二次型与极值

二次型正定求取值范围二次型是数学中一类重要的函数形式，在多元函数和线性代数中广泛应用。

而二次型的正定性是研究二次型性质的关键。

本文将讨论二次型正定求取值范围的问题。

首先，我们先来定义什么是二次型。

二次型是指形如\[f(x_1,x_2,\dots,x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \dots + a_{nn}x_n^2 +2a_{12}x_1x_2 + \dots + 2a_{ij}x_ix_j + \dots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n\]的函数，其中\(a_{ij}\)为常数，\(x_1,x_2,\dots,x_n\)为变量。

可以看出，二次型包含了平方项、交叉项和常数项。

接下来，我们来讨论二次型的正定性。

一个二次型被称为正定的，如果对于所有非零向量\(\mathbf{x} = (x_1,x_2,\dots,x_n)^T\)，都有\(f(\mathbf{x}) > 0\)。

也就是说，正定二次型的取值恒大于零。

现在我们来确定二次型正定的取值范围。

为了简化讨论，我们假设二次型的系数矩阵是对称矩阵，即\(A = (a_{ij})\)满足\(a_{ij} = a_{ji}\)。

这样的假设并不失一般性，因为对于非对称的情况可以通过调整对应项的系数使之对称。

首先，我们来考虑二次型的判别式。

对于一个\(n\)元二次型，其判别式为\[\Delta = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn}\end{vmatrix}\]如果判别式\(\Delta >0\)，则二次型是正定的。

二次型判别式二次型判别式是线性代数中的重要概念之一，它在矩阵和向量的运算中起到了很大的作用。

在本文中，我们将介绍二次型判别式的定义、性质以及应用。

一、二次型判别式的定义二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，可以用矩阵的形式表示为Q(x)=x^TAX，其中x=(x1,x2,...,xn)^T是n维列向量，A 是一个n×n的实对称矩阵。

二次型判别式即为二次型的判别标准，用于判断二次型的正负性质。

1. 对于任意非零向量x，二次型Q(x)的值始终大于0、小于0或等于0。

2. 二次型Q(x)的符号由矩阵A的特征值决定。

若A的所有特征值均大于0，则Q(x)>0；若A的所有特征值均小于0，则Q(x)<0；若A的特征值既有正值又有负值，则Q(x)既可以大于0也可以小于0。

三、二次型判别式的应用1. 最优化问题：在求解约束最优化问题时，常常需要判断目标函数的正负性质。

二次型判别式可以帮助我们确定目标函数的极值点。

2. 特征值分析：二次型判别式与矩阵的特征值密切相关。

通过求解二次型的特征值，我们可以得到矩阵的特征向量，从而进一步研究矩阵的性质。

3. 物理学应用：二次型判别式在物理学中也有广泛的应用。

例如，通过分析二次型判别式可以判断力学系统的稳定性，帮助我们理解物理现象。

四、二次型判别式的例子考虑一个二次型Q(x)=x^TAx，其中A是一个2×2的实对称矩阵。

我们可以计算二次型的判别式D=det(A)，根据判别式的值可以判断二次型的正负性质。

1. 当D>0时，二次型Q(x)的值为正。

这表示A的特征值均为正，二次型对应的椭圆曲线在坐标系中的图像是一个椭圆。

2. 当D<0时，二次型Q(x)的值为负。

这表示A的特征值均为负，二次型对应的椭圆曲线在坐标系中的图像是一个双曲线。

3. 当D=0时，二次型Q(x)的值可能为正也可能为负。

这表示A的特征值既有正值又有负值，二次型对应的椭圆曲线在坐标系中的图像是一个抛物线。

2023数一线代大题二次型二次型是高中数学中的一个重要概念，也是线性代数中的重要内容。

在2023年的数一线代大题中，二次型也将成为一道重要的考点。

了解并掌握二次型的性质、特征和相关计算方法对于解答这道大题是至关重要的。

1. 二次型的定义与性质二次型是多元二次方程的总和，表达形式为：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + \ldots +a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + \ldots + 2a_{ij}x_ix_j + \ldots + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$其中，$a_{ij}$ 是实数系数，$x_1, x_2, \ldots, x_n$ 是变量。

二次型的计算可以通过矩阵的形式进行简化，可以用矩阵的方式表示为：$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x}$其中，$\mathbf{x}$ 是列向量，$\mathbf{A}$ 是一个$n \times n$ 的矩阵。

二次型的性质有一些重要的特点，其中包括：对称性：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = f(x_2, x_1, \ldots, x_n)$，即二次型的各项次序可交换。

非负性：对于任意非零的向量$\mathbf{x}$，有$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x} > 0$ 或$\mathbf{x}^\mathrm{T}\mathbf{A}\mathbf{x} < 0$。

秩的性质：秩为 $r$ 的对称矩阵可以表示为 $r$ 个平方项相加的形式。

2. 二次型的标准形式与规范形式将二次型化为标准形式是研究二次型性质和进行计算的基础。

标准形式的表达式为：$f(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \lambda_1y_1^2 + \lambda_2y_2^2 + \ldots + \lambda_ky_k^2$其中，$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_k$ 为二次型的特征值，$y_1, y_2, \ldots, y_k$ 为相应的特征向量。

第2讲 二次型分式函数求最值知识与方法我们把y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数统称为“二次型分式函数”，这些函数求最值的方法是类似的，通常有均值不等式法、判别式法、求导法等，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.典型例题【例题】函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()2211111113t t t t y t tt t +−++++===++≥+=，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法2（判别式法）：将211x x y x −+=−变形为()211y x x x −=−+，整理得：()2110x y x y −+++=①，将式①看出关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y ∆=+−+≥，解得：1y ≤−或3y ≥，因为1x >，所以10x −>，210x x −+>，从而0y >，故3y ≥，注意到当2x =时，3y =，所以函数211x x y x −+=−()1x >的最小值为3.解法3（求导法）：设()211x x f x x −+=−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 23f x f ==.【答案】3 变式1 函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：令1t x =−，则0t >，1x t =+，所以()()22111131111t t y t t t t t t ===≤=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13.解法2（判别式法）：将211x y x x −=−+变形成()211y x x x −+=−， 整理得：()2110yx y x y −+++=①，当0y ≠时，把①看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()21410y y y ∆=−+−+≥⎡⎤⎣⎦，解得：113y −≤≤，注意到当2x =时，13y =，所以函数211x y x x −=−+()1x >的最大值为13. 解法3（求导法）：设()211x f x x x −=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()012f x x '>⇔<<，()02f x x '<⇔>，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()max 123f x f ==.【答案】13变式2 函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()()22222112211111x x x x x x y x x x x x x −+−−−+−===−−+−+−+，令1t x =−，则0t >，1x t =+，且()()221211111131111t t y t t t t t t =−=−=−≥=+++−++++， 当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，从而函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法2（判别式法）：将22221x x y x x −+=−+变形为()22122y x x x x −+=−+，整理得：()()21220y x y x y −+−+−=，当1y ≠时，将该方程看成关于x 的一元二次方程，其判别式()()()224120y y y ∆=−−−−≥，解得：223y ≤≤()1y ≠， 注意到当2x =时，23y =，所以函数22221x x y x x −+=−+()1x >的最小值为23.解法3（求导法）：设()22221x x f x x x −+=−+()1x >，则()()()2221x x f x x x −'=−+，所以()02f x x '>⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 223f x f ==. 【答案】23【反思】从上面的几个例子可以看到，y =一次函数二次函数、y =二次函数一次函数、y =二次函数二次函数这三种“二次型分式函数”求最值的方法是类似的，在三种方法的选择上，一般首选均值不等式法，判别式法和求导法作为备选方案. 变式3函数y =的最大值为________.【解析】设t ，则1t ≥，221x t =−，且211444t y t t t ===≤=++，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时x =，所以函数y =14.【答案】14变式4函数y =________.【解析】设t ，则2t ≥，224x t =−，且222115411t y x x t t t====+++++， 易得函数()1t t tϕ=+在[)2,+∞上，所以()()min522t ϕϕ==，故函数25y x =+的最大值为25. 【答案】25强化训练1.（★★）函数21x y x =−()1x >的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =−，则0t >，1x t =+，且()22212112241t x t t y t x t t t +++====++≥=−，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时2x =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法2（判别式法）：将21x y x =−变形成()21y x x −=，整理得：20x yx y −+=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式240y y ∆=−≥，所以0y ≤或4y ≥，因为1x >，所以0y >，从而4y ≥，注意到当2x =时，4y =，所以函数21x y x =−()1x >的最小值为4.解法3（求导法）：设()21x f x x =−()1x >，则()()()221x x f x x −'=−，所以()02f x x >⇔>，()012f x x '<⇔<<，从而()f x 在()1,2上，在()2,+∞上，故()()min 24f x f ==.【答案】42.（★★）函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为________.【解析】解法1（均值不等式法）：设1t x =+，则1x t =−，因为04x ≤≤，所以15t ≤≤，且()()22211223443311t t x x t t y t x t t t −−−+−+−+====+−≥=+，当且仅当4t t =，即2t =时取等号，此时1x =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法2（判别式法）：将221x x y x −+=+变形成()212y x x x +=−+，整理得：()2120x y x y −++−=①，将式①看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()21420y y ∆=+−−≥，解得：7y ≤−或1y ≥，因为04x ≤≤，所以10x +>，220x x −+>，从而0y >，故1y ≥，注意到当1x =时，1y =，所以函数221x x y x −+=+在[]0,4上的最小值为1.解法3（求导法）：设()221x x f x x −+=+()04x ≤≤，则()()()()2311x x f x x +−'=+，所以()014f x x '>⇔<≤，()001f x x '<⇔≤<，从而()f x 在[)0,1上，在(]1,4上，故()()min 11f x f ==.【答案】13.（★★★）函数2211x x y x x ++=−+的值域为________.【解析】解法1（均值不等式法）：由题意，()2222212121111x x x x x xy x x x x x x −++++===+−+−+−+，当0x =时，1y =；当0x ≠时，2111y x x=++−，易求得12x x +≤−或12x x +≥， 所以113x x +−≤−或111x x +−≥，从而220131x x−≤<+−或20211x x <≤+−，所以113y ≤<或13y <≤，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.解法2（判别式法）：()22221111x x y y x x x x x x ++=⇒−+=++−+，整理得：()()21110y x y x y −−++−=①，当1y =时，0x =；当1y ≠时，方程①可以看成关于x 的一元二次方程，则其判别式()()221410y y ∆=+−−≥，解得：133y ≤≤()1y ≠，综上所述，函数2211x x y x x ++=−+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦4.（★★★）函数2sin 12sin x y x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为________.【解析】设sin t x =，则212t y t =+，因为02x π≤≤，所以01t ≤≤， 当0t =时，0y =；当01t <≤时，1142y t t=≤=+，当且仅当12t t =，即2t =时等等号，此时4x π=，所以函数2sin 12sin xy x=+02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值为4. 【答案】45.（★★★）函数22y x =+的最大值为________.【解析】设t =，则1t ≥，且211112t y t t t ====≤=++，当且仅当1t t =，即1t =时取等号，此时0x =，所以函数y =12.【答案】1 26.（★★★）函数y=的最小值为________.【解析】设1t=+，则1t≥，()211x t=−+，所以()22211124332444t t ty tt t t⎡⎤−+−−+⎣⎦====+−≥−=−，当且仅当32tt=，即t=y=的最小值为4.【答案】−4。

求函数最小值方法求函数最小值是数学中的一个常见问题，它在实际生活和工程领域中具有重要的应用价值。

本文将介绍几种常见的方法来求解函数最小值，包括极值点法、导数法和二次型法。

一、极值点法极值点法是求函数最小值的一种常用方法。

其基本思想是通过求函数的极值点来确定函数的最小值。

具体步骤如下：1. 找出函数的定义域；2. 求函数的导数，并解方程f'(x)=0，得到函数的极值点；3. 将求得的极值点代入函数中，得到相应的函数值；4. 比较函数值，得到最小值。

二、导数法导数法是求函数最小值的另一种常用方法。

其基本思想是通过利用导数的性质来确定函数的最小值。

具体步骤如下：1. 找出函数的定义域；2. 求函数的导数，并求导函数的导数，直到导数为0或不存在；3. 解方程f'(x)=0，得到函数的极值点；4. 将求得的极值点代入函数中，得到相应的函数值；5. 比较函数值，得到最小值。

三、二次型法二次型法是求函数最小值的一种较为复杂的方法。

其基本思想是将函数转化为二次型，并通过求解二次型的最小值来确定函数的最小值。

具体步骤如下：1. 将函数展开为多项式；2. 利用线性代数中的知识将多项式转化为二次型；3. 求解二次型的最小值，得到最小值对应的自变量；4. 将求得的自变量代入函数中，得到最小值。

求函数最小值可以通过极值点法、导数法和二次型法来实现。

这些方法在实际应用中都具有一定的优势和局限性，需要根据具体问题的特点来选择合适的方法。

在求解过程中，需要注意函数的定义域、极值点和函数值的比较，以确保结果的准确性。

此外，还可以利用数值方法来求解函数最小值，如牛顿法、梯度下降法等，这些方法在计算机科学和工程领域中得到广泛应用。

最后，对于复杂的函数，可以借助计算机软件来进行求解，提高求解的效率和准确性。

矩阵的特征值与二次型在椭球面上的极值作者：章超蔡红艳来源：《读与写·教育教学版》2018年第05期摘要：《高等数学》与《线性代数》是高校数学学习的重要基础课程。

《高等数学》课程中介绍的拉格朗日乘数法是求解多元函数极值的重要方法，而矩阵的特征值是《线性代数》课程中最重要的知识点之一。

本文运用拉格朗日乘数法讨论矩阵的特征值在分析中的意义，可以加强学生对矩阵特征值的理解与掌握，突出数学学科学习的一致性与连贯性，体现课程改革精神一思想与精神。

关键词：课程改革拉格朗日乘数法特征值二次型中图分类号：O151.22 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2018）05-0016-02大学数学课程是高等院校理工科类各专业重要的公共基础课程，其目的在于培养学生应当具备的数学素质及逻辑思维。

而《高等数学》和《线性代数》是大学数学系列的重要基础课程，也是考研数学的必考课. 其中《高等数学》的核心内容为一元函数及多元的极值问题、微积分问题、空间解析几何以及简单的微分方程等问题；而《线性代数》讲述的内容主要有行列式、矩阵、线性方程组的求解、二次型等相关问题。

然而，这两门学科密切联系、一脉相承，线性代数中的某些问题需要高等数学中的知识来帮助理解，高等数学中某些计算问题在学习完线性代数之后会得到简化。

本文主要通过一个例子从分析的观点解释矩阵特征值的另一层含义，剖析两门学科之间的紧密联系。

加强学生对知识的认知的连贯性，同时培养学生创造性的应用已学知识去解释和深层理解新知识，从而由以前教师单纯的对知识点的讲授转化教师为提高学生的逻辑思维能力和创新能力提供新思路，以此得到高校课程改革的目的。

1 知识点回顾以及基本定义特征值与特征向量是线性代数中的基本概念之一，其定义如下：定义1[1] 设A是n阶矩阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零列向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。