福建师大附中2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)

福建师大附中201X —201X 学年度上学期期末考试高二数学文试题（满分：150分，时间：120分钟）一、选择题：（ 每小题5分，共60分；四个选项中，只有一项符合题目要求 ） 1．已知命题 :p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（***） A.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0≥xB.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>xC.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｄ. :p x ⌝∀∈R ，sin 1x >2.某物体的位移S （米）与时间t （秒）的关系是23)(t t t S -=,则物体在2t =秒时的瞬时速度为（***）A. 1m/sB. 2m/sC. 1-m/sD. 7m/s3．已知定点A 、B ，且2||=AB ，动点P 满足1||||=-PB PA ，则点P 的轨迹为（***） A. 双曲线 B. 双曲线一支 C.两条射线 D. 一条射线 4．抛物线 2x y = 的准线方程是（***）A.4 x + 1 = 0 Ｂ.4 y + 1 = 0 Ｃ.2 x + 1 = 0 Ｄ.2 y + 1 = 05．:p 若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为零，:q 若2->m ，则022=-+m x x 有实根，则（***） A.""q p ∨为真 B.""p ⌝为真 C.""q p ∧为真 Ｄ.""q ⌝为假6. 某公司的产品销售量按函数)(t f y =规律变化，在],[b a t ∈时，反映该产品的销售量的增长速度先快后慢的图象可能是（***）7. 设 :p “0=k ”, :q “直线1:+=kx y l 与抛物线x y 42=只有一个公共点”， 则p 是q （***）条件bA. 充分且非必要B. 必要且非充分C. 充分且必要D. 既非充分也非必要8.曲线()ln f x x x =在点(1,0)处的切线方程为（***）A. 1y x =-+B.1y x =-C.y ex e =-D.y ex e =-+9．若 k 可以取任意实数，则方程 x 2 + k y 2 = 1 所表示的曲线不可能．．．是（***） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆或双曲线 D. 抛物线10.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐进线垂直，那么此双曲线的离心率为（***）C. 12 D. 1211.已知数列{}n a 满足2112,4(2),3n n n a a a n --=-=≥记132n n n a T -=，如果对任意的正整数n ，都有n T M ≥，则实数M 的最大值为（***）A. 2B. 3C. 4D. 512．函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是（***）A ．30B ．45C ．60D ．90 二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n n =++，则n a = ******14．点P 在双曲线122=-y x 上运动，O 为坐标原点，线段PO 中点M 的轨迹方程是 ***** 15．设12,F F 是椭圆223448x y +=的左、右焦点，点P 在椭圆上，满足123sin 5PF F ∠=，12PF F ∆的面积为6，则2PF = *****16．已知点),(y x P 满足椭圆方程1222=+y x ，则1-x y的最大值为***** 三、解答题：（本大题共6题，满分74分） 17. （本题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且sin cos b A B =.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若3b =，sin 2sin C A =，求,a c 的值.18. （本题满分12分）已知{}n a 为等差数列，且13248,12a a a a +=+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值. 19．（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的上顶点坐标为，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点，A 为左顶点，F 为椭圆的右焦点，求AP FP ∙的取值范围.20．（本小题满分12分）已知直线l 经过抛物线24x y =的焦点，且与抛物线交于B A ,两点，点O 为坐标原点. （Ⅰ）证明：AOB ∠为钝角.（Ⅱ）若AOB ∆的面积为4，求直线l 的方程;21.如图，有一边长为2米的正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形． （Ⅰ）请建立适当的直角坐标系．．．．．．．．．．，求阴影部分的边缘线OC 的方程;（Ⅱ）如何画出切割路径EF，使得剩余部分即直角梯形ABEF 的面积最大？并求其最大值．22. 如图，设AB 、''A B 分别是圆22:4O x y +=和椭圆22:14x C y +=的弦，且弦的端点在y 轴的异侧，端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号.（Ⅰ）若弦''A B 所在直线斜率为1-，且弦''A B 的中点的横坐标为45，求直线''A B 的方程； （Ⅱ）若弦AB 过定点3(0,)2M ，试探究弦''A B 是否也必过某个定点. 若有，请证明；若没有，请说明理由.BCEx参考答案1.B2.C3.B4.B5.A6.D7. A8.B9.D 10.D 11.A 12.C 13.3,12,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩; 14.22441x y -=; 15. 23PF =; 16.17.解： (I)由sin cos b A B =及正弦定理sin sin a bA B=，得sin B B =，所以tan B =(0,)B π∈,∴ 3B π=(Ⅱ)由sin 2sin C A =及sin sin a bA B=，得2c a =，由3b =及余弦定理2222cos b a c a B =+-，得229a c ac =+-,所以a =c =18.解：(I)设数列{}n a 的公差为d ,112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩解得12a =，2d =所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= （Ⅱ）由(1)可得1()(22)(1)22n n n a a n n S n n ++===+ 因1a ，k a ，2k S +成等比数列，所以212k k a a S +=，从而2(2)2(2)(3)k kk =++，即2560k k --=，解得6k =或1k =-（舍去），因此6k =19.解：（I）依题意得：2222112b a c e c a a b c ⎧=⎪=⎧⎪==⇒⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎩，∴椭圆方程为22143x y += （Ⅱ）设(,)P x y ，(2,0),(1,0)A F -，则222AP FP x x y ∙=+-+---（*）点P 满足223412x y +=，223(1)4x y ∴=-代入（*）式，得：211(22)4AP FP x x x ∙=++-≤≤ 根据二次函数的单调性可得：AP FP ∙的取值范围为[0,4] 20.解：(I)依题意设直线l 的方程为：1y kx =+（k 必存在）2214404y kx x kx x y=+⎧⇒--=⎨=⎩，216160k ∆=+>∴设直线l 与抛物线的交点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则有221212124,1,44x x x x y y =-==121230x x y y ∴+=-<，依向量的数量积定义，cos 0AOB ∠<即证AOB ∠为钝角 (Ⅱ) 由（I ）可知:2124(1)AB x k =-=+,d =∴142A OB S A B d ∆===,k ∴= ∴直线方程为1,1y y =+=+21. 解：(I)以O 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线弧OC 的方程为2(02)y ax x =≤≤ ∵点C 的坐标为(2,1)， ∴221a =，14a =故边缘线OC 的方程为21(02)4y x x =≤≤. (Ⅱ)要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为21(,)(02)4P t t t <<， ∵12y x '=， ∴直线EF 的的方程可表示为211()42y t t x t -=-，即21124y tx t =-， 由此可求得21(2,)4E t t -，21(0,)4F t -. 2211|||(1)|144AF t t =---=-，2211|||()(1)|144BE t t t t =---=-++，设梯形ABEF 的面积为()S t ，则 []1()||||||2S t AB AF BE =⋅+2211(1)(1)44t t t =-+-++2122t t =-++2155(1)222t =--+≤. ∴当1t =时，5().2S t =故()S t 的最大值为2.5. 此时||0.75,|| 1.75AF BE ==.答：当0.75m, 1.75m AF BE ==时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为22.5m .22． 解：（Ⅰ）由题意得：直线''A B 的方程为y x m =-+22225844044y x mx mx m x y =-+⎧⇒-+-=⎨+=⎩，280160m ∆=->，∴设''1122(,),(,)A x y B x y12441255x x m m +∴==∴=，将1m =代入∆检验符合题意，故满足题意的直线''A B 方程为：1y x =-+（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：224.x y +=分设11(,)A x y 、22(,)B x y 、'1(,)A x m 、'2(,)B x n ， ∵点A 在圆O 上， ∴22114x y +=，………①∵点'A 在椭圆C 上， ∴22114x m +=，………② 联立方程①②解得：12y m =，同理解得：2.2y n = ∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x ∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=， 化简得12212132y x y x x x -=-直线''A B 的方程为：21112122()2y y y y x x x x --=--，即212112y y y x x x -=+-1221212()y x y x x x --， 由12212132y x y x x x -=-得直线''A B 的方程为：212112y y y x x x -=+-34，∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M . 解法二：由（Ⅰ）得：圆O 的方程为：设11(,)A x y 、22(,)B x y ，∵圆O 上的每一点横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12倍可得到椭圆C ， 又端点A 与'A 、B 与'B 的横坐标分别相等，纵坐标分别同号，∴'11(,)2y A x 、'22(,)2y B x 由弦AB 过定点3(0,)2M ，猜想弦''A B 过定点'3(0,)4M .∵弦AB 过定点3(0,)2M ，∴12x x ≠且AM BM k k =，即12123322y y x x --=……①''11113312422A M y y k x x --==,''22223312422B M y y k x x --== 由①得''A M k =''B M k ， ∴弦''A B 必过定点'3(0,)4M .。

2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确，请把答案填涂在答题卡上） 1．已知集合{}||A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==+，则AB =（ ）A. [0,)+∞B. (0,)+∞C. [1,)-+∞D. (1,)-+∞ 2．设复数z 满足(1)1i z i -=+（i 为虚数单位），则2017z=（ ）A.1B. iC.1-D.i - 3．命题“0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x =-”的否定是A ．0(0,)x ∃∈+∞，00ln 1x x ≠-B ．0(0,)x ∃∉+∞，00ln 1x x =-C ．(0,)x ∀∈+∞，ln 1x x ≠-D ．(0,)x ∀∉+∞，ln 1x x =-4．设1a >，则0.3log a 、0.3a 、0.3a 的大小关系是（ ）A. 0.30.3log 0.3a a a <<B. 0.30.3log 0.3a a a <<C. 0.30.30.3log a a a <<D. 0.30.30.3log a a a << 5．若0()3f x '=-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A ．34-B ．6-C ．9-D ．12- 6．下列结论中，正确的是（ ）①命题“若22ac bc <，则a b <”的逆命题是真命题②命题“若0x y +≠，则,x y 不全为零”的否命题是真命题 ③设x R ∈，则“1x <”是“21x <”的充分不必要条件 ④“p ⌝”为假是“p q ∧”为真的必要不充分条件A. ①③B. ②④C. ①②④D. ②③④ 7．如下表定义函数()f x ，()g x ：则满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是（ ）A. 0或1B. 0或2C.1或6D. 2或6 8．为了得到函数sin(2)4y x π=+的图象，可将函数cos2y x =的图象（ ）A. 向左平移4π B. 向左平移8π C. 向右平移4π D. 向右平移8π9. 一个三角形的三边长分别2、1 ） A.2πB. 23πC. 34πD. 56π10．已知sin(3)2cos(4)ααππ--=，则()()()sin 5cos 232sin sin 2παπαπαα-+-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．74 B ．74- C ．34 D ．34- 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，3()2x f x x a =++，则[(1)]f f-=（ ）A ．81-B ．35-C ．11-D ．11 12．若1201x x <<<，则（ ） A. 2121ln ln xxe e x x ->-B. 2121ln ln x xe e x x -<-C. 1221xxx e x e >D. 1221xxx e x e <二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在答题卡上） 13.已知函数()f x =()f x 在(1,1)处的切线方程为 ．14.已知tan 2α=-，1tan()7αβ+=，则tan β的值为 ．15.“2x ≠或3y ≠”是“5x y +≠”的 条件.（充分非必要；必要非充分；充要；既不充分也不必要）16．设偶函数()f x 对任意x ∈R 都有1(5)()f x f x +=-，且当[2,0]x ∈-时，()f x x =，则(2016)f =________________.三、解答题（共6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤，请把答案写在答题卡上） 17．(本题满分12分)已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}[(1)][(1)]0,B x x m x m m R =---+≥∈.（Ⅰ）若[1,4]A B =，求m 的值； （Ⅱ）若A B R ≠，求m 的取值范围.18．(本题满分10分)已知命题:p 函数21y x mx =++在(1,)-+∞上单调递增；命题:q 函数244(2)1y x m x =+-+大于零恒成立. 若“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围.19．(本题满分12分)在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos 2cos 20cos A B a bC c--+=.（Ⅰ）求sin sin BA；（Ⅱ）若c =7cos 8C =，求ABC ∆的面积.20．(本题满分12分)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E F 、在AB 上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设()AE FB x cm ==. （Ⅰ）若广告商要求包装盒侧面积2()S cm 最大，试问x 应取何值？（Ⅱ）若广告商要求包装盒容积3()V cm 最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.21．(本题满分12分)已知函数22()sin sin ()6f x x x π=--，x R ∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-的最大值和最小值.22．(本题满分12分)π为圆周率， 2.718e =为自然对数的底数.（Ⅰ）求函数ln ()xf x x=的单调区间； （Ⅱ）求33,3,,,3,e e e e ππππ这6个数中的最大数与最小数(写清具体过程)；（Ⅲ）试比较e π与3π的大小(写清具体过程).2017-2018学年福建省福建师大附中高二6月期末考试数学（文）试题参考答案(满分：150分；完卷时间：120分钟)友情提示:所有答案都必须填写在答题卡上,答在本试卷上无效一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二.填空题(本大题共4小题,每小题5分, 共20分)13．210x y -+= 14．3 15. 必要非充分 16．1三. 解答题：（本大题共6小题,共70分）17.(本小题满分12分)【参考答案】 （Ⅰ）{}{}2|280|24A x x x x x =--≤=-≤≤，由[1,4A B =可得1x =为方程[(1)][(x m x m ---+=的根，则[1(1)][1(1)]0m m ---+=，解之得02m m ==或.(3分)当0m =，得{}{}2|10|11B x x x x x =-≥=≤-≥或，此时[1,4]AB =.当2m =，得{}|13B x x x =≤≥或，此时[1,4]A B ≠.综上可得0m =.(7分)（Ⅱ）由22(1)(1)0x mx m m -+-+=得11x m x m =-=+或，则{}|11B x x m x m =≤-≥+或，由AB R ≠得1214m m -<-+>或，解得1m <-或3m >.从而m 的取值范围为(,1)(3,)-∞-+∞.(12分)18．(本小题满分10分)【参考答案】:由题意，若p 为真命题，则12m-≤-，得2m ≥.若q 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得13m <<.(4分)又“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则,p q 一真一假. (5分) 当p 为真q 为假时，得213m m m ≥⎧⎨≤≥⎩或，解得3m ≥. 当p 为假q 为真时，得213m m <⎧⎨<<⎩，解得12m <<.(9分)综上，可得m 的取值范围为(1,2)[3,)+∞.(10分)19.(本小题满分12分)【参考答案】（Ⅰ）由正弦定理可得2sin a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =，其中2R 为ABC ∆外接圆的直径，则22sin 22sin sin 2sin 2sin sin a b R A R B A Bc R C C--⨯-==，那么 cos 2cos sin 2sin 0cos sin A B A BC C--+=，去分母，整理，可得sin cos cos sin C A C A +=2(sin cos cos sin )C B C B +，即sin()2sin()C A C B +=+,从而sin 2sin B A =,sin 2sin BA=. (6分) （Ⅱ）由（Ⅰ）得sin 2sin B A =，结合正弦定理可得sin 2sin b Ba A==.在ABC ∆中，由余弦定理可得222222467cos 248a b c a a C ab a +-+-===，由此可解得2a =，则24b a ==，又7c o s 8C =，则sin 8C ==，从而11sin 24228ABC S ab C ∆==⨯⨯⨯=. (12分)20．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ)，高为)x cm -，所以包装盒侧面积230)8(30)8()2x x S x x x +-=⨯-=-≤⨯8225=⨯， 当且仅当30x x =-，即15x =时，等号成立.所以若广告商要求包装盒侧面积S 最大，则15x =. (6分) (Ⅱ)包装盒容积2322)(030)V x x x =-=-+<<，2(20)V x '=-+=--，当0V '>得020x <<，当0V '<得2030x <<，所以当20x =时，包装盒容积V 取得最大值，此时包装盒的边长为，高为，包装盒的高与底面边长的比为12.(12分)21．(本小题满分12分)【参考答案】(Ⅰ) 由已知有1cos(2)1cos211cos23()(cos22)22222x x x f x x x π---=-=+-112cos2sin(2)4426x x x π=-=-，(4分) 所以()f x 的最小正周期为22ππ=.(6分)(Ⅱ) 因为()f x 在区间[,]36ππ--上是减函数，在区间[,]64ππ-上是增函数，1()34f π-=-，1()62f π-=-，()44f π=，所以()f x 在区间[,]34ππ-上的的最大值为4，最小值为12-.(12分)22．(本小题满分12分)【参考答案】：(Ⅰ)ln ()x f x x =的定义域为(0,)+∞，又21ln ()xf x x-'=， 当()0f x '>，即0x e <<时，函数()f x 单调递增， 当()0f x '<，即x e >时，函数()f x 单调递减，故函数()f x 的单调递增区间为(0,)e ，单调递减区间为(,)e +∞.(4分)(Ⅱ)注意到3e π<<，由(1)得ln ln 3ln 3eeππ<<，由ln ln 33ππ<可得33ππ<，由ln 3ln 3e e <可得33e e <， 由ln ln e eππ<可得e e ππ<， 则6个数中的最大数在3π，3e ，e π三数中，最小数在3π，3e ，eπ三数中.由于33e e ππ<<，则6个数中的最大数为3π。

23．已知数列 的前 项和为 ，其中 为常数．
（1）证明： ；
（2）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由．
2018-2019学年福建省师大附中
高二上学期期中考试数学（文）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】试题分析：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查，这是一种简单随机抽样，第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号，抽取学号最后一位为2的同学进行调查，符合采用系统抽样．
【详解】
p： ，解得0＜x＜8，
又 q： ,解得 ， ：-1<x<8
则p是 成立的充分不必要条件．
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质求出p，q的等价条件是解决本题的关键．
9．D
【解析】
试题分析： ，由等比数列性质可知
考点：等比数列性质
10．B
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，可得 ，将 与 的关系，结合余弦定理，即可求解.
（1）根据频率和为1，求出a的值；（2）根据频率分布直方图，计算众中位数．
【详解】
（1）因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，
所以有10×（0.005+0.035+a+0.020+0.010）=1，
解得a=0.030；
（2）根据频率分布直方图知，又0.005×10+0.035×10=0.4＜0.5，
A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样
C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样
2．袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球.设事件P表示“取出的都是黑球”；事件Q表示“取出的都是白球”；事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”．则下列结论正确的是

2017-2018学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥03．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤17．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．88．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．9．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．10．下列不等式对任意的x∈（0，+∞）恒成立的是（）A．x﹣x2≥0 B．e x≥ex C．lnx＞x D．sinx＞﹣x+1 11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．412．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．22．已知函数f（x）=x2﹣ax﹣1+lnx（x＞0）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若f（x）在上是增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a＞1，使得方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）上有解，若存在，试求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．2015-2016学年福建师大附中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线y=2x2的准线方程是（）A．B．C．D．【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．【解答】解：抛物线的方程可变为x2=y故p=，其准线方程为y=﹣，故选：D【点评】本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=1，因看错方程形式马虎导致错误．2．“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【分析】根据全称的否定是特称即可得到结论．【解答】解：根据全称的否定是特称，则“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的的否定，比较基础．3．函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（）A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【分析】根据可导函数的极值和导数之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：函数f（x）=x3的导数为f'（x）=3x2，由f′（x0）=0，得x0=0，但此时函数f （x）单调递增，无极值，充分性不成立．根据极值的定义和性质，若x=x0是f（x）的极值点，则f′（x0）=0成立，即必要性成立，故p是q的必要条件，但不是q的充分条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用函数单调性和极值之间的关系是解决本题的关键，比较基础．4．下列中为真的是（）A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否C．“x＞1，则x2＞1”的否D．“若x=y，则sinx=siny”的逆否【分析】根据四种真假关系进行判断即可．【解答】解：A．“若x＞y，则|x|＞|y|”的逆为若|x|＞|y|，则x＞y，当x=﹣2，y=0时，满足x|＞|y|，但x＞y不成立，即逆为假．B．“若x=1，则x2+x﹣2=0”的否是若x≠1，则x2+x﹣2≠0，当x=﹣2时，满足x≠1，但x2+x ﹣2=0，故否为假．C．的否为若“x≤1，则x2≤1，当x=﹣2时，满足x≤1，但x2≤1不成立，故的否为假．D．“若x=y，则sinx=siny”为真．则的逆否为真．故选：D【点评】本题主要考查的真假判断，涉及的四种形式，比较基础．5．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．6．已知p：∀x∈[1，2]，x2≥a；q：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a=0，若p∧q是真，则实数a的取值范围是（）A．a≤﹣2或a=1 B．a≤﹣2或1≤a≤2 C．a≥1 D．﹣2≤a≤1【分析】根据二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出p，q下a的取值范围，再根据p∧q为真得到p，q都为真，所以对前面所求a的取值范围求交集即可．【解答】解：p：x2在[1，2]上的最小值为1，∴a≤1；q：方程x2+2ax+2﹣a=0有解，∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≥1，或a≤﹣2；若p∧q是真，则p，q都是真；∴，∴a=1，或a≤﹣2；∴实数a的取值范围是{a|a≤﹣2，或a=1}；故选A．【点评】考查根据单调性求二次函数的最值，一元二次方程解的情况和判别式△的关系，以及p∧q的真假和p，q真假的关系．7．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（）A．B．C．4 D．8【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．8．函数f（x）=x﹣sinx（x∈R）的部分图象可能是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性，单调性和特殊点的函数值的对应性进行排除．【解答】解：∵f（x）=x﹣sinx（x∈R）是奇函数，∴图象关于原点对称，∴排除D．∵函数的导数为f'（x）=1﹣cosx≥0，∴函数f（x）在R上单调递增，∴排除C．∵f （﹣）=﹣=﹣=1﹣≈﹣0.57＞﹣1，∴排除B ，故选：A ．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，要充分利用函数的对称性，单调性和特殊值的符号进行判断是解决函数图象题的基本方法．9．设椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】设|PF 2|=x ，在直角三角形PF 1F 2中，依题意可求得|PF 1|与|F 1F 2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．【解答】解：|PF 2|=x ，∵PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2=30°，∴|PF 1|=2x ，|F 1F 2|=x ，又|PF 1|+|PF 2|=2a ，|F 1F 2|=2c∴2a=3x ，2c=x ，∴C 的离心率为：e==．故选D ．【点评】本题考查椭圆的简单性质，求得|PF 1|与|PF 2|及|F 1F 2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．10．下列不等式对任意的x ∈（0，+∞）恒成立的是（ ）A ．x ﹣x 2≥0B ．e x ≥exC ．lnx ＞xD ．sinx ＞﹣x+1【分析】对于A ，C ，D 分别列举反例，对于B ，构造函数f （x ）=e x ﹣ex ，利用导数可求f （x ）的最小值为0，故可判断．【解答】解：对于A ，x=3时，显然不成立；对于B ，设f （x ）=e x ﹣ex ，∴f ′（x ）=e x ﹣e ，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0，当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴x=1时，f （x ）取得最小值为0，∴f （x ）≥0，∴e x ≥ex ，故B 正确；对于C，x=e时，显然不成立；对于D，x=π时，显然不成立；故选B．【点评】本题以为载体，考查恒成立问题，解题时，错误的结论列举反例，正确的结论需要严格的逻辑证明．11．直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知，则p=（）A．2 B．C．D．4【分析】利用抛物线的定义、相似三角形的性质即可求出．【解答】解：过A，B分别作准线的垂线交准线于E，D．∵，∴|AE|=4，|CB|=3|BF|，且|BF|=|BD|，设|BF|=|BD|=a，则|BC|=3a，根据三角形的相似性可得，即，解得a=2，∴，即，∴．故选C．【点评】熟练掌握抛物线的定义、相似三角形的性质是解题的关键．12．已知f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f′（x），则有（）A．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＜e2013f（0）B．e2013f（﹣2013）＜f（0），f（2013）＞e2013f（0）C．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＜e2013f（0）D．e2013f（﹣2013）＞f（0），f（2013）＞e2013f（0）【分析】根据题目给出的条件：“f（x）为R上的可导函数，且对∀x∈R，均有f（x）＞f'（x）”，结合给出的四个选项，设想寻找一个辅助函数g（x）=，这样有以e为底数的幂出现，求出函数g（x）的导函数，由已知得该导函数大于0，得出函数g（x）为减函数，利用函数的单调性即可得到结论．【解答】解：令，则，因为f（x）＞f'（x），所以g′（x）＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，所以g（﹣2013）＞g（0），即，所以e2013f（﹣2013）＞f（0），，所以f（2013）＜e2013f（0）．故选C．【点评】本题考查了导数的运算，由题目给出的条件结合选项去分析函数解析式，属逆向思维，属中档题．二、填空题：本大题有4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷的相应位置.13．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k=1．【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2=b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c==2，解得k=1．故答案为：1．【点评】此题考查学生掌握椭圆的简单性质化简求值，是一道中档题．14．函数y=xe x+1在点（0，1）处的切线方程为x﹣y+1=0．【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=xex+1，∴f'（x）=xex+ex，当x=0时，f'（0）=1得切线的斜率为1，所以k=1；所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为：y﹣1=1×（x﹣0），即x﹣y+1=0．故答案为：x﹣y+1=0．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．已知A（﹣1，0），B是圆C：（x﹣1）2+y2=8（C为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BC于P，则动点P的轨迹方程为．【分析】由题意画出图形，可得|PA|+|PC|=|CB|=＞2，可得动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，则答案可求．【解答】解：如图，圆C：（x﹣1）2+y2=8的圆心C（1，0），半径为r=|CB|=，由图可知，∵P是AB的垂直平分线上的点，∴|PA|=|PB|，则|PA|+|PC|=|CB|=，∵，∴动点P的轨迹为以B、C为焦点的椭圆，且a=，c=1，∴b2=a2﹣c2=1．∴动点P的轨迹方程为．故答案为：．【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查了椭圆的定义，体现了数学转化思想方法，是中档题．16．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域内的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是[1，）．【分析】先对函数进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减得解．【解答】解：因为f（x）定义域为（0，+∞），又f'（x）=4x﹣，由f'（x）=0，得x=．据题意，，解得1≤k＜故答案为：[1，）【点评】本题主要考查函数的单调性与导函数的关系．属基础题．三、解答题：本大题有6题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知某物体的位移S（米）与时间t（秒）的关系是S（t）=3t﹣t2．（Ⅰ）求t=0秒到t=2秒的平均速度；（Ⅱ）求此物体在t=2秒的瞬时速度．【分析】（Ⅰ）根据平均速度公式计算即可，（Ⅱ）求导并令t=2得在t=2秒时的瞬时速度，【解答】解：（Ⅰ）米/秒（Ⅱ）∵S′（t）=3﹣2t，∴S′（2）=﹣1米/秒．【点评】本题考查了导数的概念及其实际应用，属于基础题．18．已知椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．（1）求椭圆方程；（2）若P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=1，求cos∠F1PF2．【分析】（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），可得c=1，=，又a2=b2+c2，解得即可得出．（2）由|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|，|PF2|．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2=，即可得出．【解答】解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），∵椭圆的两焦点是F1（﹣1，0），F2（1，0），离心率e=．∴c=1，=，又a2=b2+c2，解得a=2，b2=3．∴椭圆的标准方程为：．（2）∵|PF1|﹣|PF2|=1，|PF1|+|PF2|=4，联立解得|PF1|=，|PF2|=．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cos∠F1PF2===．【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值．（1）求函数的解析式；（2）求函数的极值；（3）若关于x的方程f（x）=k有三个零点，求实数k的取值范围．【分析】（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=，f′（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而函数的极值；（3）由（2）得到函数的单调区间进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．【解答】解：（1）f′（x）=3ax2﹣b由题意知，解得，∴所求的解析式为f（x）=x3﹣4x+4；（2）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值；（3）由（2）知，得到当x＜﹣2或x＞2时，f（x）为增函数；当﹣2＜x＜2时，f（x）为减函数，∴函数f（x）=x3﹣4x+4的图象大致如图．由图可知：．【点评】本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．20．如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；（Ⅲ）求面积S的最大值．【分析】（I）以抛物线定点为原点建立坐标系，使用待定系数法求出解析式；（II）设梯形高为h，用x，h表示出C点坐标，代入解析式得出x，h的关系，代入梯形面积公式即可；（III）利用导数判断S（x）的单调性，根据单调性得出最值．【解答】解：（I）如图，建立直角坐标系xoy，使抛物线的顶点在坐标原点，且抛物线的对称轴在y轴上．则A（﹣1，﹣2 ），B（1，﹣2），设抛物线的标准方程为：x2=2py（p＜0）．∵点B在抛物线上，∴12=2p（﹣2）求得p=﹣，∴抛物线的方程为：．（II）设梯形的高为h，∵CD=2 x 则C（x，﹣2+h ）．又点C在抛物线上，∴，解得h=﹣2x2+2．∴S（x）==2（﹣x3﹣x2+x+1）．定义域为（0，1）．（III）∵S（x）=2（﹣x3﹣x2+x+1）．∴S′（x）=2（﹣3x2﹣2x+1）=﹣2（3x﹣1）（x+1）．令S′（x）=0，解得x=﹣1（舍）或x=．当0时，S′（x）＞0，当时，S′（x）＜0，∴S（x）在上为增函数，上为减函数，∴当x=时，面积S取得最大值=．答：梯形的面积S的最大值为．【点评】本题考查了待定系数法求曲线方程，导数与函数的最值，属于中档题．21．已知过点P（0，2）的直线l与抛物线C：y2=4x交于A、B两点，O为坐标原点．（1）若以AB为直径的圆经过原点O，求直线l的方程；（2）若线段AB的中垂线交x轴于点Q，求△POQ面积的取值范围．【分析】（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，由△=（4k﹣4）2﹣16k2＞0，得k＜，由=，，知y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=，由以AB为直径的圆经过原点O，能求出直线l的方程．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），由，得，故线段AB的中垂线方程为，由此能求出△POQ面积的取值范围．【解答】解：（1）设直线AB的方程为y=kx+2（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2+（4k﹣4）x+4=0，则由△=（4k﹣4）2﹣16k2=﹣32k+16＞0，得k＜，=，，所以y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=，因为以AB为直径的圆经过原点O，所以∠AOB=90°，即，所以，解得k=﹣，即所求直线l的方程为y=﹣．（2）设线段AB的中点坐标为（x0，y0），则由（1）得，，所以线段AB的中垂线方程为，令y=0，得==，又由（1）知k ＜，且k ≠0，得或，所以，所以=，所以△POQ 面积的取值范围为（2，+∞）．【点评】本题考查直线l 的方程的求法和求△POQ 面积的取值范围．考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．22．已知函数f （x ）=x 2﹣ax ﹣1+lnx （x ＞0）． （Ⅰ）当a=3时，求f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，求a 的取值范围；（Ⅲ）是否存在实数a ＞1，使得方程f （x ）=x 2﹣1在区间（1，e ）上有解，若存在，试求出a 的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）将a=3代入f （x ），求出函数的导数，解不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于：，恒成立，根据函数的单调性，求出2x+在闭区间的最小值即可；（Ⅲ）假设存在，等价转化为：当a ＞1，函数h （x ）=lnx ﹣ax 在区间（1，e ）上有零点，得出矛盾，假设不成立．【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f （x ）=x 2﹣3x ﹣1+lnx ，∴，解得x ＞1或，又∵x ＞0，∴f （x ）单调增区间为；（Ⅱ）若f （x ）在上是增函数，则对任意，f ′（x ）≥0恒成立，∴，等价于：，2x2﹣ax+1≥0恒成立，等价于：，恒成立令，∴，∴g（x）在上为减函数，（Ⅲ）假设a＞1，方程f（x）=x2﹣1在区间（1，e）有解，等价转化为：当a＞1，函数h（x）=lnx﹣ax在区间（1，e）上有零点令，解得：，又∵x＞0，∴h（x）单调增区间为，单调减区间，∵a＞1，∴，∴h（x）在（1，e）上为减区间，而h（1）=﹣a＜0，故h（x）在（1，e）上不存在零点．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．。