福建省莆田市2017-2018学年高二数学上学期期末试题文(含解析)
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2017-2018学年福建省高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（ ）
A．4 B．2 C． D．
2．“x＞1”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（ ）
A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3
4．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（ ）
A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定
5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
7．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
8．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线
AF的斜率为，那么|PF|=（ ）
A． B．8 C． D．16
9．直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（ ）
A．﹣3 B．9 C．﹣15 D．﹣7
10．已f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则有（ ）
A．b＜0 B．0＜b＜1 C．1＜b＜2 D．b＞2
11．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数有且只有一个“新不动点”的函数是（ ）
①；
②g（x）=﹣ex﹣2x；
③g（x）=lnx；
④g（x）=sinx+2cosx．
A．①② B．②③ C．②④ D．②③④
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率等于 ．
14．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：
零件数x（个） 18 20 22
加工时间y（分钟） 27 30 33
现已求得如表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工
100个零件所需要的加工时间约为
分钟．
15．P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为 ．
16．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是 ．
三.解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1
（1）求b，c的值与f（x）的单调区间
（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．
18．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F．
（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；
（2）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．
19．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．
（Ⅰ） 求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；
（Ⅱ） 学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．
20．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，求线段MN
长度的最小值．
21．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）
（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式
（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）
22．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．
（Ⅰ）当a=﹣时，函数g（x）=f（x）﹣k在[0，2]内有两个零点，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．
2016-2017学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【考点】K8：抛物线的简单性质．
【分析】直接利用抛物线方程求解即可．
【解答】解：抛物线y=4x2，即x2=y的焦点到准线的距离为：p=．
故选：C．
2．“x＞1”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，
若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，
即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，
故选：A．
3．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（ ）
A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解出关于集合A的不等式，根据A∩B≠∅”求出a的范围即可．
【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
B={x|﹣2＜x＜a}，
若“A∩B≠∅”，则a＞﹣1，
故选：B．
4．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（ ）
A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定 B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定
C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定 D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定
【考点】BA：茎叶图．
【分析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解．
【解答】解：∵x甲=79，x乙=82，
且在茎叶图中，乙的数据更集中，
∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．
故选：A．
5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，
当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，
∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：
P=．
故选：A．
6．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【考点】K4：椭圆的简单性质．
【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．
【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，
故选：A．
7．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（ ）
A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1
【考点】KB：双曲线的标准方程．
【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．
【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．
将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．
由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．
又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，
