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4.2.3等差数列的前n项和性质性质1、已知S n=2n2+3n，则a n={S1 (n=1)S n−S n−1 (n≥2)=______________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。
已知S n=2n2+3n+1，则a n=_________________，此时{a n}不是等差数列，因为它的前三项是___________________.已知S n=an2+bn，则a n=_________________,于是{a n}是以______为首项，______为公差的等差数列。
性质2、因为S n=a1+a2+a3+⋯a n,所以加上一个正数，S n会增大，加上一个负数，S n会减小。
那么就有：已知{a n}为等差数列，公差为d，则①若a1>0，d>0.则a n均_____0，此时S n单调递________;②若a1>0，d<0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m≥0a m+1≤0时，S n有最大值S m.③若a1<0，d<0.则a n均_____0，此时S n单调递________;④若a1<0，d>0.则a n先_____0再______0，此时S n先单调递________再单调递______;且当第m项满足{a m________0a m+1_____0时，S n有最小值S m.【小有所成】例1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.例2、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=10，公差d=−2，则S n是否存在最大值？若存在，求S n的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.【驾轻就熟】1. 某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天到该商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元．你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2. 已知数列{a n}的前n项和S n=14n2+23n+3．求这个数列的通项公式．3. 已知等差数列−4.2，−3.7，−3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值．4. 求集合M={m|m=2n−1,n∈N∗，且m<60}中元素的个数，并求这些元素的和．5. 已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15，前n项和为S n．求S n取得最小值时n的值．。
数列的概念（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。
记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列（5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式⑹n s 与通项n a 的基本关系是：na {11s s s n n --=)1()2(=≥n n1、根据数列前4项，写出它的通项公式：⑴1，3，5，7……； ⑵2212-，2313-，2414-，2515-；⑶11*2-，12*3，13*4-，14*5。
⑷1，-21，31，-41； ⑸2，0，2，0.2、写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数. (1)-3,0,3,6,9; (2)3,5,9,17,33; (3)4,-4,4,-4,4; (4)1,0,1,0,1; (5)21,41,-85,1613; (6)9,99,999,9 999.3、根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： （1）32，154，356，638，9910，… （2）21，2，29，8，225，…（3）5，55，555，5 555，55 555，… （4）5，0，-5，0，5，0，-5，0，… （5）1，3，7，15，31，…4、（1）已知数列{}n a 适合：11a =，1n a +22n n a a =+，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列{}n a ，通过等式1n n n b a a +=-构造新数列{}n b ，写出n b ，并写出{}n b 的前5项5、数列{a n }中，a 1=1,对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1〃a 2〃a 3〃…〃a n =n 2，则a 3+a 5等于（ ）A.1661 B.925 C.1625 D.15316、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.387、已知数列{a n }的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有 （ ）（1）a n =21［1+（-1）n+1］ （2）a n =sin 22πn （3）a n =21［1+（-1）n+1］+（n-1）（n-2） （4）a n =2cosn -1π（5）a n =⎩⎨⎧为奇数为偶数，n ，n 01 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8、已知数列{a n }满足a 1＞0,nn a a 1+=21，则数列{a n }是( )A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列 9、已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 均为正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是________．10、设a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则数列{a n }中的最大项的值是( )A ．107B ．108C ．10818D ．10911、若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n (0≤a n <12)2a n－1(12≤a n<1)，且a 1＝67a 2011的值为( )A.67B.57C.37D.1712、已知f (x )＝sin πx2，a n ＝f (n )＋f ′(n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2010＝________.13、如果f (a ＋b )＝f (a )·f (b )(a ，b ∈R)且f (1)＝2，则f (2)f (1)＋f (4)f (3)＋f (6)f (5)＋…＋f (2010)f (2009)等于( )A ．2007B ．2009C ．2008D ．201014、数列{a n }满足下列条件,试求它们的通项公式.(1)前n 项和S n =(-1)n+1·n; (2)S n =3n -2.15、已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：⑴ n S =n 2+2n ； ⑵ n S =n 2-2n-1.16、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．617、设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(对n ≥1恒成立)且a 4＝54，则a 1＝________.18、已知数列{a n }中，a n ∈(0，12)，a n ＝38＋122n －1，其中n ≥2，n ∈N ＋，求证：对一切正整数n 都有a n <a n ＋1成立．。
数列的函数特征
1、数列的函数特征
数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即a n＝f(n)(n∈N*)．数列的函数图像是一群孤立的点。
2、数列的增减性
(1)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递增数列；
(2)若，n∈N*，则数列{a n}叫作递减数列；
(3)若，n∈N*，则数列{a n}叫作常数列；
(4)若a n的符号或大小交替出现，则数列{a n}叫作摆动数列．
3、数列的最大项与最小项
(1)若a n是最大项，则；(2)若a n是最小项，则。
4、数列的周期性
对于数列{a n}，若存在一个大于1的自然数T(T为常数)，使a n＋T＝a n，对一切n∈N*恒成立，则称数列{a n}为周期数列，T就是它的一个周期．
考向一数列的单调性
例1—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2
n2＋1
，判断数列{a n}的增减性．
例1—2 已知数列{a n}的通项公式是a n＝an
bn＋1
，其中a，b均为正常数，则该数列是单调递__________数列．
①判断数列单调性的基本方法是利用作差或作商的方法比较a n 与a n＋1的大小关系，若a n＞a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递减数列；若a n＜a n＋1(n∈N*)恒成立，则{a n}是递增数列；②判断数列单调性时，也可从数列与函数的关系出发，分析数列{a n}的通项公式a n＝f(n)对应函数的单调性来确定数列的单调性．
变式1—1 已知数列{a n}的通项公式是a n＝
kn
2n＋3
(k∈R)．
(1)当k＝1时，判断数列{a n}的单调性；(2)若数列{a n}是递减数列，求实数k的取值范围．
变式1—2 已知数列{a n}的通项公式a n＝
1
1＋n2－n
，n∈N*，则该数列是单调递__________数列．
考向二数列的最大项与最小项例2—1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－5n＋4 (n∈N*)，则
(1)数列中有多少项是负数？(2)n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．
例2—2 已知a n ＝9n (n ＋1)
10n
(n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明
理由．
①根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的载体函数a n ＝
f (n )，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的取值；②在数列{a n }中：若a n 是最大项，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
a n ≥a n －1，
a n ≥a n ＋1.若a n 是最小项，则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，
a n ≤a n ＋1.
变式2—1 数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋25n ，则数列{a n }各项中最大项是( )．
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
变式2—2 已知数列的通项a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫67n
，n ∈N *
，试问该数列{a n }有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数，若没有，说明理由．
考向三 数列的周期性
例3—1 已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1
a n ＋1
(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
例3—2 在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1
a n －1
(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求证：a n ＋3＝a n ；(2)求a 2 010.
数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有
周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．
变式3—1 已知数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎨
⎧
2a n ⎝
⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n
－1 ⎝⎛⎭
⎫12≤a n
<1.若a 1＝6
7
，则a 2 010的值为( )
A.67
B.57
C.3
7
D.17
变式3—2 设数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝1－1
a n
，记数列{a n }的前n 项之积为Πn ，则Π2 011的值为( )
A ．－12
B ．－1 C.1
2 D ．2
考向四 数列与函数的综合应用
例4 在数列{a n }中，a n ＝n 3－an ，若数列{a n }为递增数列，试确定实数a 的取值范围．
(1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数
的思想方法来解决．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法；②作商法；③结合函数图象等方法．
变式4 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋2，若对任意n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．k >－1 C ．k >－2 D ．k >－3
基础达标
1、若数列{a n }为递减数列，则{a n }的通项公式可能为________(填写序号)．
①a n ＝－2n ＋1；②a n ＝－n 2＋3n ＋1；③a n ＝1
2n ；④a n ＝(－1)n .
2、在数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )．
A ．103 B.8658 C.825
8
D ．108
3、函数f (x )* )
A.1 B ．2 C ．4 D ．5
能力提升
4、已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．
5、已知a n ＝n －98
n －99
，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( )
A ．a 1，a 30
B ．a 1，a 9
C ．a 10，a 9
D ．a 10，a 30
6、已知数列{a n }是递减数列，且a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )，求实数m 的取值范围．。
