圆的方程复习课(2018-2019)

034 圆的方程复习课【学习目标】1．掌握圆的定义及标准方程、一般方程．2．会用待定系数法求圆的方程，处理较为简单的有关圆的实际问题．【学习重难点】重点：圆的定义及标准方程、一般方程难点：会用待定系数法求圆的方程【学法指导及要求】熟练记忆并理解两种圆的方程，体会待定系数法和轨迹法求圆的方程的一般方法．【学习过程】一、复习回顾：（或者新课引入）知识点一圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r +=．知识点二圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．二、典型例题:（2-3个例题）例1．已知圆C 经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程．变式训练 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．例2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．变式训练 已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( ) A. 2 B ．2 2 C.233D ．23反思：（也可留白让学生总结）四、课堂反馈：（2-3个题）1．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．2．与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．五、课堂总结：1、2、智慧作业：（30分钟， 2--3个单选+1--2个多选+1--2个填空+1--2个解答）（总共6-8个题）一、单选题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点P (1,3)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1二、多选题4．已知方程x 2+y 2+3ax +ay +52a 2+a -1=0,若方程表示圆,则a 的值可能为( )A.-2B.0C.1D.3三、填空题5．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是________．6．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．四、解答题7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的标准方程．。

学习目标 1.体会数形结合思想在求解与圆有关的最值问题中的应用.2.掌握直线与圆的方程的实际应用.3.了解圆系的方程.知识点一 与圆有关的最值问题1.与圆上的点(x ，y )有关的最值常见的有以下几种类型：(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题. (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题. (3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.2.与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心，圆外一点A 到圆上距离的最小值为AO －r ，最大值为AO ＋r .(2)过圆内一点的最长的弦为圆的直径，最短的弦为以该点为中点的弦.(3)记圆心到直线的距离为d ，若直线与圆相离，则圆上的点到直线的最大距离为d ＋r ，最小距离为d －r .(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.知识点二 直线与圆的方程的实际应用直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程知识点三 圆系方程两圆相交(相切)有两个(一个)交点，经过这些交点可作无穷多个圆，这无穷多个圆具有某些共同的性质，我们把这些圆的集合称为圆系.常见的圆系方程有以下几种：(1)以(a ，b )为圆心的同心圆系方程为(x －a )2＋(y －b )2＝k 2 (k ≠0).(2)与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0同圆心的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋K ＝0.(3)过定点(a ，b )的圆系方程为(x －a )2＋(y －b )2＋λ1(x －a )＋λ2(y －b )＝0.(4)过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0.(5)过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1，其中不含圆C 2).当λ＝－1时，l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0，当两圆相交时，l 为两圆的公共弦所在直线的方程；当两圆相切时，l 为过两圆切点的直线方程.类型一 与圆有关的最值问题命题角度1 求目标函数的最值例1 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.(1)求y x的最大值和最小值； (2)求y －x 的最大值和最小值；(3)求x 2＋y 2的最大值和最小值.反思与感悟 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型(1)形如u ＝y －b x －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值问题. (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－a b x ＋l b截距的最值问题. (3)形如m ＝(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题.跟踪训练1 已知圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1，P (x ，y )为圆C 上任一点.(1)求y －2x －1的最大值与最小值；(2)求x－2y的最大值与最小值.命题角度2与面积有关的最值例2点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，P A，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形P AOB面积的最小值为________.反思与感悟求面积的最值问题往往转化为距离的最值问题.跟踪训练2已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，P A，PB是圆C：x2＋y2－2y ＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形P ACB的最小面积是2，则k的值为________.类型二直线与圆的方程的实际应用例3设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？反思与感悟坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算. 跟踪训练3为适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O向正东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B，从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.类型三过交点的圆系方程例4求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程.。

圆的方程复习学案一、学习目标1. 通过复习能够熟练的求圆的方程、圆的切线方程；会熟练判断点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系;2. 掌握解决圆的切线问题、与弦长相关问题的解题方法.二、复习提纲1. 圆的标准方程(1)圆心为C(a,b),半径为r 的圆的标准方程为:(2)圆心在原点,半径为r 的圆的标准方程为:2.圆的一般方程为：对于方程22:0C x y Dx Ey F ++++=（1）当 时，表示一个圆，圆心 ，半径 ；（2）当 时，表示一个点 ；（3）当 时，不表示任何图形.3.直径端点是1122(,),(,)A x y B x y 的圆的方程为 ;4.直线与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系有 、 、 ；（2）判断直线与圆的位置关系的方法常见方法 、 ；（3）设圆的半径为r,圆心到直线的距离d,则当 时直线与圆相离；当 时直线与圆相切；当 时直线与圆相交；（4）通过圆222x y r +=上一点P 00(,)x y 的切线方程是: ；（5）通过圆外一点P 00(,)x y 的引圆的切线方程步骤：（6）与弦长相关的问题，往往需要考虑由 、 、 组成的直角三角形.5.圆与圆的位置关系：设圆1C 的半径为1r ，圆2C 的半径为2r ，则当 时两圆外离；当 时两圆外切；当 时两圆相交；当 时两圆内切；当 时两圆内含.6.求轨迹方程的步骤： .三、典型例题例1 求满足下列条件的圆的方程：（A ）圆心在x 轴上，半径为5，且过点A （2，-3）；（B ）过A （-1,2），B （3,4）两点，且圆心在直线30x y +-=上.变式: (B)求圆心在直线5380x y --=上,与两坐标轴都相切的圆的方程.例2.已知圆C:225x y +=（A ）(1)写出过点(2,1)M 的圆C 的切线方程;（B ）(2) 求过点(3,1)N 的圆C 的切线方程.变式:(B)已知圆22(1)1x y -+=与过点(2,3)的直线l 相切,求直线l 的方程.例3. （B ）圆心在直线y=2x 上，圆被直线x-y=0截得的弦长为求圆的方程.变式:（B ）设圆22450x y x +--=的一条弦AB 的中点为P （3,1），则AB 所在直线方程为 ；四、作业（A ）1.圆心为（6,8），且过点（0,0）的圆的标准方程为 ；（B ）2.若方程220x y x y m +-++=表示一个圆，则实数m 的取值范围是 ；（A ）3. 圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是( )A.相离B.外切C.相交D.内切（B ）4.已知圆22:40,C x y x l +-=是过点P(3,0)的直线,则( )A. l 与C 相交B. l 与C 相切C. l 与C 相离D.以上三个选项均有可能（B ）5.已知圆222450x y x y +-+-=,AB 是圆的一条直径,点A(0,1),则点B 的坐标为 ；（C ）6.已知点A （0,3），直线:24l y x =-.设圆C 的半径为1,圆心在直线l 上.（1）若圆心也在直线y=x-1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；（2）若圆Ｃ上存在点Ｍ，使得MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.五、小结。

圆的方程小结复习1、圆的方程.（1）曲线与方程在直角坐标系中，如果某曲线C 上的 与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）.⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点),(y x M 其坐标与方程0),(=y x f 的一种关系，曲线上任一点),(y x 是方程0),(=y x f 的解；反过来，满足方程0),(=y x f 的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C 的方程是f(x ,y)=0，那么点P 0(x 0 ,y)线C 上的充要条件是f(x 0 ,y 0)=0（2）圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-.几种特殊圆的方程：①圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.②与x 轴相切的圆方程222)()(b b y a x =±+- )],(),(,[b a b a b r -=或圆心 ③与y 轴相切的圆方程222)()(a b y a x =-+± )],(),(,[b a b a a r -=或圆心 ④与x 轴y 轴都相切的圆方程222)()(a a y a x =±+± )],(,[a a a r ±±=圆心（3） 圆的一般方程：给出方程：022=++++F Ey Dx y x①当0422 F E D -+时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. ②当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . ③当0422F E D -+时，方程无图形（称虚圆）.（4）圆的参数方程：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数，几何意义是圆的圆心角）. （5）圆的切线方程 ①圆222r y x =+的斜率为k 的切线方程是r k kx y 21+±=；②若点(x 0 ,y 0)在圆上，则圆的切线方程为(x – a)(x 0 – a)+(y – b)(y 0 – b)=R 2. 特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+.③若点(x 0 ,y 0)不在圆上，圆心为(a,b)则⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101R x a k y b R x x k y y ，联立求出k 值，即可求出切线方程。