数列的函数特性及背景探究 7

数列的函数特性及背景探究——多以数列为呈现方式，以函数为主导第一课时等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系．充分挖掘二者的函数背景，可以加深对等差、等比数列的理解．例1．等差数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，,p q N +∈且p q ≠．(1)若,,pq a q a p ==求证：0p q a +=； (2) 若p q S S =，则0p q S +=；(3) 若,,pq S q S p ==求证：p q S +=()p q -+．【证明】(1)由于{}n a 通项是关于n 的一次函数形式，故点(,),(,),(,)p q p q p a q a p q a ++共线． 因此p q q p q a a a a p q q p q+--=+--，又因为,,p q a q a p ==且p q ≠，所以1p q a p q ppp q+--==--， 即0p q a +=．(2)由于n S 是关于n 的二次函数形式，故可设2()n S f n an bn ==+．因为p q S S =，即()()f p f q =．因为2()(0)f n ax bx a =+≠对称轴为2p q x +=，于是()(0)0f p q f +==，即0p q S +=．(3)由(2)知，n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项是关于n 的一次函数形式， 故点(,),(,),(,)p q p q S S S p q p q pqp q+++共线．因此p q p q pS S S S p q p q pp q q q p+--+=+--，又因为,,p q S q S p ==且p q ≠，则p qS +=()p q -+．【分析】等差数列通项与前n 项和公式分别具有一次函数和二次函数的背景，因此利用函数y kx b =+和2(0)y Ax bx A =+≠性质研究有关等差数列的问题．例2．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N ． （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，nn b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-． 【解析】（1）（2）略；（3）因为nn b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+2n λλ=-．当1n =时，1a λ=，符合上式．所以2n n a λλ=-．因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-．①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222M a λλ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<．综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．例3．已知数列{}n a 的通项公式为11()2n n a -=，是否存在正整数x ，y ，使得12,2,2x y n n n a a a ++成等差数列？若存在，求出x ，y 的值；若不存在，请说明理由．分析：由11()2n n a -=及12,2,2x yn n n a a a ++成等差数列，易得2221x y --=，其中x ，y ∈N *．即2212x y -=+．易得左式为偶数，若要成立，则22y -必为奇数． 易得2, 1.y x ==221x y --=这个等式还可以给我们透露什么样的信息呢？显然，它可以看成是两个指数式之间的差值为1．而基于对指数函数变化的了解，差值为1是一个很小的距离．所以可以反映x 与y -2之间的距离很小． 另解：显然2x y >-，不妨设(2)k x y =--，(*)k N ∈， ①若2k ≥时，2(2)2212222(21)2xy k y y k y -+---=-=-=-，所以22(21)232ky y ---⋅≥，即212(*)3y y N -∈≤， 显然不成立．②若1k =时，1(2)x y =--，此时1221x x --=，则1, 2.x y ==例4．已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为132n n a -=⋅，32n b n =-，{}n c 的通项公式n n n c a b =+(*)n N ∈12{,,}k A n n n =…，(4,*)k k N ∈≥，使得数列12,,,k n n n c c c …为等差数列？证明你的结论．解析：假设存在满足题意的集合A ，不妨设l ，m ，p ，r ∈A (l <m <p <r )， 且,,,l m p r c c c c 成等差数列，则2m p l c c c =+， 因为0l c >，所以2m p c c >(*)，题中分析:显然，(*)可以看成是两个指数式之间的大小比较．因为m <p ，则m p c c <，而基于对指数函数变化的了解，2m p c c >大小关系的交替可以反映m 与p 之间的距离很小． ★若1p m >+时，则2p m +≥，结合(*)可知，1112[32(32)]32(32)32(34)m p m m p m --+⋅+->⋅+-⋅++≥，化简可得，8203m m -<-<，与2m ≥且*m N ∈矛盾． 所以1p m =+．★同理可得1r p =+．所以,,m p r c c c 为数列的连续三项，因为132n n a -=⋅，32n b n =-，{}n c 的通项公式为n n n c a b =+，(*)n N ∈，则等比数列{}n a 中连续三项成等差数列，易知{}n a 为常数列，则与题意矛盾．故不存在满足题意的集合A ． 例5．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的最大正整数n 的值为________ 【解析】设公比q (q >0)，因为215=a ，376=+a a ，解得q =2，512a -=． 从而12521++2n n a a a -+=…，所以，(1)52521(2)22n n n n --->⋅即(1)(10)2212n n n --->．（*） 放缩处理即(1)(10)222n n n-->，得(13)10n n -<-，又因为*n N ∈，所以112n ≤≤， 代入（*）检验得最大的正整数n =12．。

12017年高考第一轮复习第七章 数列（一） 数列的概念与函数特性一、知识与方法1.数列：按一定次序排列的一列数叫做数列, 简记为{}n a ,数列可视为特殊函数，它的定义域是正整数集或其子集;2.表示方法：列表法，解析法，图像法;3.数列的分类:（1）按数列项数：有穷数列，无穷数列；（2）按单调性：递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；（3）按有界性：有界数列，无界数列. （4）按周期性：周期数列，非周期数列.3.通项公式：表示n a 与项数n 之间关系的表达式()n a f n =. （这种关系实质是一种映射（函数）关系）;有的数列不能写出通项公式，有的数列通项公式不唯一. 4.数列的前n 项和12n n S a a a =+++ .n S 与n a 的关系：11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩25.递推公式与递推函数：给出起始项(一项或几项)以及各项与起始项的关系. 若数列的递推关系是通过函数()f x 给出的，则()f x 称为递推函数.即1a a =，1()n n a f a +=等.这是确定数列的一种方式，例如斐波那契数列{}n F ：121F F ==,11(2,)n n n F F F n n N +-+=+≥∈. 6.数列的单调性：（1）若对任意的正整数n ，都有1n n a a +>,则数列{}n a 单调递增；若对任意的正整数n ，都有1n n a a +<,则数列{}n a 单调递减.（2）求最大项⎩⎨⎧≥≥-+11n nn n a a a a (也可只用一个1n n a a -≥来求,要验证等号是否成立)（3）由通项公式求最大,小项,可利用函数单调性,导数法等.求最小项类似. 二、题型与问题分析 （一）基础自测1.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝ .32．数列{a n }的通项a n ＝nn 2＋90，则数列{a n }中的最大项是( )A ．310B ．19 C.119D.10603．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2λn (n ∈N ＋)，则“λ＜1”是“数列{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1a n，记数列{a n }的前n项之积为T r ，则T 2 016的值为( )A ．－12B ．－1 C.12 D ．1（二）能力训练1. 已知数列{}n a ，1(0,)2n a ∈，当2n ≥时，213182n n a a -=+.求证：数列{}n a 递增.4证明 a n ＋1－a n ＝83＋21a n 2－a n ＝21（a n －1）2－81.∵0＜a n ＜21，∴－1＜a n －1＜－21.∴81＜21（a n －1）2＜21. ∴21（a n －1）2－81＞0. ∴a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1对一切自然数n 都成立, 数列{a n }递增.2.已知函数167()44x f x x +=+，数列{}n a 、{}n b 满足10a >，10b >，1()n n a f a -=,求1a 的取值范围，使得对任意的正整数n ，都有1n n a a +>.分析：可以求出通项公式，但运算量较大。

1.1.2数列的函数特性一 学习目标：1.了解数列的增减性的概念，掌握判断数列的增减性的方法，能够利用数列的增减性求数列的最大项、最小项.2.明确数列与函数的关系，数列问题常会转化为函数问题，体现了化归与转换、函数与方程等数学思想方法.3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验自主学习的快乐和成功的愉悦. 重点：数列的函数特性.难点：用数列的增减性解决数列的最大（小）项问题.二 问题导学1.重温旧知数列可以看作是 .2.数列的函数特性 数列{}n a 的通项公式(),n a f n n N +=∈(1)定义域： ； (2)值域： ； (3)图像：一群孤立的点，其坐标为 ；(4)数列的增减性比较后一项与前一项的大小关系，数列可分为 ， 其符号表示分别为 .思考：你能判定数列的增减性吗？是如何判定的？又如何确定数列中的最大项或最小项？导学自测1．在同一坐标系中分别作出下面数列的图像，并分析它们的增减性.(1) 1,0,1,,2,n -- ；(2) 2341,,,,,3452n n ++；(3)11111,,,,,(1),24682nn---；2.已知数列{}n a 中，130n n a a +--=，则数列{}n a 是 （ ）A . 递增数列 B. 递减数列 C . 常数列 D. 不确定3. 数列{}n a 中，n a =n b -+（b 为常数），此数列是递减数列，则有 （ ） A. 0b > B. 0b < C. 0b ≠ D. b R ∈4．已知数列{}n a 的通项公式为28n a n n =-+，画出该数列的图像，根据图像，判断从第几项起，这个数列是递减的，并求出它的最大项.三 合作探究1. 已知数列{}n a 的通项公式为31n na n =+，判断此数列的增减性.2. 已知数列{}n a 的通项公式为1()(0)2n n a a a a =≠为常数且，判断此数列的增减性.nn a 0数学导学案装订线3.若数列{}n a 的通项公式为2()()n a k n n n N +=+∈，且数列{}n a 是单调递增数列，你能求出实数k 的取值范围吗？你是如何求解的？给你带来什么启示？4. 若数列{}n a 的通项公式为254n a n n =-+，那么当n 为何值时，n a 有最小值？最小值为多少？变式.已知数列}{n a 的通项公式为31522+-=n n a n ，求数列}{n a 的最小项.四 我的学习总结：（1）我对知识的总结（2）我对数学思想及方法的总结 __________________。