北师大版必修5高中数学1.1数列的函数特性导学案(二)

1．2数列的函数特性明目标、知重点 1.理解数列的几种表示方法，能从函数的观点争辩数列.2.把握数列的函数特性，会推断一个数列是递增数列还是递减数列．1．数列与函数的关系我们知道数列可以看作是一个定义域为N＋(或它的有限子集)的函数，当自变量由小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式a n＝f(n)是数列的第n项a n与自变量n之间的函数解析式，数列的图像是横坐标为正整数的一系列离散的点．2．数列的单调性名称定义推断方法递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n＋1>a n递减数列从第2项起，每一项都小于它前面的一项a n＋1<a n常数列各项都相等a n＋1＝a n3.数列的表示方法数列的表示方法有通项公式法、图像法、列表法．[情境导学]数列作为一种特殊的函数，具有函数的本质属性，我们称之为数列的函数特性．事实上，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征，因此我们在争辩数列问题时，应充分利用函数有关学问，以它的概念、图像、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示它们之间的内在联系，从而有效地学好数列问题．探究点一数列与函数的关系思考1数列可看作函数，类比函数的表示方法，你认为数列除了通项公式表示法之外，还可以怎样表示？答数列也可以用图像、列表等方法来表示．思考2以数列：1,3,5,7,9，…为例，你能用几种方法表示这个数列？答(1)通项公式法：a n＝2n－1.(2)列表法：n 12345…a n13579…(3)图像法：思考3与函数相比，数列的特殊性表现在哪些方面？谈谈你的生疏．答数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在以下三个方面：①数列的定义域是正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}；②数列中的项是对应序号1,2,3，…的一列函数值；③数列的图像是一些孤立的点，这些点的横坐标从小到大依次是1,2,3，….探究点二数列的单调性思考1数列既然是特殊的函数，类比函数的单调性，如何定义数列的单调性呢？答(1)一个数列{a n}，假如从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n＋1>a n，那么这个数列叫作递增数列．假如从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n＋1<a n，那么这个数列叫作递减数列．(2)假如数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫作常数列．思考2类比函数单调性的证明方法，如何判定数列的单调性？答推断一个数列的增减性，经常用作差的方法，通过推断差的符号来确定．对n∈N＋，当a n＋1－a n>0时，{a n}为递增数列；当a n＋1－a n<0时，{a n}为递减数列；当a n＋1＝a n时，{a n}为常数列；当a n＋1－a n的符号不确定时，{a n}既不是递增的，也不是递减的，也不是常数列．思考3如何利用数列的单调性求数列的最大项和最小项？答数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项a n，则a n应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n≥a n＋1，a n≥a n－1.若求最小项a n，则a n应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n≤a n＋1，a n≤a n－1.另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应留意n∈N＋这一条件．例1推断下列无穷数列的增减性．(1)2,1,0，－1，…，3－n，…；(2)12，23，34…，nn＋1，….解 (1)设a n ＝3－n ，那么a n ＋1＝3－(n ＋1)＝2－n ， a n ＋1－a n ＝(2－n )－(3－n )＝－1， 所以a n ＋1<a n ，因此这个数列是递减数列． (2)设b n ＝nn ＋1，那么b n ＋1＝n ＋1(n ＋1)＋1＝n ＋1n ＋2，b n ＋1－b n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)>0，所以b n ＋1>b n ，因此这个数列是递增数列．反思与感悟 推断数列的单调性，一般地，依据数列的通项公式比较a n ＋1与a n 的大小，比较a n ＋1与a n 的大小常用作差法，此外还可用作商法、函数法．跟踪训练1 设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，若数列{a n }是单调递增数列，求实数k 的取值范围． 解 由于数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0(n ∈N ＋)恒成立． 又a n ＝n 2＋kn (n ∈N ＋)，所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)－(n 2＋kn )>0恒成立， 即2n ＋1＋k >0，所以k >－(2n ＋1)(n ∈N ＋)恒成立． 当n ＝1时，－(2n ＋1)有最大值－3， 所以k >－3即为所求范围．探究点三 数列的图像及单调性的推断例2 作出数列－12，14，－18，116，…，⎝⎛⎭⎫－12n ，…的图像，并分析数列的增减性． 解 如图是这个数列的图像，数列各项的值负正相间，表示数列的各点相对于横轴上下摇摆，它既不是递增的，也不是递减的．反思与感悟 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n 为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n ，a n )描点画图，就可以得到数列的图像．由于它的定义域是正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．跟踪训练2 画出下列数列的图像，并推断数列的增减性． (1)2,4,6,8,10，…；(2)a n ＝－2n ＋5.解 (1)数列2,4,6,8,10，…的图像如图(1)所示．由图像知它是递增数列．(2)由通项公式a n ＝－2n ＋5，写出数列的前5项3,1，－1，－3，－5，描点可得数列{a n }的图像如图(2)所示．由图像知它是递减数列．例3 一辆邮车每天从A 地往B 地运送邮件，沿途(包括A ，B )共有8站，从A 地动身时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列．画出该数列的图像，并推断该数列的增减性． 解 将A ，B 之间全部站按序1,2,3,4,5,6,7,8编号，通过计算，上面各站剩余邮件数依次排成数列：7,12,15,16,15,12,7,0. 列表如下：站号 1 2 3 4 5 6 7 8 剩余邮件数712151615127该数列的图像如下图所示．它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．反思与感悟 数列问题转化为函数问题，体现了化归转化的思想、函数的思想．函数单调性的运用为数列问题的解决增加了新的途径．跟踪训练3 在数列{a n }中，a n ＝n 2－8n ， (1)画出{a n }的图像；(2)依据图像写出数列{a n }的增减性． 解 (1)列表n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … a n－7－12－15－16－15－12－79…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n }的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，… 图像如图所示．(2)数列{a n }的图像既不是上升的，也不是下降的，则{a n }既不是递增的，也不是递减的．1．在数列{a n }中，a n ＝n ，则{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．以上都不是答案 A解析 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－n ＝1>0，∴数列{a n }是递增数列． 2．已知a n ＝3n －2，则数列{a n }的图像是( ) A ．一条直线 B ．一条抛物线 C ．一个圆D ．一群孤立的点答案 D解析 ∵a n ＝3n －2，n ∈N ＋，∴数列{a n }的图像是一群孤立的点． 3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________． 答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．推断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n＝1＋13n 2＋4n>1，∴a n ＋1>a n ， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1为递增数列． 方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n 3n ＋1是递增数列．[呈重点、现规律]1．明确数列的分类：按项数可分为有穷数列和无穷数列；而按相邻项的大小又可分为递增数列、递减数列、摇摆数列、常数列等． 2．数列单调性的判定方法 (1)作差比较法①若a n ＋1－a n >0恒成立，则数列{a n }是递增数列；②若a n ＋1－a n <0恒成立，则数列{a n }是递减数列； (2)作商比较法①若a n >0，则当a n ＋1a n >1时，数列{a n }是递增数列；当a n ＋1a n <1时，数列{a n }是递减数列；②若a n <0，则当a n ＋1a n <1时，数列{a n }是递增数列；当a n ＋1a n >1时，数列{a n }是递减数列．(3)函数法：将通项公式转化为函数的形式，通过推断函数的单调性来确定数列的单调性．3．要明确数列是一种特殊的函数，能用函数的观点、方法争辩数列的增减性、最值、图像等问题．4．数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决，若求最大项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.若求最小项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应留意n ∈N ＋这一条件．一、基础过关1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不能确定答案 A解析 由a n ＋1－a n －3＝0，得a n ＋1－a n ＝3>0，即a n ＋1－a n >0，所以数列{a n }是递增数列． 2．在递减数列{a n }中，a n ＝kn (k 为常数)，则实数k 的取值范围是( ) A ．RB ．(0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]答案 C解析 ∵{a n }是递减数列，∴a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k <0. 3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列中最大项的值是( ) A ．107 B ．108 C ．10818 D ．109答案 B解析 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －2942＋10818， 由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108.∴数列{a n }中的最大值为a 7＝108.4．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为______(填写序号)． ①a n ＝－2n ＋1； ②a n ＝－n 2＋3n ＋1； ③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .答案 ①③解析 可以通过画函数的图像一一推断．②有增有减，④是摇摆数列． 5．数列{－2n 2＋9n ＋3}的最大项是第________项，最大项为________． 答案 2 13解析 由已知得a n ＝－2n 2＋9n ＋3＝－2⎝⎛⎭⎫n －942＋1058.∵n ∈N ＋，故当n ＝2时，a n 取到最大值13. 6．已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )，求实数m 的取值范围． 解 ∵数列为递减数列，∴a n ＋1<a n ，∴a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0.∵n ∈N ＋，∴3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0， ∴m 2－2m <0，解得0<m <2. 故实数m 的取值范围为0<m <2.7．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝1n 2＋5n ＋4.(1)你能推断该数列是递增的，还是递减的吗？ (2)该数列中有负数项吗？ 解 (1)对任意n ∈N ＋，∵a n ＋1－a n ＝1(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4－1n 2＋5n ＋4 ＝－2(n ＋3)[(n ＋1)2＋5(n ＋1)＋4](n 2＋5n ＋4)<0，∴数列{a n }是递减数列．(2)令a n <0，即1n 2＋5n ＋4<0，∴n 2＋5n ＋4<0⇒(n ＋4)(n ＋1)<0⇒－4<n <－1. 而n ∈N ＋，故数列{a n }没有负数项． 二、力气提升8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(49)n －1－(23)n －1，则数列{a n }( )A ．有最大项，没有最小项B ．有最小项，没有最大项C ．既有最大项又有最小项D ．既没有最大项又没有最小项 答案 C解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫23n －1，t ∈(0,1]，t 是关于n 的减函数，则a n ＝t 2－t ＝(t －12)2－14.由复合函数的单调性知a n 先递增后递减．故既有最大项又有最小项．9．若数列{a n }的通项公式a n ＝5×⎝⎛⎭⎫252n －2－4×⎝⎛⎭⎫25n －1，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x ＋y 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6 答案 A解析 a n ＝5·⎝⎛⎭⎫252n －2－4·⎝⎛⎭⎫25n －1＝5⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫25n －12－4⎝⎛⎭⎫25n －1， 设t ＝⎝⎛⎭⎫25n －1，∵n ≥1，∴n －1≥0，∴0<t ≤1. ∴a n ＝f (t )＝5t 2－4t ＝5⎝⎛⎭⎫t －252－45. 故当t ＝25时，a n 取得最小值－45，此时n ＝2；当t ＝1时，a n 取得最大值1.此时n ＝1， ∴x ＝1，y ＝2，x ＋y ＝3，应选A.10．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，(0≤a n <12)，2a n－1，(12≤a n<1).若a 1＝67，则a 2 014＝________.答案 67解析 计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列，又知2 014除以3余1， 所以a 2 014＝a 1＝67.11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. 由于n ∈N ＋，故n ＝2,3，所以该数列中有两项是负数．(2)由于a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5.又n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为22－5×2＋4＝－2.12．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2a n )＝－2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：数列{a n }是递减数列．(1)解 ∵f (x )＝2x －2－x ，f (log 2a n )＝－2n ， ∴2log 2na －2log 2na -＝－2n ，a n －1a n＝－2n ，∴a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1. ∵a n >0， ∴a n ＝n 2＋1－n ，n ∈N ＋.(2)证明 a n ＋1a n＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1.∵a n >0，∴a n ＋1<a n ，∴数列{a n }是递减数列． 三、探究与拓展13．已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．解 方法一 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11.当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9、10项，即a 9＝a 10＝1010119.方法二 令a na n －1≥1(n ≥2)，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011nn ·⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10，n ＝10时取等号．令a na n ＋1≥1，即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1，整理得n ＋1n ＋2≥1011.解得n ≥9，n ＝9时取等号．∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减．∴数列{a n }有最大项，最大项为第9、10项，即a 9＝a 10＝1010119.。

1. 1.2 数列的函数特性学习目标：1．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． 2．掌握判断数列增减性的方法．(重点) 3．利用数列的增减性求最大项、最小项．(难点) 4. 了解数列是一种特殊的函数. (难点) 情景导入：思考：数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是唯一的？提示：从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 数列的通项公式一般不唯一.一、自主学习[基础·初探]教材整理 数列的单调性阅读教材P 6～P 7“例3”以上部分，完成下列问题． 1．数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法．2．数列的单调性名称 定义判断方法 递增数列从第2项起，每一项都大于它前面的一项a n ＋1＞a n递减数列 从第2项起，每一项都小于它前面的一项 a n ＋1＜a n 常数列各项都相等a n ＋1＝a n判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的图像与函数的图像相同．( ) (2)常数列不具有增减性．( )(3)数列的通项公式就是数列的函数解析式．( ) (4)数列1，12，13，14，15是递减数列．( )【解析】(1)因为数列的定义域是N＋(或它的子集{1,2,3，…，n})，所以其图像为无限个或有限个孤立的点．(2)常数列不满足a n＋1＞a n或a n＋1＜a n.(3)数列可以看成是定义域为N＋(或它的子集{1,2,3，…，n})的函数，数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应的解析式．(4)数列满足条件a n＋1＜a n.【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√二、合作探究[小组合作型]探究一：数列的图像在数列{a n}中，a n＝n2－8n，(1)画出{a n}的图像；(2)根据图像写出数列{a n}的增减性．【精彩点拨】(1)画图像时利用列表、描点、连线三步去画．(2)根据图像的上升或下降判断增减性．【尝试解答】(1)列表n 123456789…a n－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．(2)数列{a n}在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6……}上是递增的．画数列图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即以(n，a n)为坐标描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．[再练一题]1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，作出该数列的图像．【解】分别取n＝1,2,3，…，得到点(1,1)，(2,3)，(3,5)，…，描点作出图像．如图，它的图像是直线y＝2x－1上的一些等间隔的点．探究二：数列增减性的判断已知数列{a n}的通项公式为a n＝n－n＋1，求证：此数列为递增数列．【精彩点拨】根据数列单调性的定义，只需证明a n＋1－a n＞0.【尝试解答】a n＋1－a n＝(n＋1－n＋2)－(n－n＋1)＝2n＋1－(n＋2＋n)，∵(2n＋1)2－(n＋2＋n)2＝4n＋4－(n＋2＋n＋2n(n＋2))＝2(n＋1)－2n(n＋2)＝2((n＋1)2－n(n＋2))＝2(n2＋2n＋1－n2＋2n)＞0.即a n ＋1＞a n ，∴数列{a n }是递增数列．判断数列增减性的方法 (1)作差比较法：①若a n ＋1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n ＋1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法： ①若a n ＞0，则 当a n ＋1a n＞1时，数列{a n }是递增数列； 当a n ＋1a n＜1时，数列{a n }是递减数列； 当a n ＋1a n＝1时，数列{a n }是常数列． ②若a n ＜0，则 当a n ＋1a n＜1时，数列{a n }是递增数列； 当a n ＋1a n＞1时，数列{a n }是递减数列； 当a n ＋1a n＝1时，数列{a n }是常数列． [再练一题]2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，判断该数列的增减性.【解】 对于任意n ∈N ＋，由公式a n ＝n 2n 2＋1，有a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＋1 ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝(n ＋1)2－n 2(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＞0， 即a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)．故数列{a n }是递增数列． 探究三：数列增减性的应用[探究共研型]探究1 在数列{a n }中，a n ＝n －79n －80(n ∈N ＋)，{a n }的前50项有何特点？是否存在最大项和最小项？【提示】 因为a n ＝n －79n －80＝1＋80－79n －80(n ∈N ＋)，因为80＞79，8＜80＜9所以数列的前8项小于1且递减，从第9项开始大于1且递减，前50项中最小项为a 8，最大项为a 9.探究2 数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？【提示】 联系：若函数f (x )在[1，＋∞)上单调，则数列f (n )也单调．反之不正确，例如f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －542，数列f (n )单调递增，但函数f (x )在(1，＋∞)上不是单调递增． 区别：二者定义不同．函数单调性的定义：函数f (x )的定义域为D ，设D ⊇I ，对任意x 1，x 2∈I ，当x 1＜x 2时，若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在I 上单调递减，若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在I 上单调递增，定义中的x 1，x 2不能用有限个数值来代替．数列单调性的定义：只需比较相邻的a n 与a n ＋1的大小来确定单调性．在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N ＋)． (1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．【精彩点拨】 方法1：先考虑数列{a n }的单调性，然后利用单调性求其最值．方法2：利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a na n ≥a n ＋1寻求最大值．【尝试解答】 证明：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·9－n 11， 当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故a 1＜a 2＜a 3＜…＜a 9＝a 10＞a 11＞a 12＞…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，即a 9＝a 10＝1010119.数列中最大项与最小项的求法数列中的最大项或最小项的探求可通过数列的增减性加以解决．若求最大项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，若求最小项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1，另外一种方法就是将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意“n ∈N ＋”这一条件．[再练一题]3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ×0.9n ，求数列{a n }中的最大项．【解】 设a n 是数列{a n }中的最大项，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2n ×0.9n ≥2(n －1)×0.9n －1，2n ×0.9n ≥2(n ＋1)×0.9n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0.9n ≥n －1，n ≥0.9(n ＋1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10，∴当n ＝9或n ＝10时，a n 最大， 最大项a 9＝a 10＝2×10×0.910＝20×0.910.三、课堂检测1．已知数列{a n }满足a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不能确定【解析】 由条件得a n ＋1－a n ＝3＞0，可知a n ＋1＞a n ，所以数列{a n }是递增数列． 【答案】 A2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝5n －6，则a n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．1D ．－1【解析】 ∵a n ＋1－a n ＝5＞0，∴{a n }是递增数列． ∴a n 的最小值为a 1＝－1. 【答案】 D3．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n ，则此数列最大项的值是( ) A.1214 B ．30 C ．31D ．32【解析】 a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N ＋，∴当n ＝5或6时，a n 取最大值30，故选B. 【答案】 B4．若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________．(填写序号) ①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝12n ；④a n ＝(－1)n .【解析】 可以通过画函数的图像一一判断．②有增有减，④是摆动数列． 【答案】 ①③5．写出数列1，23，35，47，…的通项公式，并判断它的增减性.【解】 数列的通项公式a n ＝n2n －1.又∵a n ＋1－a n ＝n ＋12n ＋1－n2n －1＝－1(2n ＋1)(2n －1)＜0，∴a n ＋1＜a n ，∴{a n }是递减数列．。

第2课时数列的函数特性1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项.3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式.写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数.问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列.问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为.问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列.问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= .1.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;③数列的项数是无限的;④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是().A.①②B.①②③C.②③D.①②③④2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是().A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135() 145舒张压(水银柱/毫米)707375788083() 884.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?考查数列的函数特性对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),n∈N+,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2019.已知S n求a n已知数列的前n项和S n的表达式,分别求{a n}的通项公式.(1)S n=2n2-3n;(2)S n=3n-2.数列中的最值问题设a n=-n2+10n+11(n∈N+),则数列{a n}从首项起到第几项的和最大?给定函数y=f(x),并且对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像可能是().已知数列{a n}的前n项和S n=3n-2n2(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当n≥2时,比较S n,na1,na n的大小.已知数列{a n}的通项公式a n=(n+1)(10)n(n∈N+),试问数列{a n}有没有最大项?若有,求最大项11和最大项的项数;若无,说明理由.1.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定2.已知数列{a n }的图像在函数y=1x 的图像上,当x 取正整数时,则其通项公式为( ).A.a n =1x (x ∈R ) B.a n =1n (n ∈N +)C.a n =1x (x ∈N )D.a n =1n(n ∈N ) 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,a n+1=S n +1,n ∈N +,则a 6= . 4.已知数列{a n }中,a n =nn-15.6(n ∈N +),求数列{a n }的最大项.(2019年·陕西卷)观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n 个等式可为 . 考题变式(我来改编):第2课时数列的函数特性知识体系梳理问题1:正整数集N+函数值问题2:递推公式a n=f(a n-1)(n≥2)问题3:第2项a n+1>a n第2项a n+1<a n都相等问题4:{S1(n=1),S n-S n-1(n≥2)基础学习交流1.A由数列的概念及数列的函数特性知,①②正确,故应选A.2.B由a n=3n2-28n知通项公式是一个二次函数,对称轴是-b2a =--282×3=143=423,5离423最近,∴最小项是第5项.3.14085观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85.4.解:(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.重点难点探究探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2019=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-5,由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.(2)a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,由于a1不适合此等式,所以a n={1(n=1),2·3n-1(n≥2).【小结】利用a n=S n-S n-1(n≥2)来求a n的方法也可以叫作公式法.探究三:【解析】a n=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时a n最大,∴从首项起到第5项的和最大.[问题]a n最大是从首项起到第n项的和S n最大吗?[结论]由于审题不清,错把-n2+10n+11当成S n,从而利用二次函数知识得到:n=5时,取最大值显然不合题意.于是,正确解答为:由a n=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.即a1,a2,…,a10>0,a11=0,当n≥12时,a n<0.∴从首项起到第10项或第11项的和最大.【小结】这是一道易错题,审题要清楚,深刻理解通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数.思维拓展应用应用一:A由{a n+1=f(a n),a n+1>a n∈f(a n)>a n,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一点,(a n,f(a n))都有纵坐标f(a n)大于横坐标a n,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.应用二:(1)由a n={S1(n=1),S n-S n-1(n≥2),解得a n=5-4n.(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴na n=5n-4n2,∴na1-S n=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.又∵S n-na n=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,∴na1>S n>na n.应用三:(法一:作差法)∵a n+1-a n=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)n9-n11,当n<9时,a n+1-a n>0,a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法二:作商法)∵a n+1a n =(n+2)(1011)n+1(n+1)(1011)n=10(n+2)11(n+1),当n<9时,10n+20>11n+11,a n+1a n>1,即a n+1>a n;当n=9时,10n+20=11n+11,a n+1a n=1,即a n+1=a n;当n>9时,10n+20<11n+11,a n+1a n<1,即a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法三:两边夹)假设a n为最大项,则{a n≥a n+1,a n≥a n-1,即{(n+1)(1011)n≥(n+2)(1011)n+1,(n+1)(1011)n≥n(1011)n-1,解得{n≥9,n≤10.∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10项最大.基础智能检测1.A∵a n+1=a n+3,∴数列{a n}是递增数列.2.B数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=1n(n∈N+).3.48当n≥2时,a n+1=S n+1,a n=S n-1+1,两式相减,得a n+1-a n=S n-S n-1=a n,即a n+1=2a n,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函数y=xx-15.6=1+15.6x-15.6,因为直线x=15.6为函数图像的渐近线,且函数在(-∞,15.6)上单调递减,在(15.6,+∞)上单调递减,所以当n=16时,a n最大,即第16项最大.全新视角拓展(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)根据等式两边的规律可知:第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).思维导图构建a n={S1(n=1)S n-S n-1(n≥2)。

第2课时数列的函数特性知能目标解读1.熟练掌握数列与函数之间的关系，了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.3.能够通过探求数列的增减性或画出数列的图像来求数列中的最大项或最小项.重点难点点拨重点：1.了解数列是一种特殊的函数的含义.2.能够用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.难点：用函数的观点、方法研究数列的增减性、最值、图像等问题.学习方法指导1.数列的概念与函数概念的联系(1)数列是一种特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或是它的有限子集{1,2,3,…,n}，它是一种自变量“等距离”地离散取值的函数.(2)数列与函数不能画等号，数列是相应函数的一系列函数值.(3)利用函数与数列的关系，可以从函数的观点研究数列的表示方法及有关性质.2.数列的表示方法(1)数列的图像是无限个或有限个离散的孤立的点.(2)若数列是以解析式的形式给出的，则数列的图像是相应函数图像上的一系列孤立的点.(3)数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型，有很广泛的应用.(4)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但是它只能表示有限个元素间的对应关系.3.数列的单调性（1）递增数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n+1>a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递增数列.（2）递减数列：一般地，一个数列{a n}，如果从第2项起，每一项都小于它前面的项，即a n+1<a n(n∈N+)，那么这个数列叫做递减数列.（3）常数列：如果数列{a n}的各项都相等，那么这个数列叫做常数列.（4）摆动数列：一个数列{a n}，从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，那么这个数列叫做摆动数列.注意：(ⅰ)有关数列的分类，由于分类的标准不同，分类方法也不一致：(ⅱ)数列的单调性的判断，定义法是十分重要的方法，即计算a n+1-a n，并研究差的符号的正负；除了应用定义判断外，也可以利用其函数性质判定，例如数列a n=3-n，因为一次函数y=3-x是减函数，因此可判断4.如何证明数列的单调性证明数列的单调性的主要方法有：(1)定义法：其中之一是作差比较，为了便于判断a n+1-a n的符号，通常将a n+1-a n变成常数形式或因式连乘积的形式或平方和形式.除了作差比较外，也可以采用作商的方法，作商时，首先应明确数列的项a n的符号(a n>0还是a n<0)，将其商与1进行比较，从而确定数列的单调性，对于多项式应进行因式分解，对于根式，进行分子（或分母）有理化.(2)借助于数列图像的直观性，证明数列的单调性.知能自主梳理1.几种数列的概念（1）数列按照项与项之间的大小关系可分为数列，数列，数列和数列.（2）一般地，一个数列｛a n｝，如果从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（3）一个数列，如果从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即，那么这个数列叫做数列；（4）一个数列，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫做数列；（5）如果数列｛a n｝的各项都相等，那么这个数列叫做数列.2.数列的递推公式如果已知数列的(或前几项)，且从第二项（或某一项）开始的与它的(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的公式.3.a n与S n的关系S1 (n=1)若数列｛a n｝的前n项和记为S n，即S n=a1+a2+…+a n,则a n=(n≥2)［答案］ 1.(1)递增递减摆动常（2）a n+1>a n递增(3)a n+1<a n递减（4）摆动（5）常2.第1项任一项a n前一项a n-1递推3.S n-S n-1思路方法技巧命题方向数列表示法的应用［例1］(1)根据数列的通项公式填表：(2)画出数列{a n}的图像，其中a n=3n-1.［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的n值得到所求的项，解关于n的方程得项对应的n值.(2)在直角坐标系下，描出点(n,a n).所以a1=3×(4×1+3)=21,a2=3×(4×2+3)=33,a5=3×(4×5+3)=69.令3(4n+3)=153，解得n=12.故填充完整的表格为：(2)∵a n=3n-1，列表：在直角坐标系中图像如下：［说明］(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素之间的对应关系；(2)数列a n=3n-1的图像是函数y=3x-1 (x>0)上的无穷多个孤立的点.变式应用1 已知数列{a n}的通项公式为a n=2n-1,作出该数列的图像.［解析］分别取n=1,2,3,…,得到点（1,1）,(2,3),(3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线y=2x-1上的一些等间隔的点.命题方向数列单调性的判断［例2］已知函数f(x)=2x-2-x，数列{a n}满足f(log2a n) =-2n.(1)求数列{a n}的通项公式；（2）求证数列{a n}是递减数列.［分析］（1）已知函数关系式，由条件可得出2log2a n-2-log2a n=-2n,解这个关于a n的方程即可；（2）只需证明a n +1-a n <0或1+n na a >1(a n >0)即可. ［解析］ （1）∵f (x )=2x-2-x,f (log 2a n )=-2n , ∴2log 2a n-2-log 2an=-2n ,a n -na 1=-2n , ∴a n 2+2na n -1=0,解得a n =-n ±12+n .∵a n >0,∴a n =12+n -n .（2）n n a a 1+=nn n n -++-++1)1(1)1(22=)1(1)1(122++++++n n n n <1.即{a n }是递减数列.［说明］ 我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较a n 与a n +1大小的常用方法有：①作差法：若a n +1-a n >0,则数列{a n }是递增数列；若a n +1-a n <0，则数列{a n }是递减数列.②作商法：若n n a a 1+>1,则数列{a n }是递增数列；若nn a a1+<1，则数列{a n }是递减数列. 变式应用2 写出数列1,42,73,104,135,…的通项公式，并判断它的增减性. ［解析］ 该数列的通项公式为a n =23-n n,∴a n +1-a n =2)1(31-++n n -23-n n =)23)(13(2-+-n n .∵n ∈N +,∴(3n+1)(3n-2)>0, ∴a n +1<a n ,∴该数列为递减数列.命题方向 数列中最大项与最小项的求法 ［例3］ 求数列{-2n 2+9n +3}中的最大项.［分析］ 由通项公式可以看出a n 与n 构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n 为正整数.［解析］ 由已知a n =-2n 2+9n +3=-2(n -49)2+8105. 由于n 为正整数,故当n =2时,a n 取得最大值为13. 所以数列{-2n 2+9n +3}的最大值为a 2=13.的求法去解决,但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件. 变式应用3 已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2-5n +4. (1)数列中有多少项是负数？（2）n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值. ［解析］ （1）由n 2-5n +4<0,解得1<n <4. ∵n ∈N ＋,∴n =2,3. ∴数列有两项是负数. （2）∵a n =n 2-5n +4=（n -25）2-49,可知对称轴方程为n =25=2.5. 又∵n ∈N ＋,∴n =2或3时，a n 有最小值，其最小值为22-5×2+4=-2.探索延拓创新命题方向 数列的实际应用题［例4］ 在一次人才招聘会上，有A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%，设某人年初被A 、B 两家公司同时录取，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］ 根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量n ∈N +,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解. ［解析］ 设在A 公司月工资为a n ，在B 公司月工资为b n ，则 问题等价于求c n =a n -b n =1270+230n -2000×1.05n -1(n ∈N +)的最大值. 当n ≥2时，c n -c n -1=230-100×1.05n -2;当c n -c n -1>0,即230-100×1.05n -2>0时，1.05n -2<2.3，得n <19.1. 因此，当2≤n ≤19时，c n -1<c n , 于是当n ≥20时，c n <c n -1. 所以c 19=a 19-b 19≈827(元).即在A 公司工作比在B 公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］ 数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N +（或它的有限子集{1,2,3,…,n }）的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径.变式应用4 某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值（万元）组成数列{a n }，满足a n =2n 2-15n +3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？ ［解析］ 由题意知，实质是求数列{a n }的最小项. 由于a n =2n 2-15n +3=2（n -415）2-8201，图像如图所示，由图像知n =4时，a 4最小，a 4=-25，即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］ 已知a n =a ·（21）n(a ≠0且a 为常数)，试判断数列{a n }的单调性. ［误解］ ∵a n -a n -1=a （21）n -a （21）n -1=-a （21）n<0, ∴数列{a n }为递减数列.［辨析］ 错误原因是误认为a >0,其实对非零实数a 应分a >0和a <0两种情况讨论. ［正解］ ∵a n -a n -1=-a （21）n (n ≥2,n ∈N *), ∴①当a >0时，a n -a n -1<0,∴a n <a n -1, ∴数列{a n }是递减数列. ②当a <0时，a n -a n -1>0,∴a n >a n -1, ∴数列｛a n ｝是递增数列.课堂巩固训练一、选择题1.已知数列｛a n ｝,a 1=1,a n -a n -1＝n -1(n ≥2)，则a 6=（ ）A.7B.11C.16D.17［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,a n -a n -1=n -1(n ≥2)， ∴a 2-a 1=1,∴a 2=a 1+1=2, ∴a 3-a 2=2,∴a 3=a 2+2=4, ∴a 4-a 3=3,∴a 4=a 3+3=7, ∴a 5-a 4=4,∴a 5=a 4+4=11, ∴a 6-a 5=5,∴a 6=a 5+5=16.2.(2012·济南高二检测)数列{a n }中，a n =-n 2+11n ,则此数列最大项的值是（ ） A.4121B.30C.31D.32［解析］ a n =-n 2+11n =-（n -211）2+4121, ∵n ∈N +,∴当n =5或6时，a n 取最大值30，故选B.3.一给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1∈(0,1),由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n +1>a n (n ∈N +)，则该函数的图像是（ ）［答案］ A［解析］ 由关系式a n +1=f (a n )得到数列{a n }满足a n+1>a n ,可得f (a n )>a n ,即f (x )>x .故要使该函数y =f (x )图像上任一点（x ,y ）都满足y >x ,图像必在直线y =x 的上方，所以A 正确.说明：借用函数的图像与性质来研究数列时，要注意函数的一般性及数列的特殊性之间的关系，不可不加区分，混为一谈，表达时要清楚明白，数列问题有时用图像来处理，往往可以使问题巧妙、简捷地获得解决.二、填空题4.已知f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N +),则f (4)= . ［答案］89 ［解析］ ∵f (1)=2,f (n +1)=21)(+n f (n ∈N ＋), ∴f (2)=21)1(+f =23, f (3)= 21)2(+f =225=45,f (4)= 21)3(+f =2145+=89.5.已知数列{a n }中，a n =a n +m (a <0,n ∈N ＋)满足a 1=2,a 2=4,则a 3= .2=a+m a =2 a =-1［解析］ ∵a 1=2,a 2=4,∴ , ∴ （舍去）或 ,4=a 2+m m =0 m =3∴a 3=(-1) 3+3=2. 三、解答题6.证明数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.［证明］ 令a n =)1(1+n n ，∴a n +1-a n =)2)(1(1++n n -)1(1+n n=n n n n ⋅++)2)(1(-)2()1(2+⋅++n n n n=-)2)(1(2++n n n <0,∴a n +1<a n .所以数列｛)1(1+n n ｝是递减数列.课后强化作业一、选择题1.已知数列{a n }满足a n +1-a n -3=0，则数列{a n }是（ ）A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定［答案］ A［解析］ 由条件得a n +1-a n =3>0可知a n +1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列.2.设a n =-n 2+10n +11，则数列{a n }的最大项为（ ）A.5B.11C.10或11D.36 ［答案］ D［解析］ ∵a n =-n 2+10n +11=-(n -5) 2+36, ∴当n =5时，a n 取最大值36.3.数列｛a n ｝中，a 1=0，以后各项由公式a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2给出，则a 3+a 5等于（ ） A.925 B. 1625 C. 1661 D. 1531［答案］ C［解析］ ∵a 1·a 2·a 3·…·a n =n 2, ∴a 1·a 2·a 3=9,a 1·a 2=4,∴a 3＝49. 同理a =25,∴a +a =9+25=61.4.已知数列{a n }的通项公式a n =lg1536-(n -1)lg2，则使得a n <0成立的最小正整数n 的值为（ ） A.11 B.13 C.15D.12［答案］D［解析］ lg1536-lg2n -1<0,lg1536<lg2n -1, 即2n -1>1536,代入验证得答案为D. 5.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=3，a n =a n -1+21 n a (n ≥3)，则a 5=（ ）A.1255 B. 313 C.4D.5［答案］A［解析］ a 3=a 2+11a =3+1=4. a 4=a 3+21a =4+31=313.a 5=a 4+31a =313+41=1255. 6.在数列{a n }中，a 1=1,a n ·a n -1=a n -1+(-1) n(n ≥2)，则53a a 的值是（ ） A.21 B. 32 C. 43 D. 54 ［答案］ C［解析］ ∵a 1=1,∴a 2=1+1=2,a 3a 2=a 2+(-1) 3=2+(-1)=1,∴a 3=21, 又a 3a 4=a 3+(-1) 4,∴a 4=3, ∵a 4a 5=a 4+(-1) 5=2,∴a 5=32, ∴53a a=3221=43. 7.已知S k 表示数列的前k 项和，且S k +S k +1=a k +1 (k ∈N +)，那么此数列是（ ） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 ［答案］ C［解析］ ∵a k +1=S k +1-S k =S k +S k +1， ∴S k =0(k ∈N +).可知此数列每一项均为0， 即a n =0是常数列.8.已知数列{a n }的通项公式为a n =（43）n -1［（43）n -1-1］，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是（ ） A.最大项为a 1,最小项为a 3 B.最大项为a 1,最小项不存在 C.最大项不存在，最小项为a 3 D.最大项为a 1，最小项为a 4 ［答案］A［解析］ 令t =（43）n -1，则它在N +上递减且0<t ≤1，而a n =t 2-t ，在0<t ≤21时递减，在t ≥21时递增，且n =1时，t =1，n =2时，t =43，n =3时，t =169，n =4时，t =6427，且a 4>a 3，故选A. 二、填空题9.已知数列{a n }的通项公式a n =n 2-4n -12（n ∈N +），则 （1）这个数列的第四项是 ； （2）65是这个数列的第 项；（3）这个数列从第 项起以后各项为正数. ［答案］ －12 11 7［解析］ (1)a 4=42-4×4-12＝-12. (2)令65＝n 2-4n -12,∴n 2-4n -77=0, ∴n =11或n =-7(舍去). 故65是这个数列的第11项. （3）令n 2-4n -12>0,得n >6或n <2. ∴这个数列从第7项起各项为正数. 10.已知数列{a n }的通项a n =cnb na+ (a 、b 、c 都是正实数)，则a n 与a n +1的大小关系是 .［答案］ a n +1>a n［解析］ ∵a,b,c 均为实数，f (x )=cbx ax+=xc b a +在(0,+∞)上是增函数，故数列a n =cbn an+在n ∈N +时为递增数列，∴a n <a n +1.11.已知｛a n ｝是递增数列，且对任意的自然数n (n ≥1)，都有a n =n 2+λn 恒成立，则实数λ的取值范围为 . ［答案］ λ>-3［解析］ 由｛a n ｝为递增数列，得a n +1-a n =(n +1) 2+λ(n +1)-n 2-λn =2n +1+λ>0恒成立， 即λ>-2n -1在n ≥1时恒成立， 令f (n )=-2n -1,f (n ) max =-3. 只需λ>f (n ) max =-3即可.(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )=-2x 2+13x 的最大值；(4)-70是该数列中的一项.其中正确的说法有 .（把所有正确的序号都填上）［答案］ (2)(4)［解析］ 令-2n 2+13n >0，得0<n <213，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项.当n =3时，数列{a n }取到最大值，而当x =3.25时函数f (x )取到最大值. 令-2n 2+13n =-70，得n =10，或n =-27（舍去）.即-70是该数列的第10项. 三、解答题13.已知数列1，2，37，25，513，…. （1）写出这个数列的一个通项公式a n ;（2）判断数列｛a n ｝的增减性.［解析］ （1）数列1，2，37，25，513，….可变为11，24，37，410，513，….观察该数列可知，每一项的分母恰与该项序号n 对应，而分子比序号n 的3倍少2，a n =nn 23-. (2)∵a n =n n 23-=3-n2,∴a n +1=3-12+n , ∴a n +1-a n =3-12+n -3+n 2=n 2-12+n =)1(2+n n >0,a n +1>a n .故数列｛a n ｝为递增数列.14.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图像表示出来.(1)a n =(-1) n +2;(2)a n =nn 1+. ［解析］ (1)a 1=1,a 2=3,a 3=1,a 4=3,a 5=1.图像如图1.(2)a 1=2,a 2=23,a 3=34,a 4=45,a 5=56.图像如图2.15.已知数列｛a n ｝,a 1=2,a n +1=2a n ，写出数列的前4项，猜想a n ,并加以证明.［证明］ 由a 1=2,a n +1=2a n ,得a 2=2a 1=4=22,a 3=2a 2=2·22=23, a 4=2a 3=2·23=24.猜想a n =2n (n ∈N +). 证明如下：由a 1=2,a n +1=2a n ,得1-n n a a =21--n n a a =…=23a a =12a a =2. ∴a n =1-n n a a ·21--n n a a …23a a ·12a a ·a 1=2·2…2·2＝2n . 16.已知函数f (x )= 122+x x ,设f (n )=a n (n ∈N +).求证：21≤a n <1.［解析］ 解法一：因为a n -1=122+n n -1=-112+n <0, an -21=122+n n -21＝)1(2122+-n n ≥0, 所以21≤a n <1.解法二：a n =122+n n =11122+-+n n =1-112+n <1, a n +1-a n =1)1()1(22+++n n -122+n n =]1)1[()1(]1)1[()1()1(222222++⋅+++⋅-+⋅+n n n n n n =]1)1[()1(1222++⋅++n n n . 由n ∈N +得a n +1-a n >0，即a n +1>a n , 所以数列{a n }是递增数列. 所以a n 的最小值为a 1=21,即a n ≥21. 所以21≤a n <1.。

1.1.2数列的函数特性一 学习目标：1.了解数列的增减性的概念，掌握判断数列的增减性的方法，能够利用数列的增减性求数列的最大项、最小项.2.明确数列与函数的关系，数列问题常会转化为函数问题，体现了化归与转换、函数与方程等数学思想方法.3.激情投入，高效学习，踊跃展示，大胆质疑，体验自主学习的快乐和成功的愉悦. 重点：数列的函数特性.难点：用数列的增减性解决数列的最大（小）项问题.二 问题导学1.重温旧知数列可以看作是 .2.数列的函数特性 数列{}n a 的通项公式(),n a f n n N +=∈(1)定义域： ； (2)值域： ； (3)图像：一群孤立的点，其坐标为 ；(4)数列的增减性比较后一项与前一项的大小关系，数列可分为 ， 其符号表示分别为 .思考：你能判定数列的增减性吗？是如何判定的？又如何确定数列中的最大项或最小项？导学自测1．在同一坐标系中分别作出下面数列的图像，并分析它们的增减性.(1) 1,0,1,,2,n --L L ；(2) 2341,,,,,3452n n ++L L ；(3)11111,,,,,(1),24682nn---L L ；2.已知数列{}n a 中，130n n a a +--=，则数列{}n a 是 （ ）A . 递增数列 B. 递减数列 C . 常数列 D. 不确定3. 数列{}n a 中，n a =n b -+（b 为常数），此数列是递减数列，则有 （ ） A. 0b > B. 0b < C. 0b ≠ D. b R ∈4．已知数列{}n a 的通项公式为28n a n n =-+，画出该数列的图像，根据图像，判断从第几项起，这个数列是递减的，并求出它的最大项.三 合作探究1. 已知数列{}n a 的通项公式为31n na n =+，判断此数列的增减性.2. 已知数列{}n a 的通项公式为1()(0)2n n a a a a =≠为常数且，判断此数列的增减性.nn a 0数学导学案装订线3.若数列{}n a 的通项公式为2()()n a k n n n N +=+∈，且数列{}n a 是单调递增数列，你能求出实数k 的取值范围吗？你是如何求解的？给你带来什么启示？4. 若数列{}n a 的通项公式为254n a n n =-+，那么当n 为何值时，n a 有最小值？最小值为多少？变式.已知数列}{n a 的通项公式为31522+-=n n a n ，求数列}{n a 的最小项.四 我的学习总结：（1）我对知识的总结（2）我对数学思想及方法的总结 __________________。

1.1.2数列的函数特性教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n项和与的关系；4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式：，或简记为，其中a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：2．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为 .表示前1项之和： =表示前2项之和： =……表示前n-1项之和： =表示前n项之和： = .∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，；当n≥2时，，即说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例3已知，写出前5项，并猜想．法一：法二：例4已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴an =n2 +2n；⑵an =n -2n-1.解：⑴①当n≥2时， an=- =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，an =1 +2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴ an =2n+1为所求.⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴ an = 为所求.四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝1, ＝(n∈N)；(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴＝(n－1) ;(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴＝ ;(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴＝1＋2·3 ;2．．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1) ＝2n －3n; (2) ＝－2.解：(1) ＝－1,=- ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,又符合＝4·1－5, ∴＝4n－5;(2) ＝1, =- ＝－2－( －2)＝2· ,∴＝五、小结:1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.3． an的定义及与n 之间的关系作业：P9 第4题。

项，并判断17081是否是该数列中的项？如果是，是第几项，如果不是，请说明理由. ［分析］ 由通项公式写出数列的前5项，令a n =17081,判断是否有正整数解即可. ［解析］ a 1=(-1) 0·2112⨯＝21，a 2=(-1) 1·3322⨯＝－94，a 3=(-1) 2·4532⨯＝209. a 4=(-1) 3·5742⨯＝－3516，a 5=(-1) 4·6952⨯＝5425. ∴该数列前5项分别为：21，－94，209，-3516,5425. 令(-1) n -1·)1)(12(2+-n n n =17081得 n >1且为奇数8n 2-81n +81=0.∴n =9.所以17081是该数列中的第9项. ［说明］ 已知数列的通项公式可以写出该数列中的任意一项，可以判断一个数（或代数式）是否为该数列中的项.令通项公式等于这个数，若方程有正整数解，则该数是数列中的项，否则不是.变式应用3 以下四个数中，哪个是数列{n （n ＋1）}中的项（ ）A. 380B. 39C. 32D.23［分析］ 数列{a n }的通项公式f (n )=n ·(n +1)，对于某个数m ，若m 是数列{a n }中的项，则n ·（n +1）=m 必有正整数解.若无正整数解，则m 肯定不是{a n }中的项.［答案］ A［解析］ 依次令n (n +1)=23或32或39检验知无整数解.只有n ·（n +1）=380有整数解n =19.探索延拓创新命题方向 数列的递推公式［例4］ 在数列{a n }中，a 1=2,a 2=1,且a n +2=3a n +1-a n ,求a 6+a 4-3a 5.［分析］ 由a 1=2，a 2=1及递推公式a n +2=3a n +1-a n ,依次找出a 3,a 4,a 5,a 6即可.［解析］ 解法一：∵a 1=2,a 2=1,a n +2=3a n +1-a n ,∴a 3=3a 2-a 1=3×1-2=1,a 4=3a 3-a 2=3×1-1=2,a 5=3a 4-a 3=3×2-1=5,。

《数列的函数特性》◆教材分析本章以利于学生重视用函数的思想方法来学习和研究数列，把数列融于函数之中．本节内容对全章的学习有着指导作用，因为本章中对数列内容的处理，始终将函数作为主线贯穿其中，突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。

认识到函数是高中数学的核心内容，这种基本思想也是贯穿教材前后的一条主线。

◆教学目标【知识与能力目标】通过本节学习，理解数列是一种特殊的函数，理解数列的图像表示，了解数列的增减性。

【过程与方法目标】理解数列与函数的关系，会用函数的方法处理数列内容。

【情感态度价值观目标】通过对日常生活实例的探究、思考、交流、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

◆教学重难点◆【教学重点】数列的函数特性、数列的图像表示、数列的增减性。

【教学难点】数列的图像表示电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 1． 叫数列。

2．数列的一般形式是 3．数列的通项公式)(n f a n 反映了数列的 和 的对应关系。

二、研探新知，建构概念探究1.阅读教材P 6～P 7“例3”以上部分，完成下列问题。

1．数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法 2．数列的单调性名称 定义判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它前面的一项 a n ＋1＞a n 递减数列 从第2项起，每一项都小于它前面的一项 a n ＋1＜a n 常数列各项都相等a n ＋1＝a n新知练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的图像与函数的图像相同。

( ) (2)常数列不具有增减性。

( )◆课前准备 ◆◆教学过程(3)数列的通项公式就是数列的函数解析式。

( ) (4)数列1，12，13，14，15是递减数列。

( )【解析】 (1)因为数列的定义域是N ＋(或它的子集{1,2,3，…，n })，所以其图像为无限个或有限个孤立的点。

高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页，让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示；2.利用数列的函数特征判断函数的增减性；3.会用函数方法处理数列问题．【学习重点、难点】重点：数列的函数特性，数列的增减性及最值项。

【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成， C等实验班学生完成【学习过程】（一）基础学习1、复习巩固：①什么是数列？②数列通项公式是什么？（Ａ） 3、认真观察下列数列，总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念？① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001，…③ 100,100,100,100，…（二）学习探究（B ）探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像，并判断数列的增减性。

（提示：依据数列函数特性完成本题）1、1n a n =-+；2、22153n a n n =-+（C ）例3结合例题2第2个小题，判断从第几项起，这个数列是递增的，并求出数列的最小项。

（三）当堂检测1．已知130n n a a +--= ，则数列{a n } 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-，则该数列的增减性为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列5．变式：第4题当一次项的系数变为5时，结果又是什么？请算一算（四）课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2.．完成教材第9页习题1—1第5题.（五）教与学后反思本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.总结反思。

第 1 页共 5 页第二课时 1.1.2数列的函数特性一、教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一）、导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师你能举例说明吗？生如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n-1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21,31,41,…的通项公式为a n =n 1(n ∈N *教师进一步启发上面数列a n =n-1、a n =n 1与函数1()1,()f x x f x x 有什么关系？你能用图象直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。

（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16。