的定义及其应用【例1】 (1)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A .x 264－y 248＝1 B .x 248＋y 264＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 (2)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( ) A ．7 B .74 C .72D .752(1)D (2)C[方法总结] 1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等. 2.椭圆的定义式必须满足2a ＞|F 1F 2|.(1)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．圆(2)(2019·徐州模拟)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. (1)A (2)3椭圆的标准方程【例2】 (1)在△ABC 中，A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长是18，则顶点C 的轨迹方程是( ) A .x 225＋y 29＝1(y ≠0) B .y 225＋x 29＝1(y ≠0) C .x 216＋y 29＝1(y ≠0) D .y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，52，(3，5)，则椭圆方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．(1)A (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1[方法总结] (1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法.(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a ＞|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )的形式.(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A .x 23＋y 22＝1 B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (2)椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在原点，其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆E 的标准方程为( ) A .x 22＋y 22＝1 B .x 22＋y 2＝1 C .x 24＋y 22＝1 D .y 24＋x 22＝1 (3)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． (1)A (2)C (3)x 2＋32y 2＝1椭圆的几何性质►考法1 求离心率或范围【例3】 (1)(2019·深圳模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A .36B .13C .12D .33(2)(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)(1)D (2)A►考法2 与椭圆几何性质有关的范围问题【例4】 (2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________． 4[方法总结] (1)求椭圆离心率的方法,①直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.,②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程(或不等式)求解.(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( ) A ．1－32B ．2－ 3C .3－12D .3－1(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8(1)D (2)C【真题链接】1.(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为36的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14D2．(2016·全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34B。

椭圆的标准方程及其几何性质1. 椭圆定义：（1）第一定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段（2）椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (10<<e )的点的轨迹为椭圆（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的位置关系:当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当12222=+b y a x 时,点P 在椭圆上; 4.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为所以所求椭圆标准方程为92522=+y x ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10=∴a 又2=c所以所求标准方程为61022=+x y 另法：∵ 42222-=-=a c a b∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为： ∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6. ∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a bx a y . ∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０.又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴36222=-=c a b .∴所求椭圆的标准方程是13610022=+x y . 题2。

例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）焦点在x 轴上，且经过点(2，0)和点(0，1).（2）焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P(0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于例3 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程知识点二（知椭圆的简单几何性质） 【知识梳理】由椭圆方程12222=+by a x () 研究椭圆的性质.(利用方程研究,说明结论与由图形观察一致)一、范围: 从标准方程得出122≤a x ,122≤by ,即有a x a ≤≤-,b y b ≤≤-，可知椭圆落在b y a x ±=±=,组成的矩形中． 二、对称性:把方程中的x 换成x -方程不变，图象关于y 轴对称．y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称．把y x ,同时换成y x --,方程也不变，图象关于原点对称．如果曲线具有关于x 轴对称，关于y 轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可0>>b a以看出它的范围，对称的截距三、顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆12222=+by a x 的方程里，令0=y 得a x ±=，因此椭圆和x 轴有两个交点)0,(),0,(2a A a A -，它们是椭圆12222=+by a x 的顶点令0=x ，得b y ±=，因此椭圆和y 轴有两个交),0(),,0(2b B b B -，它们也是椭圆12222=+by a x 的顶点 因此椭圆共有四个顶点： )0,(),0,(2a A a A -，),0(),,0(2b B b B - 加两焦点)0,(),0,(21c F c F -共有六个特殊点.21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴．长分别为b a 2,2b a ,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点. 四、离心率:概念：椭圆焦距与长轴长之比定义式：ace =⇒2)(1a b e -= 范围：10<<e考察椭圆形状与e 的关系：0,0→→c e ，椭圆变圆，直至成为极限位置圆,,1a c e →→椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，五、椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e ，那么这个点的轨迹叫做椭圆 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率六、椭圆的准线方程：1、对于12222=+by a x ，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=；相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=2、对于12222=+bx a y ，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=3、准线的位置关系：c a a x 2<≤七、焦点到准线的距离 cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦准距）八、椭圆的焦半径公式：设),(00y x M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的一点,1r 和2r 分别是点M与点)0,(1c F -,)0,(2c F 的距离.那么（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e是离心率推导方法：,||11e MF r =e MF r =||22⇒00211)(||ex a x c a e MF e r +=+==，00222)(||ex a x ca e MF e r -=-==同理有焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF （ 其中12 F F 、分别是椭圆的下上焦点） 注意：焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加【例题精讲】例1 求椭圆400251622=+y x 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标。

圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

§8.1椭圆的定义和标准方程（一）【复习目标】1．掌握椭圆的定义，会用定义解题；a b c e的互求，会2．掌握椭圆的标准方程及其简单的几何性质，熟练地进行基本量间,,,根据所给的方程画出图形；3．掌握求椭圆的标准方程的基本步骤——①定型（确定它是椭圆）；②定位（判断它的中心在原点、焦点在哪条坐标轴上）；③定量（建立关于基本量的方程或方程组，解基本量,a b）。

【课前预习】Array 1.2.实用文档左顶点坐标是 ；下顶点坐标是 ，椭圆上的点P 00(,)x y 的横坐标0x 的范围是 ，纵坐标0y 的范围是 ，00x y +的取值范围是 。

3. 椭圆13610022=+y x 上的点P 到左准线的距离是10，那么P 到其右焦点的距离是（ ）A.15B.12C.10D.84. ⊿ABC 中，已知B 、C 的坐标分别是（－3，0）、（3，0），且⊿ABC 的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程是 。

5. 若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该焦点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率是 ；若椭圆两准线之间的距离不大于长轴长的3倍，则它的离心率e 的取值范围是 。

【典型例题】例1 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且过点P （3，2），求椭圆的方程。

例2 从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰好为椭圆的左焦点F 1，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，且(0)AB OP λλ=⋅>。

（1）求该椭圆的离心率；（2）若该椭圆的准线方程是x =±，求椭圆的方程。

【巩固练习】1．椭圆192522=+yx上一点M到左焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|= .。

2．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则此椭圆长轴的长的最小值是 .【本课小结】【课后作业】1.设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点的距离为510-，求此椭圆的方程。

椭圆标准方程知识点总结一、椭圆的定义椭圆可以通过几种不同的方式进行定义。

在数学上，椭圆通常被定义为平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个固定点被称为焦点，而常数2a则被称为椭圆的主轴长度。

另一种定义椭圆的方法是：椭圆是一个闭曲线，其在每个点处的切线的斜率之和等于零。

这意味着椭圆的切线对称性是椭圆的一个特征。

在笛卡尔坐标系中，椭圆的标准方程通常被表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中a和b分别代表椭圆的主轴长度和副轴长度。

当a=b时，椭圆变为一个圆。

二、椭圆标准方程的性质1. 中心点：标准椭圆的中心点位于原点(0,0)。

2. 主轴和副轴：椭圆的主轴是x轴和y轴上的两个直线段，而副轴则是通过中心点的垂直于主轴的直线段。

3. 焦点和离心率：椭圆的焦点是与椭圆的轴上的两个点，它们与椭圆的性质有着密切的联系。

椭圆的离心率e定义为焦点到中心点的距离与椭圆的主轴长度之比。

4. 对称性：椭圆具有对称性，通过它的中心点可以看到一些明显的对称性质。

5. 极坐标方程：椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+e*cosθ)，其中r是极径，θ是极角，e是离心率。

三、椭圆的参数方程除了笛卡尔坐标系下的标准方程外，椭圆还可以通过参数方程来表示。

椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和短半轴。

通过参数方程，我们可以更直观地理解椭圆的形状和性质。

这种表示方法对于椭圆的运动学和动力学问题有着重要的意义。

四、椭圆的性质和相关定理1. 椭圆的面积：椭圆的面积可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。

2. 椭圆的周长：椭圆的周长也可以通过积分的方法进行计算，或者利用椭圆的参数方程来求解。

3. 椭圆的焦点性质：椭圆的焦点是进行椭圆弧长和椭圆面积计算时重要的参考点。

4. 椭圆的直径定理：椭圆的长轴和短轴的长度之和等于两个焦点之间的距离。

解 1]
(ⅱ)具有某共同特征的椭圆求标准方程时，可根据它们的共同特征设出椭圆的标准方程，再根据其它条件确 定方程，如例 2(1)． (ⅲ)用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤： ①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在 x 轴上还是在 y 轴上，还是两个坐标轴都有可能； x² y² y² x² ②设方程：根据上述判断设方程a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)或a² ＋b² ＝1 (a＞b＞0)，当焦点位置不确定时，可设为 mx² ＋ny² ＝1 (m＞0，n＞0，m≠n)，如例 2(2)． ③找关系：根据已知条件，建立方程组； ④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
1
椭圆的定义、标准方程
[讲解 1]
∴(PF1＋PF2)² －2PF1· PF2＝4c² ， ∴2PF1· PF2＝4a² －4c² ＝4b² ． 1 1 ∴S△PF1F2＝2PF1· PF2＝2×2b² ＝b² ＝9， ∴ b＝3．
∴PF1· PF2＝2b² ．
★考向 2 求椭圆的标准方程 〔例 2〕求满足下列条件的椭圆的标准方程： x² y² (1) 与椭圆 4 ＋ 3 ＝1 有相同的离心率且经过点(2,－ 3)； (2) 已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且 P 到两焦点的距离分别为 5, 3，过 P 且与长轴垂直的直 线恰过椭圆的一个焦点； 3 5 (3) 经过两点(－2, 2)，( 3, 5)．
〔点拨〕本题主要考查椭圆标准方程的求法，解题的关键是正确选择椭圆标准方程的形式，利用待定系数 法求解．在求椭圆标准方程时应注意椭圆的焦点位置是否确定，焦点位置未确定的可设统一方程式分类讨 论，以免漏解． x² y² y² x² 〔解析〕(1)由题意，设所求椭圆的方程为 4 ＋ 3 ＝t1 或 4 ＋ 3 ＝t2 (t1, t2＞0)， (－ 3)² 2² 25 2² (－ 3)² ∵椭圆过点(2,－ 3)， ∴t1＝ 4 ＋ 3 ＝2，或 t2＝ 4 ＋ 3 ＝12． x² y² y² x² 故所求椭圆的方程为 8 ＋ 6 ＝1 或25＋25＝1． 3 4 x² y² y² x² (2)由于焦点的位置不确定，∴设所求椭圆的方程为 ＋ ＝1 (a＞b＞0)或 ＋ ＝1 (a＞b＞0)， a² b² a² b²

高考数学 - 椭圆知识点一、椭圆的定义：（1）第一定义:平面内与两定点 F 1、 F 2距离和等于常数 2a （大于F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 （ 2 ）第二定义：平面上到定点的距离与到定直线的距离之比为常数 e ，当 0 e 1时，点的轨 迹是椭圆 . 椭圆上一点到焦点的距离可以转化为到准线的距离 . 椭圆定义的表达式： PF 1 PF 2 2a 2a F 1F 2 0 ;M P PF 1 PF 2 2a, 2a F 1F 2 0 .二、椭圆方程1. 椭圆的标准方程 :x 2y 2y 2x 2焦点在 x 轴: x 2 y 2 1a b 0 ；焦点在 y 轴: y 2 x 2 1a b 0 .a 2b 2a 2b 2a 是长半轴长，b 是短半轴长，即焦点在长轴所在的数轴上，且满足 a 2 b 2c 2. 2. Ax 2By 2C A 、B 、C 均不为零，且 A B 表示椭圆的条件为：Ax 2By 21， x 2y 21.C C 1，C C1.AB所以只有 A 、B 、C 同号，且 A B 时，方程表示椭圆； 当 C C时，椭圆的焦点在 x 轴上；AB当 C C 时，椭圆的焦点在 y 轴上.AB22三、椭圆的几何性质（以 x 2 y 2 1 a b 0 为例）a2 b 21. 有限性: x a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和y b 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性 质主要用于求最值、轨迹检验等问题 .2. 对称性:关于原点、 x 轴、 y 轴对称。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：A1 a,0、A2 a,0、B1 0, b、B2 0,b.4. 长轴、短轴、焦距：A 1A 2叫椭圆的长轴， A 1A 2 2a,a 是长半轴长；B 1B 2叫椭圆的短轴， B 1B 2 2b,b 是短半轴长 . F 1F 2 叫椭圆的焦距；为 2c .5. 离心率（ 1 ）椭圆焦距与长轴的比 e ca2 2 2（2）Rt OB 2F 2, B 2F 22 OB 22 OF 2 2，即a 2 b 2 c 2 .这是椭圆的特征三角形，并且 cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 .（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当e 接近于 1 时， c 越接近于a ，从而b a 2c 2越小，椭圆越扁；当e 接近于 0时，c 越接近于 0，从而b a 2c 2越大，椭圆越接近圆。

洁”)
探究Байду номын сангаас,b,c的几何意义
y B1 F1 o B2
A1
F2
A2
x
刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程， 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
焦点在y轴上的椭圆的标准方程:
x y + = 1 a > b > 0 2 2 b a
2
2
♦椭圆的标准方程：
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
小结：
一种方法：求椭圆标准方程的方法 二类方程:
x y 2 1 a b 0 2 a b 2 2 y x 1 a b 0 2 2 a b
2
2
如何定义椭圆?
圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.
椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之 和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆. 这两定点叫椭圆的焦点，两焦点间距 离叫椭圆的焦距
怎么推导椭圆的标准方程呢？
求曲线方程的一般步骤？
建系 代坐标
设点
列式
化简、证明
♦ 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y
M
M F1
O
F2
O
F2 x
x
F1
方案一
方案二
原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； 椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之 (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 和为固定值(大于 | F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆. 直线作为坐标轴 .) (对称、“简
x2 y2 2 1 ，焦点在X轴上， 4.已知椭圆的方程为 8 m 则其焦距为（ A ） A. 2 8 m 2 B. 2 2 2m