二次型的正定性在函数极值判定中的

正定二次型的判别方法正定二次型是向量空间内的重要概念，它在许多数学领域中都有应用，如优化、概率论和统计学。

本文将介绍正定二次型的定义，性质和判别方法。

定义：设$f(x_1,x_2,...,x_n)$是$x_1,x_2,...,x_n$的二次多项式，即：$$f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{1\leq i,j\leq n} a_{ij}x_ix_j$$其中$a_{ij}$为实数，且$a_{ij}=a_{ji}$。

则称$f(x_1,x_2,...,x_n)$为$n$元实二次型，它的矩阵表示为$$A=(a_{ij})_{n\times n}$$称为二次型的矩阵。

也就是说，二次型和它的矩阵$A$是一一对应的关系。

性质：1.对于任意的实数$k$，$kx^T Ax$都是一个二次型。

2.二次型可以表示为两部分之和，即$f(x)=g(x)+h$，其中$g(x)$是只与$x$有关的部分，$h$是只与$x$无关的常数项。

3.设$A=(a_{ij})$是一个$n$阶实对称矩阵，则$A$的主对角线元素必为实数，有$a_{ii}\in\mathbb{R}$。

且$\forall i,j\in[1,n]$，有$a_{ij}=a_{ji}$。

4.对于任意非零实向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$，有$x^T Ax>0$，则称$f(x)$是正定二次型；有$x^T Ax<0$，则称$f(x)$是负定二次型；有$x^T Ax=0$，则称$f(x)$是半定二次型。

判别方法：1.矩阵的特征值法：对于实对称矩阵$A$，先求出它的所有特征值$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n$，然后判断它们的符号。

如果$\lambda_i>0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为正定二次型；如果$\lambda_i<0(1\leq i\leq n)$，则$f(x)$为负定二次型；如果$\lambda_i=0(1\leqi\leq n)$的个数不超过$k$个，则$f(x)$为$k$阶半定二次型。

毕业论文题目：二次型的正定性及其应用学生姓名：孙云云学生学号：0805010236系别：数学与计算科学系专业：数学与应用数学届别：2012 届指导教师：李远华目录摘要 (1)前言 (2)1 二次型的概念 (2)1.1 二次型的矩阵形式 (3)1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3)2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4)3 二次型的应用 (9)3.1 多元函数极值 (9)3.2 线性最小二乘法 (13)3.3 证明不等式 (15)3.4 二次曲线 (18)结论 (18)致谢 (19)参考文献 (19)二次型的正定性及其应用学生：孙云云指导老师：李远华淮南师范学院数学与计算科学系摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。

通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。

关键词：二次型；矩阵；正定性；应用The second type of positive definite matrixand its applicationsStudent: Sun YunYunInstructor: Li YuanHuaDepartment of mathematics and Computational Science, HuainanNormal UniversityAbstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves.Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application前言二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。

05
二次型的正定性的扩展
向量空间中的二次型
01
二次型是向量空间中一种重要的数学工具，它通过二次方程式来定义和描述空 间中的形状和结构。
02
向量空间中的二次型可以用来描述和度量向量的长度、夹角和距离等几何属性 ，以及表达和计算向量的数量积、向量积和混合积等重要概念。
03
二次型的正定性是向量空间中二次型的一个重要属性，它与矩阵的正定性密切 相关。
02
二次型的正定性的判定
判定方法一：顺序主子式
总结词
顺序主子式是判断二次型是否为正定的一个重要方法，当二次型的顺序主子式均 为正时，二次型为正定。
详细描述
对于给定的二次型，可以通过将矩阵进行初等行变换和列变换，将其化为上三角 矩阵，然后查看其主子式是否均为正，若均为正，则该二次型为正定。
判定方法二：特征值法
应用三：二次型的数值稳定性分析
总结词
通过二次型的正定性可以分析数值稳定性。
详细描述
在数值分析中，数值稳定性是一个重要的问题。当进行 数值计算时，如果计算过程中产生的误差会随着计算的 进行而逐渐放大，那么就说这个计算过程是不稳定的。 通过分析二次型的正定性，可以判断数值计算过程是否 稳定。具体来说，如果二次型是正定的，那么该数值计 算过程就是稳定的；如果二次型是非正定的，那么该数 值计算过程就可能是不稳定的。
正定二次型是一种特殊的二次型，其对应的矩阵具有正定的特征值。这意味 着所有的特征值都是大于零的，因此正定二次型的特征值一定大于零。
性质三
总结词
对于任何一个正定二次型，其行列式值与矩阵范数之间存在一定的关系。
详细描述
矩阵的范数是一个衡量矩阵大小的量度，它与矩阵的行列式值之间存在一定的关系。对于正定二次型而言，其 行列式值与矩阵范数之间存在一种特定的关系，这种关系可以通过数学公式进行描述。

二次型正定性的判定及应用姓名：李梦媛 学号：1007010326摘要：矩阵的正定性是矩阵论中的一个重要概念,本文主要讨论主要阐述的是实矩阵的正定性以及应用.本文在介绍实矩阵的正定性判别方法后，简单的举了一些实例来阐述实矩阵正定性的应用. 关键词：矩阵 实矩阵 正定性 应用一、正定性的普通判别方法1、判别正定二次型(正定矩阵)的常用思路 具体方法有： (1) 用定义；(2) 正惯性指数p=t (t 正整数)； (3) 与E 合同；(4) 顺序主子式全大于0； (5) 特征值全大于0.2、与判定思路相应的五个定理定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f 的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= .定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n .定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵E 合同.定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零.定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的. 二、新的判定法对于二次型的正定性，一般都是对所对应的矩阵进行研究，并且，所研究的范围也只限定在实对称矩阵或Hermite 矩阵进行讨论，这大大限制了二次型在一般情况下的应用．本文在对一般实方阵正定性研究的基础上，提出了实方阵判定实二次型正定性的理论基础及几种新方法. 1、几个相关定义定义1 设A 是n 阶实方阵，如果对于任意的非零的n 阶实向量 ，都有x T Ax>0， 其中x T表示x 的转置，则把A 称做正定矩阵．定义2 含有n 变量 x 1， x 2，⋯，x n 的二次齐次函数f( x 1， x 2，⋯，x n )：b 11x 12 +b 22x 22 +⋯+b nn x n 2+2b l2x l x 2+2b l3x l x 3+ ⋯+2b n-1,n x n-1x n 称为二次型．取b ij =b ji ，则f=x T Bx ，我们把对称矩阵B 称为二次型f 的矩阵，也把 f 叫做对称矩阵B 的二次型．定义3 设有实二次型 f(x)=x T Cx ，如果对于任意的 x ≠0，都有f(x)>0，则称f 为正定二次型，并称对称矩阵C 是正定的．由此可见，研究二次型的正定问题，可以转化为研究二次型所对应的矩阵正定问题．接下来所讲的矩阵、向量如无特别声明，均指实矩阵、实向量．2、 理论基础及应用一般判定实二次型正定性的理论基础是利用了标准型、特征值和主子式的方法．对于给定的二次型对应的矩阵为实方阵，使得对二次型矩阵的判定可以拓展到实方阵中去．本文在此基础之上利用下面的几个定理和推论，采用一般方阵的正定性来判断对称矩阵的正定性．对于实方阵来说，首先具备下面三个性质：性质1 设矩阵A 为n 阶实方阵，则下列命题等价： (1)A 是正定矩阵； (2)A T 是正定矩阵；(3)对任意n 阶可逆矩阵P ，P TAP 是正定矩阵； (4)A+A T 是正定矩阵； (5)A -1是正定矩阵； (6)存在n 阶可逆矩阵P ，使P TAP=diag ﹛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111αα，⋯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11t t αα，1，⋯1﹜其中，α1 ≥0, αt >0 (7)A 的各阶主子矩阵是正定矩阵；性质2正定矩阵的特征值实部为正．下面引入矩阵Hadamard乘积(又称Schur乘积，其定义为：AoB=[aij bij]，A，B∈R(m，n)．Schur乘积定理指出：两个对称正定矩阵的Hadamard乘积仍为对称正定矩阵，这个结果可以推广到一般正定矩阵．性质3 设A是正定矩阵，曰是对称正定矩阵，则AoB也是正定矩阵．证明：因为A是正定矩阵，故A+A T为对称正定矩阵，由Schur乘积定理(A+A T)oB为对称正定矩阵．注意到AoB +(AoB)T =AoB +A T oB=AoB +A T oB=(A+A T)oB，AoB+(AoB)T为对称正定矩阵，从而AoB为正定矩阵．推论1 设A、B是正定矩阵，则AoB +A T oB也是正定矩阵．对于二次型的实对称矩阵来说，要研究正定性，不妨先推广到正规矩阵，对正规矩阵成立的性质，当然对实对称矩阵也适用．所以，判断二次型A正定的方法，以定理的形式给出．定理1 设A为正规矩阵，其特征值实部为正，则A为正定矩阵．证明由文献得到当A为正定矩阵时，存在正交矩阵Q，使得Q T AQ=diag(Al ，A2，⋯，A s ，⋯，λ2s+l，⋯，λn)，其中A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛jjjjaβ-βα，它具有共轭复特征值(也是A的特征值)α+iβj ，j=1，2，⋯s．而λ2s+1，⋯，λn是A的实特征值由于A的特征值实部为正，故αj>0 j=1，2，⋯，sλj>0 j=2s+1，⋯，n由于Q T(A+A T)Q=diag(2αl ，2αl，⋯，2αs，2αs，2λ2s+1，⋯，2λn)，可见A为正定矩阵．定理2 设A为严格对角占优的正规矩阵，且主对角元全为正，则A是正定矩阵．由Gersgorin圆盘定理，当A的特征值实部为正，而A又是正规矩阵，由定理1知A 是正定矩阵．对于实对称矩阵来说，上述方法显得简单有效．定理3 设A为正规矩阵，是B对称正定矩阵，且AB可交换，则A是正定矩阵的充分必要条件是AB为正定矩阵．证明：首先，由于(AB)(AB)T =(BA)(BA)T=(BA)A T B T =B(AA T)B=B(A T A)B=(BA T)(AB)=(AB)T(AB)可知A 为正规矩阵时，AB 亦为正规矩阵，因B 是对称正定矩阵，故存在对称正定矩阵C ，使B=C 2，这时,C(AB)C -1=C(AC 2)C -1=CAC=C T AC 。

二次型的正定性是什么
二次型的正定性
对于一个给定的对称矩阵A，如果对于所有的非零向量x，都有`x^T*A*x>0`，则称A为正定矩阵；如果对于所 有的非零向量x，都有`x^T*A*x>=0`，则称A为半正定矩阵。
正定矩阵的性质
正定矩阵的行列式大于零；正定矩阵的特征值都是正数；正定矩阵的逆矩阵也是正定矩阵。
在弹性力学中，应力-应变关系可以表示为一个二次型。这个二次型的正定性 可以用来判断材料的弹性和稳定性。
05
二次型的正定性的扩展
高阶二次型
01
高阶张量
高阶张量是多个矩阵的张量积，可以 视为高阶矩阵。
02
高阶二次型的定义
高阶二次型是由高阶张量计算得到的 ，可以视为多个矩阵的张量积和。
03
高阶二次型的性质
高阶二次型具有与二阶二次型类似的 性质，包括正定性、负定性和不定性 等。
复二次型
复数矩阵
复数矩阵是矩阵的一种形式，每个元 素都可以表示为实部和虚部的形式。
复二次型的定义
复二次型是由复数矩阵计算得到的， 可以视为多个复数矩阵的乘积。
复二次型的性质
复二次型具有与二阶二次型类似的性 质，包括正定性、负定性和不定性等 。
二次型正定性的应用
在数学中，二次型的正定性主要用于 判定一些数学问题的有解性和解的唯 一性，如线性方程组求解、矩阵的特 征值计算等问题。
在物理学中，二次型的正定性主要用 于描述一些物理量的性质，如动能、 势能、转动惯量等。
在经济学中，二次型的正定性用于描 述一些经济变量的关系，如成本函数 、收益函数等。
用特征向量证明二次型的正定性
总结词
矩阵的特征向量是矩阵固有的性质，反映了矩阵对基础 向量的作用效果。

二次型正定的判别方法二次型是高等数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数和数学分析等领域。

在矩阵理论中，我们经常需要判断一个二次型是否为正定。

本文将介绍二次型正定的判别方法，包括特征值判别法、规范型判别法和主子式判别法。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个二次型是否为正定，为相关问题的研究和实际应用提供帮助。

一、特征值判别法判断一个二次型是否为正定，可以通过它的特征值来确定。

具体步骤如下：1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式。

设二次型为Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 求解矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn。

3. 如果A的所有特征值都大于0，则二次型Q(x)为正定；如果A的所有特征值都小于0，则二次型Q(x)为负定；如果A的特征值既有正又有负，则二次型Q(x)为不定。

特征值判别法是判断二次型是否为正定最常用的方法之一，其依据是正定二次型的值域全为正数。

二、规范型判别法规范型判别法是另一种常用的判别方法。

它通过将二次型转化为规范形式，来判断是否为正定。

1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 对矩阵A进行合同变换，将其转化为对角矩阵D，即D=P^TAP，其中P为可逆矩阵。

3. 对角矩阵D的对角元素d1，d2，...，dn为二次型的特征值。

4. 如果D的对角元素都大于0，则二次型Q(x)为正定；如果D的对角元素都小于0，则二次型Q(x)为负定；如果D的对角元素既有正又有负，则二次型Q(x)为不定。

规范型判别法通过合同变换将二次型转化为对角矩阵，从而直接判断特征值的正负性，进一步判断二次型是否为正定。

三、主子式判别法主子式判别法是另一种判断二次型正定性的方法，它通过计算矩阵的主子式来进行判断。

1. 计算二次型的矩阵表示，将二次型转化为矩阵形式Q(x)=x^TAX，其中A为n阶对称矩阵。

2. 计算矩阵A的所有主子式，主子式是指原矩阵A中任意阶数的子矩阵的行列式。

结束
4. 定理：An×n实对称，则 (X TAX正定)
A 正定
惯性指数p＝n,即 A ≃ E. 的正惯性指数 ⇔ A的正 ⇔ 存在可逆阵P,使A(=P EP)= P P . 全为正数. ⇔ A的特征值 λ , λ ,⋯, λ 全为正数 . 个顺序主子式均为正值. ⇔ A的n个顺序主子式均为正值
T T
1 2
n
: A=(aij)n×n正定 推论 推论:
) (其逆否命题可判非正定 其逆否命题可判非正定)
⇒ (1) a
ii >0
(aii = ε iT Aε i )
(2) A > 0 ( A = λ1λ2 ⋯ λn )
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定理（4）的证明
T f ( x , x , … , x ) = a x x = X AX 正定 实二次型 ∑∑ ij i j 1 2 n i =1 j =1 n n
2 2 2 f ( x , x , … , x ) = d y + d y + ⋯ + d y 变成标准形： 1 2 n 1 1 2 2 n n
由于 f 正定 ⇔ di > 0, i = 1,2,⋯, n 即，f 的正惯性指数p＝n＝秩 f .
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3、顺序主子式、主子式 设矩阵 A = (aij ) ∈ R
⎛ 1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 −1 ⎟ ⎜ 0 −1 3 ⎟ ⎝ ⎠
x1 = x2 = x3 = 0
故 f 正定.
λ1 = 2, λ2 = 2 + 3, λ3 = 2 − 3
,故 f 正定 . 特征值均大于零 特征值均大于零, 正定.
顺序主子式法 法3. 3.顺序主子式法

数学学年论文毕业论文正定二次型的判断及应用正定二次型的判断及应用摘要：在二次型中，正定二次型占有特殊的地位，本文总结了正定二次型的一些判断方法及其在证明不等式与极值问题中的应用。

关键词：正定二次型正定阵顺序主子式一、正定二次型的判断: 定理1、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是它的正惯性指数等于n证明:设实二次型AXX x x x f n '=),,,(21 经线形替换X=PY 化为标准形222211nn y d y d y d f +++=)1(其中.,,2,1,n i R d i=∈由于p为可逆矩阵,所以n x x x ,,,21 不全为零时ny y y ,,,21 也不全为零,反之亦然.)(?如果f是正定二次型,那么当n x x x ,,,21 不全为零,即n y y y ,,,21 不全为零时,有2222211>+++=n n y d y d y d f)2(若有某个),1(n i d i ≤≤比方说.0≤n d 则对1,0121=====-n n y y y y 这组不全为零的数,代入)1(式后得.0≤=n d f 这与f是正定二次型矛盾.因此,必有),,2,1.(0n i d i =>即f的正惯性指数等于n )(?如果f的正惯性指数等于,n 则),,2,1(,0n i d i=>于是当n x x x ,,,21 不全为零,即当n y y y ,,,21 不全为零时)2(式成立,从而f是正定型定理2、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是对任何n 维实的非零列向量X 必有0>'A X X证明：)(?由假设f是正定二次型,故存在实的非退化的线形替换,QY X=使22221ny y y AX X +++=')1(对,0≠X因Q 非奇异,故,0≠Y 于是由)1(可知0>'A X X)(?设AX X '的秩与正惯性指数分别为r 与,p 先证,p r =如,r p <则由惯性定理,存在非退化的线形替换,QY X=使得221221'rp p y y y y AX X ---++=+)2(由假设,对任何,0,0>'≠AX X X 但对列向量)0,,0,1,0,,0(≠'= Q X（因Q 是非奇异阵,1是X 的第1+p 个分量）却有1<-='A X X 这与假设矛盾.故pr =.再证nr=.如果,n r<则)2(式应化为nr y y y AX X r <+++=,22221')3(于是取 0)1,0,,0(≠'= Q X由)3(即得,0='A X X又与假设矛盾,故,p n r ==即f是正定二次型定理3、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理1可知f 的正惯性指数为n ，则二次型AXX x x x f n '=),,,(21 可经过非退化实线形替换成2222121),,,(nn y y y x x x f +++=)(?f的规范形为2222121),,,(n n y y y x x x f +++= ,则f的正惯性指数为,n 由定理1可知f为正定二次型定理4、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 与单位矩阵合同证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理3,可知f的规范形为2222121),,,(nn y y y x x x f +++=此即存在非退化线形替换(CY X=其中C 可逆),使得2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AXX x x x f +++=''='='=所以,E ACC ='因此矩阵A 单位矩阵合同)(?矩阵A 单位矩阵合同,则存在可逆矩阵,C 使得EACC ='，令CYX=则2222121)()(),,,(nn y y y ACYC Y CY A CY AX X x x x f +++=''='='=因此,由证明4,可知f是正定二次型定理5、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的主子式全大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,以kA 表示A的左上角k 阶矩阵,下证),,,2,1(,0n k A k =>考虑以k A 为矩阵的二次型jki kj i ij k xx a x x x g ∑∑===1121),,,(由于)0,,0,,,,(),,,(2121 k k x x x f x x x g =所以当k x x x ,,,21 不全为零时,由f 正定二次型可知,0>g从而g 为正定二次型,固.0>k A)(?对二次型的元数n 作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =因为,011>a 所以f 正定,假设,1>n 且对1-n 元实二次型结论成立由于,01111>=a a 用111a a i -乘A 的第1列到第i 列,再用111a a i -乘第A 的第1行到第i 行),,,3,2(n i=经此合同变换后A ,可变为以下的一个矩阵000111A aB =因为矩阵A 与B 合同,所以B 是一个n 阶对称矩阵.从而1A也是对称矩阵.上述的变换不改变A 的主子式的值,因此B ,的主子式也全大于零,而B 的)2(n k k ≤≤阶主子式等于1A 的1-k 阶主子式乘以,11a 并且011>a 于是1A 的主子式全大于零,由归纳假设,1A 与1-n I 合同,所以A 与单位矩阵合同,此即f 是正定二次型定理6、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的顺序主子式全都大于零证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理5可知A 的主子式全大于零,所以A 的顺序主子式也全大于零.)(?对二次型的元数n作数学归纳法当1=n时,,)(21111x a x f =由条件知,011>a 所以)(1x f 是正定的.假设充分性的判断对于1-n 元的二次型已经成立,现在来证n 元的情形.令1A =?----1,11,11,111n n n n a a a a=-nn n a a ,11α于是矩阵A 可以分块写成：A ='nna A αα1则1A 的顺序主子式也全大于零,由归纳法假定,1A 是正定矩阵则存在可逆的1-n 阶矩阵,G 使得1-='n E AG G令1C =100G于是''=???? ?????? ??'???? ??'='-nn n nn a G G E Ga A G ACC αααα111110010再令2C =--10'1a G E n则有?''-=''-ααG G a E C AC C C nn n 012112 令21C C C =dG G a nn =''-αα就有='d AC C11两边取行列式,dA C=2,则由条件,0>A 因此0>d.=??????? ?d d d 111111111所以矩阵A 与单位矩阵合同,因此A 是正定矩阵即f是正定二次型定理7、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵TT T A('=是实可逆矩阵)证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由定理4可知存在可逆矩阵,C 使得EAC C ='则 1111)()(----'='=CCCC A令1-=CT,则T T A '=)(?若,T T A '=则 )()(),,,(21TX TX TX T X AX X AX X x x x f n '=''='='=令TXY=则 2222121),,,(nn y y y Y Y x x x f +++='=所以f 为正定二次型.定理8、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是ATT '正定矩阵(其中T 是实可逆矩阵) 证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵, 令(1Y X T=-其中T 可逆)则 A T Y T Y TY A TY x x x f n ''='=)()(),,,(21又因非退化线性替换不改变正定性,则ATYT Y x x x f n ''=),,,(21是正定二次型,所以AT T '是正定阵)(?ATT '是正定阵,令ATYT Y y y y g n ''=),,,(21 ,则),,,(21n y y y g 是正定二次型令TYX=则),,,(21n y y y g AXX x x x f n '==),,,(21 是正定二次型定理9、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 的全部特征值都是正的证明:)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则A是正定阵,又对于任意一个n 阶实对称矩阵,A 都存在一个n 阶正交矩阵,T 使得ATTAT T 1'-=成为对角形令AT T AT T 1'-==n λλ1则),,2,1(,0n i i =>λ否则与f为正定二次型相矛盾，则ATT1-特征值为n λλλ,,,21 均大于零,即为正的.又相似矩阵有相同特征值，则A 的特征值也均为正)(? A的全部特征值均为正的,则存在一个n 阶正交矩阵,T 使得AT T AT T 1'-==n λλ1其中),,2,1(n i i =λ为A 的特征值,此由相似矩阵有相同的特征值得到. 令,TY X=则222221121),,,(nn n y y y A T Y T Y AXX x x x f λλλ+++=''='=所以f为正定二次型定理10、实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型的充要条件是矩阵A 是正定阵证明：)(?实二次型)(),,,(21A A AX X x x x f n =''= 是正定二次型,则由正定阵的定义可知A 是正定阵.)(? A 是正定阵,则A 的顺序主子式全都大于零.由定理6可知f是正定二次型.二、实二次型的正定性证明不等式例1 设)(ij t T=是一个n 阶实非退化矩阵,求证:≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=证明：若A 是正定矩阵,必有nna a a A 2211≤, 其中nn a a a ,,,2211 是A 的主对角线上的元素因为T 是实非退化矩阵,所以=nn n n n n nnnnn n t t t t t t t t t t t t t t t t t t T T 212222111211212221212111'=∑∑∑===nk knnk k nk k t t t 12122121是正定矩阵,由上述定理得)(112'∏∑==≤ni nk ki t T T =)(222121ni i ni i t t t +++∏=此即,≤2T)(222121ni i ni i t t t +++∏=三、实二次型的正定性在极值问题中的应用例1、求三元函数y y x zyxz y x f u642),,(222-++++==的极值解：先求三个一阶偏导数,令它们为0,解方程组得驻点,再求二阶偏导数得二次型的相应矩阵,A 由A 的正定性确定极值=-==+=??=+=??062042022z zU y y U x x U=-=-=321z y x得驻点)3,2,1(0--p222=??xU2=yx U2=zx U2=xy U222=??y U2=zy U2=xz U2=yz U222=??zU所以A =200020002 因为A 为正定阵,所以得极小值143*6)2(*4)1(*23)2()1()3,2,1(2220-=--+-++-+-=--=f p U参考文献：[1] 王向东《高等代数常用方法》科学出版社[2] 霍元极《高等代数》北京师范大学出版社 [3] 屠伯埙《高等代数》上海科技出版社 [4] 张盛祝《高等代数典型方法》信阳师范学院数学系Is deciding two times of judgments and the applicationAbstract: In two center, was deciding two time holds the special status, this article summarizes has been deciding in two times of so judgments methods and its in the proof inequality and the minimum problem application.Key words: Is deciding two time Is deciding The smooth principal minor。

正定二次型的判别方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，它在各个数学领域中都有着广泛的应用。

正定二次型在优化问题、矩阵分解、信号处理等领域都有着重要的作用。

了解正定二次型的性质和判别方法对于深入理解和应用线性代数具有重要意义。

本文将介绍正定二次型的定义、性质以及判别方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用正定二次型。

一、正定二次型的定义我们来看一下正定二次型的定义。

设f(x_1,x_2,...,x_n)是关于n个变量的二次齐次多项式，即f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j其中a_{ij}是常数。

如果对任意非零向量x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，都有f(x)>0，那么我们称f(x)是正定二次型。

简单来说，正定二次型就是一个对于任意非零向量都是正的二次齐次多项式。

正定二次型具有许多重要的性质，下面我们来介绍其中的一些。

1. 正定二次型的矩阵表示设f(x_1,x_2,...,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j是一个正定二次型，那么我们可以把这个二次型表示为矩阵的形式，即A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\end{pmatrix}这个矩阵就是正定二次型对应的矩阵表示，通常我们把这个矩阵记作A。

而矩阵A是一个对称矩阵，它的对角元素就是二次型中的系数a_{ij}。

正定二次型和对称矩阵之间有着密切的关系。

方法 1
方法 2
方法 3
11
例 2 用惯性指数法判断三元二次型
f ( x1 , x2 , x3 ) x x x x1 x2 x2 x3
2 1 2 2 2 3
是否是正定二次型.
解法 解法 1 1 用配方法
解法 2 用初等变换法 解法 2
12
2. 顺序主子式法 有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个 二次型是否正定， 为此，引入 定义 9 子式
T T
En 1 O
令
. T T ann GG O
C = C1C2 , ann - TGGT = a ,
28
1 T . 就有 C AC 1 a
两边取行列式， | C |2 | A | = a . 由条件 | A | > 0 得 a > 0 . 这就说明，矩阵 A 与单 位矩阵合同，所以，A 是正定矩阵，或者说二次 型
5
(2) 非退化实线性变换保持正定性不变. 证明 (2) 设实二次型 f = XTAX 是正定的. 作非退化线性变换 X = CY 得二次型 f = YT( CTAC )Y . ( 因为如果 对任意的 Y0 0，相应 X0 =CY0 0， X0 = 0，则 Y0 = C-1X0 = 0 ) 于是由 f = XTAX 的正定 性， 即得 f = Y0T( CTAC )Y0 = X0TAX0 > 0 .
i 1 j 1
k
k
f (c1 , c2 , , ck ,0x1 , x2 , , xk )
是正定的.
23
因此，由 “正定矩阵的行列式大于零” fk 的矩阵的行列式
0 , k 1, , n . ak1 akk

由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为 标准形或求出对称矩阵 的全部特征值 对称矩阵A的全部特征值 标准形 对称矩阵 的全部特征值．
下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的 方法：
定义7 n阶方阵 定义
a 11 a 12 L a 1 n a 21 a 22 L a 2 n A= M M M a n 1 a n 2 L a nn
2 2 f = x12 + x 2 + x3 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x12 + 4 x1 x 2 + 4 x1 x3 ) + x 2 + x3 + 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3 x 2 − 3 x3 − 4 x 2 x3 2 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 4 x 2 x3 ) − 3 x3 3 2 = ( x1 + 2 x 2 + 2 x3 ) 2 − 3( x 2 + 2 x3 ) 2 − 5 x3 3 3
的左上角r阶方阵的行列式
a11 Dr = a21 M ar1
a12 L a1r a22 L a2 r (r = 1, 2 ,L , n) M M ar 2 L arr
称为A的r阶顺序主子式．
定理9 （1）n阶实对称矩阵 A = (a ij )为正定矩阵 正定矩阵的充分必要 定理 正定矩阵 条件是： A的各阶顺序主子式都为正 各阶顺序主子式都为正，即 各阶顺序主子式都为正
D1 = a11 > 0, D2 =

二次型的正定性在函数极值判定中的应用函数的极值在微分学的理论与应用中是极为重要的。

关于一元函数与二元函数极值的判定比较容易，但是，对于两个以上自变量的多元函数的极值的判定就比较困难了，并且在《微积分》与《高等数学》的教科书上也没有一般的结论。

虽然用正定二次型的理论判定多元函数极值存在的充分条件是很方便的，由于教学中线性代数的内容安排在微积分之后，因此求多元函数极值的问题始终不能通过课堂教学得到解决。

这里从二元函数的极值入手，利用正定二次型的结论，给出一般多元函数极值判定的一个充分条件。

二元函数极值判别的一个的充分条件为：),(y x f z =设函数在点的某邻域内连续、存在二阶连续偏导数，且),(y x f z =),00y x （0),(),(0000=′=′y x f y x f y x 记，，),(00y x f A xx′′=),(00y x f B xy ′′=),(00y x f C yy ′′= （1）若且0（或），则为极小值；若且（或），则为极大值。

02<−AC B >A 0>C ),(00y x f 02<−AC B 0<A 0<C ),(00y x f （2）若，则不是极值。

02>−AC B ),(00y x f （3）若，则是否为极值，需进一步讨论才能确定。

02=−AC B ),(00y x f 若记，我们可以用二次型的正定性将这个结论叙述为： ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛′′′′′′′′=),(),(),(),(),(0000000000y x f y x f y x f y x f y x H yy xyxy xx ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=C B B A （1）如果为正定矩阵（且或），则为极小值；如果为负定矩阵（且),00y x H （02<−AC B 0>A 0>C ),(00y x f ),00y x H （02<−AC B 0<A 或0<C ），则为极大值。

P 。 取 得 极小 值 ( 或 极大 值 )
点
p
。
称为 函 数 了( X ) 的极 大 点 ( 或 极 小 点 )
.
x
,
“
二
(月 滩
,
,
,
…
,
x
); 笠
x
=
(x
,
,
x Z
,
…
,
x
二
)
极 大值 极 小值统称 为极 值 ; 极大点 极 小点统称 为极值 点
.
.
下 面 首先 给 出极 值存在 的 必 要条件 定理
,
y ,
石
=
x
,
函 数 有稳 定 点 ( O 0 ) 但 这个 点 不 是 极
,
,
,
值点
因为在 点 ( O 0 ) 的 函 数值 为
,
.
0
,
但在 此 点的任 一 邻 域 内 函 数 既可 以取得 正 值 也可 以 取
得 负值 因此不是极值 点 为 了讨 论多元 函数 了在 点 p 数 并记
,
。
(x
“
. 亡
f
毛
1
.
1
口x
、J
( p 。)y 伪
=
)
踌 ( 尸 ) 了 为 正 定的 则 对 任何 ( 酝
刁2
`
.
。
,
,
,
酝
2
,
一
,
乙x
。
)护 ( 0
,
o
,
…
,
) 0
,
都有
` 一
全全a x
V
一 l

正定二次型判断方法正定二次型是线性代数中的一个重要概念，在实际应用中具有广泛的应用。

判断一个二次型是否正定的方法是线性代数中最基本的问题之一，也是非常重要的。

本文将介绍正定二次型的概念、性质和判定方法。

一、正定二次型的概念和性质1.1 正定二次型的定义设f(x1,x2,...,xn)是一个n元二次齐次函数，则称f(x1,x2,...,xn)是正定二次型，如果对于任意的非零向量x=(x1,x2,...,xn)，都有f(x)>0。

（1）正定二次型的值域是正实数。

（3）正定二次型的解析式一定是一个关于字母的二次有理函数。

（4）正定二次型的非零二次型矩阵一定是可逆矩阵。

对于二元二次型f(x1,x2)=2x1^2+2x2^2-x1x2，我们可以验证该二次型是否正定。

根据定义，我们需要对于任意的非零向量(x1,x2)，都有f(x)>0。

即需要满足如下条件：2x1^2+2x2^2-x1x2>0化简得：由于x1^2和x2^2始终是非负数，并且当x1=x2=0时，x1^2+x2^2+\frac{1}{2}x1x2=0，因此只要证明\frac{1}{2}x1x2的系数大于等于0，就能证明f(x)是正定的。

根据矩阵乘法的定义可得到f(x)=x^T\begin{bmatrix}2 & -\frac{1}{2} \\-\frac{1}{2} & 2\end{bmatrix} x由于该矩阵是正定矩阵（两个特征值均为正数），因此该二次型是正定的。

2.1 特征值法设二次型为f(x)=x^TAx，其中A为二次型的系数矩阵，λ1,λ2,...,λn为矩阵A的n 个特征值，则有如下结论：当A是正定矩阵时，有λ1>0,λ2>0,...,λn>0。

2.2 主元法当二次型f(x)对应的矩阵A是可逆矩阵时，有如下结论：当二次型的系数矩阵A的顺序主子式（行列式）都大于0时，二次型成为正定的。

T i
= λi x xi = λi xi
2
= λi
实对称矩正定矩阵的充要条件是: 推论 实对称矩正定矩阵的充要条件是:
A的所有特征值都大于零. 的所有特征值都大于零.
证 为正定矩阵, 为正定矩阵 (⇒) 设A为正定矩阵, λ 为任一特征值， 为任一特征值，x 为 正定， λ 的特征向量，即 Ax = λ x ，由于A正定，则 的特征向量，
2 2 = λ1α 12 + λ 2α 2 + L + λ nα n
2 λ n = λ n ( α 12 + α 22 + L + α n )
2 ≤ x T A x ≤ λ 1 (α 12 + α 22 + L + α n ) = λ 1
（2） x A x i = x λ i x i ）
T i T i
-1 < t < 1
4 < t < 0 5
3
t > 0 4 t < − 5
（舍去） . 舍去）
正定。 ∴当 − < t < 0 时，A正定。
合同， 与 合同 即存在可逆矩阵C 例6.9 设A与B合同，即存在可逆矩阵 , 使
C T AC = B , 则A 正定
⇔
B 正定。 正定。
证 ( ⇐ ) 设B 正定，∀x ≠ 0 , xT Bx > 0 , 则 正定，
yT C T ACy = (Cy )T A(Cy ) > 0
因此， 是正定的。 因此，二次型 f (y) = (Cy)TA C y= yTCTAC y是正定的。 是正定的 反过来也是对的， 有相同的正定性。 反过来也是对的，故xTA x 和yTCTAC y有相同的正定性。 有相同的正定性 从定理的证明还可以看出，对于实对称矩阵 ， 和 从定理的证明还可以看出，对于实对称矩阵A，A和 CTAC (其中 可逆 有相同的正定性。 其中C可逆 有相同的正定性。 其中 可逆)有相同的正定性

即 g( x, y) 0 , f ( x, y) f (0, 0) ,
故 f (0, 0) 为极小值；
(2) 当 a 0, ac b2 0 时，二次型 g( x, y) 负定， 即 g( x, y) 0 , f ( x, y) f (0, 0) , 故 f (0, 0) 为极大值；
注 证明题用条件 (1), (3), (4)；判断题用条件 (3) .
7
§6.4 二次型的正定性
第 二、正定二次型
六 章
1. 正定二次型与正定矩阵
2. 二次型正定的充要条件
二 次
定理2 (Sylvester定理) 西尔维斯特 史泰龙 (Sylvester Stallone )
型
n 元实二次型 f ( X ) X T A X 正定(或 n 阶实对称阵 A
六 章
解
已知
A

2 0
0 3
0 1,
二 次 型
0 1 3
2 0 0
方法二 由 | I A| 0 3 1
0 1 3
( 2)2( 4),
可得 A 的特征值为 2、2、4，
即 A 的特征值全大于零，
故 f ( x1, x2 , x3 ) 正定。
次 型
(3) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 ;
(4) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 ;
(5) f ( x1 , x2 , x3 ) x12 x22 2 x32 .
(正定) (半正定、非负定) (负定) (半负定、非正定) (不定)
(3) f ( X ) 0 , 称 f (X ) 为半负定二次型， 称 A 为半负定矩阵 .

二次型的几个应用实例二次型是线性代数中的一个重要知识点，其在数学、物理和力学中都有着广泛应用。

二次型的应用在高中数学知识中就有体现，如用坐标变换把圆锥曲线、双曲线、抛物线化为标准曲线的实质是将二次型进行标准化。

事实上，二次型在证明不等式、分解多项式的因式、求解二次函数最值以及计算定积分中都有重要应用。

1、用二次型证明不等式一个实二次型是正定的，若其对任意的实数，都有。

可以通过构造正定二次型，利用其正定性来证明不等式[1]。

例1：证明不等式恒成立。

其中不全为0。

证明：将不等式移项得。

令，则我们只需证明f(x)恒大于0即可。

可知f(x)是一个实二次型，其二次型矩阵的三个顺序主子式均大于零。

因此，f(x)是正定二次型。

因此，对于任意一组不全为0的数，都有f(x)>0，即证。

2、二次型在二次曲线中的应用二次型起源于将二次曲线或二次曲面方程变型为标准型，所以二次型在二次曲线中的有最基本的应用。

因为二次曲线方程经可逆线性变换后的方程所对应的二次曲线图形与原图形是全等的即既不改变曲线的形状，又不改变大小。

因此，我们在判断二次曲线的形状时，可利用正交线性变换先把二次曲线化为标准型，然后再来判定原二次曲线的形状。

例2：判断二次曲线方程的形状并求其面积。

解：为了使方程所有项全部都是二次项，我们再设一个变量z。

令z，此时有。

将此二次型的矩阵做正交变换使其化为对角矩阵diag(4,1,-2)。

对角矩阵所对应二次型为。

由于正交变换不改变二次曲线的形状和大小，则有，进一步将其整理得。

很显然，这是一个椭圆方程。

长短轴分别为面积为，即原二次曲线方程的形状为椭圆，面积为π。

3、二次型用于因式分解因式分解是初等数学中很常见的一类问题，它在解方程，求多项式的根等问题上能一定程度上简便运算过程。

由于二次型都是二次齐次多项式，我们在这里只讨论二次多项式的因式分解。

应用下面的定理，我们能直接判断给出的二次多项式是否可以分解成几个一次多项式的乘积。