高中数学必修二《圆的方程》习题课

- 让每个人同样地提升自我（数学 2 必修）第四章圆与方程[ 基础训练 A 组]一、选择题１．圆 ( x 2) 2 y 2 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为( )A ．(x 2)2 y 2 5 B．x2 ( y 2)2 5C．(x 2)2 ( y 2)2 5 D．x2 ( y 2)2 52．若P(2, 1) 为圆 ( x 1) 2 y2 25 的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A. x y 3 0 B. 2x y 3 0 C. x y 1 0 D. 2x y 5 03．圆x2 y 2 2x 2 y 1 0上的点到直线 x y 2 的距离最大值是（）A ．2 B． 1 22D．122 C．124 2x y 0，沿 x 轴向左平移1 x y 2x 4 y 0相．将直线个单位，所得直线与圆 2 2切，则实数的值为（）A．3或7 B．2或8 C．0或10 D．1或115．在坐标平面内，与点A(1, 2) 距离为1，且与点 B (3,1) ，距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．圆x2 y 2 4 x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为（）A ．x 3 y 2 0 B．x 3y 4 0 C．x 3y 4 0 D ．x 3y 2 0二、填空题1．若经过点P ( 1,0) 的直线与圆 x2 y 2 4x 2 y 3 0 相切，则此直线在y 轴上的截距是__________________.2．由动点P向圆x2 y 2 1引两条切线PA, PB，切点分别为A, B, APB 60 0，则动点P 的轨迹方程为。

3．圆心在直线 2 x y 7 0 上的圆C与y轴交于两点 A(0, 4), B(0, 2) ,则圆C的方程为.４．已知圆x 3 2 y 2 4 和过原点的直线y kx 的交点为P,Q则OP OQ 的值为________________ 。

5．已知P是直线3x 4 y 8 0 上的动点， PA, PB 是圆 x2 y 2 2x 2 y 1 0 的切线，- 让每个人同样地提升自我A, B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________ 。

圆与圆的方程习题课A 级 基础巩固一、选择题1．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( D ) A ．9 B ．8 C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[解析] ∵D 2＋E 2－4F >0，∴16＋4－20k >0， ∴k <1，故选B ．3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( C )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以4＋4－4k >0，解得k <2.又由题意知，要使P 在圆外，则k >－2，故－2<k <2，故选C ．4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A ) A ．－43B ．－34C ． 3D ．2[解析] 配方得(x －1)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (1,4)．由条件知|a ＋4－1|a 2＋1＝1.解之得a ＝－43．故选A ．5．圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的公切线有且仅有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 [解析] 圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－2，－1)，半径r 2＝2，∴|C 1C 2|＝[1－(－2)]2＋[3－(－1)]2＝5＝r 1＋r 2， 故两圆外切，公切线有3条． 二、填空题6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__2__．[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O (0,0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin45°＝22，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2．7．(2018·江苏省启东中学期中)圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为__(x －3)2＋(y ＋1)2＝16__．[解析] 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.故圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4x －6＝0的交点为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法2 同解法1，求得A (－1，－1)，B (3,3)，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，r 2＝16.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法3 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为⎝⎛⎭⎫21＋λ，2λ1＋λ，代入x －y －4＝0，得λ＝－13．故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝16． 三、解答题8．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析]设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a＋b＝0b＋2a－3＝1(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a＋b＝0b＝a－5(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝1b＝－4r2＝8.所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．9．(2017·金华高一检测)已知圆O：x2＋y2＝1和定点A(2,1)，由圆O外一点P(a，b)向圆O引切线PQ，切点为Q，|PQ|＝|P A|成立，如图．(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0．(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255．B级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(D)A．第一象限B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba >0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的圆的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝102．二、填空题3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝9__．[解析] 设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，解得a＝2，半径r ＝(2－0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9．4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__．[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．三、解答题5．求经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程．[解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20 ①3D －E ＋F ＝－10 ②，又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由已知得|x 1－x 2|＝6(其中x 1、x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36 ③ 由①②③联立组成方程组，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0． 6．已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．[解析] (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y ，① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 坐标(x 1，y 1)满足：x 21＋y 21＝16，②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4．所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)解：不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2． 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2．联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92．故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

高中数学 圆的方程习题课学案 新人教A 版必修2学习目标：1、掌握圆的各种方程的特点，能根据圆心、半径准确地写出圆的标准方程．2、能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，熟悉直线与圆，圆与圆的关系并能应用。

学习重点、难点重点：圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系及应用。

难点：圆的方程的应用。

．学习过程一、展示目标二、自主学习 认真复习总结、积累圆的各种方程、直线与圆，圆与圆的关系等重要知识点。

三、交流互动1. 如何判断点与圆的位置关系？例1：已知点P(-2, 4)和圆C 226490x y x y ++-+=, 试判断点P 和圆C 的位置关系.2. 如何判断直线与圆的位置关系？例2:当a(a >0)取何值时,直线x+y-2a+1=0与圆x 2+y 2- 2ax+2y+a 2-a+1=0 相切，相离，相交？3、直线与圆的交点弦长：例3:已知圆的方程是x 2+y 2 =2，它截直线y= x+1所得的弦长是4、如何判断圆与圆的位置关系？例4：圆C 1: x 2+y 2- 6y=0和圆C 2: x 2+y 2- 8x+12=0的位置关系如何？5、求圆的方程的常用方法：例5：(1). 一个圆经过点P ( 2,-1 ), 和直线x- y =1相切，并且圆心在直线 y=- 2x 上，求这个圆的方程.(2). 已知两点 A ( 4 , 9 ) 和B ( 6 , 3 )两点, 求以AB 为直径的圆的方程.6、求圆的切线的常见形式：例6： (1). 求过点P( -3 , 2 )，与圆x 2+y 2=13相切的直线方程.(2). 求过点P( -5 , 9 )，与圆(x+1)2+ (y-2) 2=13相切的直线方程.(3). 设圆的方程x 2+y 2=13，它与斜率为32-的直线 l 相切 , 求直线 l 的方程.7、求最值问题：例7.已知实数 x , y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.（1） 求xy 的最大值和最小值； （2）求y-x 的最小值；（3）求x 2+y 2的最大值和最小值.四、达标检测1. 点P(-4, 3)和圆2224x y +=的位置关系是（ ）A. P 在圆内 B. P 在圆外C. P 在圆上D. 以上都不对2. 圆C 的圆心为 ( 2 , -1 ) ，且截直线 y = x- 1 所得弦长为 22 , 求圆C 的方程.五、归纳总结学后反思、自查自纠。

圆与圆的方程习题课A 级 基础巩固一、选择题1．点M 在圆(x －5)2＋(y －3)2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( D ) A ．9 B ．8 C ．5D ．2[解析] 圆心(5,3)到直线3x ＋4y －2＝0的距离为d ＝|3×5＋4×3－2|32＋42＝5.又r ＝3，则M到直线的最短距离为5－3＝2．2．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是( B ) A ．R B ．(－∞，1) C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)[解析] ∵D 2＋E 2－4F >0，∴16＋4－20k >0， ∴k <1，故选B ．3．已知圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0和定点P (1，－1)，若过点P 的圆的切线有两条，则k 的取值范围是( C )A ．(－2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析] 因为方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋k ＝0表示一个圆，所以4＋4－4k >0，解得k <2.又由题意知，要使P 在圆外，则k >－2，故－2<k <2，故选C ．4．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( A ) A ．－43B ．－34C ． 3D ．2[解析] 配方得(x －1)2＋(y －4)2＝4， ∴圆心为C (1,4)．由条件知|a ＋4－1|a 2＋1＝1.解之得a ＝－43．故选A ．5．圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y ＋1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的公切线有且仅有( C )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 圆C 1的圆心C 1(1,3)，半径r 1＝3，圆C 2的圆心C 2(－2，－1)，半径r 2＝2， ∴|C 1C 2|＝[1－(－2)]2＋[3－(－1)]2＝5＝r 1＋r 2，故两圆外切，公切线有3条． 二、填空题6．直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__2__．[解析] 本题考查直线与圆的位置关系．依题意，圆心O (0,0)到两直线l 1：y ＝x ＋a ，l 2：y ＝x ＋b 的距离相等，且每段弧长等于圆周的14，即|a |2＝|b |2＝1×sin45°＝22，得|a |＝|b |＝1.故a 2＋b 2＝2．7．(2018·江苏省启东中学期中)圆心在直线x －y －4＝0上，且经过圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程为__(x －3)2＋(y ＋1)2＝16__．[解析] 解法1 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3.故圆x 2＋y 2－4x －6＝0与圆x 2＋y 2－4x －6＝0的交点为A (－1，－1)，B (3,3)，线段AB 的垂直平分线的方程为y －1＝－(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为(3－3)2＋(3＋1)2＝4，所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法2 同解法1，求得A (－1，－1)，B (3,3)，设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧a －b －4＝0，(－1－a )2＋(－1－b )2＝r 2，(3－a )2＋(3－b )2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，r 2＝16.所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16．解法3 设所求圆的方程为x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，其圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋λ，2λ1＋λ，代入x －y －4＝0，得λ＝－13．故所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0，即(x －3)2＋(y ＋1)2＝16． 三、解答题8．求圆心在直线4x ＋y ＝0上，且与直线l ：x ＋y －1＝0切于点P (3，－2)的圆的方程，并找出圆的圆心及半径．[解析] 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0b ＋2a －3＝1(3－a )2＋(－2－b )2＝r2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝0b ＝a －5(3－a )2＋(－2－b )2＝r2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－4r 2＝8.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8，它是以(1，－4)为圆心，以22为半径的圆．9．(2017·金华高一检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝1和定点A (2,1)，由圆O 外一点P (a ，b )向圆O 引切线PQ ，切点为Q ，|PQ |＝|P A |成立，如图．(1)求a，b间的关系；(2)求|PQ|的最小值．[解析](1)连接OQ，OP，则△OQP为直角三角形，又|PQ|＝|P A|，所以|OP|2＝|OQ|2＋|PQ|2＝1＋|P A|2，所以a2＋b2＝1＋(a－2)2＋(b－1)2，故2a＋b－3＝0．(2)由(1)知，P在直线l：2x＋y－3＝0上，所以|PQ|min＝|P A|min，为A到直线l的距离，所以|PQ|min＝|2×2＋1－3|22＋12＝255．B级素养提升一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(D)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－32b)，则a<0，b>0.直线y＝－1a x－ba，其斜率k＝－1a>0，在y轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D．2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为(B)A．5 2 B．10 2C．15 2 D．20 2[解析]圆x2＋y2－2x－6y＝0化成标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心坐标为M(1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E的最长弦AC为点E所在的圆的直径，则|AC|＝210.BD是过点E的最短弦，则点E为线段BD的中点，且AC⊥BD，E为AC与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝102．二、填空题3．已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的方程为__(x －2)2＋y 2＝9__．[解析] 设圆心为(a,0)(a >0)，则圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝|2a －0|4＋1＝455，解得a ＝2，半径r ＝(2－0)2＋(0－5)2＝3，所以圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝9．4．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__．[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点在圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．三、解答题5．求经过两点P (－2,4)、Q (3，－1)，且在x 轴上截得的弦长为6的圆的方程． [解析] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D －4E －F ＝20 ①3D －E ＋F ＝－10 ②，又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，由已知得|x 1－x 2|＝6(其中x 1、x 2是方程x 2＋Dx ＋F ＝0的两根)，∴D 2－4F ＝36 ③ 由①②③联立组成方程组，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝－4F ＝－8，或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6E ＝－8F ＝0．∴所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0． 6．已知动点M 到点A (2,0)的距离是它到点B (8,0)的距离的一半． (1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．[解析] (1)设动点M (x ，y )为轨迹上任意一点，则点M 的轨迹就是集合P ＝{M ||MA |＝12|MB |}．由两点距离公式，点M 适合的条件可表示为(x －2)2＋y 2＝12(x －8)2＋y 2，平方后再整理，得x 2＋y 2＝16.可以验证，这就是动点M 的轨迹方程．(2)设动点N 的坐标为(x ，y )，M 的坐标是(x 1，y 1)．由于A (2,0)，且N 为线段AM 的中点，所以x ＝2＋x 12，y ＝0＋y 12，所以有x 1＝2x －2，y 1＝2y ，① 由(1)知，M 是圆x 2＋y 2＝16上的点，所以点M 坐标(x 1，y 1)满足：x 21＋y 21＝16，②将①代入②整理，得(x －1)2＋y 2＝4．所以N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．C 级 能力拔高在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由．(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． [解析] (1)解：不能出现AC ⊥BC 的情况．理由如下： 设A (x 1,0)，B (x 2,0)，则x 1，x 2满足x 2＋mx －2＝0， 所以x 1x 2＝－2． 又点C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12，所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：BC 的中点坐标为(x 22，12)，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2(x 2－x 22)．由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2．联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2(x －x22)，又x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎨⎧x ＝－m2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(－m 2，－12)，半径r ＝m 2＋92． 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－(m2)2＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．。

第二章直线和圆的方程2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程例1求圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程，并判断点1(5,7)M -，2(2,1)M --是否在这个圆上．分析：根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上．解：圆心为(2,3)A -，半径为5的圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=把点1(5,7)M -的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(52)(73)25-+-+=，左右两边相等，点1M 的坐标满足圆的方程，所以点1M 在这个圆上．把点2(2,1)M --的坐标代入方程22(2)(3)25x y -++=的左边，得22(22)(13)20--+-+=，左右两边不相等，点2M 的坐标不满足圆的方程，所以点2M 不在这个圆上（图2.4-2）．图2.4-2例2ABC 的三个顶点分别是(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -，求ABC 的外接圆的标准方程．分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．显然已知的三个点不在同一条直线上．只要确定了a ，b ，r ，圆的标准方程就确定了．解：设所求的方程是222()()x a y b r -+-=．①因为(5,1)A ，(7,3)B -，(2,8)C -三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是222222222(5)(1),(7)(3),(2)(8),a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪-+--=⎨⎪-+--=⎩即22222222210226,14658,41668,a b a b r a b a b r a b a b r ⎧+--+=⎪+-++=⎨⎪+-++=⎩观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2a ，2b ，2r ，得到关于a ，b 的二元一次方程组28,1.a b a b -=⎧⎨+=-⎩解此方程组，得2,3.a b =⎧⎨=-⎩代入222(5)(1)a b r -+-=，得225r =．所以，ABC 的外接圆的标准方程是22(2)(3)25x y -++=．例3已知圆心为C 的圆经过(1,1)A ，(2,2)B -两点，且圆心C 在直线:10l x y -+=，求此圆的标准方程．分析：设圆心C 的坐标为(,)a b ．由已知条件可知，||||CA CB =，且10a b -+=．由此可求出圆心坐标和半径．另外，因为线段AB 是圆的一条弦，根据平面几何知识，AB 的中点与圆心C 的连线垂直于AB ，由此可得到另一种解法．解法1：设圆心C 的坐标为(,)a b ．因为圆心C 在直线:10l x y -+=上，所以10a b -+=．①因为A ，B 是圆上两点，所以||||CA CB ==，即330a b --=②由①②可得3a =-，2b =-．所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．解法2：如图2.4-3，设线段AB 的中点为D ．由A ，B 两点的坐标为(1,1)，(22)-，可得点D 的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线AB 的斜率为21321AB k --==--．因此，线段AB 的垂直平分线l '的方程是113232y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即330x y --=．由垂径定理可知，圆心C 也在线段AB 的垂直平分线上，所以它的坐标是方程组330,10x y x y --=⎧⎨-+=⎩的解．解这个方程组，得3,2.x y =-⎧⎨=-⎩所以圆心C 的坐标是(3,2)--．圆的半径||5r AC ===．所以，所求圆的标准方程是22(3)(2)25x y +++=．图2.4-3练习1.写出下列圆的标准方程.（1）圆心为()3,4C -，半径是；（2）圆心为()8,3C -，且经过点()5,1M --．【答案】（1）（x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．【解析】【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程．（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【详解】解：（1）∵圆心在C （﹣3，4）x +3）2+（y ﹣4）2＝5．（2）∵圆心在C （﹣8，3），且经过点M （﹣5，﹣1），故半径为MC ==5，故圆的标准方程为（x +8）2+（y ﹣3）2＝25．2.已知圆的标准方程是()()223216x y -++=，借助计算工具计算，判断下列各点在圆上、圆外，还是在圆内．（1）()14.30, 5.72M -；（2）()25.70,1.08M ；（3）()33,6M -．【答案】（1）1M 在圆内；（2）2M 在圆外；（3）3M 在圆上.【解析】【分析】分别将三个点代入方程，和等号右边比较即可判断.【详解】（1）22(4.303)(5.722)15.528416-+-+=< ，1M ∴在圆内；（2）22(5.703)(1.082)16.776416-++=> ，2M ∴在圆外；（3）22(33)(62)16-+-+= ，3M ∴在圆上.3.已知()14,9P ，()26,3P 两点，求以12PP 为直径的圆的方程，并判断点()6,9M ，()3,3N ，()5,3Q 与圆的位置关系．【答案】点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【解析】【分析】先求出圆心和半径，得到圆方程，再计算点到圆心的距离，与半径作比较得到答案.【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心()5,6C ．直径12PP ==．故所求圆的方程为()()225610x y -+-=．CM r == ，∴点M在圆上；CN r => ，∴点N 在圆外；3CQ r =< ，∴点Q 在圆内．综上：点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，属于基础题型.4.已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【答案】()22325224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意可确定圆的直径为AB ，根据中点坐标公式求出圆心坐标，结合两点距离公式求出半径即可.【详解】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为52OC =，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=.2.4.2圆的一般方程例4求过三点(0,0)O ，1(1,1)M ，2(4,2)M 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．分析：将点O ，1M ，2M 的坐标分别代入圆的一般方程，可得一个三元一次方程组，解方程组即可求出圆的方程．解：设圆的方程是220x y Dx Ey F ++++=．①因为O ，1M ，2M 三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把它们的坐标依次代入方程①，得到关于D ，E ，F 的一个三元一次方程组0,20,42200.F D E F D E F =⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解这个方程组，得8,6,0.D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，所求圆的方程是22860x y x y +-+=．由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4,3)-，半径5r ==．例5已知线段AB 的端点B 的坐标是(4,3)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．分析：如图2.4-4，点A 运动引起点M 运动，而点A 在已知圆上运动，点A 的坐标满足方程22(1)4x y ++=．建立点M 与点A 坐标之间的关系，就可以利用点A 的坐标所满足的关系式得到点M 的坐标满足的关系式，求出点M的轨迹方程．图2.4-4解：设点M 的坐标是(),x y ，点A 的坐标是()00,x y ，由于点B 的坐标是(4,3)，且M 是线段AB 的中点，所以042x x +=，032y y +=．于是有024x x =-，023y y =-．①因为点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，所以点A 的坐标满足圆的方程，即()220014x y ++=．②把①代入②，得22(241)(23)4x y -++-=，整理，得2233122x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这就是点M 的轨迹方程，它表示以33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆．练习5.求下列各圆的圆心坐标和半径.（1）2260x y x +-=；（2）2220x y by ++=；（3）222230x y ax a +--+=．【答案】(1)圆心为(30)，，半径为3；(2)圆心为(0)b -，，半径为b ;(3)圆心为()a ，半径为a .【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径即可.【详解】(1)方程222260(3)9x y x x y +-=⇒-+=，所以圆心为(30)，，半径为3；(2方程2222220()x y by x y b b ++=⇒++=，所以圆心为(0)b -，，半径为b ；(3)方程222222230()()x y ax a x a y a +--+=⇒-+-=，所以圆心为()a ，半径为a ；6.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由.（1）220x y +=；（2）222460x y x y +-+-=；（3）22220x y ax b ++-=．【答案】答案见解析【解析】【分析】（1）由方程可得0,0x y ==；（2）化简可得()()221211x y -++=可判断；（3）化简可得()2222x a y a b ++=+，分0a b ==和0a ≠或0b ≠时讨论可得.【详解】（1） 220x y +=，0,0x y ∴==，故220x y +=表示点()0,0；（2）222460x y x y +-+-=可化为()()221211x y -++=，所以方程222460x y x y +-+-=表示以()1,2-为半径的圆；（3）22220x y ax b ++-=可化为()2222x a y a b ++=+，当0a b ==时，方程22220x y ax b ++-=表示点()0,0，当0a ≠或0b ≠时，方程22220x y ax b ++-=表示以(),0a -为半径的圆.7.如图，在四边形ABCD 中，6AB =，3CD =，且//AB CD ，AD BC =，AB 与CD 间的距离为3．求等腰梯形ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．【答案】圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径长为8.【解析】【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,将A,B,C 三点坐标代入求解即可.【详解】由题意可知A (-3,0),B (3,0),C 3,32⎛⎫ ⎪⎝⎭设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则9309309393042D F D F D E F ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++++=⎩.解得0349D E F =⎧⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，故所求圆的方程为223904x y y +--=,其圆心坐标为30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭,3658=.习题2.4复习巩固8.求下列各圆的圆心坐标和半径，并画出它们的图形.（1）22250x y x +--=；（2）222440x y x y ++--=；（3）2220x y ax ++=；（4）222220x y by b +--=．【答案】(1)圆心(10)，，半径r =，图见解析；(2)圆心(12)-，，半径3r =，图见解析；(3)圆心(0)a -，，半径r a =，图见解析；(4)圆心(0)b ，，半径r =，图见解析；【解析】【分析】结合配方法将圆的一般方程化为标准方程,再求出圆心和半径，进而画出图形即可.【详解】(1)方程2222250(1)6x y x x y +--=⇒-+=，所以圆心为(10)，，如图；(2方程22222440(1)(2)9x y x y x y ++--=⇒++-=，所以圆心为(12)-，，半径为3，如图；(3)方程2222220()x y ax x a y a ++=⇒++=，0a ≠所以圆心为(0)a -，，半径为a ；不妨设=2a ，如图；(4)方程222222220()3x y by b x y b b +--=⇒+-=，0b ≠所以圆心为(0)b ，；不妨设=1b ，如图；9.求下列各圆的方程，并面出图形.（1）圆心为点()8,3C -，且过点()5,1A ；（2）过()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -三点．【答案】（1）22(8)(3)25x y -++=（图见解析）（2）2242200x y x y +---=（图见解析）【解析】【分析】（1）求出半径，利用圆的标准方程写出即可.（2）设出圆的一般方程，将三点代入解出即可.【详解】（1）由题意知半径5r ==,所以圆的方程为：22(8)(3)25x y -++=.（2）设圆的一般方程为：220x y Dx Ey F ++++=.将()1,5A -，()5,5B ，()6,2C -代入得：1+255042525550236462020D E F D D E F E D E F F -++==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++-+==-⎩⎩所以圆的方程为：2242200x y x y +---=.10.已知圆C 经过原点和点()2,1A ，并且圆心在直线:210l x y --=上，求圆C 的标准方程．【答案】22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到不等式组，解之即可求出结果.【详解】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题意可得()()()()2222220021210a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪--=⎪⎩，解得2651102920a b r ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，因此22612951020x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.11.圆C 的圆心在x 轴上，并且过()1,1A -和()1,3B 两点，求圆C 的方程．【答案】()22210x y -+=【解析】【分析】由题意，设圆心坐标和半径表示圆的标准方程，结合待定系数法即可.【详解】设圆C 的圆心坐标为()C a ，0，半径为r ，则圆C 的标准方程为：222()x a y r -+=，有{222222(1)1(1)3a r a r --+=-+=，解得2210a r ==，，所以圆C 的标准方程为：22(2)10x y -+=综合运用12.已知圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．求证：此圆的方程是（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【答案】证明见解析【解析】【分析】由题意求得圆心和半径，可得圆的标准方程，化简即可．【详解】∵圆的一条直径的端点分别是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∴圆心为C （122x x +，122y y +），半径为2AB =∴此圆的方程是2122x x x +⎛⎫- ⎪⎝⎭+()()22212121224x x y y y y y -+-+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即x 2–（x 1+x 2）x +()2124x x ++y 2–（y 1+y 2）y +()()()22212121244y y x x y y +-+-=，即x 2–（x 1+x 2）x +x 1•x 2+y 2–（y 1+y 2）y +y 1•y 2=0，即（x –x 1）（x –x 2）+（y –y 1）（y –y 2）=0．【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，属于基础题．13.平面直角坐标系中有()0,1A ，()2,1B ，()3,4C ，()1,2D -四点，这四点是否在同一个圆上？为什么？【答案】四点在同一个圆上（证明见解析）【解析】【分析】以、、A B C 三点，求出圆的方程，再将点D 代入即可得出答案.【详解】设过、、A B C 三点的圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=.将、、A B C 三点代入得：1+02412069163405E F D D E F E D E F F +==-⎧⎧⎪⎪++++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++++==⎩⎩.所以圆的一般方程为222650x y x y +--+=.将点()1,2D -代入得：22(1)22(1)6250-+-⨯--⨯+=，满足方程.所以四点在同一个圆上.14.已知等腰三角形ABC 的一个顶点为()4,2A ，底边的一个端点为()3,5B ，求底边的另一个端点C 的轨迹方程，并说明它是什么图形．【答案】22(4)(2)10x y -+-=（去掉（3,5），（5,-1）两点）；表示是以()4,2为圆心，半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆【解析】【分析】根据等腰三角形和已知顶点A (4,2)，一个端点B (3,5)，利用腰相等且能构成三角形即可求端点C 的轨迹方程；【详解】由题意知：设另一个端点(,)C x y，腰长为r ==，∴C 的轨迹方程：22(4)(2)10x y -+-=，又由A 、B 、C 构成三角形，即三点不可共线，∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），即表示是以()4,2为圆心，以半径，且去掉（3,5），（5,-1）两点的圆.15.长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求线段AB 的中点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.【解析】【分析】设AB 的中点坐标为（x ，y ），当A 、B 均不与原点重合时，由直角三角形虚部的中线等于斜边的一半可得AB 中点轨迹，验证A 、B 有一点与原点重合时成立得答案．【详解】解：设线段AB 的中点P （x ，y ），若A 、B 不与原点重合时，则△AOB 是直角三角形，且∠O 为直角，则OP 12=AB ，而AB ＝2a ，∴OP ＝a ，即P 的轨迹是以原点为圆心，以a 为半径的圆，方程为x 2+y 2＝a 2（a ＞0）；若A 、B 有一个是原点，同样满足x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．故线段AB 的中点的轨迹方程为：x 2+y 2＝a 2（a ＞0）．表示圆心在原点半径为a 的圆.拓广探索16.已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状．【答案】22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心2为半径的圆【解析】【分析】设出点M ,根据题意列出等式，化简即为答案.【详解】设点(,)M x y .则12MO MA==，化简得：2222230(1)4x y x x y ++-=⇒++=为以(1,0)-为圆心2为半径的圆.17.在半面直角坐标系中，如果点P 的坐标(),x y 满足cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩，其中θ为参数．证明：点P 的轨迹是圆心为(),a b ，半径为r 的圆．【答案】证明见解析.【解析】【分析】将参数方程化为普通方程可证得结果.【详解】由cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩可得cos sin x ary b r θθ-⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又因为22cos sin 1θθ+=，所以221x a y b r r --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222()()x a y b r -+-=，所以点P 的轨迹是圆心为(,)a b ，半径为r 的圆.。

高中数学同步复习课程—必修2：空间几何与直线、圆1.已知：一个圆的直径端点是A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)．证明：圆的方程是(x- x 1)(x- x 2)+(y- y 1)(y- y 2)=0．2.一个等腰三角形底边上的高等于5，底边两端点的坐标是(-4，0)和(4，0)，求它的外接圆的方程．3.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．[B ．(C ．[,]33-D ．(,)33-4.已知点P （x ，y ）是直线kx + y + 4 = 0（k > 0）上一动点，PA 、PB 是圆C ：2220x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A ．3B ．．25.过点C(６，－８)作圆2522=+y x 的切线，切点为A 、B ，那么点C 到直线AB 的距离为_____。

6.已知圆的方程为22680x y x y +--=，设圆中过点(2,5)的最长弦与最短弦分别为AB 、CD ，则直线AB 与CD 的斜率之和为A.1-B.0C.1D.2-7.曲线对称的关于直线020),(=--=y x y x f 曲线方程式是( )A.0),2(=+x y fB.0),2(=-x y fC.0)2,2(=-+x y fD.0)2,2(=+-x y f8.求与两平行直线x + 3y -5 =0和x + 3y -3=0相切, 圆心在直线2x + y + 3=0上的圆的方程.答案与详解：1答案：因为直径的端点为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则圆心和半径分别为1212x x y y 22++(,)所以圆的方程为121212122222x x x y y x y y x y 224++(-)+(-)(-)+(-)= 化简得：x 2-(x 1+x 2)x+ x 1 x 2+y 2-(y 1+y 2)y+ y 1 y 2=0,即(x- x 1)(x- x 2)+(y- y 1)(y- y 2)=02答案：222941x +(y )=()1010± 详解：根据底边两端点坐标，可以知道圆心横坐标为0，在Y 轴上，3答案：C详解：设直线l 为)4(-=x k y ，则圆心到直线距离]33,33[11|2|2-∈⇒≤+k k k 。

4.1 圆的方程一、选择题1、过点A(1,－1),B(－1,1)且圆心在直线x+y －2=0上的圆的方程。

A 、()223(1)4x y -++=、B 、()223(1)4x y ++-=C 、()221(1)4x y -+-=D 、()221(1)4x y +++=2、圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（ ）A 、x 2+y 2=25B 、x 2+y 2=5C 、(x-3)2+(y-4)2=25D 、(x+3)2+(y+4)2=253、设M 是圆(x －5)2+(y －3)2=9上的点，则M 到直线3x+4y-2=0的小距离是（）A 、9B 、8C 、5D 、24、若直线x+y+m=0与圆x 2+y 2=m 相切，则m 为（）A 、0或2B 、2CD 、无解5、过点P （2，3）且与圆x 2+y 2=4相切的直线方程是（）A 、2x+3y=4B 、x=2C 、5x-12y+26=0D 、5x-12y+26=0x=26、已知一圆的圆心为(2,－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是() A 、()222(3)13x y -++=B 、()222(3)13x y ++-=C 、()222(3)52x y -++=D 、()222(3)52x y ++-=7、平面直角坐标系中，横纵坐标都是整数的点称为整点，在圆x 2+y 2=16内所有整点中，到原点距离最远的整点可以在( )A 、直线y －1=0上B 、直线y=x 上C 、直线x+1=0上D 、直线y+3=0上80y +-=截圆x 2+y 2=4得劣弧所对的圆心角为（ ）A 、300B 、450C 、600D 、900二、填空题9、圆心为（2，-3），一条直径的两个端点分别落在x 轴和y 轴上的圆的方程为 、10、已知两点P 1（4，9）和P 2（6，3），则以P 1P 2为直径的圆的方程是11、在x 轴下方，与x 轴相切于（8，0）点，半径等于1、5的圆的方程是12、若实数x,y 满足x 2+y 2=1，则21y x --的最小值为 。

习题课 圆的方程(一)【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．1．圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧①圆的标准方程： ，其中 为圆心，r 为半径.②圆的一般方程：其中( >0).2．直线与圆的位置关系的判定(d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆半径)⎩⎪⎨⎪⎧相交⇔d <r ；相离⇔ ；相切⇔ .3．圆与圆的位置关系(d 表示两圆圆心距，R 、r 表示两圆半径且R ≥r )⎩⎪⎨⎪⎧外离⇔d >R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r <d <R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d <R －r .一、选择题1．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A ．(1，－2)，5 B ．(1，－2)， 5 C ．(－1,2)，5 D ．(－1,2)， 52．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝83．直线x －3y ＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x 2＋y 2－4x ＋1＝0的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离4．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，则直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．直线l 与直线3x ＋4y －15＝0垂直，与圆x 2＋y 2－18x ＋45＝0相切，则直线l 的方程是( )A ．4x －3y －6＝0B ．4x －3y －66＝0C ．4x －3y －6＝0或4x －3y －66＝0D ．4x －3y －15＝06．方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等实根，则k 的取值范围为( )A ．⎝⎛⎦⎤512，34B ．⎣⎡⎭⎫34，＋∞ C ．⎝⎛⎦⎤－∞，512 D ．⎝⎛⎭⎫512，34二、填空题7．过点M (0,4)，且被圆(x －1)2＋y 2＝4截得的线段长为23的直线方程为______________．8．一束光线从点A (－1,1)出发经x 轴反射到圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上的最短路程为________．9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是________．三、解答题10．有一圆C 与直线l ：4x －3y ＋6＝0相切于点A (3,6)，且经过点B (5,2)，求此圆的标准方程．11．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y －20＝0及直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y ＝7m ＋4(m ∈R )． (1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程．能力提升12．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－1,0)及点B (2，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 拦住，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－33)∪(33，＋∞)13．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形P ACB 面积的最小值．初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果．圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质：(1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等．(2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理．(3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角．习题课 圆的方程(一) 答案知识梳理1．①(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (a ，b ) ②x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 D 2＋E 2－4F 2．d >r d ＝r 作业设计 1．D2．B [线段AB 两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r ＝2，∴选B ．] 3．C [直线旋转后为y ＝3x ，圆心(2,0)到该直线距离d ＝r ．∴选C ．]4．D [圆的标准方程为(x －a )2＋⎝⎛⎭⎫y ＋32b 2 ＝a 2＋94b 2．圆心为⎝⎛⎭⎫a ，－32b ．∴a <0，b >0． ∴y ＝－1a x －ba不过第四象限．]5．C [设直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由直线与圆相切得m ＝－6或－66．] 6．A [在同一平面直角坐标系中分别画出y ＝4－x 2(就是x 2＋y 2＝4，y ≥0)和y ＝k (x －2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需k P A <k ≤k PB ．k PB ＝3－02－(－2)＝34，对于k (x －2)－y ＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d ＝r ，即|－2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k P A ＝512．所以k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34．] 7．x ＝0或15x ＋8y －32＝0解析 设直线方程为x ＝0或kx －y ＋4＝0．当直线方程为x ＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程为kx －y ＋4＝0时，d ＝|k －0＋4|k 2＋1＝22－(3)2＝1，解得k ＝－158，因此直线方程为15x ＋8y －32＝0．8．4解析 点A 关于x 轴的对称点A ′(－1，－1)，转化为求A ′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为(2＋1)2＋(3＋1)2－1＝4．9．3或7解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A ∩B 中有且仅有一个元素，∴两圆x 2＋y 2＝4与(x －3)2＋(y －4)2＝r 2相切， O (0,0)，C (3,4)，|OC |＝5，r 1＝2，r 2＝r ， 故2＋r ＝5，或r －2＝5，∴r ＝3或7．10．解 设所求圆的圆心为O ，则OA ⊥l ，又设直线OA 与圆的另一交点为P ．所以直线OA 的斜率为－34．故直线OA 的方程为y －6＝－34(x －3)，即3x ＋4y －33＝0．又因为k AB＝2－65－3＝－2，从而由平面几何知识可知k PB ＝12，则直线PB 的方程为x －2y －1＝0．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －33＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝3.即点P 的坐标为(7,3)．因为圆心为AP 的中点⎝⎛⎭⎫5，92，半径为OA ＝52， 故所求圆的标准方程为(x －5)2＋⎝⎛⎭⎫y －922＝254． 11．解 (1)把直线l 的方程改写成(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －4＝02x ＋y －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1， 所以直线l 总过定点(3,1)．圆C 的方程可写成(x －1)2＋(y －2)2＝25，所以圆C 的圆心为(1,2)，半径为5． 定点(3,1)到圆心(1,2)的距离为(3－1)2＋(1－2)2＝5<5，即点(3,1)在圆内．所以过点(3,1)的直线总与圆相交，即不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交．(2)设直线与圆交于A 、B 两点．当直线l 过定点M (3，1)且垂直于过点M 的圆C 的半径时，l 被截得的弦长|AB |最短．因为|AB |＝2|BC |2－|CM |2＝225－[(3－1)2＋(1－2)2]＝220＝45，此时k AB ＝－1k CM ＝2，所以直线AB 的方程为y －1＝2(x －3)，即2x －y －5＝0．故直线l 被圆C 截得的弦长最小值为45，此时直线l 的方程为2x －y －5＝0． 12．B [如图，视线即切线，切线与直线x ＝2交点以下部分和以上部分即为视线看得见的部分，圆的切线方程为y ＝±33(x ＋1)．当x ＝2时，y ＝±3，所以a ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)，故选B ．]13．解 方法一 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或向右下方无穷远处运动时，直角三角形P AC 的面积S Rt △P AC ＝12|P A |·|AC |＝12|P A |越来越大，从而S 四边形P ACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形P ACB 变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线时，S 四边形P ACB 应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，从而|P A |＝|PC |2－|AC |2＝22．∴(S 四边形P ACB )min ＝2×12×|P A |×|AC |＝22．方法二 利用等价转化的思想，设点P 坐标为(x ，y )，则|PC |＝(x －1)2＋(y －1)2， 由勾股定理及|AC |＝1，得 |P A |＝|PC |2－|AC |2＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2·12|P A |·|AC |＝|P A |＝(x －1)2＋(y －1)2－1，从而欲求S 四边形P ACB 的最小值，只需求|P A |的最小值，只需求|PC |2＝(x －1)2＋(y －1)2的最小值，即定点C (1,1)与直线上动点P (x ，y )距离的平方的最小值，它也就是点C (1,1)到直线3x ＋4y ＋8＝0的距离的平方，这个最小值d 2＝(|3×1＋4×1＋8|32＋42)2＝9，∴(S 四边形P ACB )min ＝9－1＝22．。

必修2第四章 《圆与方程》 习题课题卷设计：高二数学组 学生姓名【知识归类】 一．圆的方程1点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法：（1）2200()()x a y b -+->2r ，点在_____； （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在______； （3）2200()()x a yb -+-<2r ，点在______．2（1）当0422>-+F E D 时，方程表示圆，圆心为___________，半径为______________； （2）当0422=-+F E D 时，方程只有实数解2D x -=，2Ey -=，即只表示____________； （3）当0422<-+F E D 时，方程_____________________________________________． 综上所述，方程022=++++F Ey Dx y x 表示的曲线不一定是圆．3．求圆的方程的方法：一般都采用待定系数法：先设后求。

确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。

二．直线与圆的位置关系1．判断方法：已知直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-，2．圆的切线方程的求法（1）过圆外一点的切线：①斜率k 不存在，验证是否成立 ②斜率k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】(2)过圆上一点的切线：一般情况下，由圆心和切点连线与切线垂直求出切线斜率，再用点斜式求出切线方程。

3．直线被圆所截的弦长的求法① 联立直线与圆的方程求出交点坐标，再利用两点间距离公式进行求解.② 利用半径r 、弦心距d 和弦长AB 的一半构成的直角三角形，结合勾股定理进行求解.AB =三．圆与圆的位置关系1．判断方法（1）代数法：（与直线与圆的位置关系判定类似）（注：当两圆相交时，两圆方程相减消去二次项所得二元一次方程即为相交弦所在直线的方程。