《高中数学选择性必修一》思维导图(复习课)

北师大版高中数学选择性必修第一册知识点第一章直线与圆.................................................................................................................... - 2 - 1直线与直线的方程.................................................................................................... - 2 - 2圆与圆的方程.......................................................................................................... - 29 - 第二章圆锥曲线.................................................................................................................. - 46 - 1椭圆 ......................................................................................................................... - 46 - 2双曲线 ..................................................................................................................... - 55 - 3抛物线 ..................................................................................................................... - 63 - 4直线与圆锥曲线的位置关系.................................................................................. - 72 - 第三章空间向量与立体几何.............................................................................................. - 77 - 1空间直角坐标系...................................................................................................... - 77 - 2空间向量与向量运算.............................................................................................. - 85 - 3空间向量基本定理及向量的直角坐标运算.......................................................... - 98 - 4向量在立体几何中的应用.................................................................................... - 107 - 5数学探究活动(一)：正方体截面探究 ................................................................. - 127 - 第四章数学建模活动（三）............................................................................................ - 130 - 第五章计数原理................................................................................................................ - 134 - 1计数原理 ............................................................................................................... - 134 - 2排列 ....................................................................................................................... - 139 - 3组合 ....................................................................................................................... - 144 - 4二项式定理............................................................................................................ - 148 - 第六章概率 ....................................................................................................................... - 157 - 1随机事件的条件概率............................................................................................ - 157 - 2离散型随机变量及其分布列................................................................................ - 165 - 3离散型随机变量的均值与方差............................................................................ - 172 - 4二项分布与超几何分布........................................................................................ - 180 - 5正态分布 ............................................................................................................... - 186 - 第七章统计案例................................................................................................................ - 190 - 1一元线性回归........................................................................................................ - 190 - 2成对数据的线性相关性........................................................................................ - 194 - 3独立性检验............................................................................................................ - 199 -第一章 直线与圆 1 直线与直线的方程1.1 一次函数的图象与直线的方程 1.2 直线的倾斜角、斜率及其关系1．直线的倾斜角定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 首次重合时所成的角，称为直线l 的倾斜角．规定：当直线l 和x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0． 范围：倾斜角α的取值范围为[)0，π． 2．直线的斜率(1)直线过不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)． (2)直线的斜率表示直线的倾斜程度． 3．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系(1)从函数角度看，k 是α的函数，其中k ＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠π2，图象如图所示．当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ≥0，且k 随倾斜角α的增大而增大；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ＜0，且k 随倾斜角α的增大而增大；当α＝π2时，直线l 与x 轴垂直，此时直线l 的斜率不存在．(2)如图，在直线l 上任取两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．由平面向量的知识可知，向量P 1P 2→是直线l 的方向向量，它的坐标是(x 2－x 1，y 2－y 1)，直线的倾斜角α、斜率k 、方向向量P 1P 2→分别从不同角度刻画一条直线相对于平面直角坐标系中x 轴的倾斜程度．它们之间的关系是k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝tan α(其中x 1≠x 2)．若k 是直线l 的斜率，则v ＝(1，k )是它的一个方向向量；若直线l 的一个方向向量的坐标为(x ，y )，其中x ≠0，则它的斜率k ＝yx ．任意一条直线都有倾斜角和斜率吗？若存在，唯一吗？[提示] 直线都有倾斜角且唯一，但并不是所有的直线都有斜率．当倾斜角是π2时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x 轴；当倾斜角不是π2时，直线的斜率存在且唯一．疑难问题类型1 直线的倾斜角【例1】 求图中各直线的倾斜角．(1) (2) (3)[解] (1)如图(1)，可知∠OAB 为直线l 1的倾斜角．易知∠ABO ＝30°， ∴∠OAB ＝60°，即直线l 1的倾斜角为60°．(1)(2)(3)(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°．(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°．求直线的倾斜角的两点注意(1)直线倾斜角的取值范围是[)0，π.(2)当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0；当直线与x轴垂直时，倾斜角为π2.类型2直线的斜率【例2】(1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；(2)已知A(3，2)，B(－4，1)，求直线AB的斜率；(3)已知直线l的一个方向向量是()3，1，求该直线的斜率．(4)求经过两点A(2，3)，B(m，4)的直线的斜率．[解](1)直线的斜率分别为k1＝tan 60°＝3，k2＝tan 135°＝－1．(2)直线AB的斜率k AB＝1－2－4－3＝17．(3)直线l的斜率k＝13＝33．(4)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为k AB＝4－3 m－2＝1m－2．求直线斜率的三种方法(1)已知直线的倾斜角α(α≠90°)时，可利用斜率与倾斜角的关系，即k ＝tan α求得；(2)已知直线上两点的坐标时，可利用直线斜率的定义求.要注意，其前提条件是x 1≠x 2，若x 1＝x 2时，直线斜率不存在；(3)已知直线的方向向量v ＝(m ，n )时，可利用k ＝nm 来求，但要注意，当m ＝0时，直线的斜率不存在.类型3 直线的倾斜角、斜率的应用三点共线问题【例3】 如果三点A (2，1)，B (－2，m )，C (6，8)在同一条直线上，求m 的值．[解] k AB ＝m －1－2－2＝1－m 4，k AC ＝8－16－2＝74，∵A ，B ，C 三点共线， ∴k AB ＝k AC ，即1－m 4＝74， ∴m ＝－6．斜率是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的.任意两点所确定的直线的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.数形结合法求倾斜角或斜率范围【例4】 直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，求直线l 的斜率和倾斜角的范围．[解]如图所示．∵k AP＝1－02－1＝1，k BP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)，∴45°≤α≤120°．直线与线段有交点求斜率问题，常用数形结合思想求解，先确定临界位置直线的斜率，再让直线从一个临界位置转动到另一个临界位置，并考察斜率的变化规律，最后确定是取“中间”，还是取“两边”.归纳总结1．直线的斜率与倾斜角是刻画直线位置的两个基本量，决定了这条直线相对于x轴的倾斜程度．2．倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率，即直线的倾斜角不为90°时，斜率公式才成立．3．斜率公式是以后研究直线方程的基础，需熟记并会灵活运用．1.3直线的方程第1课时直线方程的点斜式1．直线l的方程如果一条直线l上的每一点的坐标都是一个方程的解，并且以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，那么这个方程称为直线l的方程．2．直线的点斜式方程和斜截式方程名称点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k 斜率k和直线在y轴上的截距b 图示方程y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b 适用范围斜率存在3．直线l在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距．(1)斜截式方程应用的前提是什么？(2)纵截距一定是距离吗？[提示](1)直线的斜率存在．(2)纵截距不一定是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，可取一切实数．疑难问题类型1直线方程的点斜式【例1】根据条件写出下列直线的方程，并画出图形．(1)经过点A(－1，4)，斜率k＝－3；(2)经过坐标原点，倾斜角为45°；(3)经过点B(3，－5)，倾斜角为90°；(4)经过点C(2，8)，D(－3，－2)．[解](1)y－4＝－3[x－(－1)]，即y＝－3x＋1．如图(1)所示．(2)k＝tan 45°＝1，∴y－0＝x－0，即y＝x．如图(2)所示．(1)(2)(3)斜率k不存在，∴直线方程为x＝3．如图(3)所示．(4)k＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y－8＝2(x－2)，即y＝2x＋4．如图(4)所示．(3)(4)求直线方程的点斜式的步骤类型2直线方程的斜截式【例2】求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点P(0，1)，斜率为2；(2)与直线y＝－x＋1在y轴上的截距相等，且过点Q(2，2)；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3．[解](1)y＝2x＋1．(2)由题意知，该直线过点(0，1)和Q(2，2)，故k＝2－12－0＝12，∴直线l的方程为y＝12x＋1．(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3；∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3．直线方程的斜截式求解策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.(2)直线的斜截式方程y ＝kx ＋b 中只有两个参数，因此要确定某直线，只需两个独立的条件.(3)利用直线的斜截式求方程时，如果已知斜率k ，只需引入参数b ；同理如果已知截距b ，只需引入参数k .类型3 直线过定点问题【例3】 求证：不论m 为何值时，直线l ：y ＝(m －1)x ＋2m ＋1恒过定点． [证明] 法一：直线l 的方程可化为y －3＝(m －1)(x ＋2)， ∴直线l 过定点(－2，3)．法二：直线l 的方程可化为m (x ＋2)－(x ＋y －1)＝0． 令⎩⎨⎧ x ＋2＝0，x ＋y －1＝0， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝3. ∴无论m 取何值，直线l 总经过点(－2，3)．本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现了代数方法处理等式恒成立问题的基本思想.归纳总结直线方程的点斜式和斜截式的关系与使用条件第2课时直线方程的两点式直线方程的一般式1．直线方程的两点式与截距式两点式截距式条件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y 1≠y2在x轴上截距a，在y轴上截距b其中ab≠0图形方程y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线1．直线的方程一定能用两点式表示吗？[提示]当直线与坐标轴垂直时，直线的方程不能用两点式表示．2．直线方程的一般式(1)直线与二元一次方程的关系①在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．②每个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．(2)直线方程的一般式的定义我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不全为0)叫作直线方程的一般式，简称一般式．2．在直线方程的一般式Ax＋By＋C＝0中，为什么规定A，B不同时为0?[提示]当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0表示的不是直线．疑难问题类型1直线方程的两点式和截距式直线方程的两点式【例1】已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程．[解] A ，B 两点横坐标相同，直线AB 与x 轴垂直，故其方程为x ＝2． 由直线方程的两点式可得，AC 的方程为y －1－1－1＝x －42－4，即x －y －3＝0． 同理可由直线方程的两点式得，直线BC 的方程为y －21－2＝x －24－2，即x ＋2y －6＝0．∴三边AB ，AC ，BC 所在的直线方程分别为x ＝2，x －y －3＝0，x ＋2y －6＝0．(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)一般用两点式求直线方程时，由于减法的顺序性，必须注意坐标的对应关系，即x 2与y 2是同一点坐标，而x 1与y 1是另一点坐标.直线方程的截距式【例2】 求过点A (5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l 的方程． [解] 法一：当直线l 在坐标轴上的截距均为0时，方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0；当直线l 在坐标轴上的截距不为0时，可设方程为x a ＋y－a ＝1，即x －y ＝a ，又∵l 过点A (5，2)，∴5－2＝a ，a ＝3， ∴l 的方程为x －y －3＝0，综上所述，直线l 的方程是2x －5y ＝0，或x －y －3＝0．法二：由题意知直线的斜率一定存在．设直线方程的点斜式为y －2＝k (x －5)， x ＝0时，y ＝2－5k ，y ＝0时，x ＝5－2k ．根据题意得2－5k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5－2k ，解方程得k ＝25或1．当k ＝25时，直线方程为y －2＝25(x －5)，即2x －5y ＝0； 当k ＝1时，直线方程为y －2＝1×(x －5)，即x －y －3＝0．求解此类问题常用待定系数法，其求解步骤有两步：(1)根据题中条件设出直线方程，如在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程常设为xa＋yb＝1.(2)根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.类型2直线方程的一般式【例3】设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0．(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；(2)若直线l的斜率为1，则m＝________．(1)－53(2)－2[(1)令y＝0，则x＝2m－6m2－2m－3，∴2m－6m2－2m－3＝－3，得m＝－53或m＝3．当m＝3时，m2－2m－3＝0，不合题意，舍去．∴m＝－5 3．(2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠－1且m≠1 2，由直线l化为斜截式方程，得y＝m2－2m－32m2＋m－1x＋6－2m2m2＋m－1，则m2－2m－32m2＋m－1＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)．∴m＝－2．]直线方程的几种形式的转化类型3 直线方程的综合应用【例4】 已知直线l ：5ax －5y －a ＋3＝0． (1)求证：不论a 为何值，直线l 总经过第一象限； (2)为使直线l 不经过第二象限，求a 的取值范围． [解] (1)证明：法一：将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5， 当a >0时，直线一定经过第一象限； 当a ＝0时，y ＝35，直线显然经过第一象限；当a <0时，3－a5>0，因此直线经过第一象限．综上可知，不论a 为何值时，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定经过第一象限． 法二：将直线方程变形为y －35＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －15，它表示经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35，斜率为a的直线．∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，35在第一象限，∴直线l 必经过第一象限．(2)如图，直线OA 的斜率k ＝35－015－0＝3．∵直线l 不经过第二象限， ∴直线l 的斜率k ≥3，∴a ≥3，即a 的取值范围为{a |a ≥3}．含有一个参数的直线方程，一般表示无穷多条直线，称为直线系.若这无穷多条直线过同一个点.则求该点时，将一般式方程变形为点斜式方程，便可求出该点的坐标.归纳总结1．截距式方程应用的注意事项(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可．(2)选用截距式直线方程时，首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直．(3)要注意截距式直线方程的逆向应用．2．直线方程的其他形式都可以化成一般式，一般式也可以化为斜截式．一般式化斜截式的步骤：(1)移项，By ＝－Ax －C ； (2)当B ≠0时，得y ＝－A B x －CB ．3．在一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)中，若A ＝0，则y ＝－CB ，它表示一条与y 轴垂直的直线；若B ＝0，则x ＝－CA ，它表示一条与x 轴垂直的直线．1.4 两条直线的平行与垂直1．两条直线平行设两条不重合的直线l 1，l 2，倾斜角分别为α1，α2，斜率存在时斜率分别为k 1，k 2．则对应关系如下：图示1．(1)如图，设直线l1与l2的倾斜角分别为α1与α2，斜率分别为k1与k2，若l1∥l2，则α1与α2之间有什么关系？k1与k2之间有什么关系？(2)对于两条不重合的直线l1与l2，若k1＝k2，是否一定有l1∥l2？为什么？[提示](1)若l1∥l2，α1与α2之间的关系为α1＝α2；对于k1与k2之间的关系，当α1＝α2≠90°时，k1＝k2，当α1＝α2＝90°时，k1与k2不存在．(2)一定有l1∥l2．因为k1＝k2，所以tan α1＝tan α2，所以α1＝α2，所以l1∥l2．2．两条直线垂直类型斜率存在其中一条斜率不存在前提条件|α2－α1|＝90°α1＝0°，α2＝90°对应关系l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1斜率为0，l2斜率不存在图示2．(1)当两条直线垂直时，它们的倾斜角有什么关系？(2)当两条直线垂直时，它们的斜率之积一定是－1吗？[提示](1)设两直线的倾斜角分别为α1，α2，若两直线垂直，则|α1－α2|＝90°．(2)不一定．若一条直线的斜率为0，则与其垂直的直线斜率不存在．疑难问题类型1两直线平行、垂直的判定【例1】(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________．(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[思路点拨](1)利用k1·k2＝－1解题．(2)先求出两直线平行的充要条件，再判断．(1)－1(2)C[(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1．(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．]判断两条不重合直线是否平行的步骤类型2利用两直线平行、垂直求直线方程【例2】已知点A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0，求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；(2)过点A和直线l垂直的直线方程．[思路点拨]利用两条直线的位置关系，设出直线的方程，然后由另一条件确定直线方程．[解]法一：∵直线l的方程为3x＋4y－20＝0，∴k l＝－3 4．(1)设过点A与直线l平行的直线为l1，∵k l ＝k l 1，∴k l 1＝－34．∴l 1的方程为y －2＝－34(x －2)，即3x ＋4y －14＝0． (2)设过点A 与直线l 垂直的直线为l 2， ∵k l ·k l 2＝－1，∴(－34)·k l 2＝－1，∴k l 2＝43．∴l 2的方程为y －2＝43(x －2)，即4x －3y －2＝0． 法二：(1)设所求直线方程为3x ＋4y ＋C ＝0， ∵点(2，2)在直线上，∴3×2＋4×2＋C ＝0，∴C ＝－14． ∴所求直线方程为3x ＋4y －14＝0． (2)设所求直线方程为4x －3y ＋λ＝0， ∵点(2，2)在直线上， ∴4×2－3×2＋λ＝0，∴λ＝－2，即所求直线方程为4x －3y －2＝0．1．根据两直线的位置关系求出所求直线的斜率，点斜式求解，或利用待定系数法求解．2．直线方程的常用设法①过定点P (x 0，y 0)，可设点斜式y －y 0＝k (x －x 0)； ②知斜率k ，设斜截式y ＝kx ＋b ；③与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行，设为Ax ＋By ＋m ＝0； ④与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直，设为Bx －Ay ＋n ＝0．类型3 两条直线平行与垂直的综合应用求直线方程中参数的值【例3】 已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0． (1)若这两条直线垂直，求k 的值； (2)若这两条直线平行，求k 的值．[解](1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝5±5 2．∴若这两条直线垂直，则k＝5±5 2．(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5．经检验，均符合题意．∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5．1．利用斜率研究两直线的平行和垂直关系时，要分斜率存在、不存在两种情况进行讨论．2．当直线是一般式方程时，也可利用以下结论研究两直线的平行和垂直关系：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0．①l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)；②l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．求点的坐标【例4】已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5，2)，D(1，2)．若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标．[解]①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，由已知AB∥DC，AD⊥AB，而k CD＝0，故A(1，－1)．(1)②若∠A＝∠B＝90°，如图(2)．(2)设A (a ，b )，则k BC ＝－3，k AD ＝b －2a －1，k AB ＝b ＋1a －6． 由AD ∥BC ⇒k AD ＝k BC ，即b －2a －1＝－3； ① 由AB ⊥BC ⇒k AB ·k BC ＝－1，即b ＋1a －6·(－3)＝－1． ② 解①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝125，b ＝－115，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－115．综上所述，A 点坐标为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫125，－115．此类题目应用数形结合法求解较为方便、简单.归纳总结1．两直线平行或垂直的判定方法斜率 直线 斜率均不存在平行或重合一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在 垂直 斜率均存在相等 平行或重合积为－1垂直0平行的直线可设为Ax ＋By ＋D ＝0(D ≠C )．3．设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2．若l 1⊥l 2，则k 1·k 2＝－1；反之，若k 1·k 2＝－1，则l 1⊥l 2；已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0．1.5 两条直线的交点坐标1．两条直线的交点坐标 几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎨⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 的解是⎩⎨⎧x ＝a y ＝b2．方程组的解的组数与两直线的位置关系方程组的解 交点个数 直线的位置关系无解 0个 平行 有唯一解 1个 相交 有无数组解无数个重合方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0 有唯一一组解的充要条件是什么？ [提示] A 1B 2－A 2B 1≠0．疑难问题类型1 两直线的交点问题【例1】 判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)l 1：x －y ＝0，l 2：3x ＋3y －10＝0； (2)l 1：3x －y ＋4＝0，l 2：6x －2y －1＝0； (3)l 1：3x ＋4y －5＝0，l 2：6x ＋8y －10＝0． [解] (1)解方程组⎩⎨⎧x －y ＝0，3x ＋3y －10＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝53.所以l 1与l 2相交，交点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫53，53．(2)⎩⎨⎧3x －y ＋4＝0，①6x －2y －1＝0，②①×2－②得9＝0，矛盾，方程组无解，所以两直线无公共点，又9≠0，所以l 1∥l 2．(3)⎩⎨⎧3x ＋4y －5＝0，①6x ＋8y －10＝0，②①×2得6x ＋8y －10＝0， 因此，①和②可以化成同一个方程，有无数组解，故①和②表示同一条直线，所以l 1与l 2重合．方程组解的个数与两直线的位置关系.一般地，若方程组有一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行；若方程组有无数多组解，则两直线重合.这体现了“以形助数，以数释形”的数形结合思想.类型2 由交点求直线方程【例2】 求经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x －y －1＝0平行的直线l 的方程．[思路点拨] 思路一求出两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点坐标，由平行关系得到l 的斜率，利用点斜式方程求解；思路二利用过两直线的交点的直线系方程求解．[解] 法一：由方程组⎩⎨⎧2x －3y －3＝0x ＋y ＋2＝0，得两直线交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－75， ∵直线l 和直线3x －y －1＝0平行， ∴直线l 的斜率k ＝3，∴根据点斜式有y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－75＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－35．即所求直线方程为15x －5y ＋2＝0．法二：∵直线l 过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点，∴可设直线l 的方程为：2x －3y －3＋λ(x ＋y ＋2)＝0，即(λ＋2)x ＋(λ－3)y ＋2λ－3＝0．∵直线l与直线3x－y－1＝0平行，∴λ＋23＝λ－3－1≠2λ－3－1，解得λ＝74．从而所求直线方程为15x－5y＋2＝0．1．本题法一是基本方法，求解交点坐标和斜率是解题关键．2．经过两直线交点的直线系方程①与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C′＝0(C′≠C)；②与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C′＝0；③过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ1，λ2为参数)．当λ1＝1，λ2＝0时，方程即为直线l1；当λ1＝0，λ2＝1时，方程即为直线l2．类型3直线过定点问题[探究问题]1．不论k取什么值，直线y＝kx＋2恒过定点，试求出此定点．[提示]由直线的方程可知当x＝0时，y＝2，此时与k的取值无关．故直线恒过点(0，2)．2．不论m取什么值，直线y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．[提示]由直线方程可知当x＝－3时，y＝2，与m的取值无关，故直线恒过定点(－3，2)．【例3】求证：无论k取何值时，直线l：(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0必过定点，并求出该定点坐标．[思路点拨]法一：令k＝0，k＝1→解方程组求交点→验证交点总在直线上法二：化直线方程为点斜式→令k＝1或k≠1→得定点法三：变形方程，提取参数→列方程组→解方程组求出定点[证明] 法一：令k ＝1，得到直线l 1：x ＝1， 令k ＝0，得到直线l 2：x ＋y ＝0， 由⎩⎨⎧x ＝1x ＋y ＝0，得l 1与l 2交点M (1，－1)， 把M (1，－1)的坐标代入方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒成立，∴无论k 取何值时，直线(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0必过定点，且定点为M (1，－1)．法二：由已知直线l 的方程得(k ＋1)x ＝(k －1)y ＋2k ，整理可得y ＋1＝k ＋1k －1(x－1)(k ≠1)，因此当k ≠1时，直线l 必过定点M (1，－1)；当k ＝1时，原直线l 的方程为x ＝1，也过点M (1，－1)． 综上所述，不论k 取任何实数值时，直线l 必过定点M (1，－1)． 法三：方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0可化为k (x －y －2)＋(x ＋y )＝0， 由⎩⎨⎧x －y －2＝0x ＋y ＝0， 可得点⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1．显然⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1，使方程(k ＋1)x －(k －1)y －2k ＝0恒成立，∴无论k 取任何实数值时，直线l 必过定点M (1，－1)．1．法一是特殊到一般的转化，法二是利用点斜式方程的特点，法三是利用直线系．2．处理动直线过定点问题的常用的方法： (1)将直线方程化为点斜式；(2)从特殊入手，先求其中两条直线的交点，再验证动直线恒过交点； (3)从“恒成立”入手，将动直线方程看作对参数恒成立，即将原方程化为f (x ，y )＋mg (x ，y )＝0的形式，欲使此式成立与m 的取值无关，则⎩⎨⎧f (x ，y )＝0，g (x ，y )＝0.由此方程组求得定点坐标．类型4 对称问题【例4】 △ABC 的一个内角的平分线所在的直线方程是y ＝2x ，若A ，B 两点的坐标分别为A (－4，2)，B (3，1)，则点C 的坐标为________．(2，4) [把A ，B 两点的坐标分别代入y ＝2x 知，点A ，B 都不在直线y ＝2x 上，∴直线y ＝2x 是∠C 的平分线所在的直线．设点A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为A ′(a ，b )， 则k AA ′＝b －2a ＋4，线段AA ′的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a －42，b ＋22， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －2a ＋4×2＝－1，b ＋22＝2×a －42，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝－2，即A ′(4，－2)．∵直线y ＝2x 是∠C 的平分线所在的直线， ∴A ′在直线BC 上， ∴直线BC 的方程为y ＋21＋2＝x －43－4，即3x ＋y －10＝0． 由⎩⎨⎧ y ＝2x ，3x ＋y －10＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4， ∴点C 的坐标为(2，4)．]有关对称问题的两种主要类型 (1)中心对称：①点P (x ，y )关于O (a ，b )的对称点P ′(x ′，y ′)满足⎩⎨⎧x ′＝2a －x y ′＝2b －y .②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称：①点A (a ，b )关于直线Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)的对称点A ′(m ，n )，,则有⎩⎪⎨⎪⎧n －b m －a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－A B ＝－1A ·a ＋m 2＋B ·b ＋n 2＋C ＝0.②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.归纳总结1．解含有参数的直线过定点问题，将含有一个参数的二元一次方程常整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(其中λ为常数)形式，可通过⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0求解定点． 2．方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0有唯一解的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A 1B 2－A 2B 1≠0，直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )是过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线(不含l 2)．1.6 平面直角坐标系中的距离公式1．两点间的距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(2)两点间距离的特殊情况①原点O (0，0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2． ②当P 1P 2∥x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|．③当P 1P 2∥y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|．1．如何推导平面上的两点间的距离公式？[提示] 因为两点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，所以P 1P 2→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，⎪⎪⎪⎪P 1P 2→＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2．2．点到直线的距离公式(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离．(2)公式：点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2． 2．在使用点到直线距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示] 要求直线的方程应化为一般式． 3．两条平行直线间的距离公式(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离． (2)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2(其中A 、B 不全为0，且C 1≠C 2)．3．在应用两条平行线间的距离公式时，对直线方程有什么要求？ [提示] 两条平行直线的方程都是一般式，且x ， y 对应的系数应分别相等．疑难问题类型1 两点间的距离公式【例1】 已知△ABC 三顶点坐标分别为A (－3，1)，B (3，－3)，C (1，7)，试判断△ABC 的形状．[解] 法一：∵|AB |＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213， |AC |＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213， |BC |＝(1－3)2＋(7＋3)2＝226， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2，且|AB |＝|AC |， ∴△ABC 是等腰直角三角形．法二：∵k AC＝7－11－(－3)＝32，k AB＝－3－13－(－3)＝－23，∴k AC·k AB＝－1，∴AC⊥AB．又|AC|＝(1＋3)2＋(7－1)2＝213，|AB|＝(3＋3)2＋(－3－1)2＝213，∴|AC|＝|AB|．∴△ABC是等腰直角三角形．1．判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．2．在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理的逆定理．类型2点到直线(或平行直线间)的距离公式【例2】若O(0，0)，A(4，－1)两点到直线ax＋a2y＋6＝0的距离相等，则实数a＝________．[思路点拨]由点到直线的距离公式列出等式求a．－2或4或6[由题意，得6a2＋a4＝|4a－a2＋6|a2＋a4，即4a－a2＋6＝±6，解之得a＝0或－2或4或6．检验得a＝0不合题意，所以a＝－2或4或6．]1．用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式．2．求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．类型3解析法证明几何问题【例3】已知四边形ABCD为矩形，M是任一点．求证：|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．[思路点拨]建立坐标系，设出点的坐标，代入已知化简即可．[证明]分别以AB、AD所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系(如图)，设M(x，y)，B(a，0)，C(a，b)，则D(0，b)，又A(0，0)．则|AM|2＋|CM|2＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，|BM|2＋|DM|2＝(x－a)2＋y2＋x2＋(y －b)2．∴|AM|2＋|CM|2＝|BM|2＋|DM|2．1．解析法证明几何问题的步骤：(1)建立适当的坐标系，用坐标表示几何条件；(2)进行有关的代数运算；(3)把代数运算结果“翻译”成几何关系．2．坐标法证明几何问题，如果题目中没有坐标系，则需要先建立坐标系．建立坐标系的原则是：尽量利用图形中的对称关系．归纳总结1．两点间距离公式与两点的先后顺序无关，即公式可以写成|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2．2．应用点到直线的距离公式时，若给出的方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．3．利用解析(坐标)法来解决几何问题，其解题思路几何问题――――→坐标系代数问题 ↑ ↓ 几何结论―→代数结论2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程1．圆的标准方程圆心为()a ，b ，半径是r 的圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2．确定圆的几何要素是什么？[提示] 确定圆的几何要素有两个，即圆心的位置与半径的大小． 2．圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)的简单几何性质 (1)范围||x ≤r ，||y ≤r ．(2)对称性圆x 2＋y 2＝r 2既是轴对称图形，过原点的任意一条直线都是它的对称轴，又是中心对称图形，其对称中心是坐标原点．3．点与圆的位置关系圆的标准方程为C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，设所给点为点P (x 0，y 0)，||PC ＝d ，则判断方法几何法 代数法d <r ⇔点P 在圆C 内 (x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2⇔点P 在圆C 内 d ＝r ⇔点P 在圆C 上(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2⇔点P 在圆C 上d >r ⇔点P 在圆C 外(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2⇔点P 在圆C 外疑难问题类型1 求圆的标准方程【例1】 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程．[解] 法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由已知条件知⎩⎨⎧(1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(－1－a )2＋(1－b )2＝r 2，a ＋b －2＝0，解此方程组，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，r 2＝4.故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．法二：由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝1－(－1)－1－1＝－1，所以弦AB 的垂直平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x ． 则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点， 由⎩⎨⎧ y ＝x ，x ＋y －2＝0， 得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1，即圆心为(1，1)，圆的半径为(1－1)2＋[1－(－1)]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．确定圆的标准方程的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程； 二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二.一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷.类型2 点与圆的位置关系。

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x^n=a,则x叫做a的n次根，求方根的过程叫做开方运算，正数a的正n次方根
理数指数幂适用于有理数指数幂的法则
数函数的底判断是增函数还是减函数；实际问题中函数
叫做真数，读作以a为
，自然常数e，叫做ln
性质：
1.值域是实数集R
2.在定义域内，当a＞1时是增函数，当0＜a小于1时是减
函数
3.图象都通过点（1,0）
指数函数和对数函数的关系当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，称之为反函数
反函数。

2019新人教版高中数学选择性必修一全册重点知识点归纳总结（复习必背）第一章空间向量与立体几何一、知识要点1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2、空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++（3）数乘分配律：ba b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3、共线向量（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>ACAB λ=<=>OB y OA x OC +=（其中x +y =1）（4）与a 共线的单位向量为4、共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p与向量,a b 共面的条件是存在实数x ，y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>ACy AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5、空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

第二章一元二次函数、方程和不等式复习课要点训练一等式的性质与不等式的性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础,是证明不等式和解不等式的主要依据.主要以选择题的形式出现在试卷中.在学习时,应弄清性质的内在联系.运用不等式的性质时,要注意与等式的性质的区别,并注意不等式的性质成立的条件.1.下列命题正确的有()①若a>1,则1a <1;②若a+c>b,则1a<1b;③对任意实数a,都有a2≥a;④若ac2>bc2,则a>b.A.1个B.2个C.3个D.4个解析:在①中,因为a>1,所以1a<1,所以①正确;在②中,若a+c>b,可令a=1,c=1,b=-1,则有1a >1b,故②错误;在③中,可取a=12,则a2<a,故③错误;在④中,因为ac2>bc2,而且c2>0,所以a>b,故④正确.答案:B2.对于任意实数a,b,c,d,有以下命题:①若a>b,c≠0,则ac>bc;②若a>b,则ac2>bc2;③若a>b,则1a <1b;④若a>b>0,c>d,则ac<bd.其中真命题的个数是()A.0B.1 C.2 D.3解析:当c<0时,由a>b,得ac<bc,因此命题①是假命题;当c=0时,虽然a>b,但是ac2=bc2,所以命题②是假命题;命题③是假命题,例如a=3,b=-2不满足1a <1b;命题④是假命题.答案:A3.一辆汽车原来每天行驶x km,如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km,那么在8天内它的行程就超过2 200 km,写成不等式为8(x+19)>2 200;如果它每天行驶的路程比原来少12 km,那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间,用不等式表示为8x>9(x-12).解析:原来每天行驶x km,现在每天行驶(x+19)km,则不等关系“在8天内它的行程就超过2 200 km”写成不等式为8(x+19)>2 200;若每天行驶(x-12)km,则不等关系“原来行驶8天的路程就得花9天多时间”写成不等式为8x>9(x-12).要点训练二基本不等式基本不等式主要是解决最大值、最小值的问题,使用基本不等式解决问题时,要注意条件是否满足,同时注意等号能否取到,多次使用基本不等式,要注意等号能否同时成立.1.若正数a,b满足2ab=2a+b,则a+8b的最小值是252.解析:因为正数a,b满足2ab=2a+b,所以1b +12a=1,所以a+8b=(a+8b)(1b +12a)=ab+4ba+172≥252,当且仅当4ba =ab,且2ab=2a+b,即a=52,b=54时取得最小值252.2.已知正数a,b,c满足a+b+c=2,求证:b 2a +c2b+a2c≥2.证明:因为a+b+c=2,由基本不等式,得b 2a +a≥2b,c2b+b≥2c,a2c+c≥2a,三式相加可得b2 a +a+c2b+b+a2c+c≥2b+2c+2a,所以b2a+c2b+a2c≥a+b+c,即b2a+c2b+a2c≥2.要点训练三 一元二次不等式及其解法求解一元二次不等式常出现在试卷中,主要考查解一元二次不等式,应用一元二次不等式解决恒成立问题.解决这类问题,要注意与一元二次方程、二次函数相结合.对于含有参数的一元二次不等式,解题时应先看二次项系数的正负,再考虑判别式,最后分析两根的大小,要注意讨论.1.不等式(1-x )(x -2)>0的解集为 ( ) A .{x |x <1,或x >2} B .{x |1<x <2} C .{x |x <-2,或x >-1} D .{x |-2<x <-1} 解析:将不等式(1-x )(x -2)>0化为(x -1)(x -2)<0,解得1<x <2,所以解集为{x |1<x <2}.答案:B2.某摩托车生产企业上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆,本年度为适应市场需要,计划提高产品档次,适度增加投入成本,若每辆摩托车投入成本增加的比例为x (0<x <1),则出厂价相应提高的比例为0.75x ,同时预计年销量增加的比例为0.6x ,已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 之间的解析式;(2)为使本年度的利润比上年度有所增加,则投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 解:(1)由已知每辆摩托车投入成本增加的比例为x ,得本年度每辆摩托车投入成本为1×(1+x )万元,出厂价为1.2×(1+0.75x )万元,年销售量为1 000×(1+0.6x )辆, 所以y =[1.2×(1+0.75x )-1×(1+x )]×1 000×(1+0.6x ),即y =-60x 2+20x +200(0<x <1). (2)欲使本年度的利润比上年度有所增加,则{y -(1.2-1)×1 000>0,0<x <1,即{-60x 2+20x >0,0<x <1,解得0<x <13,即为使本年度的利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应在0<x <13范围内. 要点训练四 利用作差法比较数(式)的大小作差法比较数(式)的大小的理论依据是实数大小关系的基本事实,即要比较两个数(式)的大小,可以转化为比较它们的差与0的大小.作差法比较数(式)的大小的关键是对差式进行合理变形,在变形过程中综合利用实数有理化、因式分解、乘法公式等方法,把差式变形成乘积式或完全平方式等,从而有利于判断数(式)的大小.1.比较大小:(√3-√2)2<(√6-1)2.2.若M =x 2+y 2-4x +2y (x ≠2,y ≠-1),N =-5,则M 与N 的大小关系是M >N.3.已知x ∈R,试比较x 1+x 2与12的大小关系. 解:因为x 1+x 2-12=2x -1-x 22(1+x 2)=-(x -1)22(1+x 2)≤0,所以x 1+x 2≤12.要点训练五 分类讨论思想在涉及含字母参数的一元二次不等式及其恒成立问题中,常常对不等式中的字母参数进行分类讨论,从而使复杂问题简单化.1.已知关于x 的不等式ax 2-2x +3a <0在(0,2]上有解,则实数a 的取值范围是 ( )A.-∞,√33B.-∞,47C.√33,+∞D.47,+∞ 答案:A2.若关于x 的不等式ax 2-x +a >0对一切实数x 都成立,则实数a 的取值范围为 ( )A .a <-12或a >12B .a >12或a <0 C .a >12 D .-12<a <12解析:显然当a =0时不等式不恒成立.当a ≠0时,由不等式ax 2-x +a >0对一切实数x 都成立,得{a >0,Δ<0,即{a >0,1-4a 2<0,解得a >12, 所以实数a 的取值范围是a >12. 答案:C。

高一数学必修1知识网络集合123412n x A x B A B A B A n A ∈∉⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩∈⇒∈⊆（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若 ，则，即是的子集。

、若集合中有个元素，则集合的子集有个， 注关系集合集合与集合{}00(2-1)23,,,,.4/nA A ABC A B B C A C A B A B x B x A A B A B A B A B A B x x A x B A A A A A B B A A B ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⊆⎪⎪⎨⎪⊆⊆⊆⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⊆≠∈∉⎪⊆⊇⇔=⎪⎩⋂=∈∈⋂=⋂∅=∅⋂=⋂⋂⊆真子集有个。

、任何一个集合是它本身的子集，即 、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。

真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。

集合相等：且 定义：且交集性质：，，，运算{}{},/()()()-()/()()()()()()U U U U U U U U A A B B A B A B A A B x x A x B A A A A A A B B A A B A A B B A B A B B Card A B Card A Card B Card A B C A x x U x A A C A A C A A U C C A A C A B C A C B ⎧⎪⎨⋂⊆⊆⇔⋂=⎪⎩⎧⋃=∈∈⎪⎨⋃=⋃∅=⋃=⋃⋃⊇⋃⊇⊆⇔⋃=⎪⎩⋃=+⋂=∈∉=⋂=∅⋃==⋂=⋃，定义：或并集性质：，，，，， 定义：且补集性质：，，，， ()()()U U U C A B C A C B ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⋃=⋂⎪⎪⎩⎩⎩⎩函数,,,A B A x B y f B A B x y x f y y x y →映射定义：设，是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系，使对于集合中的任意一个元素， 在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应：为从集合到集合的一个映射传统定义：如果在某变化中有两个变量并且对于在某个范围内的每一个确定的值，定义 按照某个对应关系都有唯一确定的值和它对应。