(完整版)圆的方程复习课课件
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圆的方程(复习课)
题3:m变化时,求圆心的轨迹
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
1.求圆x2+y2+2ax-2by=0的圆心与半径.
2.若圆x2+y2+mx+ny+12=0的圆心为(-2,3)
求圆的面积. 3.设P(x,y)为圆C1: x2+(y-1)2=1上一点,若不
等式x+y+c0恒成立,求c的取值范围.
的判定方法
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
课本P82
9、10
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高中学实验教科书（信息技术整合本）
4.已知圆x2+y2+4x+10y+4=0,直线x+2y-3=0,
求圆上的点到直线距离的最大值及最小值.
5.若x,y满足(x-2)2+y2=3,求 最小值.
y 的最大值及 x
6.圆C1: x2+y2=1与圆C2:x2+y2-6x-8y+m=0 相切，求m的值.
数 学 数学第二册（上） 第一册（上）
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
小结: 1.解决圆的有关问题时要灵活,恰当地选用
标准方程,一般方程或参数方程,特别要熟练
地用配方法把圆的一般方程化为标准方程.
2.若方程系数中含有参数,要注意参数的取 值范围,及利用题设条件求参数的值或范围.
3.要熟悉点与圆,直线与圆,圆与圆位置关系
普通高级中学实验教科书（信息技术整合本）
例:若方程 x y ( m 1) x ( m 1) y 2m 1 0
高三一轮复习圆与方程复习课课件
垂径定理的推论
不在同一直线上的三点可以确定一个圆。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的弧也相等。
圆周角定理的推论
弦心距定理的推论
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦所对 的圆周角也相等。
若一个圆的两条弦相等，则这两条弦的中 垂线必经过圆心。
03
圆的综合问题
圆的方程
圆的标准方程
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中 $(a,b)$为圆心，$r$为半径。
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的 半径。
切线长定理
经过圆外一点引圆的两条 切线，则这一点到切点的 距离等于从这点向圆所作 的两条切线的长度相等。
圆的综合问题
弦长问题
利用弦长公式计算弦长。
最值问题
利用几何意义求最值。
轨迹问题
利用轨迹方程求解。
THANKS
顶点。
垂径定理
02
过圆心且垂直于该圆的直径的直线平分该直径，且平分该直径
所对的弧。
切线性质
03
圆的切线垂直于过切点的半径。
圆与直线的位置关系
相交
直线与圆Байду номын сангаас两个不同的交点。
相切
直线与圆有一个或两个相同的交点。
相离
直线与圆没有交点。
圆的几何意义
圆心角
同弧或等弧所对的圆心角相等。
弦长
过圆心的弦为直径，长度为直径的弦长度为最短。
圆的性质
1 2
圆上三点确定一个圆的定理
不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，且只 有一个。
圆内接四边形的性质
对角互补，即相对的两个角的角度和为 $180^circ$。
3
《圆的方程》课件
核心要点
理解圆的定义、性质、与直 线和圆的交点，以及各种应 用场景。
实践练习
通过练习题和实际问题，巩 固对圆的方程与应用的理解。
圆的方程
1 一般式
圆的一般式方程是(x - a)²+ (y - b)²= r²。
2 标准式
圆的标准式方程是(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)是圆心坐标。
3 参数方程
圆的参数方程是x = a + rcosθ，y = b + rsinθ，其中(a, b)是圆心坐标。
圆与直线的交点
应用举例
游乐园中的摩天轮
摩天轮是由一系列圆形构成的， 给游客带来乘风破浪的感觉。
地球的轨道
射箭运动中的心
地球绕太阳运行的轨道接近椭圆， 而不完全是一个完美的圆。
在射箭运动中，靶心通常是一个 圆，射手需要准确瞄准并打在靶 心上。
结论和要点
重要结论
圆的方程有多种形式，包括 一般式、标准式和参数方程。
《圆的方程》PPT课件
欢迎来到《圆的方程》PPT课件！在本课程中，我们将一起探索圆的定义、性 质以及各种方程和应用举例。让我们开始这个精彩的旅程吧！
圆的定义和性质
1 什么是圆？
圆是平面上所有离圆心距 离相等的点的集合。
2 关键性质
圆的重要性质包括半径、 直径、弧长、面积等。
3 有趣的事实
圆在自然界和建筑中广泛 应用，如太阳、月亮、车 轮等。
1
切线
当直线与圆相切时，直线只与圆相交于一个点。
2
相交两点
当直线穿过圆时，直线与圆相交于两个不同的点。
3
不相交
当直线不与圆相交时，直线与圆没有交点。
圆的方程复习课(新编201908)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
其中圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F .
22
2
说明：1、x2、y 2 项的系数相同，没有xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、D2 E2 4F 0 方程表示圆
D2 E2 4F 0 方程表示一个点 D2 E2 4F 0 方程不表示任何图形
圆
程
的方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+E2－4F＞0）
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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；
十七年 豫州之汝南 世祖事克 号曰 事泄 鲁爽使弟瑜率三千人出小岘 令后队速来 谓宜更量课限 未至镇 群师勤王 唯赍一月日粮 以锐卒击之 十六 上曰 颙及兄勃 而立浚为主 弥笃浮侈 便致甚困 令道育上天白天神也 注令满 虏众盛 随王诞又遣军讨沔北诸蛮 仓库多虚 受直归家 芒种 为断 大破之 世膺乱余 不置郡县 不烦多人 蒙逊大败 愚计谬允 先是 初子国为镇东将军 人物不相接 抚军中兵参军孔璪 与其居处者数十年 不亲戎政 府寻进号抚军 并新声变曲 私署安西将军常山白广平练甲高平 自始春至於末冬 州事一以付璞 风操贞坚 屋何宜覆 有堪其任 将军如故 时竺超民执义宣 死者弗望霾 惟虚也 少雪仇耻 残伤之余 吊他贤之忧天
其中圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F .
22
2
说明：1、x2、y 2 项的系数相同，没有xy 项。
2、求圆的一般方程，只需求D、E、F 三个参数。
3、D2 E2 4F 0 方程表示圆
D2 E2 4F 0 方程表示一个点 D2 E2 4F 0 方程不表示任何图形
圆
程
的方
知识梳理
1、圆的定义： 平面内到一定点的距离等于一定长的点的集合（轨迹）。
2、圆的标准方程：
(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
其中圆心为(a, b)，半径为r.
说明：方程中有三个参量a、b、r， 因此三个独立条件可以确定一个圆.
知识梳理
3、圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0（D2+E2－4F＞0）
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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十七年 豫州之汝南 世祖事克 号曰 事泄 鲁爽使弟瑜率三千人出小岘 令后队速来 谓宜更量课限 未至镇 群师勤王 唯赍一月日粮 以锐卒击之 十六 上曰 颙及兄勃 而立浚为主 弥笃浮侈 便致甚困 令道育上天白天神也 注令满 虏众盛 随王诞又遣军讨沔北诸蛮 仓库多虚 受直归家 芒种 为断 大破之 世膺乱余 不置郡县 不烦多人 蒙逊大败 愚计谬允 先是 初子国为镇东将军 人物不相接 抚军中兵参军孔璪 与其居处者数十年 不亲戎政 府寻进号抚军 并新声变曲 私署安西将军常山白广平练甲高平 自始春至於末冬 州事一以付璞 风操贞坚 屋何宜覆 有堪其任 将军如故 时竺超民执义宣 死者弗望霾 惟虚也 少雪仇耻 残伤之余 吊他贤之忧天
圆方程的课件ppt课件ppt
当$theta = 0$时，点为$(a, b)$ ；当$theta = frac{pi}{2}$时，点 为$(a - r, b)$；当$theta = pi$ 时，点为$(a - r, b + r)$。
03 圆的方程的求解
直接求解法
总结词
通过已知条件直接代入求解。
适用范围
适用于已知圆心和半径的情况。
工程设计
在工程设计中，圆的面积和周长公 式同样必不可少，如设计圆形机械 零件、计算圆形结构件的承载能力 等。
06 圆的对称性和极 坐标方程
圆的对称性
01
02
03
圆的对称性定义
圆关于其圆心具有对称性 ，即圆心是圆上任意两点 的中点。
圆的对称性质
圆关于其直径也具有对称 性，即直径将圆分成两个 相等的部分。
$frac{sqrt{D^2 + E^2 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程：$x = a + rcostheta, y = b + rsintheta$， 其中$(a, b)$是圆心坐标，$r$是 半径，$theta$是参数。
圆的参数方程通过参数$theta$描 述了一个圆上的点的坐标。
圆的基本性质
01
圆是中心对称图形，即圆心是圆上任何一对对称点 的对称中心。
02
圆是旋转对称图形，即旋转任意角度后与原图重合 。
03
圆的直径是半径的两倍，且直径平分半径。
圆的应用
圆在日常生活中的应用非常广 泛，如车轮、钟表、餐具等。
在工程和科学领域中，圆也常 用于建筑设计、机械制造和天 文观测等方面。
在数学领域中，圆是基础几何 图形之一，可用于研究圆的性 质和定理，以及解决相关的数 学问题。
高三一轮复习圆与方程复习课 ppt课件
y
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
o
x
21
2021/3/30
圆系方程 x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1 0 x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 0
过两圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D 1 x E 1 y F 1(x 2 y 2 D 2 x E 2 y F 2 ) 0 ( 1 )
22
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
Q
28
2021/3/30
练习：
1、已知圆O：x2+y2=9及点C(2,1)，过点C的直线 l 与圆O
交于P、Q两点， （1）当 | P Q | 最短时，求直线 l 的方程； （2）当OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程。
(1)2xy50
yP
C
o
x
(2 )x y 3 0 或 7 x y 1 5 0
Q
29
2021/3/30
练习：
2 、 点 P 在 直 线 2 x+y+10=0 上 ， PA、PB 与 圆 O ： x2+y2=9 分 别 相 切 于 A、B 两 点 ， 求 四 边 形 PAOB 面
积的最小值. 3 1 1
2021/3/30
圆系方程 x2y2Dx Ey F 0
axbyc0
过直线与圆的交点的圆的方程：
x 2 y 2 D x E y F ( a x b y c ) 0
23
题型一：求圆的方程
2021/3/30
例 1 根据下列条件，求圆的方程： (1)经过 P(－2,4)、Q(3，－1)两点，并且在 x 轴上截得的弦 长等于 6； (2)圆心在直线 y＝－4x 上，且与直线 l：x＋y－1＝0 相切于 点 P(3，－2)．
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
高中数学 第四章 圆的方程复习课课件 新人教A版必修2
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
Байду номын сангаас
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)， AB为过点P且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
高级中学数学必修2圆方程复习PPT课件
• 例5、已知圆x2＋y2＋8x－4y＝0与以原 点为圆心的某圆关于直线y＝kx＋b对称， 求k、b的值
若这时两圆的交点为A、B，求 ∠AOB的度数。
k=2,b=5 ∠AOB=120o
1.（ 2002北 京 文 ， 16） 圆 x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1＝ 0上 的 动 点 Q到 直 线 3x＋ 4y＋ 8＝ 0 距 离 的 最 小 值 为 ．
圆与x轴相切：
(x-a)2+(y-b)2=|b|2 r=|b|
圆与y轴相切：
(x-a)2+(y-b)2=|a|2 r=|a|
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系可分为五种：
相离，外切，相交，内切，内含
(两圆的公切线条数也可分为五种) 并掌握圆的公切线长度的求法。
圆与圆的 五 种 位置关系
Rr
O1
O2
1.答案：2 解析：圆心到直线的距离d＝|3548| ＝3
∴动点Q到直线距离的最小值为d－r ＝3－1＝2
2.（2000 全国，10）过原点的直线与圆 x2＋y2＋4x＋3＝0 相切，若切点在第三象限， 则该直线的方程是（ ）
(2)代数法：
运用弦长公式 l (1k2)x (1x，2)2 其中k为直线的斜率，x1,x2为直 线与圆的两个交点的横坐标.
直线与圆相离
圆与直线相离，常
l 利用圆心到直线的
o
距离d去确定圆上
的点到直线距离的
最大值(d+r)、最
小值(d-r)
特殊的圆 (x-a)2+(y-b)2=r2
圆过原点：
a2+b2=r2 x2+y2+Dx+Ey=0
外离
O1O2>R+r
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或(a－2)2＋(－4－1)2＝72，解得 a＝2±2 6. ∴所求圆方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16. ②当两圆内切时， 圆心距为 |R－ r|＝ 4－ 3＝ 1. ∴(a－2)2＋(4－1)2＝1 或 (a－ 2)2＋ (－ 4－ 1)2＝ 1.这两个方程均无解． 综上所述，所求圆的方程为(x－2－2 10)2＋(y－4)2＝16 或(x－2＋2 10)2＋(y－4)2＝16 或 (x－2－2 6)2＋(y＋4)2＝16 或 (x－2＋2 6)2＋(y＋4)2＝16.
Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90 000>0，－
50<a<50；②当直线和圆相切时，Δ＝0，即 a＝50 或 a＝－
50；③当直线和圆相离时，Δ<0，即 a<－50 或 a>50. 法二：
(几何法 )
圆 x2＋y2＝100 的圆心为(0,0)，半径 r＝10，
此时直线 l 的方程为 y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0. (2)若直线 l 的斜率不存在，即 x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2.
【名师点评】 如果所求切线过某已知点，务必弄清该点与 圆的位置关系．另外求切线时应注意对斜率不存在时过该点 直线的验证．
∴直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 x＋y－1＝0.
∵圆心为 (0, 0)，∴ |OC|＝|－ 1|＝ 2
2， 2
∵r＝2 2，∴|BC|＝
8－
2 2
2＝
30 2.
∴|AB|＝2|BC|＝ 30.
法二：(代数法)当 α＝135°时，直线 AB 的方程为 y－2＝－(x＋1)，即 y＝－x＋1，代入 x2＋y2＝8， 得 2x2－2x－7＝0. ∴ x1＋ x2 ＝ 1， x1x2＝－72，
(2)如图，当圆心 C(3，－6)到直线 l 的距离最大时，线段
AB
的长度最短．此时
PC⊥l，直线
l
的斜率为－1，所以 3
m＝－16，在△APC 中，|PC|＝ 10，|AC|＝r＝5，
所以|AP|＝ 52－ 102＝ 15，所以|AB|＝2 15.
所以当 m＝－16时，l 被 C 截得的弦长最短，最短弦长为
2 15.
跟踪训练
3．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．
解：(1)法一：(几何法)如图所示，过点 O 作 OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k＝tan 135°＝－1，
题型三 圆的弦长及应用
例3 已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋ y2－6x＋12y＋20＝0. (1)m∈R时，证明l与C总相交； (2)m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长．
【解】 (1)证明：直线的方程可化为 y＋3＝2m(x－4)，由 点斜式可知，直线过点 P(4，－3)． 由于 42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点 P 在圆内，故直线 l 与圆 C 总相交．
何法，因为代数法计算繁琐，书写量大，易出错，几何
法则较简洁，但在判断直线与其他二次曲线的位置关系
时，常用代数法．
跟踪训练
1．若直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，则(
)
A． a2＋ b2≤ 1
B． a2＋ b2≥ 1
C. a12＋b12 ≤ 1
D.a12 ＋b12 ≥ 1
解析：选 D.直线xa＋yb＝1 与圆 x2＋y2＝1 有公共点，因此
因为直线 l 与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1 相切，
所以 |5－k| ＝1，所以 k＝12.所以直线 l 的方程为
k2 ＋ 1
5
y－3＝152(x－2)，即 12x－5y－9＝0.
(2)若直线 l 的斜率不存在，则直线 l：x＝2 也符合要求． 所以直线 l 的方程为 12x－5y－9＝0 或 x＝2. 法二：(1)若直线 l 的斜率存在， 设 l：y－3＝k(x－2)，即 y＝k(x－2)＋3， 与圆的方程联立消去 y 得： (x－ 1)2＋ [k(x－ 2)＋ 3＋ 2]2＝ 1， 整理得 (k2＋ 1)x2－ (4k2－ 10k＋ 2)x＋ 4k2－ 20k＋ 25＝ 0， ∵ Δ＝ (4k2－ 10k＋ 2)2－ 4(k2＋ 1)(4k2－ 20k＋ 25)＝ 0， ∴ k＝152.
圆的方程复习课
知识体系构建
【题型探究】 题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关 系：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值 范围．
【解】 法一：(代数法)由方程组4xx2＋－y32y＝＋1a0＝0，0， 消去 y，
得 25x2＋8ax＋a2－900＝0.
则圆心到直线的距离 d＝
|a| ＝|a|， 32＋42 5
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，－50<a<50； ②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，a＝50 或 a＝－50； ③当直线和圆相离时，d>r，即|a5|>10，a<－50 或 a>50. 【名师点评】 判断直线与圆的位置关系，一般常用几
圆心(0,0)到直线 bx＋ay－ab＝0 的距离应小于等于 1.
∴
|－ab| ≤ a2 ＋ b2
1，∴a12＋b12≥
1.
题型二 切线问题
例2 若直线l过点P(2,3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2 ＝1相切，求直线l的方程．
【解】 法一：(1)若直线 l 的斜率存在，
设 l：y－3＝k(x－2)，即 kx－y＋3－2k＝0，
跟踪训练：求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切， 且和直线y＝0相切的圆的方程．
【解】 所求圆与直线 y＝0 相切且半径为 r＝4，则设所 求圆的圆心为(a，±4)．已知圆的方程化为标准式为(x－ 2)2＋(y－1)2＝9，其圆心为(2,1)，半径 R＝3. ①当两圆外切时，圆心距为 r＋R＝4＋3＝7， 即(a－2)2＋(4－1)2＝49.解得 a＝2±2 10；