2017-2018学年福建省莆田九中高二上学期期中数学试题(文科)(解析版)
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2017-2018学年福建省莆田九中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，a=4，A=45°，B=60°，则b等于（）A．B．C．D．2．（5分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．43．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．24．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件5．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=π，把函数y=f （x）的图象向左平移η个单位长度（η＞0），所得图象关于原点对称，则η的一个值可能为（）A．B． C．D．6．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2）且x1﹣x2=15，则a=（）A．B．3 C．﹣ D．﹣38．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N 是MF1的中点，若|ON|=1，则MF1的长等于（）A．2 B．4 C．6 D．59．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．110．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x11．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）若实数x，y满足不等式组，目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若，则角A=．14．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为20，则项数n 为．15．（5分）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是．16．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞a的解集为R；命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数．若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知cosC=﹣．（Ⅰ）求sin的值；（Ⅱ）若ab=6，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b，c的值．19．（12分）如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．20．（12分）已知x，y满足约束条件（1）求的取值范围．（2）若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．22．（12分）已知椭圆，（a＞b＞0）的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．2017-2018学年福建省莆田九中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）在△ABC中，a=4，A=45°，B=60°，则b等于（）A．B．C．D．【分析】由正弦定理，我们可得b=，将a=4，A=45°，B=60°，代入即可得到答案．【解答】解：由正弦定理可得，在△ABC中，∵a=4，A=45°，B=60°，∴b===故选A【点评】本题考查的知识点是正弦定理，已知两角和其中一角对边时，求另一角对边，是使用正弦定理的两种情况之一．2．（5分）椭圆x2+=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【分析】由题意可得a2=1，b2=m，求出a，b的值，结合长轴长是短轴长的两倍列式求得m值．【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，∴a2=1，b2=m，则a=1，b=，又长轴长是短轴长的两倍，∴2=，即m=．故选：A．【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础的计算题．3．（5分）已知函数f（x）=x+lnx，则f′（1）=（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：函数的导数f′（x）=1+，则f′（1）=1+1=2，故选：D【点评】本题主要考查函数的导数计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．比较基础．4．（5分）已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的（）A．充分非必要条件 B．充要条件C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件【分析】由c＞d，a﹣c＞b﹣d，相加可得：a＞b．反之不成立．即可判断出结论．【解答】解：由c＞d，a﹣c＞b﹣d，相加可得：a＞b．反之不成立．∴c＞d，则“a＞b”是“a﹣c＞b﹣d”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期T=π，把函数y=f （x）的图象向左平移η个单位长度（η＞0），所得图象关于原点对称，则η的一个值可能为（）A．B． C．D．【分析】由函数的周期求得ω=2，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数y=sin（2x+2η+）它为奇函数，故有2η+=kπ，k∈z，结合所给的选项可得η的值．【解答】解：由题意可得=π，∴ω=2．把函数y=f（x）的图象向左平移η个单位长度（η＞0），所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x+η）+]=sin（2x+2η+）．再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有2η+=kπ，k∈z，故η可以等于，结合所给的选项，故选B．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．6．（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．【分析】先由题意求得直线方程，再由圆的方程得到圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，即可求解．【解答】解：根据题意：直线方程为：y=x，∵圆x2+y2﹣4y=0，∴圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，∴弦长为2=2，故选A．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，是常考题型，属中档题．7．（5分）关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2）且x1﹣x2=15，则a=（）A．B．3 C．﹣ D．﹣3【分析】关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），∴x1，x2是一元二次方程x2﹣2ax﹣8a2=0（a＞0）的实数根，∴△=4a2+32a2＞0．∴x1+x2=2a，x1x2=﹣8a2．∵x2﹣x1=﹣15，∴（﹣15）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4a2+32a2，又a＞0．解得：a=．故选：A．【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．8．（5分）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N 是MF1的中点，若|ON|=1，则MF1的长等于（）A．2 B．4 C．6 D．5【分析】先根据椭圆的方程求得a，进而根据椭圆的定义求得|MF1|+|MF2|的值，进而把|ON|的值代入即可求得答案．【解答】解：由椭圆方程知a=4，∴根据椭圆的定义可知|MF1|+|MF2|=8，∴|MF1|=8﹣|MF2|=8﹣2|ON|=8﹣2=6．故选C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是利用了椭圆的定义，考查了学生对椭圆基础知识的运用．9．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=4，则输出y的值为（）A．B．C．D．1【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当x=﹣，y=时，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．【解答】解：执行程序框图，有x=4y=1不满足条件|y﹣x|＜1，x=1，y=﹣不满足条件|y﹣x|＜1，x=﹣，y=﹣，满足条件|y﹣x|＜1，退出循环，输出y的值为﹣．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10．（5分）设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±x D．y=±x【分析】通过已知条件b，c，利用a=，求出a，然后求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：因为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，焦距为2，所以b=1，c=，则a==，由双曲线﹣=1可知渐近线方程为：y==．故选D．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，考查计算能力．11．（5分）过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：D．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属中档题．12．（5分）若实数x，y满足不等式组，目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D【点评】本题考查简单的线性规划，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，若，则角A=30°．【分析】由条件利用余弦定理可得=bc•sinA，可得tanA=，由此求得A 的值．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得b2+c2﹣a2=2bc•cosA，故由=bc•sinA，可得=bc•sinA∴tanA=，∴A=30°，故答案为30°．【点评】本题主要考查余弦定理和三角形的面积公式，根据三角函数的值求角，属于中档题．14．（5分）数列{a n}的通项公式是a n=，若前n项和为20，则项数n 为440．【分析】利用a n==﹣，利用累加求和即可得出．【解答】解：a n==﹣，∴前n项和=+…+=﹣1=20，则项数n=440．故答案为：440．【点评】本题考查了累加求和方法、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）在锐角△ABC中，若C=2B，则的范围是．【分析】由已知C=2B可得A=180°﹣3B，再由锐角△ABC可得B的范围，由正弦定理可得，．从而可求【解答】解：因为锐角△ABC中，若C=2B所以A=180°﹣3B∴∴30°＜B＜45°由正弦定理可得，∵∴故答案为：【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，正弦定理在解三角形的应用．属于基础试题．16．（5分）已知x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b ＞0）的最大值为7，则的最小值为7．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可得当a=b=1时的最小值为7．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．故答案为：7【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=ax+by的最大值为7的情况下求的最小值．着重考查了简单的性质规划、利用基本不等式求最值等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：不等式|x﹣1|＞a的解集为R；命题q：f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数．若命题“p∨q”为假命题，求实数a的取值范围．【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【解答】解：∵不等式|x﹣1|＞a的解集为R，∴a＜0，即p：a＜0，∵f（x）=在区间（0，+∞）上是增函数，∴1﹣a＜0，即a＞1，即q：a＞1由题知命题“p∨q”为假命题，即p为假命题，且q假命题．∴，即0≤a≤1．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的应用，根据条件求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知cosC=﹣．（Ⅰ）求sin的值；（Ⅱ）若ab=6，且sin2A+sin2B=sin2C，求a，b，c的值．【分析】（Ⅰ）利用二倍角的余弦函数公式化简cosC，根据C为钝角得到为锐角，开方即可求sin的值；（Ⅱ）已知第二个等式利用正弦定理化简，再利用余弦定理列出关系式，联立表示出c2，将ab的值代入计算求出c与a2+b2的值，即可确定出a，b及c的值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosC=1﹣2sin2，cosC=﹣＜0，∴sin2===，∵C为钝角，∴为锐角，则sin=；（Ⅱ）∵sin2A+sin2B=sin2C，∴由正弦定理得：a2+b2=c2①又由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2=c2﹣ab②由①、②得c2=ab，∵ab=6，∴c=4，a2+b2=13，解得：或，∴a、b、c的值a=2，b=3，c=4或a=3，b=2，c=4．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）如图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB于点E，过E作EF⊥SC于点F．（1）求证：AF⊥SC；（2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．【分析】（1）首先，证明SC⊥平面AEF即可，得到AF⊥SC；（2）首先，证明CD⊥AD，然后，得到CD⊥平面ADS，再结合（1），证明AG⊥平面SDC，从而得到AG⊥SD．【解答】证明：（1）∵SA⊥平面AC，∴SA⊥BC．∵AB⊥BC，且SA∩AB=A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE，又∵AE⊥SB，且SB∩BC=B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC，且EF⊥SC，AE∩EF=E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC．（2）∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥CD，又∵四边形ABCD为矩形，∴CD⊥AD，∴CD⊥平面ADS，∴CD⊥AG，由（1）得SC⊥平面AEF，而AG在平面AEF上，∴SC⊥AG，∴AG⊥平面SDC，∴AG⊥SD．【点评】本题重点考查了空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质等知识，属于中档题．20．（12分）已知x，y满足约束条件（1）求的取值范围．（2）若目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值．【分析】（1）化简目标函数，画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．（2）利用目标函数的最优解的个数，判断a的值即可．【解答】解：（1）z==，可看作区域内的点（x，y）与点D（﹣5，﹣5）连线的斜率，由图可知，k BD≤z≤k CD．即（2）一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z=ax+y平行于直线3x+5y=30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解有无数个．又k BC=﹣，∴﹣a=﹣，∴a=．【点评】本题考查线性规划的简单应用，判断目标函数的几何意义是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在x∈[1，a]上的最小值和最大值；（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）于x=3是f（x）的极值点，得到f′（3）=0，得到a的值，进而得到函数在区间[1，a]上的单调性，得到函数f（x）的[1，a]上的最小值和最大值；（2由于f（x）在[1，+∞）上是增函数，则导函数≥0在区间上恒成立，即转化为a≤（x﹣），亦即a≤（x﹣），进而得到a最小值【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3，∵x=3是f（x）的极值点，得到f′（3）=0，∴a=4，则函数f（x）=x3﹣4x2﹣3x，即f′（x）=3x2﹣8x﹣3=（3x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，解得x=3，或x=﹣（舍去）∴f（x）在[，3]递减，[3，+∞）递增∵f（1）=﹣6，f（3）=﹣18，f（4）=﹣12∴最小值为﹣18，最大值为﹣6（3）f′（x）=3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）恒成立．∵x≥1．∴a≤（x﹣），当x≥1时，由于g（x）=（x﹣）是增函数，g（x）min=（1﹣1）=0．∴a≤0．【点评】本题考查函数的单调性与最值问题，解题的关键是写出函数的极值和函数在两个端点处的值，把这些值进行比较，得到最大值和最小值．22．（12分）已知椭圆，（a＞b＞0）的离心率为，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0，t）的直线l′（斜率存在时）与椭圆C交于P、Q两点，设D为椭圆C与y轴负半轴的交点，且|DP|=|DQ|，求实数t的取值范围．【分析】（1）由直线与圆为x2+y2=b2，相切，利用点到直线的距离公式可求b，由及a2=b2+c2可求a，进而可求椭圆C的方程（2）当直线的斜率k=0时，容易求t的范围；而k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t，联立方程，由△＞0，可得t，k的不等式，然后结合方程的根与系数关系可求x1+x2，y1+y2=k（x1+x2）+2t，从而可求PQ中点H，由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ，利用斜率关系可求t，k的方程，联立可求t的范围【解答】解：（1）以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2，由直线与圆相切可知，=b即b=2∵=∴a2=3b2∵a2=b2+c2∴∴椭圆C的方程（2）当直线的斜率k=0时，﹣2＜t＜2k≠0时，设直线线l′的方程为y=kx+t联立方程可得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣12=0则△=36k2t2﹣4（1+3k2）（3t2﹣12）＞0，∴t2＜4+12k2①，且x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2）+2t取PQ中点H，则由|DP|=|DQ|可得DH⊥PQ∵D（0，﹣2）∴k=﹣1∴t=1+3k2＞1②①②联立可得∴t∈（1，4）综上，t∈（﹣2，4）【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，解题的关键是确定几何量之间的关系，利用直线与椭圆联立，结合韦达定理求解。
