（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化）. 2.椭圆的方程与几何性质:
3.点),(00y x P 与椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的位置关系: 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆外; 当12222>+b y a x 时,点P 在椭圆内; 当122
22=+b
y a x 时,点P 在
椭圆上;
4.直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆相交0>∆⇔;直线与椭圆相切0=∆⇔;直线与椭圆相离0<∆⇔ 例题分析：
题1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离 之和等于10；
⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-
,2
5） (3)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).
(4)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. (5)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.
解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为
所以所求椭圆标准方程为
9
25=+ ⑵ 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 由椭圆的定义知，
22)225()23(2++-=a ＋22)225
()23(-+-
10=∴a 又2=c
所以所求标准方程为6
102
2=+x y 另法：∵ 42
222-=-=a c a b
∴可设所求方程142
222=-+a x a y ，后将点（23-,2
5
）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程
(3)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：
∵100)35(0)35(222=+-+++=
a ，2c =6.
∴3,5==c a
∴16352
2
2
2
2
=-=-=c a b
∴所求椭圆的方程为：
116
252
2=+y x . (4)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为
)0(122
22>>=+b a b
x a y . ∴.1442
2
2
=-=c a b
∴所求椭圆方程为：
1144
1692
2=+x y （5）∵椭圆的焦点在y 轴上，所以可设它的标准方程为： ∵Ｐ（０，－１０）在椭圆上，∴a ＝１０. 又∵P 到它较近的一焦点的距离等于2， ∴－c －（－１０）＝２，故c =8. ∴362
2
2
=-=c a b .
∴所求椭圆的标准方程是
136
100=+. 题2。已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程
解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角
坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10
再根据椭圆定义得4,3,5===b c a
所以顶点A 的轨迹方程为
116
252
2=+y x （y ≠0）（特别强调检验) 因为A 为△ABC 的顶点，故点A 不在x 轴上，所以方程中要注明y ≠0的条件
题3。在△ABC 中，BC =24，AC 、AB 的两条中线之和为39,求△ABC 的重心轨迹方程. 分析：以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，M 为重心，则|MB |+|MC |=
3
2
×39=26.
根据椭圆定义可知，点M 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭
圆，故所求椭圆方程为
125
1692
2=+y x (y ≠0) 题4。已知x 轴上的一定点A （1,0），Q 为椭圆14
22
=+y x 上的动点，求AQ 中点M 的轨迹方程
解：设动点M 的坐标为),(y x ，则Q 的坐标为2,12(y x -
因为点Q 为椭圆
14
22
=+y x
上的点， 所以有
1)2(4)12(22
=+-y x ，即14)2
1
(22=+-y x 所以点M 的轨迹方程是14)2
1
(2
2=+-y x
题5。长度为2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点M 分AB 的比为3
2，求点M 的轨迹方程
解：设动点M 的坐标为),(y x ，则A 的坐标为0,35(x B 的坐标为2
5
,
0(y A
C
B x
O
y F E
A
M
C
B
x
O
y M A
Q
2-2
x
O
y
