线代复习重点解析之--特征值与二次型

2020考研数学考点：线代特征值与二次型一、矩阵的特征值与特征向量问题矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。

若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。

若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。

考研教育网2.矩阵(方阵)的相似对角化问题这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。

事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。

3.实对称矩阵的正交相似对角化问题其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。

这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。

这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

二、二次型二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。

第5章 特征值问题 二次型一. 填空题1.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111111111A 的非零特征值是 .2.设3阶矩阵A 的特征多项式)3)(2)(1(λ---=-λλλA E ，则1-A 的三个特征值分别为 .3.若3阶矩阵A 的三个特征值分别为-1，-1，8，则|A |= .4.若λ0是n （3≥n ）阶方阵A 的特征值，则r (A E -0λ) n .5.设0λ是方阵A 的一个特征值,则0λk 是方阵 的一个特征值，20λ是方阵 的一个特征值，23020+-λλ是方阵 的一个特征值.6.设A 是n 阶方阵，且A x =0有非零解，则λ= 必为A 的特征值.7.设A 是n 阶方阵，|A |≠0，*A 为A 的伴随矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ，则()E A +2*必有特征值 .8.设n 阶方阵A 的各行元素之和为)0(,≠a a ，则A 必有一个特征值0λ= ，且E A A 53223++有一个特征值 .9.n 阶方阵A 有n 个互异的特征值为n λλλ,,,21 ，则A 的对应于)1(n i i ≤≤λ的线性无关特征向量有 个；且r (A E i -λ)= )1(n i ≤≤.10.n 阶零方阵A 的全部特征值为 ，全部特征向量 .11.若矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4321123122与x 相似，则x = . 12.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为51,41,31,21,则行列式=--||1E B13.设A 与单位矩阵E 相似，则A= . 14．矩阵A 与B 相似，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=30120111B ，则=A . 15．n 阶矩阵A 与B 相似，且2-=A ，则=3B . 16．若n 阶矩阵A 与B 相似，且A 2=A ，则B 2= .17. n n A ⨯有k 重特征值0λ，其余都不是重特征值，若n n A ⨯可对角化，则)(0A E r -λ为 .18.设44⨯A 相似于矩阵B ,44⨯A 的特征值为51,41,31,21，则||12E B B -+-- .{二次型19. n 元二次型与 矩阵是一一对应的.222123112223320.(,,)48543.f x x x x x x x x x x =++++二次型的正惯性指数、负惯性指数及符号差分别为，， 21．已知实二次型323121232221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换Py x =可化成标准形,621y f =则a = .22.A 为实对称矩阵，且0≠A ，把二次型f =x T A x 化为f =y T A -1y 的线性变换是x = y .23. 矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=t tA 11正定时，t 应满足的条件是 . 24.与单位矩阵合同的二次型都是 定二次型.222123123122325.(,,)22______.f x x x x x x x x ax x a =++++若二次型是正定的，则应满足26.A 是n 阶正交正定矩阵，则 .}二.选择题1.21λ,λ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b aA 是A 的两个特征值，则21λλ+=（ ） (A) b a - (B) d c + (C) d a + (D) d c -.2.设λ=2是可逆方阵A 的一个特征值，则矩阵1231-⎪⎭⎫⎝⎛A 的一个特征值为（ ）.(A) 4/3 (B) 3/4 (C) 1/2 (D)1/4.3.已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=x A 123022有一个特征向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-35，则x =( ). (A) -18 (B) -16 (C) -14 (D) -12..5.设,53342111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=a A 且A 的特征值为6，2，2.若A 有三个线性无关的特征向量，则a=（ ）.(A) 2 (B) -2 (C) 4 (D) -4.6. 设3阶方阵A 的特征值为0，1，2，A A B 52-=，则|B |=（ ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3. 7. 设A 是n 阶实对称矩阵，P 是n 阶可逆矩阵，若α是A 的对应于特征值λ的特征向量，则TAP P )(1-的对应于特征值λ的特征向量是（ ）.(A) αP (B) α1-P (C) αT P (D) ()αTP 1- .9. 4阶方阵A 满足,0||,2,0|2|<==+A E AAA E T则A 的伴随矩阵*A 的一个特征值为（ ）.(A) 22 (B) 22- (C) -1 (D)1.11.βα,分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值λ1，λ2所对应的特征向量，则α与β的内积],[βα=（ ）(A)1 （B ）-1 （C ）0 （D ）无法确定.18.二次型2221212136),(x x x x x x f ++=的矩阵表示是（ ）（A ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213421x x x x （B ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213331x x x x （C ）()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21213511x x x x （D ）()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡21213151x x x x . 19.二次型x x x x x x x x x x x x f ++--+=),,(的秩等于（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）0. 20.下列矩阵中与矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500210002合同的是( ) (A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---200020001 (B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-500020003(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--10010001(D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1002000221.设,000000000000004,1111111111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=B A 则A 与B( ) (A )合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似22.设A 为3阶实对称矩阵，对任意nR x ∈有0=Ax x T，则( ) (A) |A|=0 (B) |A|>0 (C) |A|<0 (D) 以上都不对{二次型23.为正定的充要条件是n n A ⨯（ ） （A ）0>A (B) C C A C n T =使阶矩阵存在（C ）负惯性指数为零 (D) 各阶顺序主子式均大于零. 24.实对称矩阵A 的所有特征值全大于零是A 正定的（ ）条件. （A ）充分 （B ）必要 （C ）充要 （D ）无关25.二次型x x tx x x x x x f +-+=),,(正定，则t 的取值范围是（ ） （A ）-4<t<4 （B ）-2<t<2 （C ）-1<t<1 （D ）-3<t<3.26.若A 、B 都是正定的n 阶实对称矩阵，则AB 一定（ ） (A) 实对称矩阵 (B 正交矩阵 (C)正定矩阵 (D)可逆矩阵 27. 若A 、B 都是正定矩阵，则（ ）(A) AB ，A+B 都正定 (B) AB 正定，A+B 非正定 (C)AB 非正定，A+B 正定 (D) AB 不一定正定，A+B 正定.}三.计算题 1．求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=101410213A 的实特征值及对应的特征向量. 2．求矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=1111111111111111A 的特征值，并证明A B 21=是正交阵，且与B -1有相同的特征值.3．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011100y xA 有三个线性无关的特征向量，求x 与y 应满足的条件. 4.44⨯A 满足0|2|=-E A ，E AAT2=，0||<A ，求*A 的一个特征值.5.设3阶矩阵A 满足),3,2,1(==i i A i i αα其中,212,122,221321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα试求矩阵A.6.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=a cb c aA 01351，1||-=A ，又*A 有特征值0λ，*A 的属于0λ的特征向量为T )1,1,1(--=α，求c b a ,,及0λ的值.7.设向量Tn T n b b b a a a ),...,,(,)...,,(2121==βα均为非零向量,且满足条件,0=βαT 记,T A αβ=求(1);2A (2)矩阵A 的特征值和特征向量.8.设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3;矩阵A 的属于特征值1,2,的特征向量分别为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121,11121αα.(1)求A 的属于特征值3的特征向量;（2）求矩阵A .9.设矩阵.3241223⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=k kA （1）k 为何值时,存在可逆矩阵P,使得AP P 1-为对角矩阵?（2）求出P 和相应的对角矩阵.10.A 是3阶实对称矩阵，它的一个特征值为3，且线性方程组A x =0基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112,22121ξξ，求A.11.已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=2135212b a A 的一个特征向量.（1）确定常数b a ,；（2）确定特征向量ξ对应的特征值；（3）A 能否对角化？并说明理由.12.设矩阵A 和B 相似,其中 .0020001,11322002⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=y B x A （1）求x ,y 的值;（2）求可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-13.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=5334111y xA .已知A 有3个线性无关的特征向量,2=λ是A 的二重特征根. 求可逆矩阵P,使得AP P 1-为对角矩阵.14.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211,111111βaa a A . 已知线性方程组 A x =β有解但不唯一,试求(1) a 的值. (2) 正交矩阵 Q ,使Q -1AQ =Q TAQ=Λ为对角矩阵.15.化二次型2221231231213(,,)542f x x x x x x x x x x =+-++为标准形,写出相对应的可逆线性变换.16.二次型)0(2332),,(32232221321>+++=a x x x x x x x x f α经正交变换x =Q y 化为23222y y f +=.试求常数a 及所用的正交变换矩阵Q .17.3阶实对称矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，x =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x .（1）求正交矩阵Q 及对角矩阵Λ，使得Q T AQ =Λ；（2）求一正交变换化实二次型=),,(321x x x f x T (A 2+3A )x 为标准形.18.求实二次型∑∑≤<≤=+=414122nj i j ii ix xaxf 的秩和符号差.19. 确定参数t ，使得二次型.2232),,(3121232221321为正定二次型x x x tx x x x x x x f ++++=20. 已知3阶实对称矩阵A 的特征值为4,21321-===λλλ.（1）证明：2E -A *是可逆矩阵；（2）设B=(A *)2-4A *+4E,试证B 是正定矩阵.21.设有n 元实二次型212112322221121)()()()(),,,(x a x x a x x a x x a x x x x f n n n n n n ++++++++=--问：n a a a ,,,21 满足何种条件时，该二次型正定？22. A 是正定矩阵，求一个正定矩阵B ，使A=B 2.四.证明题1.设1λ，2λ为n 阶方阵A 的两个互异特征值，21,αα分别为对应于1λ，2λ的特征向量，试证21αα+不是A 的特征向量.2.已知A A =2,试证：(1)方阵A 的特征值为0或1; (2)E A +必可逆.3.，，1||-==A E AA T 证明：-1为A 的一个特征值. 4.A 满足O E A A =+-232，试证其特征值为1或2. 5.n 阶矩阵A 、B 满足AB =A +B ，证明λ=1不是A 的特征值.6．证明：若0≠λ是m n n m B A ⨯⨯的特征值，则λ必为n m m n A B ⨯⨯的特征值.7.已知33⨯A 有三个不同特征值321λλλ、、，其相应特征向量分别为321,,ααα，记β=321ααα++，证明：βββ2,,A A 线性无关.8. 2阶实矩阵0,>⎥⎦⎤⎢⎣⎡=bc d c b aA .证明A 必与对角阵相似. 9.若A 可逆，且A 与B 相似.证明A *与B *相似.10.设A 为n 阶实对称矩阵，且0=2A ，试证：A=0. 11.已知A 为3阶方阵，且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛300020001~A ，设)3)(2)((E A E A E A B ---=.证明：O B =.12．已知,61000512141⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=A 证明：.lim O A nn =∞→13.证明：秩为r 的对称矩阵可表作r 个秩为1的对称矩阵之和.14. 实矩阵A 反对称⇔对任意n R x ∈有0=Ax x T.15. 设A 为实对称矩阵，则A =O ⇔对任意n R x ∈有0=Ax x T.16..C C A C A T=使逆阵为正定阵，证明存在可设对称阵 17.试证：A 为n 阶可逆矩阵，则A T A 是正定矩阵.18．A 是n 阶半正定矩阵，证明：nE A 22≥+，其中等号成立的充分必要条件是A=O.19.设A 为m ×n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,已知,A A E B T+=λ试证:当0>λ时,B 为正定矩阵.答案与解法提示一．1. 3； 2.1，1/2，1/3； 3.8； 4. <n ； 5. kA , A 2, A 2-3A +2E ; 6. 0； 7.122+λA；8.(提示: A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 =a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 ) 532,23++a a a ； 9.1，n -1； 10. 0，任意n 维非零向量; 11.B ；12. n -k ； 13.30305; 14. -17； 15. 24； 16.E ； 17. 6； 18. -8; 19．n 阶实对称； 20. 2，1，1; 21.a =2; 22. A -1; 23.t>1； 24.正; 25.22<<-a ;26. A=E .提示：A 为正交正定矩阵，故A 2=AA=A TA=E ，即有(A+E)(A -E)=O 因A+E 可逆，两边左乘 (A+E)-1得A -E=O ，即A=E.二．1.(C); 2.(B); 3.(B); 4.(D); 5.(B); 6.(A); 7.(C); 8.(D); 9.(A)提示：由题意,,0|2||2|=--=+A E A E 从而2-为A 的一个特征值.又由E AA T 2= 得422|2|||||===I A AA T,0||<A ,所以, ,4||-=A 从而*A 的一个特征值为.22||1=-A λ10.（D ）； 11.(C); 12. (A); 13. (B); 14. (B); 15.（D ）； 16.(D); 17. (D); 18．(B); 19.(A); 20. (B); 21. (A); 22.(A); 23.(D); 24.(C); 25.(A); 26. (D); 27. (D). 三．1. ().0,1,2,0,1≠==k k Tαλ.2121;,41.2,2.2114321有相同的特征值与，故所以，又因为正交阵故因B B B A ABBA AB E A A B B TTTT T--=======-====λλλλ.0,1)(1,11,0)1()1(||.31212=+=-=-===+-=-y x A E r A E 则，须对（二重）故因λλλλλλ4.22-；5.提示：)3,2,(),,(),,(321321321ααααααααα==A A A A .令 )3,2,(),,,(321321αααααα==B P 则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----===-22225020731,1BPA B AP ； 6.提示：,0*αλα=A 又,||*E E A AA -==从而 ααλα-==A AA 0*,对应矩阵方程为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111111013510a cbc aλ 即 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+--=++-1)1(1)35(1)1(000a c b c a λλλ 解之得2,3,10==-==c a b λ； 7.提示:(1) ,)(2T T TTA βαβααβαβ==其中αβT为数,从而0)()(2===TT T TTAββααβαβα(2)由（1）可得A 特征值λ=0,即A 仅有零特征值.解)0(A E -x =0由Tn T n b b b a a a ),...,,(,)...,,(2121==βα均为非零向量知βα,中均有非零分量,不妨设为0,011≠≠b a ,则⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-0.................0...0...10...0 0...0 (1)1221212221212111b b b b b b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a A n n n n n n n得基础解系,10,...,00,0111132121⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=- b b b b b b n n ξξξ 则A 的全部特征向量为121112211,...,,(...---+++=n n n k k k k k k ξξξξ不全为零). 8.（1）A 的属于特征值3的全部特征向量为).0(1013≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=k k α为任意实数.（2）记,111021111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=P 则,3211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-AP P .31252102521361⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=A 9. （1）A 的特征值为 .1,1321=-==λλλ要使A 可以对角化,重特征根对应齐次线性方程组的基础解系包含向量的个数应等于它的重数,所以应有123)(=-=--A E r ,得 k =0.（2）令,12002111)(321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==ξξξP 则.1111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-AP P 10. 提示：A 特征值为0，0，3.对应于特征值为3的特征向量3ξ与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112,22121ξξ正交，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3543ξ.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=--50271092518109235625185625243011P PP P A . 11. 提示：(1)由A ξ =λξ ,解得 0,3,1=-=-=b a λ；(2)将0,3=-=b a 代入有 3)1(||+=-λλA E ,所以–1为A 的三重特征根.而.2)=--A E r （ 所以A 不能对角化.12. 提示：(1)相似矩阵具有相同的特征行列式||||B E A E -=-λλ,即 ))(2)(1(]2))(1)[(2(y x --+=---+λλλλλλ 令0=λ、1=λ得2-=x y ; 2-=y ；所以,,0=x 2-=y .(2) A 、B的特征值均为;2,2,1321-==-=λλλ解特征方程)3,2,1(0)(==-i X A E i λ得对应特征向量为B AP P P ==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1321321,101,110,120）则（令ξξξξξξ.13. 提示：A 可对角化.对2=λ，有 123)2(=-=-A E r ，得 .2,2-==y x A 的特征值为.6,2321===λλλ对应的线性无关特征向量为.321,101,011321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ξξξ令),(321ξξξ=P 则.600200021⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-AP P 14. 提示：)1(对增广矩阵施行初等行变换:()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=a a a a a a aa aA 220001101112111111112β方程组有解但不唯一，则必有3)()(=<=n A r A r β ，从而.2-=a(2)A 的全部特征值为0,3,3-，所对应的特征向量分别为,111,121,101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-正交化、单位化得正交矩阵,31612131620316121⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=Q 使 Λ=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-0331AQ Q AQ Q T为对角阵. 15. 可逆线性变换112322333252x y y y x y y x y=--⎧⎪=+⎨⎪=⎩化二次型为标准形2221236f y y y =+-.16. 提示： (i)二次型的矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，A 的特征值为0，1，2；利用 0|2|0|1|0|0|=-=-=-A E A E A E 或或 可得a =2.(ii)求出A 的分别对应于0,1,2的线性无关特征向量,单位化即得所求正交矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q 17. (1)令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6231612131612131Q ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-1151AQ Q AQ Q T (2)标准形2322212240y y y f --=.18．提示：通过计算二次型矩阵A 的特征值获得结果.a =1时，秩为1，正惯性指数为1，负惯性指数为0，符号差为1； a = -1/3时，秩为3，正惯性指数为3，负惯性指数为0，符号差为3； a ≠1且a ≠-1/3时，秩为4.且当a>1时，正惯性指数为1，负惯性指数为3，符号差为-2；且当-1/3<a<1时，正惯性指数为3，负惯性指数为1，符号差为2； 且当-1/3<a<1时，正惯性指数为4，负惯性指数为0，符号差为4； 且当a<-1/3时，正惯性指数为3，负惯性指数为1，符号差为2. 19.315315<<-t .20. 提示：(1)2E -A *的特征值为,47,4,4A 即2不是A *的特征值，故02*≠-A E所以2E -A *是可逆矩阵.（2）B=(A *)2-4A *+4E 的特征值为1649,16,16.3个特征值都大于零，故B 正定.21. 提示: 若要),...,,(21n x x x f 为正定二次型需),...,,(21n x x x f >0(对任意x ≠0)成立, 由题意知 0),...,,(21≥n x x x f .其中等号成立当且仅当 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+--0000111322211x a x x a x x a x x a x n n n n n .方程组仅有零解的充分必要条件 是0...)1(11...1...000.. 0...100 (01211)121≠-+=+-n n nn a a a a a a a所以,当0...)1(1211≠-++n n a a a 时, ),...,,(21n x x x f >0(对任意x ≠0)成立.即nn a a a )1(...21-≠时, ),...,,(21n x x x f 为正定二次型.22. 提示：设),,2,1(n i i =λ是A 的特征值，则),,2,1(0n i i =>λ且有正交矩阵Q 使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n TAP P λλλ21，令T n P P B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ21则B 正定，且A=B 2.四． 1.用反证法.若21,αα是A 的属于0λ的特征向量，可得0)()(220110=-+-ααλλλλ.因21,αα线性无关，得021λλλ==与题设矛盾.2.（1）设λ为A 的特征值，α为对应的特征向量，则 λ2α=A 2α =A α =λα ，可证.(2）求出E A +的特征值，计算E A +即得结论. 3.提示：只须证0=--A E .4. 提示：设λ为A 的特征值，α为对应的特征向量，则)23(2E A A +-α=(λ2-3λ+2)α= 0从而 λ2-3λ+2=(λ-1)( λ-2)=0 即 λ=1或2.5. 提示：AB =A +B ；AB -A -B +E =E ，(A -E )( B –E )=E , 即A -E 可逆，从而0≠-E A .所以λ=1不是A 的特征值.6. 提示：设λ为AB 的非零特征值，α为对应的特征向量，则AB α=λα 因为0≠λ，所以B α ≠0.而由B (AB α)= B (λα)=λ(B α) B (AB α)= BA (B α)得 BA (B α)=λ(B α).即λ也是BA 的特征值，B α为对应的特征向量.7.（略）8. .提示： 由0)()(2=-++-=-bc ad d a A E λλλ及其判别式04)()(4)(22>+-=--+bc d a bc ad d a知A 有两个不同的特征值，因此A 必与对角阵相似. 9.（略）.10. 提示：利用A 可对角化的结果.11. 提示： 依题意，有可逆矩阵P 使11,--Λ=Λ=P P A AP P 即.从而.00000000)2)(()2)((11111O P P PE E P E PP E PP PP B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-Λ-ΛΛ=-Λ-ΛΛ=----- 12. 提示：因A 有3个互异特征值是,61,51,41故有可逆阵P ，使.lim )61(000)51(000)41(61000510004111O A P P A AP P nn n n nn=⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∞→--13. 提示：有可逆矩阵Q ，使得Λ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=001rT a a AQ Q ，则 111211111100)(00)(00)()(--------⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=Q a Q Q a Q Q a Q QQA rTT TT14. 提示：,,)(n R x O A ∈∀=⇒数x T A x 满足 (x T A x )T =x T A T x = -x T A x ⇒x T A x =0;0)(⇐=x TA x ji ij ii nnj i j i ji ijNi ia a a Rx x x a ax-==⇒∈∀++=∑∑≤<≤=,0,)(411215．提示：,)(O A =⇒显然,nR x ∈∀x T A x =0；O A A A AA A A TT=∴-=⇒=-=⇐.)(；又由条件，有16. 提示：()()().,,,00000,000000,,),,,2,1(,0 ,1111132132111C C TS S T TT A TS STSTCST C S T T A AT T T n i A A TTTTTi =⋅=Λ=====⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ΛΛ=Λ==>-------故则令其中则使则存在正交矩阵全部特征值的故正定因λλλλλλλ17. 提示：A T A 为对称矩阵，因A 且可逆，则对任意x ≠0,A x ≠0, 因此x T （A T A ）x =(A x )T (A x )>0 18.提示：A 的特征值n λλ,,1 都非负，从而A+2E 的特征值),,2,1(22n i i =≥+λnn E A 2)2()2(21≥++=+λλ等号成立的充分必要条件是01===n λλ ，由于A 可对角化，故有A=O.19. 提示：: ,)(B A A E A A E A A E B T T T T T =+=+=+=λλλ所以B 为对称矩阵.设0),...,(1≠=T n x x x ,则x T B x = x T (λE+A T A )x = λx T x+ (A x )T (A x )0>λ0,≠x ,所以0>x x T λ, 0)()(≥Ax Ax T ,0>λ从而 x T B x >0, 即B 为正定矩阵.。

考研数学线性代数特征值与二次型讲解一、矩阵的特征值与特征向量问题矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。

若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。

若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。

2.矩阵(方阵)的相似对角化问题这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。

事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。

3.实对称矩阵的正交相似对角化问题其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。

这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。

这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

二、二次型二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。