[考研类试卷]考研数学二(二次型)模拟试卷9.doc

考研数学二（二次型）模拟试卷9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．已知实二次型／=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩阵A=(aij)3×3，则( )A．A是正定矩阵。

B．A是可逆矩阵。

C．A是不可逆矩阵。

D．以上结论都不对。

正确答案：B解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATA x=(Ax)T(Ax)。

因为实二次型f正定，所以对任意x≠0,f＞0的充要条件是Ax≠0，即齐次线性方程组Ax=0只有零解，故A是可逆矩阵。

所以选B。

知识模块：二次型2．设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( )A．xT(A+B)x。

B．xTA一1x。

C．xTB一1x。

D．xTABx。

正确答案：D解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。

设APj=λjPj，则，A一1的n个特征值必都大于零，这说明A一1为正定阵，xTA一1x为正定二定型。

同理，xTB一1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT(A+B)x 为正定二次型。

由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。

知识模块：二次型3．设A，B均为n阶正定矩阵，下列各矩阵中不一定是正定矩阵的是( ) A．A一1+B一1。

B．AB。

C．A*+B*。

D．2A+3B。

正确答案：B解析：A，B为正定矩阵，则A一1，B一1仍是正定矩阵，故A一1+B一1也是正定矩阵。

类似地，选项C、D中的矩阵均为正定矩阵。

故应选B。

事实上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩阵。

考研数学二（选择题）模拟试卷90(题后含答案及解析) 题型有：1.1．设f(x)可导，f(x)=0，f’(0)=2，F(x)=∫0xt2f(x3-t3)dt，则当x→0时，F(x)是g(x)的( )A．低阶无穷小B．高阶无穷小C．等价无穷小D．同阶但非等价无穷小正确答案：D解析：先改写其中，则。

故选D。

知识模块：函数、极限、连续2．设函数g(x)可微，h(x)=e1+g(x)，h’(1)=1，g’(1)=2，则g(1)=( ) A．ln3—1。

B．一ln3—1。

C．一ln2—1。

D．ln2—1。

正确答案：C解析：函数h(x)=e1+g(x)两边同时对x求导，可得h’(x)=e1+g(x)g’(x)。

在上面的等式中令x=1，结合已知条件h’(1)=1，g’(1)=2，可得1=h’(1)=e1+g(1)g’(1)=2e1+g(1)，因此得g(1)=一ln2—1。

故选C。

知识模块：一元函数微分学3．设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的—1倍加到第2列得C，记P=，则( )A．C=P—1APB．C=PAP—1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：由题意得所以(*)式可以表示为C=PAP—1，故选B。

这两道题主要考查的是初等变换与初等矩阵的关系。

考生需要注意的是：初等行变换就是左乘初等矩阵，初等列变换就是右乘初等矩阵。

知识模块：矩阵4．设f(x)为可导函数，且满足条件则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为( )A．2．B．一1．C．．D．一2正确答案：D解析：将题中等式两端同乘2，得由导数定义可知f’(1)=一2，故选D．知识模块：一元函数微分学5．对任意的x∈(一∞，+∞)，有f(x+1)=f2(x)，且f(0)=f’(0)=1，则f’(1)=( ) A．0。

B．1。

C．2。

D．以上都不正确。

正确答案：C解析：由f’(0)=1可知f(x)在x=0处连续。

[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 设矩阵，则矩阵A与B( )（A）合同，且相似．（B）合同，但不相似．（C）不合同，但相似．（D）既不合同，也不相似．2 下列二次型中是正定二次型的是( )（A）f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2．（B）f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2．（C）f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2．（D）f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2．3 设A是n阶实对称矩阵，将A的i列和j列对换得到B，再将B的i行和j行对换得到C，则A与C( )（A）等价但不相似．（B）合同但不相似．（C）相似但不合同．（D）等价，合同且相似．4 下列矩阵中，正定矩阵是( )（A）（B）（C）（D）5 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( ) （A）二次型x T Ax的负惯性指数为零．（B）存在可逆矩阵P使P一1AP=E．（C）存在n阶矩阵C使A=C一1C．（D）A的伴随矩阵A*与E合同．6 下列矩阵中不是二次型的矩阵的是( ) （A）（B）（C）（D）7 n元实二次型正定的充分必要条件是( )（A）该二次型的秩=n．（B）该二次型的负惯性指数=n．（C）该二次型的正惯性指数=官的秩．（D）该二次型的正惯性指数=n．8 下列条件不能保证n阶实对称阵A为正定的是( )（A）A一1正定．（B）A没有负的特征值．（C）A的正惯性指数等于n．（D）A合同于单位阵．9 关于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列说法正确的是( ) （A）是正定的．（B）其矩阵可逆．（C）其秩为1．（D）其秩为2．10 设f=X T AX，g=X T BX是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是( ) （A）X T(A+B)X（B）X T A一1X（C）X T B一1X（D）X T ABX．11 设A，B为正定阵，则( )（A）AB，A+B都正定．（B）AB正定，A+B非正定．（C）AB非正定，A+B正定．（D）AB不一定正定，A+B正定．12 实对称矩阵A的秩等于r，它有t个正特征值，则它的符号差为( )（A）r．（B）t一r．（C）2t一r．（D）r一t．13 f(x1，x2，x3)=x12一2x1x2+4x32对应的矩阵是( )（A）（B）（C）（D）二、填空题14 设f=x12+x22+5x32+2ax1x2—2x1x3+4x2x3为正定二次型，则未知系数a的范围是________．15 二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax=2x2+2x32+4x1x2+8x2x3—4x1x3的规范形是_________．16 若二次曲面的方程为x2+3y2+x2+2axy+2xz+2yx=4，经正交变换化为y12+4z12=4，则a=_________．17 设则二次型的对应矩阵是__________．18 二次型f(x1，x2，x3，x4)=x32+4x42+2x1x2+4x3x4的规范形是___________．19 若二次型f(x1，x2，x3)=ax12+4x22+ax32+6x1x2+2x2x3是正定的，则a的取值范围是__________．20 设A是3阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定阵，则k的取值范围是________．21 设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+A T A是正定阵，则a的取值范围是______.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学二（二次型）模拟试卷7(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．二次型χTAχ正定的充要条件是A．负惯性指数为零．B．存在可逆矩阵P，使P-1AP＝E．C．A的特征值全大于零．D．存在凡阶矩阵C，使A＝CTC．正确答案：C 涉及知识点：二次型2．设二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX，已知r(A)＝2，并且A满足A2－2A＝0．则下列各标准二次型中可用正交变换化为厂的是( )．(1)2y12＋2y22 (2)2y12．(3)2y12＋2y32 (4)2y22＋2y32．A．(1)．B．(3)，(4)．C．(1)，(3)，(4)．D．(2)．正确答案：C 涉及知识点：二次型3．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：A 涉及知识点：二次型4．设则A．A与B既合同又相似．B．A与B合同但不相似．C．A与B不合同但相似．D．A与B既不合同又不相似．正确答案：B 涉及知识点：二次型5．A＝，则( )中矩阵在实数域上与A合同．A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：二次型填空题6．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋χ22＋cχ32＋2aχ1χ2＋2χ1χ3经正交变换化为标准形y12＋2y32，则a＝_______．正确答案：0．涉及知识点：二次型7．设三元二次型χ12＋χ22＋5χ32＋2tχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3是正定二次型，则t∈_______．正确答案：(－，0)．涉及知识点：二次型8．已知A＝，矩阵B＝A＋kE正定，则k的取值为_______．正确答案：＞0．涉及知识点：二次型解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

9．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝aχ12＋aχ22＋(a－1)χ32＋2χ1χ3－2χ2χ3．①求f(χ1，χ2，χ3)的矩阵的特征值．②如果f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22，求a．正确答案：①f(χ1，χ2，χ3)的矩阵为A＝记B＝则A＝B＋aE．求出B的特征多项式｜λE－B｜＝λ3＋λ2－2λ＝λ(λ＋2)(λ－1)，B的特征值为－2，0，1，于是A的特征值为a－2，a，a＋1．②因为f(χ1，χ2，χ3)的规范形为y12＋y22时，所以A的正惯性指数为2，负惯性指数为0，于是A的特征值2个正，1个0，因此a＝2．涉及知识点：二次型10．a为什么数时二次型χ12＋3χ22＋2χ32＋2aχ2χ3可用可逆线性变量替换化为2y12－3y22＋5y32?正确答案：就是看a为什么数时它们的矩阵合同．写出这两个二次型的矩阵B的特征值是2正1负．又看出1是A的特征值，于是A的另两个特征值应该1正1负，即｜A｜＜0．求得｜A｜＝6－a2，于是a满足的条件应该为：a ＜－或a＞．涉及知识点：二次型11．已知A是正定矩阵，证明｜A＋E｜＞1．正确答案：设A的特征值为λ，λ，…，λ，则A＋E的特征值为λ1＋1，λ2＋1，…，λn＋1．因为A正定，所以λ＞0，λ＋1＞1(i＝1，2，…，n)．于是｜A＋E｜＝(λ1＋1)(λ2＋1)…(λn＋1)＞1．涉及知识点：二次型12．已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χ12＋4χ22＋4χ32＋2λχ1χ2－2χ1χ3＋4χ2χ3．当λ满足什么条件时f(χ1，χ2，χ3)正定?正确答案：用顺序主子式．此二次型的矩阵A＝它的顺序主子式的值依次为1，4－λ2，4(2－λ－λ2)．于是，λ应满足条件4－λ2＞0，2－λ－λ2＞0，解出A∈(－2，1)时二次型正定．涉及知识点：二次型13．已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)＋(χ＋aχ)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?正确答案：记y1＝χ1＋a1χ2，y2＝χ2＋a2χ3，…，yn＝χn＋anχ1，则简记为Y＝AX．则f(χ1，χ2，…，χn)＝YTY＝XTATAX．于是，实对称矩阵ATA就是f(χ1，χ2，…，χn)的矩阵．从而f正定就是ATA正定．ATA 正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)n-1a1a2…an．于是，f正定的充要条件为a1a2…an≠(－1)n．涉及知识点：二次型14．设A＝，B＝(A＋kE)2．(1)求作对角矩阵D，使得B～D．(2)实数k满足什么条件时B正定?正确答案：(1)A是实对称矩阵，它可相似对角化，从而B也可相似对角化，并且以B的特征值为对角线上元素的对角矩阵和B相似．求B的特征值：｜λE－A｜＝λ(λ－2)2，A的特征值为0，2，2，于是B的特征值为k2和(k＋2)2，(k＋2)2．令D＝则B～D．(2)当k为≠0和－2的实数时，B是实对称矩阵，并且特征值都大于0，从而此时B正定．涉及知识点：二次型15．设A和B都是m×n实矩阵，满足r(A＋B)＝n，证明ATA＋BTB正定．正确答案：显然ATA，BTB都是n阶的实对称矩阵，从而ATA＋BTB也是n阶实对称矩阵．由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而αT(ATA＋BTB)α＝αTATAα＋αTBTBα＝‖A α‖2＋‖Bα‖2＞0．根据定义，ATA＋BTB正定．涉及知识点：二次型16．设A是3阶实对称矩阵，满足A2＋2A＝0，并且r(A)＝2．(1)求A的特征值．(2)当实数k满足什么条件时A＋kE正定?正确答案：(1)因为A是实对称矩阵，所以A的特征值都是实数．假设A是A的一个特征值，则λ2＋2λ是A2＋2A的特征值．而A2＋2A＝0，因此λ2＋2λ＝0，故λ＝0或－2．又因为r(A－0E)＝r(A)＝2，特征值0的重数为3－r(A－0E)＝1，所以－2是A的二重特征值．A的特征值为0，－2，－2．(2)A ＋kE的特征值为k，k－2，k－2．于是当k＞2时，实对称矩阵A＋kE的特征值全大于0，从而A＋kE是正定矩阵．当k≤2时，A＋kE的特征值不全大于0，此时A＋kE不正定．涉及知识点：二次型17．设A，B是两个n阶实对称矩阵，并且A正定．证明：(1)存在可逆矩阵P，使得PTAP，PTBP都是对角矩阵；(2)当｜ε｜充分小时，A＋εB仍是正定矩阵．正确答案：(1)因为A正定，所以存在实可逆矩阵P1，使得p1TAP1＝E．作B1＝P1TBP1，则B1仍是实对称矩阵，从而存在正交矩阵Q，使得QTB1Q是对角矩阵．令P＝P1Q，则PTAP＝QTP1TAP1Q＝E，PTBP＝QTP1TBP1Q＝QTB1Q．因此P即所求．(2)设对(1)中求得的可逆矩阵P，对角矩阵PTBP 对角线上的元素依次为λ1，λ3，…，λn，记M＝max{｜λ1｜，｜λ2｜，…，｜λn｜}．则当｜ε｜＜1／M时，E＋εPTBP仍是实对角矩阵，且对角线上元素1＋ελi＞0，i＝1，2，…，n．于是E＋εPTBP正定，PT(A ＋εB)P＝E＋εPTBP，因此A＋εB也正定．涉及知识点：二次型18．设C＝，其中A，B分别是m，n阶矩阵．证明C正定A，B都正定．正确答案：显然C是实对称矩阵A，B都是实对称矩阵．｜λEm+n－C｜＝＝｜λEm－A｜｜λEn－B｜于是A，B的特征值合起来就是C的特征值．如果C正定，则C的特征值都大于0，从而A，B的特征值都大于0，A，B都正定．反之，如果A，B都正定，则A，B的特征值都大于0，从而C的特征值都大于0，C正定．涉及知识点：二次型19．设D＝是正定矩阵，其中A，B分别是m，n阶矩阵．记P＝(1)求PTDP．(2)证明B－CTA-1C正定．正确答案：(1)pT)DP＝(2)因为D为正定矩阵，P是实可逆矩阵，所以PTDP正定．于是由上例的结果，得R－CTA-1C正定．涉及知识点：二次型20．二次型f(χ1，χ2，χ3)＝XTAX在正交变换X＝QY下化为y12＋y22，Q的第3列为①求A．②证明A＋E是正定矩阵．正确答案：①条件说明Q-1AQ＝QTAQ＝于是A的特征值为1，1，0，并且Q的第3列＝(1，0，1)T是A的特征值为。

考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷9(题后含答案及解析)题型有：1. 知识模块：极限、连续与求极限的方法11．=________.正确答案：0解析：当x＞0时，＜1，于是有而=0，故由夹逼定理可知=0．知识模块：极限、连续与求极限的方法12．设，则a=______，b=_________．正确答案：；1解析：利用洛必达法则可得当a=0时又当a≠0时故知识模块：极限、连续与求极限的方法13．函数f(x)=的连续区间是_________．正确答案：(-∞，1)∪(1，+∞)解析：初等函数(单一表达式)没有定义的点(附近有定义)是间断点；对分段函数的分界点，要用连续的定义予以讨论．对非分界点，就不同段而言，在各自的区间内可以按初等函数看待．注意到x=0为分界点．因为又f(0)=3，因此=f(0)，即f(x)在x=0处连续．此外，由于函数f(x)在点x=1处无定义，因此x=1为f(x)的间断点．于是所给函数f(x)的连续区间为(-∞，1)∪(1，+∞)．知识模块：极限、连续与求极限的方法解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

14．求下列极限：正确答案：(1)属型．利用洛必达法则．原式=(2)记pn=(-npn)=-t，因此，原式=e-t．(3)属∞-∞型．先通分，有原式=(4)原式=(5)属00型．故原式=而故原式=e-1．(6)属∞0型．原式=，而故原式=e0=1．(7)原式=(8)原式(9)属型．(12)被积函数中含有参数x，把因子e-x2提到积分号外后，易见所求极限为型未定式．应当想到洛必达法则，涉及知识点：极限、连续与求极限的方法15．设xn=ln(1+xn)，x1＞0，(Ⅰ)．求xn；(Ⅱ)求正确答案：(Ⅰ)注意：x＞ln(1+x) (x＞0)，于是xn+1-xn=ln(1+xn)-xn＜0 (n=1，2，3，…){xn}↓有下界极限a=ln(1+a)．又a≥0时a＞In(1+a)，故a=0．(Ⅱ)原式涉及知识点：极限、连续与求极限的方法16．设a＞0为常数，xn=xn.正确答案：当0＜a＜1时0＜xn＜an，an=0；当a=1时xn==0；当a＞1时0＜xn＜=0．因此xn=0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法17．设(x-3sin3x+ax-2+b)=0，试确定常数a，b的值．正确答案：由题设知利用(*)，一方面有另一方面，直接计算又有这表明3+a=0a=-3．将a=-3代入(*)式，即得故b=．综合得a=-3，b= 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法18．讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：正确答案：(Ⅰ)这是初等函数，它在定义域(x2≠1)上连续．因此，x≠±1时均连续．x=±1时，故x=1是第一类间断点(跳跃的)．又，故x=-1也是第一类间断点(可去)．x≠±1时，｜x｜＜1与｜x｜＞1分别与某初等函数相同，故连续．x=±1时均是第一类间断点(跳跃间断点)．因左、右极限均，不相等．(Ⅲ)在区间(0，+∞)，[-1，0)上函数)，分别与某初等函数相同，因而连续．在x=0处y无定义，(Ⅳ)f(x)=是初等函数，在(0，2π)内f(x)有定义处均连续．仅在无定义处及=0处f(x)不连续．在(0，2π)内因此f(x)的间断点是：[*.为判断间断点类型，考察间断点处的极限：是第二类间断点(无穷型的)．又是第一类间断点(可去型的)．(Ⅴ)先求f[g(x)]表达式．当x＞1，x＜1时，f[g(x)]分别与某初等函数相同，因而连续．当x=1时，分别求左、右极限故x=1为第一类间断点(跳跃间断点)．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法19．设0＜x0＜1，xn+1=xn(2-xn)，求证：{xn}收敛并求xn.正确答案：令f(x)=x(2-x)，则xn+1=f(xn)．易知f’(x)=2(1-x)＞0，x∈(0，1)．因0＜x0＜1x1=x0(2-x0)=1-(x0-1)2∈(0，1)．若xn∈(0，1)xn+1=xn(2-xn)∈(0，1)．又x1-x0=x0(1-x0)＞0 {xn}单调上升且有界xn=a．由递归方程得a=a(2-a)．显然a＞0 a=1．因此xn=1．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法20．证明：正确答案：令取对数化乘积为和差涉及知识点：极限、连续与求极限的方法21．设，且f(x)～f’(x)，g(x)～g’(x)(x→a)．(Ⅰ)当x→a时f(x)与g(x)可比较，不等价，求证：f(x)-g(x)～f’(x)-g’(x)(x→a)；(Ⅱ)当0＜｜x-a＜δ时f(x)与f’(x)均为正值，求证：(其中一端极限存在，则另端极限也存在且相等)．正确答案：(Ⅰ)考察极限因此，f(x)-g(x)-f*(x)-g*(x)(x→a)．(Ⅱ)再证涉及知识点：极限、连续与求极限的方法22．设f(x)在(a，b)连续，x1，x2，…，xn∈(a，b)，α1，α2，…，αn 为任意n个正数，求证：∈(a，b)，使得正确答案：依题设n个函数值f(x1)，f(x2)，…，f(xn)中一定有最小和最大的，不妨设min{f(x1)，…，f(xn)}=f(x1)，max{f(x1)，…，f(x2)}=f(x2)，则f(x1)≤αif(xi)≤f(xn)．记η=αif(xi)，若η=f(x1)，则=x1∈(a，b)，f(ξ)=η；若η=f(xn)，则=xn∈(a，b)，f(ξ)=η．若f(x1)＜η＜f(xn)，在x1与xn之间，即ξ∈(a，b)，f(ξ)=η．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法23．设f(x)在[a，b]连续，且∈[a，b]，总∈[a，b]，使得｜f(y)｜≤｜f(x)｜．试证：∈[a，b]，使得f(ξ)=0．正确答案：反证法．若在[a，b]上f(x)处处不为零，则f(x)在[a，b]上或恒正或恒负．不失一般性，设f(x)＞0，x∈[a，b]，则x0∈[a，b]，f(x0)=．由题设，对此x0，∈[a，b]，使得f(y)=｜f(y)｜≤f(x0)=f(x0)＜f(x0)，与f(x0)是最小值矛盾．因此，∈[a，b]，使f(ξ)=0．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法24．设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A＞0，求证：∫0xf(t)dt=+∞．正确答案：因，由极限的不等式性质可知，，当x＞X时f(x)≥，则x＞X时有∫0xf(t)dt=∫0Xf(t)dt+∫Xxf(t)dt≥∫0Xf(t)dt+(x-X)，因此∫0xf(t)dt=+∞．涉及知识点：极限、连续与求极限的方法25．设f(x)在[0，+∞)连续，f(x)=A≠0，证明：∫01f(x)dx=A.正确答案：先作变量替换：∫01f(nx)dx=∫01f(nx)d(nx)∫0nf(t)dt．这是型数列极限．将它转化为型函数极限，便可用洛必达法则求之，即∫01f(nx)dx=∫0nf(t)dt=∫0xf(t)dt 涉及知识点：极限、连续与求极限的方法。

[考研类试卷]考研数学二（二次型）模拟试卷1一、填空题1 二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，则f的正惯性指数为____________.2 已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py 可化成标准形f=6y12，则a=_______．3 设二次型f(x1，x2，x3)=x T Ax的秩为1，A的各行元素之和为3，则f在正交变换x=Qy下的标准形为_________．4 二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2。

的秩为_________.5 求一个正交变换，化二次型 f=x12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x2-8x2x3为标准形．二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5 f(x1，x2，x3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3—2x2x3．6 求二次型f的矩阵的所有特征值；7 若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．7 已知，二次型f(x1，x2，x3)=x T(A T A)x的秩为2．8 求实数n的值；9 求正交变换x=Qy将f化为标准形．9 已知二次型f(x1，x2，x3)=4x2-3x3+4x1x2-4x1x3+8x2x3．10 写出二次型f的矩阵表达式；11 用正交变换把二次型f化为标准形，并写出相应的正交矩阵．11 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1-a)x22+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2．12 求n的值；13 求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；14 求方程f(x1，x2，x3)=0的解．14 设二次型 f(x1，x2，x3)=x T AX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3 (6>o)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12．15 求a，b的值．16 利用正交变换将二次型，化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵．。

[考研类试卷]考研数学二（线性代数）历年真题试卷汇编9一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (11)设A=(α1，α2，α3，α4)是4阶矩阵．A*为A的伴随矩阵．若(1，0，1，0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可为（A）α1，α3．（B）α1，α2．（C）α1，α2，α3．（D）α2，α3，α4．2 (15)设矩阵A=，若集合Ω={1，2}，则线性方程组Ax=b有无穷多解的充分必要条件为3 (05分)设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是（A）λ1≠0（B）λ2≠0（C）λ1=0（D）λ2=0二、填空题4 (01)设方程组有无穷多个解，则a=______．5 (02)矩阵A=的非零特征值是______．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6 (97)λ取何值时，方程组无解，有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．7 (98)已知α1=[1，4，0，2]T，α2=[2，7，1，3]T，α3=[0，1，-1，a]T，β=[3，10，6，4]，问： (1)a，b取何值时，β不能由α1，α2，α3线性表示? (2)a，b取何值时，β可由α1，α2，α3线性表示?并写出此表示式．8 (00)设A=αβT，B=βTα，其中βT是β的转置．求解方程 2B2A2x=A4x+B4x+y9 (01)已知α1，α2，α3，α4是线性方程组AX=0的一个基础解系，若β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα1，β4=α1+tα1．讨论实数t满足什么关系时，β1，β2，β3，β4也是AX=0的一个基础解系．10 (02)已知矩阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．11 (03)已知平面上三条不同直线的方程分别为 l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0，l3：cx+2ay+3b=0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．12 (04)设有齐次线性方程组试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．13 (05)已知3阶矩阵A的第一行是(a，b，c)，a，b．c不全为零，矩阵B=(k为常数)，且AB=O，求线性方程组Ax=0的通解．14 (06)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；(2)求a，b的值及方程组的通解．15 (07)设线性方程组与方程x1+2x2+x3=a-1 ②有公共解，求a的值及所有公共解．16 (08)设n元线性方程组Ax=b，其中(Ⅰ)证明行列式｜A｜=(n+1)a n；(Ⅱ)当a为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求x1；(Ⅲ)当a为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解．17 (09)设(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，Aξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关.18 (10)没A=已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解．(Ⅰ)求λ，a；(Ⅱ)求方程组Ax=b的通解．19 (12)设A=(Ⅰ)计算行列式｜A｜；(Ⅱ)当实数n为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．20 (13)设A=，当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.21 (14)设A=，E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)求方程组Ax=0的一个基础解系；(Ⅱ)求满足AB=E的所有矩阵B．22 (16)设矩阵A=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组A T Ax=A Tβ的通解．23 (17)设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2， (Ⅰ)证明r(A)=2； (Ⅱ)若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．24 (18)已知a是常数，且矩阵A=可经初等列变换化为矩阵B=(1)求a；(2)求满足AP=B的可逆矩阵P．25 (03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．26 (04)设矩阵A=的特征方程有一个二重根，求n的值，并讨论A是否可相似对角化．27 (06)设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(-1，2，-1)T，α2=(0，-1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解． (Ⅰ)求A的特征值与特征向量； (Ⅱ)求正交矩阵Q和对角矩阵A，使得Q T AQ=A．28 (07)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，且α1=(1，-1，1)T是A 的属于λ1的一个特征向量．记B=A5-4A3+E，其中E为3阶单位矩阵． (Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量； (Ⅱ)求矩阵b．。

目录2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (1)2018年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (8)2019年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题 (15)2017年全国硕士研究生招生考试数学（二）试题一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项的字母填在答题纸指定的括号内。

）1.若函数10,(), 0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩0x =在处连续，则（ ） A.12ab =B.12ab =-C.0ab =D.2ab =2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1,0,f f f f x ''=-==->且（）则（ ）. A.1-1()0f x dx >⎰B.1-1()0f x dx <⎰C.11()()f x dx f x dx ->⎰⎰ D.110()()f x dx f x dx -<⎰⎰3.设数列{}n x 收敛，则（ ）.A.n n limsin 0lim 0n n x x →∞→∞==当时，B.(lim 0lim 0n n n n x x →∞→∞==当时，C.()2lim 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时，D.()lim sin 0lim 0n n n n n x x x →∞→∞+==当时， 4.微分方程()24+81cos2xy y y e x '''-=+的特解可设为*y =（）.A.()22cos2sin 2xx Ae e B x C x ++ B.()22cos2sin 2xx Axee B x C x ++ C.()22cos2sin 2xx Aexe B x C x ++D.()22cos2sin 2xx Axexe B x C x ++5.设(),f x y 具有一阶偏导数，且任意的(),x y 都有()(),,0,0,f x y f x y x y∂∂><∂∂则（ ）.A.()()0,01,1f f >B.()()0,01,1f f <C.()()0,11,0f f >D.()()0,11,0f f <6.甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位:m)，图中，实践表示甲的速度曲线()1v v t =（单位m/s ）,虚线表示乙的速度曲线 ()2,v v t = 三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追甲的时刻为0t (单位:s),则（ ）.A.010t =B.01520t <<C.025t =D.025t >7.设A 为3阶矩阵, ()123,,P ααα= 为可逆矩阵，使得1000010,002P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则()123A ααα++=（ ）.A.12+ααB.13+2ααC.23+ααD.13+2αα8.已知矩阵200210100021020020001001002A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则（ ）.A. A C B C 与相似，与相似B. A C B C 与相似，与不相似C. A C B C 与不相似，与相似D. A C B C 与不相似，与不相似二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分。

考研数学二（高等数学）历年真题试卷汇编9(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则A．一2f’(0).B．一f’(0).C．f’(0).D．0正确答案：B解析：2．函数f(x)=ln|(x一1)（x一2)(x一3)|的驻点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：令3x2—12x+11=0由于△= 122一12x+11＞0，则该方程有两个实根，f(x)有两个驻点．3．曲线y=渐近线的条数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由于=1，则该曲线有水平渐近线y=1．又=∞，则x=1为该曲线的一条垂直渐近线，故应选(C)．4．设函数f(x)=(ex一1)(e2x一2)…（enx一n），其中n为正整数，则f’(0)= A．（一1)n一1（n一1）!．B．（一1）n（n一1）!．C．（一1）n1n!．D．（一1）nn!．正确答案：A解析：排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2)f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)f’(0)=一1显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．5．设函数y=f(x)由方程cos(xy)+lny一x=1确定，则A．2B．1C．一1D．一2正确答案：A解析：由方程cos(xy)+lny一x=1知，当x=0时，y=1，即f(0)=1，以上方程两端对x求导得将x=0，y=1代入上式得y’|x=0=1，即f’(0)=1，6．下列曲线中有渐近线的是A．y=x+sinxB．y=x2+sinxC．y=x+sinD．y=x2+sin正确答案：C解析：由于所以曲线y=x+有斜渐近线y=x，故应选(C)．7．设函数f(x)具有2阶导数，g(x)=f(0)(1一x)+f(1)x，则在区间[0，1]上A．当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B．当f’(x)≥0时，f(x)≤g(x)C．当f”(x)≥0时，f(z)≥g(x)D．当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D解析：由于g(0)=f(0)，g(1)=f(1)，则直线y=f(0)(1一x)+f(1)x过点(0，f(0))和(1，f(1))，当f”(x)≥0时，曲线y=f(x)在区间[0，1]上是凹的，曲线y=f(x)应位于过两个端点(0，f(0))和(1，f(1))的弦y=f(0)(1一x)+f(1)x的下方，即f(x)≤g(x) 故应选(D)．8．曲线上对应于t=1的点处的曲率半径是A．B．C．D．正确答案：C解析：故应选(C)．9．设函数f(x)=arctanx，若f(x)=xf’(ξ)，则A．B．C．D．正确答案：D解析：由f(x)= arctanx，及f(x)=xf’(ξ)得故应选(D)．10．设函数f(x)=(α＞0，β＞0)．若f’(x)在x=0处连续，则A．α一β＞1．B．0＜α一β≤1．C．α一β＞2．D．0＜α一β≤2．正确答案：A解析：f一’(0)=0，f+’(0)=该极限存在当且仅当α一1＞0，即α＞1．此时，α＞1，f+’(0)=0，f’(0)=0．当x＞0时，f’(x)=axα一1+βxα一β一1cos要使上式的极限存在且为0，当且仅当α一β一1＞0．则α一β＞1．故应选(A)．11．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其2阶导函数f”(x)的图形如右图所示，则曲线y=f(x)的拐点个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：由右图知f”(x1)=f”(x2)=0，f”(0)不存在，其余点上二阶导数f”(x)存在且非零，则曲线y=f(x)最多三个拐点，但在x=x1两侧的二阶导数不变号，因此不是拐点，而在x=0和x=x2两侧的二阶导数变号，则曲线y=f(x)有两个拐点，故应选(C)．12．设函数f(x)在(一∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则A．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．B．函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点．C．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点．D．函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点．正确答案：B解析：x1，x3，x5为驻点，而在x1和x3两侧一阶导数f’(x)变号，则为极值点，在x5两侧一阶导数f’(x)不变号，则不是极值点，在x2处一阶导数不存在，但在x2两侧f’(x)不变号，则不是极值点．在x2处二阶导数不存在，在x4和x5处二阶导数为零，在这三个点两侧一阶导函数的增减性发生变化，则都为拐点，故应选(B)．13．设函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)．若两条曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某个邻域内，有A．f1(x)≤f2(x)≤g(x)．B．f2(x)≤f1(x)≤g(x)．C．f1(x)≤g(x)≤f2(x)．D．f2(x)≤g(x)≤f1(x)．正确答案：A解析：由函数fi(x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且fi”(x0)＜0(i=1，2)可知，在x0某邻域内曲线y =fi(x)(i=1，2)是凸的，而两曲线y=fi(x)(i=1，2)在点(x0，y0)处有公共切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f1(x)的曲率大于曲线y=f2(x)的曲率，则在x0的某邻域内三条曲线如图所示，故在x0点的该邻域内f1(x)≤f2(x)≤g(x)故应选(A)．填空题14．曲线y=的渐近线方程为________．正确答案：y=2x．解析：显然曲线y=无水平渐近线和垂直渐近线，则原曲线有斜渐近线y=2x．15．函数y=ln(1一2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=________．正确答案：一2n(n一1)!.解析：利用ln(l+x)的麦克劳林展开式16．已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽ω以3 cm/s的速率增加，则当l=12 cm，ω=5 cm时，它的对角线增加的速率为________．正确答案：3．解析：设l=x(t)，ω=y(t)，其对角线长为z(t)，则z2(t)=x2(t)+y2(t)，2z(t)z’(t)=2x(t)x’(t)+2y(t)y’(t)将x(t)=12，y(t)=5，x’(t)=2，y’(t)=3，z(t)==13代入上式得z’(t)=3．17．设y=y(x)是由方程x2一y+1=ey所确定的隐函数，则|x=0=________．正确答案：1．解析：在方程x2一y+1=ey中令x=0，得y=0，该方程两端对x求导得2x 一y’=eyy’将x=0，y=0代入上式得y’(0)=0，上式再对x求导2一y”=eyy’2+eyy”将x=0，y=0，y’(0)代入上式得y”(0)=1．18．曲线y=x2+x(x＜0)上曲率为的点的坐标是________．正确答案：(一1，0)．解析：由y=x2+x得，y’=2x+1，y”=2，代入曲率计算公式得由K=得(2x+1)2=1解得x=0或x=一1，又x＜0，则x=一1，这时y=0，故所求点的坐标为(一1，0)．19．曲线上对应于t=1的点处的法线方程为________．正确答案：y+x=解析：而t=1时，x=则t=1处的法线方程为20．设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x 一1)，x∈[0，2]，则f(7)=________．正确答案：1．解析：由f’(x)=2(x一1)，x∈[0，2]知，f(x)=(x一1)2+C．又f(x)为奇函数，则f(0)=0，C=一1．f(x)=(x一1)2一1．由于f(x)以4为周期，则f(7)=f[8+(一1)]=f(一1)=一f(1)=1．21．曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=处的切线的直角坐标方程是________．正确答案：解析：22．=________．正确答案：48．解析：23．函数f(x)=x22x在x=0处的竹阶导数f(n)(0)=________．正确答案：n(n一1)(ln2)n一2．解析：24．曲线y=+arctan(1+x2)的斜渐近线方程为________．正确答案：y=x+解析：则该曲线的斜渐近线方程为y=x+25．已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．正确答案：5．2n一1．解析：等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4f”(x)=2+2f’(x)，f”(0)=2+2f’(0)=10f”‘(x)=2f”(x)f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f”(x) (n＞2)f(n)(0)=2n一22f”(0) (n＞2)= 2n一2．10=2n一1．5.26．已知动点P在曲线y=x3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标对时间的变化率为常数υ0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是________．正确答案：解析：由题设知解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。