化二次型为标准形的几种方法摘要二次型是代数学要研究的重要内容，我们在研究二次型问题时，为了方便，通常将二次型化为标准形.这既是一个重点又是一个难点，本文介绍了一些化二次型为标准形的方法：正交变换法，配方法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法．正文详细介绍了几种方法的定义以及具体步骤，并举出合适的例题加以说明．其中，偏导数法与配方法又相似，只是前者具有固定的步骤，而配方法需要观察去配方．关键词：正交变换法配方法初等变换法雅可比方法偏导数法reduce the quadratic forms to thestandard formsAbstract：Quadratic is the important content should study algebra, in our studies of quadratic problem, for convenience, will usually be quadratic into standard form. This is both a key is a difficulty, this paper introduces some HuaEr times for the standard form of orthogonal transform method, method: match method, elementary transformation, jacobian method, partial derivative method. The text introduces several methods defined and concrete step, simultaneously gives appropriate examples to illustrate. Among them, the partial derivative method and match method and similar, but the former has the fixed steps, and match method need to observed to formula.Keywords:orthogonal transform method match method elementary transformation jacobian method partial derivative method一、 引言二次型的本质是一个关于n 个变量二次齐次函数，在它的表达式中除了平方项就是交叉项，没有一次项或常数项，其具体定义为：设P 是一个数域，一个系数在数域P 中12,n x x x ⋯的二次齐次多项式2121112121211222222f(,,,,)2...2...2...n n n n n nn n x x x a x a x x a x x a x a x x a x =++++++++=11n nij ijj i a x x==∑∑，称为数域P 上的一个n 元二次型．二次型具有广泛的应用性，在工程技术、经济管理、社会科学以及数学的其他分支中均需要运用到二次型，在实际运用过程中经常需要将二次型化为标准形，很多同学能够根据标准的步骤将二次型化为标准形，但是却不能很好地根据所给的题目运用最适宜的方法进行解决．本文参考已有的研究结果，总结化二次型为标准形的几种方法，分析每种方法的解题原理和过程，归纳其应用特点，帮助《线性代数》的初学者根据题目的特点和要求采取最佳的方法解决问题，达到简明快速的目的．关于二次型化为标准型的问题，许多数学学者作了较深入的研究，获得了许多具有研究价值和参考价值的成果．庄瓦金在文【11】中给出了二次型的定义及其若干性质．陈惠汝、刘红超在文【12】中将二次型和非退化线性替换用矩阵形式表示，对二次型化为标准形问题采取两种转化思路：一是联系矩阵的初等变换，把问题转化为矩阵合同变换问题；二是借助实对称矩阵特征值与特征向量的有关理论，把问题转化为用正交变换化实对称矩阵为对角形的问题．这两种转化思路产生了二次型化为标准形的两种方法，即合同变换法(也称初等变换法)和正交变换法．李五明，张永金，张栋春在【7】中给出了实二次型化为标准形的方法．通过观察各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换．使用配方法将二次型化为标准形问题时采取两种转化思路：一是含有平方项时，把平方项集中，然后配方，化为标准形；二是不含平方项时构造平方项，进行逆变换，继续第一步进行配方，这种转化思路产生了二次型化为标准形的方法，即配方法．胡明琼在【9】中给出了二次型化为标准形的方法．此方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．这种转化思路产生了又一种二次型化为标准形的方法，即合雅可比方法．郭佑镇在【8】中给出了实二次型的化简及应用偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间关系这一原理，依据配方法而提出的化二次型为标准行的新方法，解题思路与配方法极为相似．把问题转化为用偏导数法实解决问题．这种转化思路产生了二次型化为标准形的另一种方法，即偏导数法．孙秀花在文【13】讨论了化二次型为标准形的两种常用方法的区别：正交变换法的第一步是将二次型写成矩阵形式，然后将二次型的矩阵通过单位正交化方法进行对角化，最后利用正交矩阵得到正交变换，利用特征值得到标准形．正交变换法需要求出二次型矩阵的全部特征值，即求特征方程的根，由于代数方程没有统一的求根公式，因此在操作上存在一定的困难．而配方法避免了求解矩阵特征值的问题，因而使用起来比较方便．以上学者的研究为本文介绍的化二次型为标准形的六种方法奠定了基础，为以后的研究工作做出了重要贡献.本文梳理了已有的研究成果，并对六种方法做出总结，希望能够对未来的相关研究作出贡献．二、 化二次型为标准形的六种方法（一）正交变换法由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性替换将此实二次型化为标准形．定理1任意一个实二次型TAX f X =＝11nnij i j i j a x x ==∑∑（其中ij ji a a =）都可以经过正交线性替换变成平方和2221122...n ny y y λλλ+++，其中平方项的系数12,...,n λλλ就是矩阵A 的全部特征根．由此定理得到的化二次型为标准形的方法称为正交变换法，此法的解题步骤为：1. 将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =，并写出矩阵A ；2. 求出矩阵A 的所有特征值12,...,i λλλ，它们的重数分别记为21,...,i k k k （21...i k k k +++=n ）○3求出每个特征值所对应的特征向量，因为21...i k k k +++=n ，所以共有n 个特征向量21...,,i ξξξ．具体方法是：列出方程1()0E A X λ→-=，解出与1λ对应的1k 个线性无关的特征向量；同理求出其他的特征值23,...,i λλλ所对应的特征向量．○4将n 个特征向量21...,,i ξξξ，先后施行正交化和单位化，得到单位正交向量组21,,,n ηηη，并记C =21)(,,T n ηηη；○5作正交变换X CY =，则二次型f 化为标准形f =2221122...n ny y y λλλ+++． 例1 用正交变换方法化二次型222212341234121314232434,,,)264462(x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x =+++-+--+-为标准形．解：（1）二次型的矩阵为A =1132112332112311⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭-------- 由A 的特征多项式E A λ-=1132112332112311λλλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭--------=(3)(7)(1)(1)λλλλ+--+ 得A 的特征值为1λ=-3，2λ=7，3λ=-1，4λ=1．（2）将1λ=-3代入1()0E A X λ-=中，得到方程组12341234123412324320423032402340x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪-+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-=⎩ 解此方程组可得出基础解系1α=(1,1,1,1)T --，同样地，分别把2λ=7，3λ=-1，4λ=1 代入()0E A X λ-=中，求解方程组得与2λ=7，3λ=-1，4λ=1对应的基础解系依次为2α=(1,1,1,1)T--，3α=(1,1,1,1)T--，4α=222211223344d x d x d x d x +++． （3）将1234,,,αααα正交化：1α=1β=(1,1,1,1)T--2β=2α-21111(,)(,)αββββ=(1,1,1,1)T -- 3β=3α-3132121122(,)(,)(,)(,)αβαβββββββ-=(-1,-1,1,1)T 4β=4α-434142123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)αβαβαββββββββββ--=(1,1,1,1)T 将正交向量组1234,,,ββββ，单位化得单位正交向量组：11=(1,1,1,1)2T η--，21(1,1,1,1)2T η=--，31(1,1,1,1)2T η=--，41(1,1,1,1)2Tη=（4）令C =121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭------，于是正交线性替换1234x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=121111111111111111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭------1234y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭将二次型化为标准形f =2222123173y y y y +-+-．（二） 配方法使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式及平方差公式逐个消去非平方项，并构造新的平方项．定理92【】数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122...n nd x d x d x +++的形式． 用配方法化二次型为标准形的关键是构造平方项，其方法是利用完全平方公式、平方差公式逐步消去交叉项，同时构造新的平方项．具体解题思路可分两种情形来处理：(1) 若二次型中含有某变量i x 的平方项和交叉项，则可先将含i x 的交叉项合并在一起，使之与2i x 配方成为完全平方项，然后类似地对剩下的1n -个变量进行配方，直到各项全部化为平方项为止；(2) 若二次型中没有平方项，则可先利用平方差公式将二次型化为含有平方项的二次型，例如，当二次型中出现交叉项i j x x 时，先作可逆线性替换i i j x y y =+，j i j x y y =-，k k x y =（,k i j ≠），使之成为含有2i y ,2j y 的二次型，然后按照情形（1）的方法进行配方．例２ 用配方法化二次型23(,,)f x x x =22112223224x x x x x x +++为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：原二次型中含有1x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对23,x x 配平方，消去23x x 项.此过程为23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-234x ()()2221223324x x x x x =+++-于是作非退化线性替换11221233+2y x x y x x y x =+⎧⎪=⎨⎪=⎩，由此得11232233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234y y y +-，所用的线性替换矩阵为C =112012001-⎛⎫⎪- ⎪⎪⎝⎭． 例3 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的线性替换矩阵．解：由于所给的二次型中无平方项，故需要构造出平方项，令11221233x y y x y y x y=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 即123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入原二次型得23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-221213444y y y y =-++此时就可以按照情形（1）中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y ，再分别对 23,y y 配平方即可．所以有23(,,)f x x x =221213444y y y y -++2222113332444y y y y y y =-++-+ ()222133224y y y y =--++作非退化线性替换11322332z y y z y z y =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，或写成11222331122y z z y z y z ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， 即123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=11022010001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭于是二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221234z z z -++，所用的线性替换矩阵为C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭11022010001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭=1112211122001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭从以上配方法的过程可以看出，将一般二次型通过配方法化成标准形，实际上就是通过一系列的非退化线性替换将n 个元逐渐配方的过程，这个过程用矩阵的形式表示出来就是将二次型化为标准形的第三种方法------初等变换法．这种方法的实质就是将二次型矩阵通过一系列的合同变换（即进行矩阵的初等行、列变换），逐步地化成与它合同且在形式上又比较简单的矩阵，最后得到对角矩阵的过程．定理[7]3 在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A ，都可以找到一个可逆矩阵C 使TC AC 成对角形．根据初等矩阵的有关性质知，用初等矩阵左乘A 相当于对A 作一次初等行变换；用初等矩阵右乘A 相当于对A 作一次初等列变换，任意对称矩阵都可用同样类型的初等行变换和初等列变换化成与之合同的对角阵，对初等矩阵施行一个初等行变换，同时要对矩阵作一次相应的列变换，以保证每对变换作过以后得到的矩阵与原来的矩阵合同．具体的解题步骤为：（1）写出二次型()12,n f x x x 的矩阵A ,A 与E 构成2n n ⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭（2）对A 进行初等行变换和相同的初等列变换，化成与A 合同的但是形式较为简单的矩阵，直至将A 化成对角矩阵；但是对E 只进行其中的列变换.，用C D 、分别表示A E 、变化后的矩阵．（3）写出正交变换过程中所进行的一系列非退化线性替换X CY =，此线性替换将化原二次型化为标准形()12,n f x x x ='Y DY ．此过程可简单表示为：A E ⎛⎫ ⎪⎝⎭A E −−−−−−−−−→对进行同样的初等行、列变换对只进行其中的列变换D C ⎛⎫⎪⎝⎭． 例4 用初等变换法将二次型23(,,)f x x x =22211213223322243x x x x x x x x x +-+++变为标准形． 解：首先写出二次型23(,,)f x x x 的矩阵A =111122123-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭然后构造出63⨯矩阵A E ⎛⎫⎪⎝⎭=111122123100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-r ,+r r r −−−−→111013032100010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭2113-,+j j j j −−−−→100013032111010001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭26364656-3,i -9,i +3,-3i i i i i i −−−−−−−→100010037114013001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭32-3,i i −−−→ 10001000711*******⎛⎫⎪ ⎪⎪-⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭从以上过程可以看出C =114013001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，最后作可逆线性替换X CY =，则23(,,)f x x x = '100010007Y Y⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭（四）雅可比(Jacobi)方法此方法利用二次型的矩阵的顺序主子式（也即雅可比行列式）来确定 标准形中各平方项的系数 .这种方法较为简便，但是有条件限制，它需要二 次型的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．1. 几个相关定义[1]定义 V 是数域P 上一个线性空间，f (,)αβ是V 上一个二元函数，如果f (,)αβ有下列性质：（1）11221122f (,k +)=k f (,)+k f (,)k αββαβαβ； （2）11221122f (k +,)=k f (,)+k f (,)k βββαβαβ；其中1212,,,,,αααβββ是V 中任意向量，12k ,k 是P 中任意数，则称f (,)αβ为V 上的一个双线性函数．[11]定义 f (,)αβ线性空间V 上的一个双线性函数，如果对V 中任意两个向量α,β都有f (,)αβ=f (,)βα，则称f (,)αβ为对称双线性函数．[11]定义 设f (,)αβ是数域P 上n 维线性空间V 上的一个双线性函数.12n ,,...,εεε是V 的一组基，则矩阵11)1n n 1)n n)f (,f (,)A=f (,f (,εεεεεεεε⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭称为 f (,)αβ在12n ,,...,εεε下的度量矩阵．2. 解题步骤雅可比方法的计算步骤归纳如下：（1）在矩阵A 的非对角线元素中选取一个非零元素 ija .一般说来，取绝对值最大的非对角线元素;（2） 由公式jjii ij a a a tan -=22θ求出θ，从而得平面旋转矩阵IJ P P=1; （3） 111AP P A T=,1A 的元素由公式(9)计算． （4） 以1A 代替A ，重复第一、二、三步求出2A 及2P ，继续重复这一过程，直到m A 的非对角线元素全化为充分小(即小于允许误差)时为止．（5） m A 的对角线元素为A 的全部特征值的近似值,m P ...P PP 21=的第j 列为对应于特征值j λ(jλ为m A 的对角线上第j 个元素)的特征向量．例5 用雅可比方法将二次型123(,,)f x x x =2221231213234x x x x x x x ++++化为标准形．解：二次型的矩阵32223A =102201⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭，顺序主子式1=2∆，21=-4∆，31=-44∆都不等于零，所以能采用雅可比方法．设1231000,1,0001εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，双线性函数f (,)αβ关于基123,,εεε的矩阵为A , 则A=()()()()()()()()()111213212223313233f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,f ,εεεεεεεεεεεεεεεεεε⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=3222310221⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭再设111121212223131232333c c c c c c ηεηεεηεεε=⎧⎪=+⎨⎪=++⎩系数11c 可由条件()11f ,1ηε=求出，即()111111c f ,2c 1εε==，从而得出1112c =，所以11111121020c ηεε⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎝⎭，系数1222,c c 可由方程组()()()()1211221212122222,,0,,1c f c f c f c f εεεεεεεε+=⎧⎪⎨+=⎪⎩求出，并可得到122268c c =⎧⎨=-⎩，所以2121222c c ηεε=+=680⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，系数132333,,c c c 可由方程组132333132313333220230221c c c c c c c ⎧++=⎪⎪⎪+=⎨⎪+=⎪⎪⎩求出，即1323338171217117c c c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，所以38171217117η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.由此可得，由基123,,εεε到123,,ηηη的过渡矩阵为18621712081710017C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．因此123(,,)f x x x 经线性替换X CZ =能够化成标准形：22222201212312312311z z z 8217z z z ∆∆∆++=-+∆∆∆． （五）偏导数法偏导数法与配方法的实质是相同的，但是它是根据函数与其偏导数之间的关系这一原理，依据配方法提出的化二次型为标准形的新方法，配方法需要仔细观察然后进行配方，而这种方法具有固定的程序，可以按步骤一步一步进行计算．因此，能够提高准确性，且易于理解，求解过程也更加简单．利用偏导数法将二次型()12,...n f x x x ＝11nnij i j i j a x x ==∑∑化为标准形的解题步骤如下：（注意，运用该方法时，要将二次型分为两种情形来进行讨论．）1. 情形1： 二次中含有ix 的平方项，即iia()1,2,...i n =中至少有一个不为零的情形．（1） 不妨设11a 不等于零，将f 对1x 的偏导数1f x ∂∂求出来，并记1112ff x ∂=∂. （2）根据偏导数法()2121111,...(f )g n f x x x a =+，通过计算得出g ．此时g 中已经不再含有1x ．（3）求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂，并记1212gg x ∂=∂，又可得()12,,...n f x x x =()()2211'112211f g u a a ++， 此时u 中不再含有2x ．（4） 按照这种程序继续运算，最终可以将二次型化为标准形．2. 情形2：二次型中不含ix 的平方项，即所有ii a ()1,2,...i n =都等于零，但是至少有一1(1)j a j >不等于零的情形．（1）不妨设12a 不等于零，首先求出f 对1x 的偏导数1fx ∂∂，以及f 对2x的偏导数2f x ∂∂，并记1112f f x ∂=∂，2212ff x ∂=∂， （2）将(1)结果代入，此时得到()22121212121,,...[()()]n f x x x f f f f a ϕ=+--+，其中ϕ中不含12,x x 的项．（3）进行观察：如果ϕ中含有i x的平方项，则按照情形1中的方法去进行计算，如果ϕ中仍然不含有ix 的平方项，则按照上述步骤继续计算，直到将二次型化为标准形为止．例6 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =22212312232422x x x x x x x +-+-为标准形．解：原二次型中含有1x 的平方项，符合情形1，首先求出f 对1x的偏导数1fx ∂∂=1222x x +，所以可以得到：1112ff x ∂=∂=12x x +23(,,)f x x x =()21111f g a +=()212x x g++整理可得到：22232342g x x x x =--接下来求出g 对2x 的偏导数2g x ∂∂=()232x x -, 1212gg x ∂=∂=23x x -23(,,)f x x x =()()222113'1122115f g x a a +- ()()222122335x x x x x =++--令11222333y x x y x x y x=+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过变形可以得到112322333x y y y x y y x y =--⎧⎪⇒=+⎨⎪=⎩于是原二次型化为标准形23(,,)f x x x =2221235y y y +-所得的变换矩阵为111011001C --⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，例7 用偏导数法化二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++为标准形． 解：由于所给的二次型中不含ix 的平方项，符合情形2，所以分别求出f 对1x 的偏导数1f x ∂∂，以及f 对2x的偏导数2fx ∂∂，其结果如下：1f x ∂∂=2342x x -+，2fx ∂∂=1342x x -+1112f f x ∂=∂=232x x -+，2132122ff x x x ∂==-+∂23(,,)f x x x =()()221212121f f f f a ϕ⎡⎤+--+⎣⎦整理上式可得：ϕ=23x于是得到23(,,)f x x x =()()2223121231222224x x x x x x ⎡⎤-----+⎣⎦=()()222312123x x x x x x ---+-+=222123y y y -++令112321233y x x x y x x y x =--+⎧⎪=-⎨⎪=⎩经过整理可以得到1123212333111222111222x y y y x y y y x y ⎧=-++⎪⎪⎪=--+⎨⎪=⎪⎪⎩可以得到所用的可逆矩阵为111222111222001C ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，（六）顺序主子式法对于二次型'12,1(,,...,)nn ij iji j f x x x X AX a x x===∑ （1）其中,,1,2,...,ij ji a a i j n ==，以上介绍了五种化二次型为标准形的方法，本文第六部分介绍顺序主子式法．[1]定理 对于二次型（1）矩阵()A =ij n na ⨯假如11121,-121222,-1111211221221-1-1,n-1-1,-1-1,-10,-0,,=n n n n n n n n a a a a a a a a a ααααα∆=≠∆=≠∆≠则二次型可化为标准形12222211111(,,...,)...n n n n f x x x y y y -∆∆=∆+++∆∆例8 化二次型32212132145),,(x x x x x x x x f -+=为标准形 解：二次型的矩阵为51025022020A ⎛⎫⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪- ⎪⎪⎝⎭方法一：4,425,1321-=∆-=∆=∆ 所以1222231232516(,,)425f x x x y y y =-+方法二： 32218125255101022252502024402016025r r r r A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→-−−−−→- ⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1,23251,44-∆=∆=∆=-1222222231231232542516(,,)2544254f x x x y y y y y y -=-+=-+-雅可比方法是利用二次型的矩阵的顺序主子式来确定标准形中各项平方和项的系数．它要求二次形的矩阵所有的顺序主子式必须都不为零．3.1二次型在二次曲面研究中的应用二次曲面的一般方程为：2221122331213231232220a x a y a z a xy a xz a yz b x b y b z c +++++++++= 其中,,(,1,2,3)ij i a b c i j =都是实数．我们记x =(x,y,z)T ，123=(,,)b b b b T，111213212223313233A =a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭其中ij jia a =利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：0TTx Ax b x c ++= (2)为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进行． 第一步，利用正交变换X =PY 将方程（2）左边的二次型TX AX 的部分化成标准形：222112131T x Ax x y z λλλ=++其中P 为正交矩阵，3=()12y x ,x ,x T,相应地有()112131T T T b x b Py b P y k x k y k z ===++于是方程(2)可化为2221121311121310x y z k x k y k z c λλλ++++++=第二步, 作平移变换0y y y =+，将方程(3)化为标准方程, 其中(,,)y x y z =这里只要用配方法就能找到所用的平移变换.以下对123,,λλλ是否为零进行讨论:1)当123,,0λλλ≠时，用配方法将方程(3)化为标准方程：222123x y z d λλλ++= (6-1)根据123,,λλλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-1）表示什么曲面．例如123,,λλλ与d 同号，则方程（6-1）表示椭球面．（2）当123,,λλλ中有一个为0，设30λ=方程（3）可化为22123(0)x y kz z λλ+=≠ (6-2) 22123(0)x y d k λλ+== (6-3)根据12,λλ与d 的正负号，可具体确定方程(6-2)、(6-３)表示什么曲面．例如当12,λλ同号时，方程(6-2)表示椭圆抛物面．当12,λλ异号时，方程(6-2)表示双曲抛物面，(6-3) 表示柱面．(3) 当123,,λλλ中有两个为０，不妨设230λλ==，方程(3) 可化为下列情况之一：21()0(,0)a x py qz p q λ++=≠ 此时，再作新的坐标变换：2222py qz qy pz x x y z p q p q +-'''===++(实际上是绕x ~轴的旋转变换)，方程可化为：02221='++'y q p x λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+p y p x b λ表示抛物柱面；)0(0~~)(21≠=+q z q x c λ表示抛物柱面；21()0d x d λ+=若1λ与d 异号，表示两个平行平面；若1λ与d 同号，图形无实点，若0d =，表示yoz 坐标面．例 二次曲面由以下方程给出，通过坐标变换，将其化为标准型，并说明它是什么曲面．222234444212100x y z xy yz x y z +++++-++= 解：将二次曲面的一般方程写成矩阵形式：010=++x b Ax x T T，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x x ，1224⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=b ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=420232022A )6)(3(18923---=-+-=-λλλλλλλE AA 的特征值为1236,3,0λλλ===，分别求出它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：1132323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2231323p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3132323p 取 P= ( p 1 , p 2 , p 3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换x = P y , 其中(),,,111Tz y x y =则有: 212136y x x A x T +=111868)(z y x y P b b T T +-==因此，原方程可化为：221111163868100x y x y z ++-++= 配方得：221118176()3(1)8()0372x y z ++-++=令111817,1,372x x y y z z =+=-=+ 则原方程化为标准方程：0~8~3~622=++z y x该曲面为椭圆抛物面．四、总结不同方法化简的优劣对于初学者来说，配方法是最基础的方法，它的原理很容易被学生消化吸收，因此，这种方法需要熟练掌握，灵活应用.配方法是推导二次型重要理论的基础，要熟悉它的推导过程.对于简单的二次型也可以灵活使用合同变换法，有时候这种方法更具简便性，节约计算量和计算时间.正交变换法由于具有保持几何形状不变的优点而备受青睐.在用正交变换法化二次型为标准型中,如何求正交矩阵是一个难点,常见的求法只有一种,求解过程大致如下:先用二次型矩阵A的特征方程求出A的n个特征值,然后通过直接求矩阵方程的基础解系,得到对应于征值的线性无关的特征向量,再用施密特正交化过程将它们正交化、单位化,进而得到n个两两正交的单位特征向量,最后由这n个两两正交的单位特征向量构成正交矩阵,即得所要求的正交变换和对应的标准型.这种方法综合性比较强,算比较复杂.雅可比方法是一种新的方法，它的过程与施密特正交化过程类似，思想上也有相似之处.用它解决正定性问题时比较方便.体会并深刻理解各种方法的实质与技巧，才能帮助我们快速并正确解决二次型问题.这需要多做练习，熟能生巧，方可以不变应万变.二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准型.二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题，其理论也在网络、分析、热力学等问题中有广泛的应用.将二次型化为标准型往往是困惑学生的一大难点问题，而且它在物理学、工程学、经济学等领域有非常重要的应用，因此探索将实二次型化为标准型的简单方法有重要的理论与应用价值通过典型例题，更能体会在处理二次型问题时的多样性和灵活性，我们应熟练掌握各种方法.致谢我衷心感谢我们论文指导老师，她在论文选题和写作过程中，给予了许许多多认真细致的指导和鼓励 .我也要感谢多年来家人和朋友对我学习工作上的支持，这是我继续在求学路上不断前进的动力之一.大学生活一晃而过，回首走过的岁月，心中倍感充实，当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多.请允许我以此文来纪念大学四年的美好时光，时间的前进是无法挽回的，四年的求学生活让我明白了一切都来之不易，得到成果的前提是你要不断地脚踏实地地付出自己的努力本文主要就二次型化标准型的方法进行了一定的探讨，在前人的基础上综合了六种化二次型为标准型的方法，这对于二次型的研究和教学都有一定意义！参考文献[1]王萼芳，石生明.高等代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，2007.[2]同济大学数学教研室.线性代数（第三版）[M]北京：高等教育出版社，1999.[3]丘维声.高等代数（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.[4]屠伯.线性代数－方法导引[M].上海：上海科技出版社，1986.[5]蓝以中.高等代数简明教程[M].北京：北京大学出版社，2003.[6]王琳.用正交变换化实二次为标准形方法研究.[J]数学通讯，1990（3）.[7]李五明，张永金，张栋春.实二次型化为标准形的几种方法[J]和田师范专科学校学报（汉文综合版）2007，27（5）[8]郭佑镇.实二次型的化简及应用[J]渭南师专学报（自然科学版）2000（2）.[9]胡明琼.把二次型化为标准形的方法[J]工程数学.1998，14（1）.[10]北京大学数学系几何与代数教研室小组编.高等代数(第三版)[M].高等教育出版社.2007:205-234.[11]庄瓦金编.高等代数教程[M].高等教育出版社.2004:427.[12]陈惠汝,刘红超.浅淡二次型标准形的两种方法[J].长春师范学院报,2004,23(2):13-15.[13]孙秀花.二次型的应用[J].宜宾学院报,2010,10(6):28-29[14]鱼浩,戴培良.二次型在不定方程中的应用[J].常熟理工学院报,2009,23(10):38-42[15]杨文杰.实二次型半正定性及应用[J].渤海大学学报,2004,25(2):127-129[16]郑华盛.二次型半正定性在不等式证明中的应用[J].科技通报，2002,18(30):227[17]袁仕芳,陈云长,曾丽容.关于二次型XAX最大值和最小值的教学思考[J].考试周刊,2010,35:74[18]JaneM.Day,DanKalmanTeachingLinearAlgebra:IssuesandResources[J].Th eCollegeMathematicsJournal.2001.目录第一章项目基本情况 ....................................................... 错误！未定义书签。
