例谈不同背景下的同类二次约束条件的最值问题

＝ １，
关于 二 次约束 条 件 下 的一 类最 值 问题 文 ［］ １、文
［］ 给 出不 同条 件 下 的求解 方 法 ，本 文主 要探 讨 近 ２均 年 在 不 同试 卷 中 出现 的 该 二 次 约 束～
源 ，并给 出 比较完整 的解法策 略 ．
＋２ ｙ— ． Ｂ ＋ｙ２ ｘ ＯＡ 一 Ｏ
２ １ 第 ４期 ０２年
均 值 不等 式求 得 ．
福 建 中学数 学
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子 仍然 不变 ，故此 方程 为对 称 式方程 ．
２纯粹数学背景 例 ２ （０ １ 高考 浙江 卷 ・ １）设 Ｘ，Ｙ为 实 ２１ 年 理 ６
数 ，若 ４ ＋Ｙ ＋ｘ 。 ｙ＝１ ，则 ２ ＋ Ｙ的最 大值 是
１
亦 即 ＋ ｚ ｖ ：１．它表 示一 个椭 圆 ，利 用椭 圆的
ｆ（，） 。 －ｔ ｔＹ ＝，＋Ｙ ＋ｇｙ，该 二 次 型对 应 的二 阶 矩 阵 记 －
，
１
一 — —
参 方 “√ｃ ’ 数 程ｌ ３ ＝ ｏ
【 ｓ ９ Ｖ ｉ ， ｎｔ
１ （＋ ）， ＋ ｘ
即÷ １ 亦即（＋ ） ４ （＋ ） ， ，
故 可得 ＋ Ｙ的最 大值 为 ２ ．
解
：
：
＋
） ｚ
点评 解此题 的关键是如何将 隐含在 背景条件 中 的数 学模 型化 问题 提取 出来 ， 这里 由于 Ｘ与 Ｙ的 系
数 比刚好 和 与 Ｙ 的系数 比相 等 ， 因此很容 易 由平
Ａ Ｂ＝Ａ Ｃ＝Ｂ ２ ， 因 此 三 棱 锥 Ｃ＝
积 Ｖａ４１：口 辈 ． 为 ＝ — ３１： ３ ｘ ３ 口
ｏ ｊ ｊ
（ 即一 个 棱长 为 的正 方 体 割 去 四个 直 角 三棱 锥 后 的体 积 ） ．
Ａ—Ｂ Ｄ可 以看 作棱 长为 １的正 方 Ｃ 体 中 的三 棱锥 ，其 中 Ｂ ， ＤＣ是 Ｄ
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福 建 中学数 学
２ １ 第 ４期 ０ ２年
ｌ ，则 四面体 。
Ａｉ ： Ｍ Ｎ ： １， Ｍ
即为 满足 条件 的正 四面体 ．设 Ｄ Ｆ瑚 Ｉ ， “ 。
一个 侧面 Ａ Ｃ是正 三角 形 ． Ｂ
（ ）求证 ： Ａ 上Ｂ １ Ｄ Ｃ；
（ ）求 二面 角 Ｂ— Ｃ— 的大小 ； ２ Ａ Ｄ
面 Ａ Ｄ 、 Ａ Ｄ是 全 等 的直 角 三 角 Ｂ Ｃ 形 ，Ａ Ｄ是 公共 的斜 边 ，Ａ ，Ｂ ＝Ｃ Ｄ＝ Ｄ Ｄ＝１ ，另
例谈不 同背景下 的同类二次约 束条件 的最值 问题
张 国Ｊ ｉ Ｉ 福 建省 惠安 嘉惠 中学 （６ １０ ３２ ０ ） ＝ ＋ ｘ ￣ Ｃ Ｓ２ 。 ｙ ２ｙ０ ｂ Ｏ １０ ＋ ２ ２
ｉ 方 体 的 棱 长 为 口 ， 若 Ｆ ＿
则 。昙 有Ｅ ， ＝
【 ≯
（） ３ 在直 线 Ａ Ｃ上 是否 存在 一 点 Ｅ， Ｅ 使 Ｄ与 面
Ｂ Ｄ成 ３ 。 Ｃ ０ 角？
Ｄ √ ＋１ ＝ ａ ，＝ ４ ＩＡ２ ， Ｅ Ｄ Ｅ ２
由于 ４ １Ａ ｉ ＡＭ・１ｌ Ｄ ・１ ＝ １ ＤＥ ，得 口 ， Ｅ ＝／ ｓ， 那么 ，正四面体的棱长为 ｄ＝ ２ ＝ １ ４ ａ ４ ｏ，其体
＝
即 背景 问题 归结 为 在 二 次 约束 条 件 ＋Ｙ 一ｘ ｙ ｌ ，求 Ｘ 下 ＋Ｙ的最 大值 ． 由已知条件 可 知 ， Ｘ， Ｙ∈Ｒ ，
定理 对于 元 实二 次型 厂 ，２…， ） Ａ ， （ Ｘ， ＝Ｘ Ｘ
， ， … ，
为 的全部特征值， 那么ｍｎ ｉ｛
．
— —
引入 两个 参 数 ｔ， ｖ ， Ｉ 并假 设 Ｘ＝“ ｖ，代 入 约束 一 条件 得 （ 一， ＋（ ＋ ）一（ 一， “ ） “ １ ） “ ｖ “ １（ ＋ｖ ＝３， ）
即 ２ ２ 。 （ 一 ＝Ｕ ＋３ ｕ ＋ ｖ 一 ｖ ） ｖ ＝３，
解
设 ｆｘ Ｙ ＝ ｘ ＋ ， 令 ｔ ２ ， 则 （ ，） ４ Ｙ ＋ ＝ｘ
如 图 ，在三 棱锥 Ａ— Ｃ Ｂ Ｄ中 ， 侧
体 的面对 角线 ， Ｄ是 正 方体 的体对 角线 ， 图所示 ， Ａ 如
则可建立空间直角坐标系进行解答 ．
构造 长 方体模 型解 题 ，是一种 模 型化 思考 方法 ， 是 一种 转 化 途径 ，是 一种 整 体 思 维策 略 ，对于 提 高 学 生思维 的灵活 性 ，优化 思 维 品质 是 大有 裨益 的 ．
若 存在 ，确 定 Ｅ的位 置 ；若 不存在 ，说 明理 由．
该题是倒数第三题，平均得分为 ２ ０ ． ，很多学 ９ 生习惯空间向量解立体几何 ，不过该题 学生不知道
如 何建 立 空 间直 角 坐标 系 ，导致 得 分 偏 低 ，但 如 果 将 其放进 长 方体 中 ，问题就 迎刃 而解 了 ． 分 析 从题 目的条件 可 以得 出
＂
．
Ｘ Ｘ
≤ （ ，２…， ） ｍ ｘＡ ＸＸ ． ｆｘ ， ≤ ａ｛ ｝ ｌ
：
１
Ｂ
（ ｘ
＝
＋ｙＹ １ｘ ｌ【 ） ２＋ ＿ ３＜ ３ ｘ ＋ｙ ＋
１平面向量背景
例 １给 定两 个长 度为 １的平面 向
量 和 ， 它们 的夹 角为 １０ 如 图所示 ， Ｃ在 ２ 。． 点 以 ０为 圆心 的 圆弧 Ａ — Ｂ上变 动 ，若 ： — — Ｏ Ａ＋ Ｏ Ｂ， 其 中 Ｘ Ｙ∈Ｒ ，则 Ｘ Ｙ的最大 值是— — ． ， ＋
正 方体 的棱 Ａ Ｂ， Ａ Ｃ， Ｂ Ｃ是正 方
有 些 四面体 是 长 方 体 的寄 居 体 不太 明 显 ，而 图 形 中有 直 角 三 角形 、 等腰 三 角形 或是 等边 三 角 形在 解题 时也 不 妨先考 虑其 能否 寄居 在长 方体 内 ．若 能 ， 则可 给解 题 带来 方便 ． 例 １２ ０ 高考江 西卷 ・ ２ ） （０６年 理 ０