(同步辅导)高中数学《数列的函数特性》导学案 北师大版必修5

第2课时数列的函数特性1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项.3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式.写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数.问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列.问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为.问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列.问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= .1.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;③数列的项数是无限的;④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是().A.①②B.①②③C.②③D.①②③④2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是().A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135() 145舒张压(水银柱/毫米)707375788083() 884.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?考查数列的函数特性对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),n∈N+,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2019.已知S n求a n已知数列的前n项和S n的表达式,分别求{a n}的通项公式.(1)S n=2n2-3n;(2)S n=3n-2.数列中的最值问题设a n=-n2+10n+11(n∈N+),则数列{a n}从首项起到第几项的和最大?给定函数y=f(x),并且对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像可能是().已知数列{a n}的前n项和S n=3n-2n2(n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当n≥2时,比较S n,na1,na n的大小.已知数列{a n}的通项公式a n=(n+1)(10)n(n∈N+),试问数列{a n}有没有最大项?若有,求最大项11和最大项的项数;若无,说明理由.1.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定2.已知数列{a n }的图像在函数y=1x 的图像上,当x 取正整数时,则其通项公式为( ).A.a n =1x (x ∈R ) B.a n =1n (n ∈N +)C.a n =1x (x ∈N )D.a n =1n(n ∈N ) 3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,a n+1=S n +1,n ∈N +,则a 6= . 4.已知数列{a n }中,a n =nn-15.6(n ∈N +),求数列{a n }的最大项.(2019年·陕西卷)观察下列等式 (1+1)=2×1 (2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n 个等式可为 . 考题变式(我来改编):第2课时数列的函数特性知识体系梳理问题1:正整数集N+函数值问题2:递推公式a n=f(a n-1)(n≥2)问题3:第2项a n+1>a n第2项a n+1<a n都相等问题4:{S1(n=1),S n-S n-1(n≥2)基础学习交流1.A由数列的概念及数列的函数特性知,①②正确,故应选A.2.B由a n=3n2-28n知通项公式是一个二次函数,对称轴是-b2a =--282×3=143=423,5离423最近,∴最小项是第5项.3.14085观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85.4.解:(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.重点难点探究探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2019=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-5,由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.(2)a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,由于a1不适合此等式,所以a n={1(n=1),2·3n-1(n≥2).【小结】利用a n=S n-S n-1(n≥2)来求a n的方法也可以叫作公式法.探究三:【解析】a n=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时a n最大,∴从首项起到第5项的和最大.[问题]a n最大是从首项起到第n项的和S n最大吗?[结论]由于审题不清,错把-n2+10n+11当成S n,从而利用二次函数知识得到:n=5时,取最大值显然不合题意.于是,正确解答为:由a n=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.即a1,a2,…,a10>0,a11=0,当n≥12时,a n<0.∴从首项起到第10项或第11项的和最大.【小结】这是一道易错题,审题要清楚,深刻理解通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数.思维拓展应用应用一:A由{a n+1=f(a n),a n+1>a n∈f(a n)>a n,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一点,(a n,f(a n))都有纵坐标f(a n)大于横坐标a n,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.应用二:(1)由a n={S1(n=1),S n-S n-1(n≥2),解得a n=5-4n.(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴na n=5n-4n2,∴na1-S n=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.又∵S n-na n=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,∴na1>S n>na n.应用三:(法一:作差法)∵a n+1-a n=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)n9-n11,当n<9时,a n+1-a n>0,a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法二:作商法)∵a n+1a n =(n+2)(1011)n+1(n+1)(1011)n=10(n+2)11(n+1),当n<9时,10n+20>11n+11,a n+1a n>1,即a n+1>a n;当n=9时,10n+20=11n+11,a n+1a n=1,即a n+1=a n;当n>9时,10n+20<11n+11,a n+1a n<1,即a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法三:两边夹)假设a n为最大项,则{a n≥a n+1,a n≥a n-1,即{(n+1)(1011)n≥(n+2)(1011)n+1,(n+1)(1011)n≥n(1011)n-1,解得{n≥9,n≤10.∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10项最大.基础智能检测1.A∵a n+1=a n+3,∴数列{a n}是递增数列.2.B数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=1n(n∈N+).3.48当n≥2时,a n+1=S n+1,a n=S n-1+1,两式相减,得a n+1-a n=S n-S n-1=a n,即a n+1=2a n,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函数y=xx-15.6=1+15.6x-15.6,因为直线x=15.6为函数图像的渐近线,且函数在(-∞,15.6)上单调递减,在(15.6,+∞)上单调递减,所以当n=16时,a n最大,即第16项最大.全新视角拓展(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)根据等式两边的规律可知:第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).思维导图构建a n={S1(n=1)S n-S n-1(n≥2)。

1.2 数列的函数特性学习目标 1.理解数列的几种表示方法.2.能从函数的观点研究数列．知识点一数列的表示方法思考以数列2,4,6,8,10,12，…为例，你能用几种方法表示这个数列？梳理数列的表示方法有____________法、________法、列表法、递推公式法．知识点二数列的增减性思考观察知识点一中数列2,4,6,8，…的图像，随着n的增大，a n有什么特点？梳理一般地，按项的增减趋势分类，从第2项起，每一项都大于它前面的一项，即a n＋1____a n，那么这个数列叫作____________；从第2项起，每一项都小于它前面的一项，即a n＋1____a n，那么这个数列叫作____________；各项相等的数列叫作____________；从第2项起，有些项小于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫作____________．类型一数列的表示方法例1 图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形，在4个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图像．反思与感悟由数列的前几项归纳其通项公式的关键是观察、归纳各项与序号之间的联系，善于利用我们熟知的一些基本数列，通过合理的联想、转化，从而达到解决问题的目的．跟踪训练1 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是________．类型二数列的增减性命题角度1 判断数列的增减性例2 判断数列{nn＋1}的增减性．反思与感悟 对于无穷数列，不可能从第2项起逐项验证是否大于前一项．故需考察a n ＋1－a n 的正负来研究数列的增减性．跟踪训练2 若数列{n 2＋λn }是递增数列，则实数λ的取值范围是________． 命题角度2 求数列中的最大项与最小项 例3 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)(1011)n(n ∈N ＋)．(1)求证：数列{a n }先递增，后递减； (2)求数列{a n }的最大项．反思与感悟 数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1，若求最小项a n ，则a n 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.(2)将数列看作一个特殊的函数，通过求函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n ∈N ＋这一条件．跟踪训练3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －122n －7，求数列{a n }的最大项和最小项．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋2n ＋1，则这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．1．{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：(1)图像法；(2)列表法；(3)通项公式法；(4)递推公式法． 3．判断数列增减性的办法一般是作差：a n ＋1－a n ，通过判断差的正负来判断数列{a n }的增减性．当a n >0，也可用作商法与1比较大小判断数列的增减性．通过判断数列在各区间上的增减性，可求出数列的最大项与最小项．答案精析问题导学 知识点一思考 对数列2,4,6,8,10,12，…可用以下几种方法表示： ①通项公式法：a n ＝2n . ②递推公式法：⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2，n ∈N ＋.③列表法：n 1 2 3 … k… a n246…2k…④图像法：梳理 通项公式 图像 知识点二思考 图像上升，a n 随n 增大而增大．梳理 > 递增数列 < 递减数列 常数列 摆动数列 题型探究例1 解 这四个三角形图案中着色的小三角形的个数依次为1,3,9,27.则所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.所以，这个数列的一个通项公式是a n ＝3n －1.在直角坐标系中的图像为一些孤立的点(如图所示)．跟踪训练1 55 例2 解 设a n ＝nn ＋1，则a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－nn ＋1 ＝1n ＋2n ＋1>0，∴{n n ＋1}是递增数列．跟踪训练2 (－3，＋∞) 解析 设a n ＝n 2＋λn ，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－n 2－λn ＝2n ＋1＋λ>0对任意n ∈N ＋恒成立． ∴(2n ＋1＋λ)min ＝3＋λ>0， ∴λ>－3. 例3 (1)证明 令a na n －1>1(n ≥2)， 即n ＋1·1011nn ·1011n －1>1，整理得n ＋1n >1110，解得n <10. 令a na n ＋1>1，即n ＋1·1011nn ＋2·1011n ＋1>1.整理得n ＋1n ＋2>1011，解得n >9. 所以数列{a n }从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先增后减．(2)解 由(1)知a 9＝a 10＝1010119最大．跟踪训练3 解 因为a n ＋1－a n ＝4n －82n －5－4n －122n －7 ＝4n －82n －7－4n －122n －52n －52n －7＝8n 2－44n ＋56－8n 2－44n ＋602n －52n －7＝－42n －52n －7＝－1n －52n －72 当n ≤2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ； 当n ＝3时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ≥4时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 又当n ≤3时，a n <2；当n ≥4时，a n >2.所以a 4>a 5>…>a n >…>2>a 1>a 2>a 3.故数列{a n }的最大项为a 4＝4，最小项为a 3＝0. 当堂训练1．B 2.B 3.a n ＝2n ＋1。

第2课时数列的函数特性1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项.3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式.写出数列0,2,4,6,8,…的通项公式a n=2n-2后,发现a n=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数.问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列.问题2:如果数列{a n}的第1项或前几项已知,并且数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为.问题3:一般地,一个数列{a n},如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列{a n}的各项,那么这个数列叫作常数列.问题4:任意数列{a n}的前n项和S n的性质若S n=a1+a2+a3+…+a n,则a n= .1.下面四个结论:①数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})上的函数;②数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;③数列的项数是无限的;④数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是().A.①②B.①②③C.②③D.①②③④2.数列{a n}的通项公式为a n=3n2-28n,则数列{a n}各项中最小项是().A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项3.在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65收缩压(水银柱/毫米) 110 115 120 125 130 135 ()145舒张压(水银柱/毫米) 70 73 75 78 80 83 ()884.数列{a n}中,已知a n=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?考查数列的函数特性对于数列{a n},a1=4,a n+1=f(a n),n∈N+,依照下表:x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2(1)求a2,a3,a4;(2)求a2015.已知S n求a n已知数列的前n项和S n的表达式,分别求{a n}的通项公式.(1)S n=2n2-3n;(2)S n=3n-2.数列中的最值问题设a n=-n2+10n+11(n∈N+),则数列{a n}从首项起到第几项的和最大?给定函数y=f(x),并且对任意a n∈(0,1),由关系式a n+1=f(a n)得到的数列{a n}满足a n+1>a n(n∈N+),则该函数的图像可能是().已知数列{a n}的前n项和S n=3n-2n2 (n∈N+).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)当n≥2时,比较S n,na1,na n的大小.已知数列{a n}的通项公式a n=(n+1)()n(n∈N+),试问数列{a n}有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.1.已知a n+1-a n-3=0,则数列{a n}是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定2.已知数列{a n}的图像在函数y=的图像上,当x取正整数时,则其通项公式为().A.a n=(x∈R)B.a n=(n∈N+)C.a n=(x∈N)D.a n=(n∈N)3.已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,a n+1=S n+1,n∈N+,则a6= .4.已知数列{a n}中,a n=(n∈N+),求数列{a n}的最大项.(2013年·陕西卷)观察下列等式(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5……照此规律,第n个等式可为.考题变式(我来改编):第2课时数列的函数特性知识体系梳理问题1:正整数集N+函数值问题2:递推公式a n=f(a n-1)(n≥2)问题3:第2项a n+1>a n第2项a n+1<a n都相等问题4:基础学习交流1.A由数列的概念及数列的函数特性知,①②正确,故应选A.2.B由a n=3n2-28n知通项公式是一个二次函数,对称轴是-=-==4,5离4最近,∴最小项是第5项.3.14085观察上表规律,收缩压每次增加5,舒张压相应增加3或2,且是间隔出现的,故应填140,85.4.解:(1)a3=13,a4=29.(2)令2n+1-3=253,则2n+1=256,∴n+1=8,∴n=7,∴253是第7项.重点难点探究探究一:【解析】(1)a1=4,a2=f(4)=1,a3=f(1)=5,a4=f(5)=2.(2)由(1)知a1=4,a2=1,a3=5,a4=2,a5=f(2)=4,…,该数列是周期为4的周期数列,所以a2015=a3=5.【小结】通过求数列的前几项,发现规律,找到周期是本题的关键.探究二:【解析】(1)a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=4n-5,由于a1也适合此等式,所以a n=4n-5.(2)a1=S1=1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2·3n-1,由于a1不适合此等式,所以a n=【小结】利用a n=S n-S n-1(n≥2)来求a n的方法也可以叫作公式法.探究三:【解析】a n=-n2+10n+11=-(n-5)2+36,∴当n=5时a n最大,∴从首项起到第5项的和最大.[问题]a n最大是从首项起到第n项的和S n最大吗?[结论]由于审题不清,错把-n2+10n+11当成S n,从而利用二次函数知识得到:n=5时,取最大值显然不合题意.于是,正确解答为:由a n=-n2+10n+11≥0得n2-10n-11≤0,∴-1≤n≤11.即a1,a2,…,a10>0,a11=0,当n≥12时,a n<0.∴从首项起到第10项或第11项的和最大.【小结】这是一道易错题,审题要清楚,深刻理解通项公式a n是关于n(n∈N+)的函数.思维拓展应用应用一:A由⇒f(a n)>a n,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一点,(a n,f(a n))都有纵坐标f(a n)大于横坐标a n,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.应用二:(1)由a n=解得a n=5-4n.(2)∵a1=5-4×1=1,∴na1=n,∴na n=5n-4n2,∴na1-S n=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)>0.又∵S n-na n=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n>0,∴na1>S n>na n.应用三:(法一:作差法)∵a n+1-a n=(n+2)()n+1-(n+1)()n=()n,当n<9时,a n+1-a n>0,a n+1>a n;当n=9时,a n+1-a n=0,a n+1=a n;当n>9时,a n+1-a n<0,a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法二:作商法)∵==,当n<9时,10n+20>11n+11,>1,即a n+1>a n;当n=9时,10n+20=11n+11,=1,即a n+1=a n;当n>9时,10n+20<11n+11,<1,即a n+1<a n.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>…∴数列{a n}有最大项,为第9,10项.(法三:两边夹)假设a n为最大项,则即解得∴9≤n≤10,∴n=9或10,即第9,10项最大.基础智能检测1.A∵a n+1=a n+3,∴数列{a n}是递增数列.2.B数列{a n}对应的点列为(n,a n),即有a n=(n∈N+).3.48当n≥2时,a n+1=S n+1,a n=S n-1+1,两式相减,得a n+1-a n=S n-S n-1=a n,即a n+1=2a n,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函数y==1+,因为直线x=15.6为函数图像的渐近线,且函数在(-∞,15.6)上单调递减,在(15.6,+∞)上单调递减,所以当n=16时,a n最大,即第16项最大.全新视角拓展(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)根据等式两边的规律可知: 第n个等式为(n+1)(n+2)·(n+3)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1).思维导图构建a n=。

1.1.2数列的函数特性教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n项和与的关系；4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….⒊数列的一般形式：，或简记为，其中a n是数列的第n项⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3若用a n表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：2．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为 .表示前1项之和： =表示前2项之和： =……表示前n-1项之和： =表示前n项之和： = .∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，；当n≥2时，，即说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例3已知，写出前5项，并猜想．法一：法二：例4已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴an =n2 +2n；⑵an =n -2n-1.解：⑴①当n≥2时， an=- =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，an =1 +2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴ an =2n+1为所求.⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴ an = 为所求.四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝1, ＝(n∈N)；(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴＝(n－1) ;(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴＝ ;(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴＝1＋2·3 ;2．．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1) ＝2n －3n; (2) ＝－2.解：(1) ＝－1,=- ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,又符合＝4·1－5, ∴＝4n－5;(2) ＝1, =- ＝－2－( －2)＝2· ,∴＝五、小结:1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.3． an的定义及与n 之间的关系作业：P9 第4题。

2019-2020年高中数学§1.2 数列的函数特性学案北师大版必修5学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。

学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。

二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列的一个通项公式为（）A、B、C、D、3、判断下列数列的增减性（）①②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，...，3-n, (2)例4：作出数列11111,,,,,()248162n---K K，…的图像，并分析数列的增减性。

例5：一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途（包括A，B）共有8站，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达后面各站卸下前面各站发往该站的一个邮件，同时装上该站发往下面各站的邮件各一个。

试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图像，并判断该数列的增减性练习：1、P8 T22、已知数列中；且，则数列的第100项为（周期数列）3、已知数例的通项公式（1）判断数列的增减性（2）数列中有多少项是负项？（3）当n为何值时，有最小值，最小值是多少？四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P9 A组第5、6题2019-2020年高中数学§2.1 一元二次不等式的解法（1）教案北师大版必修5教学目标（一）教学知识点1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2．一元二次不等式的解法.（二）能力训练要求1．通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想.2．提高运算（变形）能力.（三）德育渗透目标渗透由具体到抽象思想.教学重点一元二次不等式解法教学难点一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系.数形结合思想渗透.教学方法发现式教学法通过“三个二次”关系的寻求，得到一元二次不等式的解.教学过程Ⅰ创设情景汽车在行驶过程中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”。

数列的函数特征授课 时间 学习 目标 重点 难点 第 周 星期 第 节 课型 新授课 主备课人 李春侠1.了解数列是一种特殊的函数; 2. 能判断数列的单调性. 重点:数列的图像表示及数列的单调性. 难点:如何利用数列与函数的关系灵活解决有关的实际问题. 自主学习： 阅读课本第 6 页实例分析部分得到： 函数图像呈上升的是 ，函数图像呈下降的是 ，图 1-7 的图像显示此数列为 . 从而发现数列的图像是由一些 构成的 ① 递增数列： ② 递减数列： ③ 常数列： 精讲互动： 知识点：判断函数的单调性可以由定义证明也可以画图观察 阅读课本第 7 页并填写下列内容： 例 3 判断下列无穷数列的增减性. （1）2，1，0，-1，…，3-n，… （2）学习 过程 与方 法1 2，2 3 n 3 ， 4 ，… n  1 ，…⑴用定义证明⑵ 用定义证明an  ______ an1  ______ an1  an  ______bn  ______ bn1  ______ bn1  bn  ______例 4、画图观察 有的项大于它的前一项，有的项小于它的前一项，我们把这个数列称作叫作 ，从图像上观察发现数列的各点相对于横轴 ，它既不 是 ，也不是 . 例 5、带着下列问题理解： ① 为何各站编号：能更清晰的观察到某站及其剩余邮件数 ② 各站剩余邮件数的计算 ③ 各站剩余邮件数 an 是其站号 n 的函数达标训练： ⑴ 课本第 8 页练习题 1 y轴X轴 例 1、 例2图 ⑵ 课本第 8 页练习题 2 单调性分析： ⑴⑵⑶ 课本第 9 页 B 组第 2 题作业 布置 学习 小结/ 教学 反思第9页A组5题。

数列的函数特性学习目标：理解数列的概念和几种简要的表示方法，了解数列是一种特殊函数，并能以函数角度给数列分类。

学习过程：一、课前准备自主学习：数列概念及相关知识，通项公式阅读P6-7通过用图像形象直观地刻画数列，结合图象认真思考、分析数列的特性。

二、新课导入①递增数列：②递减数列：③常数数列：自主测评1、下列结论中正确的是（）①在直角坐标系中表示数列的图像都是一群孤立的点②任何一个数列都有无数次③数的通项公式存在且唯一A、①②B、②③C、①②③D、①2、已知数列1112,,,6323的一个通项公式为（）A、1nB、6nC、3nD、4n3、判断下列数列的增减性（）①11111,,,,2481632K K②-3，-1，1，3，5，7……③-3，2，-4，-5，1，6，-2……④-2，-2，-2，-2……⑤0，1，0，1，0，1……探究：是不是所有的数列都有增减性三、巩固应用例3：判断下列无穷数列的增减性（1）2，1，0，-1，…，3-n,… (2)123,2341n n +K K K K ，，，， 例4：作出数列11111,,,,,()248162n ---K K ，…的图像，并分析数列的增减性。

试一试：1、P 8 T 22、已知数列{}n a 中；123,6,a a ==且21n n n a a a ++=-，则数列的第100项为3、已知数列{}n a 中，223n a n n =-+，则数列n a 是增还是减数列4、已知数列{}n a 中，276n a n n =-+，求数列{}n a 的最小项四、总结提升1、探究结论2、数列与函数有什么关系？五、能力拓展1、已知数列{}n a满足1120090,);n a a n N a 则等于++==?（） A 、0 B、- CD 、22、数列{}n a 满足13n n a a ++=，若320082,a a =则等于 。

3、已知函数()22x x f x -=-，数列{}n a 满足2(log )2n f a n ?（1）求数列{}n a 的通项公式（2）证明：数列{}n a 是递减数列自我评价：这节课你学到了什么，你认为做自己的好的地方在哪里？作业：P 9 AT 5、6。

1.1.2数列的函数特性教学目的：1．了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2．会根据数列的递推公式写出数列的前几项；3．理解数列的前n项和与的关系；4．会由数列的前n项和公式求出其通项公式.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项教学难点：理解递推公式与通项公式的关系内容分析：由于并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数)，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展递推是数学里的一个非常重要的概念和方法在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了教学过程：一、复习引入：上节学习知识点如下⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….是数列的第n项⒊数列的一般形式：，或简记为，其中an⒋数列的通项公式：如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5．数列的图像都是一群孤立的点.6．数列有三种表示形式：列举法，通项公式法和图象法.7．有穷数列：项数有限的数列.例如，数列①是有穷数列.8．无穷数列：项数无限的数列.二、讲解新课：知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．模型一：自上而下：第1层钢管数为4；即：1 4＝1+3第2层钢管数为5；即：2 5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3 6＝3+3第4层钢管数为7；即：4 7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5 8＝5+3第6层钢管数为9；即：6 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 10＝7+3表示钢管数，n表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 1≤n≤7）若用an运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律）模型二：上下层之间的关系:自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1 即依此类推：（2≤n≤7）对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要定义：1．递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式说明：递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：2．数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为 .表示前1项之和： =表示前2项之和： =……表示前n-1项之和： =表示前n项之和： = .∴当n≥1时才有意义；当n-1≥1即n≥2时才有意义.3．与之间的关系：由的定义可知，当n=1时，；当n≥2时，，即说明：数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1，以后的各项由公式给出，写出这个数列的前5项分析：题中已给出的第1项即，递推公式：解：据题意可知：例2已知数列中，≥3），试写出数列的前4项解：由已知得例3已知，写出前5项，并猜想．法一：法二：例4已知数列的前n项和，求数列的通项公式：⑴an =n2 +2n；⑵an =n -2n-1.解：⑴①当n≥2时， an=- =(n +2n)-[(n-1) +2(n-1)]=2n+1；②当n=1时，an =1 +2×1=3；③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴ an =2n+1为所求.⑵①当n≥2时， an = (n -2n-1)-[(n-1) +2(n-1)-1]=2n-3；②当n=1时，an =1 -2×1-1=-2；③经检验，当n=1时，2n-3=2×1-3=-1≠-2，∴ an = 为所求.四、练习：1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式(1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)；(2) ＝1, ＝(n∈N)；(3) ＝3, ＝3－2 (n∈N).解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴＝(n－1) ;(2) ＝1, ＝ , ＝ , ＝ , ＝ , ∴＝ ;(3) ＝3＝1+2 , ＝7＝1+2 , ＝19＝1+2 ,＝55＝1+2 , ＝163＝1+2 , ∴＝1＋2·3 ;2．．已知下列各数列的前n项和的公式，求的通项公式(1) ＝2n －3n; (2) ＝－2.解：(1) ＝－1,=- ＝2n －3n－[2(n－1) －3(n－1)]＝4n－5,又符合＝4·1－5, ∴＝4n－5;(2) ＝1, =- ＝－2－( －2)＝2· ,∴＝五、小结:1．递推公式及其用法；2．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.3． an的定义及与n 之间的关系作业：P9 第4题。

《数列的函数特性》◆教材分析本章以利于学生重视用函数的思想方法来学习和研究数列，把数列融于函数之中．本节内容对全章的学习有着指导作用，因为本章中对数列内容的处理，始终将函数作为主线贯穿其中，突出了函数思想、数学模型思想以及离散与连续的关系。

认识到函数是高中数学的核心内容，这种基本思想也是贯穿教材前后的一条主线。

◆教学目标【知识与能力目标】通过本节学习，理解数列是一种特殊的函数，理解数列的图像表示，了解数列的增减性。

【过程与方法目标】理解数列与函数的关系，会用函数的方法处理数列内容。

【情感态度价值观目标】通过对日常生活实例的探究、思考、交流、分析等教学方式，充分发挥学生的主体作用，培养学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度。

◆教学重难点◆【教学重点】数列的函数特性、数列的图像表示、数列的增减性。

【教学难点】数列的图像表示电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分 1． 叫数列。

2．数列的一般形式是 3．数列的通项公式)(n f a n 反映了数列的 和 的对应关系。

二、研探新知，建构概念探究1.阅读教材P 6～P 7“例3”以上部分，完成下列问题。

1．数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列表法、图像法和解析法 2．数列的单调性名称 定义判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它前面的一项 a n ＋1＞a n 递减数列 从第2项起，每一项都小于它前面的一项 a n ＋1＜a n 常数列各项都相等a n ＋1＝a n新知练习判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)数列的图像与函数的图像相同。

( ) (2)常数列不具有增减性。

( )◆课前准备 ◆◆教学过程(3)数列的通项公式就是数列的函数解析式。

( ) (4)数列1，12，13，14，15是递减数列。

( )【解析】 (1)因为数列的定义域是N ＋(或它的子集{1,2,3，…，n })，所以其图像为无限个或有限个孤立的点。

2021-2022学年高中数学第一章数列1.2 数列的函数特性教案北师大版必修5年级：姓名：1.2 数列的函数特性学习目标1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念(数学抽象)2.数列的图像表示(直观想象)3.会判断数列的增减性并能简单应用(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1. 如何判断数列的单调性?2.若函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,那么数列a n=f(n)也单调递增吗?反之成立吗?1.数列的三种表示法(1)列表法.(2)图像法.(3)通项公式法.2.数列的增减性(1)递增数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都大于它前面的一项,即a n+1>a n(n ∈N+),那么这个数列叫作递增数列.(2)递减数列:一个数列{a n},如果从第2项起,每一项都小于它前面的项,即a n+1<a n(n∈N+),那么这个数列叫作递减数列.(3)常数列:如果数列{a n}的各项都相等,那么这个数列叫作常数列.(4)一个数列{a n},如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫摆动数列.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)数列的图像可以分布在坐标系内的任意象限. ( )(2)递增数列没有最大项. ( )(3)递减数列的最大项一定是当n=1时取得. ( )提示:(1)×.数列的定义域决定了数列的图像只可能在y轴右侧,不可能在第二、三象限.(2)×.递增数列是有穷数列时必有最大项.(3)√.由递减数列的概念可知.2.数列{a n}满足a n+1=a n+1,则数列{a n}是( )A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列【解析】选A.因为a n+1-a n=1>0,所以{a n}为递增数列.3.数列{a n}中,a n=-n2+11n,则此数列最大项的值是( )A. B.30 C.31 D.32【解析】选B.a n=-n2+11n=-+,因为n∈N+,所以当n=5或6时,a n取最大值30.关键能力·合作学习类型一数列的表示方法(直观想象)【典例】在数列{a n}中,a n=n2-8n,(1)画出{a n}的图像.(2)根据图像判定数列{a n}的增减性.【思路导引】列表、描点画图像,再判断增减性.【解析】(1)列表n123456789…a n-7-12-15-16-15-12-709…描点:在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{a n}的图像:(1,-7),(2,-12),(3,-15),(4,-16),(5,-15),(6,-12),(7,-7),(8,0),(9,9),…图像如图所示.(2)数列{a n}的图像既不是上升的,也不是下降的,则{a n}既不是递增的,也不是递减的.画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数,因此也可以用图像来表示,以位置序号n为横坐标,相应的项为纵坐标,即坐标为(n,a n)描点画图,就可以得到数列的图像.因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n}),所以其图像是一群孤立的点,这些点的个数可以是有限的,也可以是无限的.根据数列的通项公式,写出数列的前5项,并用图像表示出来.(1)a n=(-1)n+2;(2)a n=.【解析】(1)a1=1,a2=3,a3=1,a4=3,a5=1.图像如图.(2)a1=-,a2=-,a3=-,a4=-2,a5=2.图像如图所示.类型二数列的增减性(逻辑推理)角度1 数列增减性的判断【典例】1.已知数列{a n}的通项公式为a n=,按项的变化趋势,该数列是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列2.已知函数f(x)=(x≥1),构造数列a n=f(n)(n∈N+).(1)求证:a n>-2.(2)数列{a n}是递增数列,还是递减数列?为什么?【思路导引】通过计算a n+1-a n,判断差的符号确定增减性.【解析】1.选B.因为a n+1-a n=-=<0,所以a n+1<a n.故该数列是递减数列.2.(1)由题意得a n=f(n)===-2+.因为n∈N+,所以>0.所以a n=-2+>-2.(2)数列{a n}是递减数列,证明如下:因为a n=,a n+1==,所以a n+1-a n=-===<0,所以a n+1<a n,所以数列{a n}是递减数列.如果{a n}为递增数列,则{a n}的通项公式可以为()A.a n=-2n+3B.a n=-n2-3n+1C.a n=D.a n=log2 n【解析】选D.A选项是n的一次函数,一次项系数为-2,所以为递减数列;B选项是n的二次函数,图像开口向下,且对称轴为n=-,所以为递减数列;C选项是n的指数函数,且底数为,是递减数列;D选项是n的对数函数,且底数为2,是递增数列.角度2 数列增减性的应用【典例】(2020·贵阳高一检测)若数列的通项公式是a n=(n+1)·0.9n,对于任意的正整数n都有a n≤a N成立,则N为( )A.6或7B.7或8C.8或9D.9或10【思路导引】作差判断数列的单调性,得到当n<8时,a n+1>a n,数列单调递增;当n>8时,a n+1<a n,数列单调递减,当n=8时,a9=a8,由此可判断数列的最大项.【解析】选C.a n+1-a n=(n+2)·0.9n+1-(n+1)·0.9n=0.9n=0.9n,当n=8时,a n+1-a n=0,当n<8时,a n+1-a n>0,当n>8时,a n+1-a n<0.。

第 1 页共 5 页第二课时 1.1.2数列的函数特性一、教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一）、导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师你能举例说明吗？生如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n-1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21,31,41,…的通项公式为a n =n 1(n ∈N *教师进一步启发上面数列a n =n-1、a n =n 1与函数1()1,()f x x f x x 有什么关系？你能用图象直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。

（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16。

第 1 页共 5 页第二课时 1.1.2数列的函数特性一、教学目标1、知识与技能：了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；理解数列是一种特殊的函数；2、过程与方法：通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、情态与价值：体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。

二、教学重点：理解数列的概念，探索并掌握数列的几种间单的表示法（列表、图象、通项公式）。

难点：了解数列是一种特殊的函数；发现数列规律找出可能的通项公式。

三、教学方法：讲授法为主四、教学过程（一）、导入新课师同学们，昨天我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容，哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？生如果数列{a n }的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式师你能举例说明吗？生如数列0，1，2，3，…的通项公式为a n =n-1(n ∈N *1,1,1的通项公式为a n =1(n ∈N *,1≤n 1,21,31,41,…的通项公式为a n =n 1(n ∈N *教师进一步启发上面数列a n =n-1、a n =n 1与函数1()1,()f x x f x x 有什么关系？你能用图象直观表示这个数列吗？由此展开本节新课。

（二）新知探究1、数列与函数的关系：数列可以看作特殊的函数，项数是其自变量，项是项数所对应的函数值，数列的定义域是正整数集，或是正整数集的有限子集．于是我们研究数列就可借用函数的研究方法，用函数的观点看待数列．［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16。

陕西省咸阳市泾阳县云阳中学高中数学 1.1数列的函数特性导学案北师大版必修5个性笔记【学习目标】1.通过阅读教材第6----8页，让学生体会数列是一种特殊的函数及数列的图像表示；2.利用数列的函数特征判断函数的增减性；3.会用函数方法处理数列问题．【学习重点、难点】重点：数列的函数特性，数列的增减性及最值项。

【考纲要求】理解数列的函数特性.【使用说明】A、B等普通班、重点班学生完成， C等实验班学生完成【学习过程】（一）基础学习1、复习巩固：①什么是数列？②数列通项公式是什么？（Ａ） 3、认真观察下列数列，总结出数列的增减性并得出数列增减性的概念？① 3,4,5,6,7,8,9② 0.1,0.01,0.001,0.0001，…③ 100,100,100,100，…（二）学习探究（B ）探究2 已知数列{a n }的通项公式为n a 画出数列的图像，并判断数列的增减性。

（提示：依据数列函数特性完成本题）1、1n a n =-+；2、22153n a n n =-+（C ）例3结合例题2第2个小题，判断从第几项起，这个数列是递增的，并求出数列的最小项。

（三）当堂检测1．已知130n n a a +--= ，则数列{a n } 是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．不确定2．已知数列{a n }的通项公式为523n a n =-，则该数列的增减性为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列5．变式：第4题当一次项的系数变为5时，结果又是什么？请算一算（四）课后作业1.教材第8页练习第2题(2).2.．完成教材第9页习题1—1第5题.（五）教与学后反思本节课你学到哪些知识？请写下来，与组内的同学分享.总结反思总结反思。

第2课时数列的函数特性思路方法技巧命题方向数列表不法的应用［例1］ (1)根据数列的通项公式填表:n12・・・5・・・・・・nQ-n・・・・・・153・・・ 3 (3+4n) (2)画出数列｛&,｝的图像，其中a”=3'j［分析］(1)根据数列的通项公式，代入相应的"值得到所求的项，解关于"的方程得项对应的"值.(2)在直角坐标系下,描出点Sa”).［解析］⑴由第"项可知此数列的通项公式为：a”=3(4卅3),所以a=3 X (4X1+3) =21, a>=3 X (4X2+3) =33, a5=3X (4X5+3) =69.令 3 (4卅3) =153,解得77=12.故填充完整的表格为：n12・・・5・・・12・・・n3，n2133• • •69• • •153• • • 3(3+4” )(2) •••a”=3j 列表:n1234・・・13927・・・在直角坐标系中图像如下:［说明］(1)列表法不必通过计算就能知道两个变量间的对应关系，比较直观，但它只能表不有限个元素之间的对应关系；(2)数列a”=3『'的图像是函数产3「' (x>0)上的无穷多个孤立的点. 变式应用1已知数列｛a,｝的通项公式为a”=2旷1,作出该数列的图像.［解析］分别取尸1,2,3,…,得到点(1,1) , (2, 3), (3,5),…,描点作出图像.如图，它的图像是直线尸2旷1上的一些等间隔的点.X76- /5- /4- /3-{2-/1.4命题方向数列单调性的判断［例2］已知函数f(x)=2*-2「*,数列｛a”｝满足r(log2a,) =~~2n.⑴求数列｛&”｝的通项公式；(2)求证数列｛&”｝是递减数列.［分析］(1)已知函数关系式，由条件可得出2叫%-2七昭=-2”,解这个关于a”的方程即可；(2)只需证明a”+i-aKO或2->l(a”〉O)即可.a”+i［解析］(1)f(log2a”)=-2”，.•.2叫"”-2「叫沧—2/7, a,-— =-2/7,&：+2门弘-1=0,解得af—u土 Vn2 + 1.⑵S+i _ J(” + l)2 +1 _(” + 1)a n J/ + 1 一〃W2 +1+n 八I= 〈1 •J("+l)2 + l+(" + l)即｛&”｝是递减数列.［说明］我们常把递增数列和递减数列统称为单调数列，由于数列可看作是一个特殊的函数，因此，判断函数性质的方法同样适用于数列.比较％与站大小的常用方法有：①作差法：若a”「a”〉O,则数列⑷是递增数列；若如-亦0,贝擞列⑷是递减数列.②作商法：若也〉1,则数列｛a,｝是递增数列；若也〈1,则数列｛曲是递减数列.a”a”变式应用22 3写出数列1,-4 74 5,—,—,…的通项公式，并判断它的增减性.10 13［解析］该数列的通项公式为n” 3n - 2 ' n + 1 n-23("+ 1) — 2 3n-2(3“+ 1)(3" — 2)•.•"WN+,(3n+l) (3n-2) >0,•••aMa”，：.该数列为递减数列.命题方向数列中最大项与最小项的求法［例3］求数列｛-2/Z+9卅3｝中的最大项.［分析］由通项公式可以看出a”与"构成二次函数关系，求二次函数的最值可采用配方法.此时应注意自变量n为正整数.［解析］由已知a”=-2/Z+9卅3=-2(zr—)2+ .4 8由于"为正整数,故当n=2时,a”取得最大值为13.所以数列卜2/72+9/T+3｝的最大值为a2=13.［说明］数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，因此有关数列的最大项与最小项问题可用函数最值的求法去解决，但要注意函数的定义域为正整数集这一约束条件.变式应用3已知数列｛a n｝的通项公式为a”=/-5讯4.(1)数列中有多少项是负数？(2)"为何值时，a”有最小值？并求出最小值.［解析］(1)由方-5丹4〈0,解得KX4.•.5WN+, .•.矿2, 3.•••数列有两项是负数.5.9 5(2) °.°a”=/-5卅4= (./］-—)2-—,可知对称轴方程为ZF —=2. 5.2 4 2又V/2EN+, :.n=2或3时，a”有最小值,其最小值为22-5X2+4=-2.探索延拓创新命题方向数列的实际应用题［例4］在一次人才招聘会上，有/、B两家公司分别开出它们的工资标准：力公司允诺第一年月工资1500元，以后每年月工资比上年月工资增加230元，B公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上年月工资的基础上增加5%,设某人年初被久B两家公司同时录取，试问：该人在/公司工作比在B公司工作月工资收入最多可以多多少元？并说明理由(精确到1元).［分析］根据题意，先建立实际问题的数学模型，根据建立的函数模型解决问题.由于自变量”WN+,函数解析式可以看作数列的通项公式，因此可运用数列的单调性求解.［解析］设在/公司月工资为a”，在B公司月工资为鶴则问题等价于求c”=a”-b”=1270+2307?-2000X 1. 05'小(7?eN+)的最大值.当n》2时，C-G,I=230-100X1. 05'";当c”s〉0,即230-100X 1. 05心〉0 时,1. 05心〈2. 3,得水19. 1.因此，当2GW19 时，C,T〈C”，于是当心20时，c”〈c,”i.所以C19= 319-619^827 (元).即在A公司工作比在B公司工作的月工资收入最多可以多827元.［说明］数列是一种特殊的函数，定义域为正整数集N+ (或它的有限子集｛1, 2, 3,) 的函数，数列的通项公式就是相应的函数解析式，因此，用函数的观点去考察数列问题也是一种有效的途径. 变式应用4某企业由于受2011年国家财政紧缩政策的影响，预测2012年的月产值(万元) 组成数列｛&”｝,满足&”=2/-15卅3,问第几个月的产值最少，最少是多少万元？［解析］山题意知，实质是求数列｛&”｝的最小项.由于a”=2”」-15/7+3=2 krr—) ---- ,4 8图像如图所示，由图像知尸4时，玄最小，a】=-25,即第4个月产值最少，最少为-25万元.名师辨误做答［例5］已知箱a •(-) 且&为常数),试判断数列&｝的单调性.2［误解］V an~an-i=a ( — ) n~a (—)叫-& ( —) ”〈0,2 2 2二数列⑷为递减数列.［辨析］错误原因是误认为00,其实对非零实数日应分日〉0和&〈0两种情况讨论.［正解］V ara^-a (—)"(刀$2,77丘2),2化①当日>0 时，&“一％1〈0, ・•・数列｛廟是递减数列.②当5<0 时，・・・数列仏｝是递增数列.。